1.5等腰三角形 （暑期自学课）学案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.5等腰三角形 （巩固练习）（暑期自学课） 【典型例题】 【例1】等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例2】等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【例3】如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．45° D．25° 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 【例5】如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【例6】已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【举一反三】 【变式1】等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（     ）． A． B． C． D．或 【变式2】等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4】已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【变式5】如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【变式6】已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【巩固练习】 1.如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 2.等腰三角形的周长为，其中一边长为．则该等腰三角形的底长为　　 A．3 或5 B．3 或7 C．3 D．5 3.△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A． 个 B．个 C．个 D．个 5. 已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 6.如图，若，则的度数为 ． 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BC＝BD，若∠ABC＝∠BAD＝α，则∠BCD＝　　（用含α的代数式表示）． 8.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为　　． 9.已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 10.如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长为25，，，求的长． 11.如图，在中，，， （1）若，，则　　； （2）若，求的度数． 12.如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 答案解析 【典型例题】 【例1】等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（    ） B． B．或 C．或 D． 【答案】B 【例2】等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【答案】C 【例3】如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．45° D．25° 【答案】C 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【例5】如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】， ， ， ， ， ， 【例6】已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 【举一反三】 【变式1】等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（     ）． B． B． C． D．或 【答案】D 【变式2】等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【答案】D 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【变式4】已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【答案】解：设腰长为，底边长为， ①若腰比底边长，则，解得：； ②若底边比腰长，则，解得：； 综上，这个三角形的腰长是或． 【变式5】如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【答案】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 【变式6】已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如下图所示， 连接、， 、分别是、边上的高， ， 在和中，点是斜边的中点， ，， ， 是等腰三角形， 点为底边的中点， ． （2）解：． 理由如下： 在中，， 由（1）可知， ，， ，， ， ， ． 【巩固练习】 1.如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.等腰三角形的周长为，其中一边长为．则该等腰三角形的底长为　　 A．3 或5 B．3 或7 C．3 D．5 【答案】C 3.△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 4.如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） B． 个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 6. 已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 【答案】或 6.如图，若，则的度数为 ． 【答案】 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BC＝BD，若∠ABC＝∠BAD＝α，则∠BCD＝　　（用含α的代数式表示）． 【答案】180°﹣2α 8.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为　　． 【答案】2 9.已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】∵D是AB中点， ∴AD＝BD， 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形． 10.如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长为25，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：∵的周长， ∴， ∵， ∴，， ∵F是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 11.如图，在中，，， （1）若，，则　　； （2）若，求的度数． 【答案】解：（1），， ， ，， ， ， 故本题答案为：； （2）设，， ， ， ． 12.如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴AB＝AD． ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形； （2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°， ∠ABC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°， 由（1）知，AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°， ∴∠BDC＝50°． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$