精品解析： 四川省成都市武侯区西川中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 2. 将点向下平移个单位，再向左平移个单位后，所得点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，求解即可． 【详解】解：将点向下平移个单位，再向左平移个单位后，所得点的坐标为，即， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点坐标平移．解题的关键在于熟练掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故选：B． 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数． 5. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种， ∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问人数、物品价格各是多少？”设物品价格元，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键．根据“（物品价格多余的3元）每人出钱数（物品价格少的钱数）每人出钱数”可列方程． 【详解】解：设物品价格x元，可列方程：． 故选：A． 7. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8. 如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（　　） A. B. C. 的长为π D. 扇形的面积为12π 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，弧长和扇形面积的计算等，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键．根据题意得出是等边三角形，是等边三角形，利用圆周角定理即可得出，选项A正确；根据说一声就行三线合一的性质即可得出，选项B正确；利用弧长公式求得的长为：，选项C错误；利用扇形面积公式求得扇形的面积为：，选项D正确． 【详解】解：连接，由题意可知， ， 是等边三角形， ， 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点， ， ， 是等边三角形， ， ，故A正确，不合题意； ， ，故B正确，不合题意； ，， 的长为：，故C错误，符合题意； ，， 扇形的面积为：，故D正确，不合题意． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式= ______． 【答案】 【解析】 【分析】因式分式是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，利用提公因式法化简即可. 【详解】解：== 故答案为：． 【点睛】本题主要考查提公因式法进行因式分解，解题的关键是需要注意的是因式分解是将其化成几个整式乘积的形式. 10. 已知点是反比例函数的图像上的两点，若，则____．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解；∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点是反比例函数的图像上的两点，且， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质． 根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明，再得到，因为，故． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 12. 如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，最后根据余弦的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 13. 如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、，由正方形的性质和切线的性质，可得四边形是矩形，由矩形的性质和同圆半径相等，可得与之间的关系，由垂径定理可得，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、， 四边形是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、切线的性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 14. 已知，是关于的方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据方程解的定义得出，即，把所求代数式中的写成的形式，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可到点”． （1）如图，点若点D是弦AB的“可到点”，则点D的横坐标的最大值为___________； （2）已知P是直线上一点，且存在的弦，使得点P是弦的“可到点”．点P的横坐标t，则t的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键． （1）取中点为H，连接，当轴时，点D横坐标最大，进行计算即可； （2）分类讨论临界的情况，即可得出取值范围． 【详解】解：（1）取中点为H，连接， ， ， 点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动不包括端点A、， 当轴时，点D横坐标最大， ， ， ， 点，， ， ， 点D的横坐标的最大值为， 故答案为：； 反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， 若点C关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可到点”， 点C应在的圆内或圆上， 点P需要在的圆内或圆上， 作出的外接圆，连接， 点P在以为圆心，为半径的运动不包括端点M、， ， ， 由对称得点O，在的垂直平分线上， 的外接圆为， 点也在的垂直平分线上，记与交于点Q， ， ， 随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接，， ， 当最大，时，此时为等边三角形， 由上述过程知， ， 当，的最大值为2， 设， 则， 解得：， 设直线与交于T，S，与y轴交于点K，过点S作轴， 当，当时，， 与x轴交于点， ， ∴ ， 为等边三角形， ， ， 即点， 的取值范围是或 故答案为：或 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解； 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 20. 为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 项目 人数 环境保护 6 敬老服务 a 文明宣传 8 义卖捐赠 b （1）分别计算出表中a，b的值； （2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）的值为, 的值为 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列树状图求概率，扇形统计图和统计表，能从表和图中提取相关信息是解题的关键． （1）利用“文明宣传”项目的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以“敬老服务”所占的百分比求出a的值，然后用总人数减去其他项目人数求出“义卖捐赠”的人数即可求出b； （2）用样本百分比乘以学校人数即可估计总体； （3）画出树状图，用概率公式可得答案． 【小问1详解】 (人), ∴参加调查的一共人， (人)； (人) ∴的值为, 的值为； 【小问2详解】 解：(人), 答：估计选择参加“环境保护”项目的师生人数是人； 【小问3详解】 根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有种， ∴.恰好选中甲、乙两人的概率是 21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 22. 如图，是的直径，C，G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若 ，求直径和线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， , ， ， ， 于点D， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）4， 【解析】 【分析】本题考查圆切线的性质和判定，相似三角形，勾股定理，灵活应用定理解决问题． 连接，证明，即可证明是的切线； 由，证明，，利用对应边成比例可推出，由则圆直径可求，进而利用勾股定理可求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径的长为4，线段的长为 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点 （1）求反比例函数的表达式； （2）设P是直线上一点，过P作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，连接，，若的面积是的面积的倍，求点P的坐标． （3）将的图象沿的方向平移，使点C与点B重合，得到的图象与x轴交于点H，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况求出点P的坐标，当点P在点C的右侧时，设，则，，利用的面积是的面积的倍，且和等高列出方程求出点P坐标；当点P在点C的左侧时，设，则，，利用的面积是的面积的倍，且和等高列出方程求出点P坐标即可； （3）利用反比例函数的平移法则得到平移后的解析式，求出点H坐标，利用代入数据求出面积即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴ 反比例函数的图象过点C， ∴， 解得：， 即反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：对于，令，则，令，则，解得， ∴，， 当点P在点C的右侧时，设，则，， ∴，， 的面积是的面积的倍，且和等高， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ， 当时，， ∴； 当点P在点C的左侧时，设，则，， 则，， 的面积是的面积的倍，且和等高， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去， ∴， 综上分析，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，∵，， 反比例函数图象向右移动2个单位，再向下移动2个单位， 反比例函数图象向右移动2个单位，再向下移动2个单位得到， 令， 整理得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，函数图象的平移，熟练掌握该知识点，采用分类讨论的思想是关键． 24. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． （1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； （2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 【答案】（1）30元 （2）；最大值160元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确列出分式方程，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）由题意得得出与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元． 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，有最大值160元， 答：最大值为160元． 25. 已知二次函数（为常数）． （1）求出此抛物线与x轴的交点横坐标（用含a的代数式表示）； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； （3）若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于A、B两点点A在点B左侧，与y轴交于点．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线（直线l不过C、D两点）与二次函数图象交于E、F两点，直线与直线相交于点．若，请求出P的坐标． 【答案】（1）a，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）令，则，求出的值即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到图象开口向下，对称轴为直线，则当时，函数有最大值为4， 再根据距离对称轴越远函数值越小，得到当时，函数有最小值，再根据二次函数的最大值与最小值之差为9，求出的值，即可得到函数的解析式； （3）利用待定系数法求得a值，从而得到；过点E作于点E，过点F作直线于点H，过点P作于点N，延长交于点K，过点D作于点L，设，则，利用相似三角形的判定与性质得到；设，则，利用相似三角形的判定与性质得到，进而得到，利用三角形的面积公式得到，利用已知条件求得x值，则结论可得． 【小问1详解】 解：令，则， 或 此抛物线与x轴的交点横坐标为a， 【小问2详解】 解：， 二次函数（为常数）图象开口向下，对称轴为直线， 当时，函数有最大值为4， ， ， ， 当时，函数有最小值， 当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9， ， 或（不合题意，舍去）， 此时函数的解析式为； 【小问3详解】 解：二次函数图象对称轴为直线， ， ， 此时函数的解析式为， 则， 或 ， ， 过点E作于点E，过点F作直线于点H，过点P作于点N，延长交于点K，过点D作于点L，如图， 令，则， ， ， 二次函数图象对称轴为直线， ， 设， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 设，则， 同理可得：， ， ， 将代入得：， 点P在直线上． ， ， ， ， 当时，； 当时， 综上，若，P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，函数的极值，相似三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 26. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，点M在上，且，以点C为中心，将线逆时针转得到线段，连接，若，求线段长度的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】可求得，进而求得，进一步得出结果； 连接，可求得，从而得出，从而，从而得出，进而得出结果； 可求得，设，，，从而得出，，根据，推出，进一步得出结果． 【小问1详解】 ， ， ， 线段顺时针旋转得到线段， ， ； 【小问2详解】 如图1，连接 线段顺时针旋转得到线段DE， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 或， 当时，，此时， ； 当时，，显然不可能． 综上所述，是等腰三角形时，； 【小问3详解】 如图2，连接，过点D作于点F 由知，， 线段时针转得到线段， ，， ， ∴ 设，，则， ∴， ∴ ， ， 点D在上， ∴当时，的值最小， ∵ ∴此时， 当点D和点A重合时，的值最大，此时 ， ， ， ， 的最大值与最小值的差． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 将点向下平移个单位，再向左平移个单位后，所得点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问人数、物品价格各是多少？”设物品价格元，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 8. 如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（　　） A. B. C. 的长为π D. 扇形的面积为12π 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式= ______． 10. 已知点是反比例函数的图像上的两点，若，则____．（填“”、“”或“”） 11. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____． 12. 如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为______． 13. 如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为___________． 14. 已知，是关于的方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为___________ 16. 图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为______． 17. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 18. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可到点”． （1）如图，点若点D是弦AB的“可到点”，则点D的横坐标的最大值为___________； （2）已知P是直线上一点，且存在的弦，使得点P是弦的“可到点”．点P的横坐标t，则t的取值范围为___________． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解不等式组： 20. 为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 项目 人数 环境保护 6 敬老服务 a 文明宣传 8 义卖捐赠 b （1）分别计算出表中a，b的值； （2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率． 21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 22. 如图，是的直径，C，G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若 ，求直径和线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点 （1）求反比例函数的表达式； （2）设P是直线上一点，过P作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，连接，，若的面积是的面积的倍，求点P的坐标． （3）将的图象沿的方向平移，使点C与点B重合，得到的图象与x轴交于点H，求的面积． 24. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． （1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； （2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 25. 已知二次函数（为常数）． （1）求出此抛物线与x轴的交点横坐标（用含a的代数式表示）； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； （3）若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于A、B两点点A在点B左侧，与y轴交于点．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线（直线l不过C、D两点）与二次函数图象交于E、F两点，直线与直线相交于点．若，请求出P的坐标． 26. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，点M在上，且，以点C为中心，将线逆时针转得到线段，连接，若，求线段长度的最大值与最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $