第32章 概率初步 单元练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

第32章 概率初步 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，，随机抽取张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法错误的是(    ) A. 方差可以衡量一组数据的波动大小 B. 抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 C. 一组数据的众数有且只有一个 D. 抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 3.下列事件为必然事件的是(    ) A. 袋中有个蓝球，个绿球，共个球，随机摸出一个球是红球 B. 三角形的内角和为 C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字，，，，从中同时抽取两张则下列事件为随机事件的是(    ) A. 两张卡片的数字之和等于 B. 两张卡片的数字之和大于或等于 C. 两张卡片的数字之和等于 D. 两张卡片的数字之和等于 5.在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，为测量平地上一块不规则区域图中的阴影部分的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小球假设小球落在正方形内每一点都是等可能的，经过大量重复投掷试验，发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积约为(    ) A. B. C. D. 8.让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是的倍数或是的倍数的概率等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是          ． 10.八年级一班有学生人，其中男生人，女生人，经调查有人喜欢数学，人是足球迷从这个班随意找一名学生：是男生的可能性是          是女生的可能性是          是喜欢数学的学生的概率是          是足球迷的概率是          ． 11.在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 “摸出黑球”的次数 “摸出黑球”的频率结果保留小数点后三位 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是          结果保留小数点后一位． 12.如图所示，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的个小正方形构成假设飞镖击中每个小正方形是等可能的击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次任意投掷飞镖一次，击中灰色区域的概率是__           13.在一个不透明的箱子中，放有除颜色外其余都相同的个小球，其中红球个、白球个．搅匀后，从中摸出个小球，请你写出这个摸球活动中的一个随机事件：          ． 14.在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个黑球、个白球，若干个红球，每次摇匀后摸出一球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为_______． 15.如图所示的电路中，当随机闭合开关，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为          ． 16.在某校运动会接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，参赛同学随机从四个赛道中抽取赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为___________． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 一只不透明的箱子里共有个球，其中个白球，个红球，个黄球，它们除颜色外均相同． 从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ 再往箱子中放入多少个黄球，可以使摸到白球的概率变为？ 18.本小题分 某商场为了吸引顾客购物，设立一个转盘转盘上有个形状相同、面积相等的扇形区域，其中个有奖区域均匀地分布在转盘上，有奖区域中分别标明奖励购物券的金额奖励元的区域有个、元的区域有个、元的区域有个商场规定顾客购买商品满元，就能获得转动一次转盘的机会转盘停止后，如果指针对准某个有奖区域，那么顾客就可以获得这个区域上所标金额的购物券． 某顾客购买了元的商品，他获得购物券的可能性大小如何分别求出他获得元、元、元购物券的可能性大小． 19.本小题分 判断下列事件是必然事件，随机事件，还是不可能事件． 一个昏庸的国王，总是用抽卡片的方式决定他的臣民的生与死如果抽到的卡片上写着生，国王就让臣民活下去，如果抽到的卡片上写着死，国王就杀死臣民，每次国王都准备两张卡片． 若两张卡片均为死，该臣民最终活着 若两张卡片均为死，该臣民被杀死 若两张卡片分别为生和死，该臣民最终活着． 20.本小题分 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为，，乙袋中的三张卡片所标的数值为，，先从甲袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用表示取出卡片上的数值，把、分别作为点的横坐标和纵坐标． 用适当的方法写出点的所有情况． 求点落在第三象限的概率． 21.本小题分 如图，甲、乙两人看成点分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 若都对或都错，则甲向东移动个单位，同时乙向西移动个单位； 若甲对乙错，则甲向东移动个单位，同时乙向东移动个单位； 若甲错乙对，则甲向西移动个单位，同时乙向西移动个单位． 经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率； 从如图的位置开始，若完成了次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值； 从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距个单位，直接写出的值． 22.本小题分 某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数本 人数名 请根据以上信息回答下列问题： 分别求出统计表中的、的值； 估计该校九年级名学生中为“优秀”档次的人数； 从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的名学生中有名阅读本数为的概率． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【解答】 解：抽取的三边长包含的基本事件为：，，，，，，，，，，共个；  设事件“抽到的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“， 则事件包含的基本事件有：，，，共个， 故 ， 故选：． 【分析】 本题主要考查了概率公式及三角形的三边关系，关键是列举要不重不漏，难度不大． 确定抽取的三边长包含的基本事件总数，确定抽取的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件数，即可求出能构成三角形的概率． 2.【答案】  【解析】解：方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确； 抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确； 一组数据的众数有一个或者几个，故选项C错误； 抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得，故选项D正确； 故选：． 根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 本题考查抽样调查、用样本估计总体、众数和方差，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确 3.【答案】  【解析】解：袋中有个蓝球，个绿球，共个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件； B.三角形的内角和为是必然事件； C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件； D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件； 故选：． 一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答． 本题主要考查随机事件，必然事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件． 4.【答案】  【解析】解：、两张卡片的数字之和等于是不可能事件； B、两张卡片的数字之和大于或等于是必然事件； C、两张卡片的数字之和等于是随机事件； D、两张卡片的数字之和等于是不可能事件； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5.【答案】  【解析】解：共摸了次，其中次摸到黑球， 有次摸到白球， 摸到黑球与摸到白球的次数之比为：， 口袋中黑球和白球个数之比为：， 个． 故选：． 根据共摸球次，其中次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为：，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为：；即可计算出白球数． 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 让绿灯亮的时间除以时间总数即为所求的概率． 【解答】 解：一共是秒，绿的是秒，所以绿灯的概率是． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【解答】 解：经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近， 小石子落在不规则区域的概率为， 正方形的边长为， 面积为， 设不规则部分的面积为， 则， 解得：， 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能的情况数，找出两个数的和是的倍数或的倍数情况，即可求出所求概率． 【解答】 解：列表如下： 所有等可能的情况有种，其中两个数的和是的倍数或的倍数情况有种， 则． 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了概率公式．用到的知识点为概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目二者的比值就是其发生的概率． 【解答】 解：袋子中装有个小球，其中红球有个， 从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是． 10.【答案】   【解析】【分析】 略 【解答】 略 11.【答案】  【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解． 【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在附近， 故摸到黑球的概率估计值为； 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：因为共有个小正方形，其中灰色区域相当于个小正方形， 所以任意投掷飞镖一次，刚好击中灰色区域的概率是． 13.【答案】从这个箱子中，摸出个球，可能是红球答案不唯一  【解析】解：从中随机摸出个球，可能是红球，也可能是白球， 故答案为：摸出的球是红球或摸出的球是白球． 本题考查了随机事件的概念：在一次试验中，可能发生的事件，也可能不发生的事件是随机事件． 从中随机摸出个球，可能是红球，也可能是白球，写一种情况即可． 14.【答案】  【解析】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：个． 故答案为：． 根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 15.【答案】  【解析】【分析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 根据题意可得：随机闭合开关，，中的两个，有种方法，其中有两种能够让灯泡发光，利用概率公式求解即可． 【解答】 解：随机闭合两个开关，总共有，，三种情况，其中能让灯泡发光的情况有，，共两种，故所求概率 ． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为， 所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率． 故答案为． 17.【答案】解：白球， 答：随机摸出一个白球的概率是． 设再往箱子中放入黄球个， 根据题意，得， 答：放入个黄球．  【解析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据白球的个数和球的总个数利用概率公式进行计算即可； 设再往箱子中放入黄球个，利用概率公式列出方程求解即可． 18.【答案】解：因为顾客购买金额大于小于， 所以他只有一次转动转盘的机会． 因为个区域中，奖励元的区域有个、元的区域有个、元的区域有个． 所以获奖区域有个， 所以获得购物券 获得元购物券 获得元购物券 获得元购物券．  【解析】本题主要考查可能性的大小以及简单概率的计算，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据个区域中获奖的区域有个，即可得出他获奖的可能性的大小，再根据每种金额区域的个数在总区域数中所占比例即可得出各自可能性的大小． 19.【答案】解：不可能事件． 必然事件． 随机事件．  【解析】见答案 20.【答案】解：如下表，           点共种情况； 点落在第三象限共有两种情况， 点落在第三象限的概率是．  【解析】直接利用表格列举即可解答； 利用中的表格求出点落在第三象限共有两种情况，再除以点的所有情况即可． 此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算，属于基础题． 21.【答案】解：经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的， 必须甲胜乙错， 因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对， ． 由题意． 时，离原点最近． 不妨设甲连续次正确后两人相距个单位， 则有，解得或． 如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或， 如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或， ， 综上所述，满足条件的的值为或．  【解析】利用概率公式计算即可． 利用两点之间的距离公式计算即可． 不妨设甲连续次正确后两人相距个单位，则有，解得或如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或，如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或，探究规律，可得结论． 本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】解：由表可知被调查学生中“一般”档次的有人，所占比例是，所以共调查的学生数是， 则调查学生中“良好”档次的人数为， ， ． 由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为， ，估计九年级名学生中为优秀档次的人数为； 用、、表示阅读本数是的学生，用表示阅读本的学生，列表得到：           由列表可知，共种等可能的结果，其中所抽取的名学生中有名阅读本数为的有种， 所以抽取的名学生中有名阅读本数为的概率为；  【解析】首先求得总分数，然后即可求得和的值； 首先求得样本中的优秀率，然后用样本估计总体即可； 列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 考查了列表与树状图法求概率、用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是能够通过列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 第8页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$