第31章 圆 单元练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

第31章 圆 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是(    ) A. B. C. D. 2.如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点点不与点重合，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，四边形内接于，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 4.如图，正方形的外接圆半径为，则其边长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，四边形内接于，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，射线与相切于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为   A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则          ． 10.如图，图是由若干个相同的图形图组成的美丽图案的一部分，图中，图形的相关数据：半径，则图的周长为          结果保留． 11.已知每个正方形网格中正方形的边长都是，图中的阴影部分图案是以格点为圆心，半径为的圆弧围成的，则阴影部分的面积是          ． 12.如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，作直径，连接，，若，则          ． 13.如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积为           14.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接若，若连接，则的度数是          ． 15.如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______ 16.如图，的半径为，直线与相切于点，、是的两条弦，且，，则弦的长为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆孤两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？结果精确到 18.本小题分 已知直线过上点，点、点是上的两点，． 求证：直线是的切线． 19.本小题分 如图，是上一点，是的直径，，，点在上且平分，求的长． 20.本小题分 如图，是的弦，的半径垂足为若，，求的半径长． 21.本小题分 如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；           ． 22.本小题分 如图，为的直径，，为弦，，为的延长线上的点，． 求证：是的切线； 若的半径为，求图中阴影部分的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形和圆，熟悉掌握正多边形的性质和外角和是解题的关键． 根据正多边形的外角和是求出正多边形的边数，再求出其中心角即可． 【解答】 解：正多边形的一个外角为， 正多边形的边数为， 其中心角为． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出中心角的度数． 连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【解答】 解：四边形内接于，， ， 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理以及正多边形与圆的关系． 根据圆是正方形的外接圆，可得，再由勾股定理求解即可． 【解答】 解：连接、， 圆是正方形的外接圆， ， ． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 由切线的性质知，再根据平行线的性质得，最后由圆周角定理可得答案． 本题主要考查切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，求出的度数是解题的关键． 【解答】 解：直线是的切线，为切点， ， ， ， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再根据圆周角定理进行解答，即可求解． 【解答】 解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理可得，， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 利用切线的性质得，则可计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后根据圆周角定理可计算出的度数． 【解答】 解：射线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：连接， 正六边形内接于， 中心角，， ， ， ， 的长， 故选：． 利用正多边形和圆的关系，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出，再利用弧长公式求解即可． 本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质． 9.【答案】  【解析】解：由题意知，弧长， 扇形的面积是， 故答案为：． 根据扇形的面积公式弧长半径求出即可． 本题考查了扇形的面积公式的应用，主要考查学生能否正确运用扇形的面积公式进行计算，题目比较好，难度不大． 10.【答案】  【解析】【分析】 先根据图确定：图的周长个的长，根据弧长公式可得结论． 本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键． 【解答】 解：由图得：的长的长的长， 半径，， 则图的周长为：， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了扇形的面积公式，关键是理解图形的构成． 根据扇形和矩形的面积公式求解即可． 【解答】 解：观察图形可知，阴影部分的面积， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，能求出的度数和根据圆周角定理得出是解此题的关键． 连接，根据切线的性质得出，求出的度数，再根据圆周角定理求出即可． 【解答】 解：连接， 过外一点作的两条切线，，切点分别为，， ， ， ， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理求出，利用扇形的面积的面积即可． 【解答】 解：由圆周角定理得，， 则图中阴影部分的面积， 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 故答案为：． 根据圆内接四边形的性质得出，根据求出，根据圆周角定理求出，求出的度数，再根据圆周角定理得出即可． 本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补和一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键． 首先证明是等边三角形，接着求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【解答】 解：如图，连接，，， ，，， ≌， ， ， 是等边三角形， ， 由题意得，阴影扇形的半径为，圆心角的度数为， 则扇形的弧长为：， 而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有： ， 解得，， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接，并反向延长交于点， 直线与相切于点， ， 又， ， 即， ， ， 连接，则， 在中，， ， 则． 故答案为：． 连接，并反向延长交于点，连接，由是圆的切线知，结合可得，从而得出，中求得及，在中，由可得出答案． 本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理． 17.【答案】解：由垂径定理推论可得：， 设圆的半径为，则，， ， 即． 解得：． 答：这个车轮的半径为．  【解析】设圆的半径为，然后根据勾股定理列方程求解即可． 本题主要考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握相关定理是解题的关键． 18.【答案】证明：如图，连接，延长交于，连接， ，，， ，， ，， 是的直径， 直线是的切线．   【解析】见答案． 19.【答案】解：是的直径， ， 在中，，， ， 点在上且平分， ， ， 在中，， ， ．  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．先利用圆周角定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用得到，然后利用勾股定理得到，从而可求出的长． 20.【答案】解：的弦，半径， ， 设的半径为，则，连接， 在中， ，即，解得．  【解析】先根据垂径定理求出的长，设的半径为，再连接，在中利用勾股定理求出的值即可． 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 21.【答案】证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由知，即，据此可得答案； 由知，结合，可证，从而得出答案． 22.【答案】证明：连接， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ， 为半径， 是切线； 解：，，， ，由勾股定理得：， 图中阴影部分的面积  【解析】连接，求出，求出，求出，根据切线判定推出即可． 求出、长，分别求出扇形和三角形面积，即可求出答案． 本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$