专题04 圆（期中专项训练）（21种常考题型）九年级数学上学期人教版五四制

专题01 圆（21种常考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直接运用勾股定理计算 · 运用“单勾股”列方程 · 运用“双勾股”列方程 · 作圆心到弦的垂线段构造直角三角形 · 弧、弦之间的关系 · 圆周角、弧之间的关系 · 弦、圆心角之间的关系 · 弦、弧、圆心角之间的关系 · 补短法在圆中的应用 · 截长法在圆中的应用 · 有公共点：连半径、证垂直 · 无切点：作半径、证垂直 · 作差法求面积 · 等积法求面积 · 割补法求面积 · 平移法求面积 · 化整为零法求面积 · 半径的计算 · 弧长的计算 · 面积的计算 · 实际应用中的计算 1． 直接运用勾股定理计算（共3小题） 1.（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，①分别以弦的端点，为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；②作直线交于点．若，，则（    ） A．10 B．3 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作垂线，垂径定理，解决本题的关键是根据作图过程得是的垂直平分线． 根据作图过程和圆的性质可得是的垂直平分线，即可根据勾股定理可得的长． 【详解】如图，连接， ∴， ∴O在的垂直平分线上 根据作图过程可知：M在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线 ∴， 在中，，， 根据勾股定理，得． 故选：D． 2.（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知的直径，弦，，那么圆心O到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据题意画出图形，先根据垂径定理求出的长，连接，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的直径，弦，， ∴， ， 在中，． 故答案为： 3.（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键； (1)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； (2)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接 是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， （2）解：是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故的半径为 2． 运用“单勾股”列方程（共3小题） 4.（21-22九年级上·贵州遵义·期中）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设的半径为，则，先由勾股定理构建方程求出半径的长，再由三角形面积和垂径定理即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 设的半径为，则， 是的直径，，， ， 在中，， 解得：， 的面积， ， ， 的面积的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理，属于中考常考题型． 5．（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　） A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出△BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF，则，由此求解即可． 【详解】解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm． ∴， 在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3cm， ∴， ∴， ∵OB=OC，OF⊥BC， ∴BF=CF， ∴ ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 6.（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．已知：，．求残片所在圆的面积．    【答案】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，设点O是此残片所在的圆的圆心，连接，根据垂径定理得到，然后设，则，根据勾股定理列方程求出，然后根据圆的面积公式求解即可．解题的关键是正确找出圆心根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设点O是此残片所在的圆的圆心，连接，如图．    ∵， ∴ ∵ ∴设，则 ∴在中，，即 解得 ∴ ∴圆的半径为 ∴残片所在圆的面积为： 3． 运用“双勾股”列方程（共3小题） 7.（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰三角形内接于半圆，，半径长为，且直径，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，由得到，进而得到，设，由勾股定理得到，解方程即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得， ∴， ∴， 故选：． 8.（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可． 【详解】解：如图所示：， 由题意， 根据垂径定理，得，， ∵直径为，半径， ∴在中，， ∴ ∴在中，， ∴, ①当在圆心下方时，， ②当在圆心上方时，， 故答案为：7或17． 9.（23-24九年级上·甘肃定西·期中）的半径为是的两条弦，．求和之间的距离． 【答案】和之间的距离为或． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；作于，交于，连接、，如图，根据平行线的性质得，再利用垂径定理得到，，接着根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，然后分类讨论：当圆心在与之间时，；当圆心不在与之间时，． 【详解】解：作于，交于，连接、，如图， ， ， ，， 在中， ，， ， 在中， ，， ， 当圆心在与之间时，； 当圆心不在与之间时，； 即和之间的距离为或． 4． 作圆心到弦的垂线段构造直角三角形（共1小题） 10．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．先过作，连结，根据，，求出的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可求出的值． 【详解】如图，过作，连结， ，， ． ， 根据勾股定理得：． 由垂径定理得：． 故选：D． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．过点作于点，根据垂径定理得，由题意可得，结合等腰三角形的“三线合一”可推出是等腰直角三角形，从而求出；设，可得，，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 设， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：，． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知是的直径，弦 ，垂足为，，，点在弧上，射线与射线相交于点． (1)求的半径； (2)如图，若时，求的长． 【答案】(1)的半径为13 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求解即可；合理添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解三角形是解本题关键； （2）过点作，根据垂径定理求出，根据题意求出，的值，得到是等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，已知斜边的值，利用勾股定理求出直角边的值，即可求出的值；利用垂径定理，构造，并证明是等腰直角三角形是解本题关键． 【详解】（1）解：如图，连接，则是的半径， 是的直径，，， ， 设的半径为， ，， ， 在中，， ，解得， 故的半径为13． （2）解：如图，过点作，则， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，，解得， ． 5． 弧、弦之间的关系（共2小题） 13.（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，若，且，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，根据，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，，若，求的长    【答案】 【分析】本题考查了圆心角定理，掌握在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等是解答本题的关键． 由已知条件，得到=，而是公共弧，故=，因此． 【详解】解：由已知得， ， =， 是公共弧， =， 故． 六．圆周角、弧之间的关系（共3小题） 15.（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，根据是的直径，可得，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∵与所对弧相同， ∴， 故选：． 16．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，点D是的内心，的延长线和的外接圆相交于点E，连接，，且； （1）的度数为 ； （2）的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，三角形内心的定义，圆的基本性质；掌握性质，理解三角形内心的定义：“三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心”是解题的关键． 【详解】解：由图得：四边形有外接圆， ， ； 点D是的内心， 平分， ， ， ； 故答案：，． 17．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定： （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 设，则， 在中：由勾股定理得， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得 ∴的半径为9． 七．弦、圆心角之间的关系（共1小题） 18.（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，则线段 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理及直角三角形斜边大于直角边，根据得到是的中点，连接交于点，即可得到，，即可得到答案； 【详解】解：连接，交于点D，连接， ∵， ∴点是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 八．弦、弧、圆心角之间的关系（共3小题） 19.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理，根据圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理进行计算即可，掌握圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作，由于，所以点、点也在圆上，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴． 故选：． 20.（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和等腰三角形的判定等．连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：连接， ， ， ， ． 21.（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦于点H，点F为圆上一点且，连接，过点C作交AB于点G，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查圆的有关知识，圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理． （1）连接，由垂径定理得到，根据得到，推出，即，再根据平行线的性质得到，易得， 即可证明； （2）连接，由（1）知，得到，即，根据，是的直径，得到，在中，，利用勾股定理可以求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ， ． （2）解：连接， 由（1）知， ∴， ， ，是的直径， ， ，， ， 在中，， ， 直径长是10． 九．补短法在圆中的应用（共3小题） 22.（22-23九年级上·安徽·期中）如图，在和中，，连接，，平分，，交于点F，F为的中点，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】、的延长线相交于点G，根据题意和角之家的关系可得，根据等腰三角形的性质可判断，根据三角形中位线的性质得到，利用等角的补角可得，由于，根据圆周角定理可判断点A、C在以为直径的圆上，由于F点为的中点，根据垂径定理的推论得到，根据线段垂直平分线的性质得． 【详解】解：如图所示，、的延长线相交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即选项A说法错误，符合题意； ∵，， ∴， 即选项B说法正确，不符合题意； ∵， ∴点A、C在以为直径的圆上， ∵F点为的中点， ∴， 即选项C说法正确，不符合题意； 即垂直平分， ∴， 即选项D说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂径定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 23.（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理； （1）如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，则，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为，在中根据勾股定理列方程得到． 【详解】（1）证明：如图，延长交于，    ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 设的半径为， ，， ，， 在中，， 解得：． 即的半径为2． 24.（21-22九年级上·湖北武汉·期中）如图，为直径，为上一点，于，交于，为中点，交于点．    (1)求证：； (2)若，，求半径和长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）延长交于，根据垂径定理得出，进而结合已知条件得出，即可得出进而即可得出结论； （2）连接，勾股定理解，求得，证明，根据相似三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图，延长交于，    ，是直径， ，， 为中点， ， ， ， ， ； （2）解：连接，    ，， ，， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理，弧与弦的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键 十．截长法在圆中的应用（共2小题） 25．（22-23九年级上·北京·期中）如图：已知的内接等腰直角，，为上一点，连结、、． (1)求证：； (2)若点在上（异于、两点），上述结论是否成立？________（填“是”或“否”），如果不成立，请直接写出新的结论________________． 【答案】(1)见解析 (2)否， 【分析】（1）延长至点，使得，连接．由等腰直角三角形得到，，再证明，则，，进一步得到为等腰直角三角形，即可得到结论； （2）如图，在上取一点P，连接，，在上截取，先证明，得到，再证明为等腰直角三角形，得到即可． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接． ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，         ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形．         ∴； （2）解：否，； 如图，在上取一点P，连接，，在上截取， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：否， 【点睛】此题考查了圆周角定理及其推论、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． 26．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接． (1)若点P是弧上一点， ①∠BPC度数为 ___________； ②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接． (2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 【答案】(1)①，②见解析 (2)；；；证明见解析 【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可； ②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可； （2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可． 【详解】（1）①解：，理由： ∵四边形是正方形， ∴， ∴的度数为， ∴， 故答案为：； ②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 又∵点P在上， ∴四边形为内接四边形 ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）当点P在上时，； 在上取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点P在上时，， 在上取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点P在上时，，理由： 在的延长线上截取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 又∵点P在上， ∴四边形为内接四边形 ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键． 11． 有公共点：连半径、证垂直（共5小题） 27.（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，从而得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，从而得出，求出，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，平分． (1)求证：是的切线； (2)延长和交于点，若，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质与判定，解直角三角形： （1）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质即可得到结论； （2）根据线段之间的关系得到，则，解直角三角形得到，由平行线的性质可得，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴。 29．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】直线与相切，理由见解析 【分析】连接、，由等腰三角形的性质可得，根据直角所对的圆周角是直角得，而点是的中点，则，，继而得到，即可得证． 【详解】解：直线与相切． 理由：连接、，则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线， ∴直线与相切． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，垂直的定义等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 30.（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理： （1）连接，，，则，再由已知条件，可得； （2）作，得到四边形是矩形和，根据矩形性质可得长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作，    ∵， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 31．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，平分，交于点，是边上的点，经过点，的交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、垂径定理、含30度角的直角三角形、直角三角形两锐角互余、圆周角定理、扇形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． （1）连接，根据等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据垂线的性质，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （2）①根据勾股定理和直角三角形角的性质，得出，，进而得出，解出即可得出的长，再根据圆的性质，即可得出的长；②过点作于点，根据垂径定理，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，进而得出，再根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①如图，在中，， ，， ， ，（舍去）， ； ②如图，过点作于点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 十二．无切点：作半径、证垂直（共3小题） 32.（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知：如图是的直径，，与分别相切于点、点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为10，设，，求关于的函数解析式． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）过O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明≌，依据全等三角形的性质可知，故此为的半径，则是的切线； （2）如图2所示：过O作于点E，过点D作于点F，则，由切线长定理可得：，，则，在中依据勾股定理可得到，从而可得到y与x的函数关系式． 【详解】（1）证明：过O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴≌． ∴． ∵是的半径， ∴是的半径． ∴是的切线． （2）解：如图2所示：过O作于点E，过点D作于点F，则， ∵，， ∴． 由切线长定理可得：，， ∴， 在中， ∵， ∴． 整理得：， ∴； 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 33.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点、分别为、的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）作于．连接．想办法证明即可解决问题； （2）由，是的切线，推出，设，由，推出，推出，由，，推出，由，推出，在中，根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解： 是的切线．理由如下： 作于．连接．如图，   ，， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的切线； （2）解：，是的切线，   ，设， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 的面积为：． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 34.（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知是的直径，是圆外一点，直线交于点，不重合，平分交于点，过作，垂足为 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】（）连接，证，即可证得与相切； （）过作于，可得四边形是矩形，设，则，，在中，由勾股定理得，求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴与相切； （2）解：过作于， ∵， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，的直径为， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，(不合，含去)， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键 12． 作差法求面积（共3小题） 35.（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求扇形面积．利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 36．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，过作于，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 37．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，为的直径，点B为延长线上一点，是的切线，A为切点，且，    (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）根据切线的性质证明，进而求得的度数； （2）根据阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：连接，   是的切线，点A为切点， ， 又，， ， 设，则在中，有：， 解得：， ∴的度数为； （2）解：， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握切线的性质和扇形面积公式是解题关键． 十四．等积法求面积（共3小题） 38.（23-24九年级上·浙江温州·期中）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六角星图案，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形的性质以及面积的计算方法是正确解答的关键，根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形的面积，再根据正六边形的面积进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形的面积， ， 由对称性可知，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 39.（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， 正方形的边长为2， ， 阴影部分的面积为扇形的面积，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 40.（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，．求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分的面积为 【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得．利用三角形中位线定理判定，即可证明结论； 根据等腰三角形的性质得，三角形内角和定理求得，进一步得，过点B作于M，则，利用勾股定理即可求得，结合面积公式即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及圆周定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的判定和性质、切线的证明、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是数量掌握圆的性质和常见辅助线的添加． 十五．割补法求面积（共3小题） 41.（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在边长为2的等边中，D是边上的中点，以点A为圆心，为半径作圆与，分别交于两点，则图中阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，连接，根据等边三角形的性质可得，，，从而得到，，，再利用得面积减去扇形面积计算即可，掌握利用割补法求不规则图形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D是边上的中点， ∴，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为：． 故选：C 42.（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，的内接四边形中，，，，，分别以四边形的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由圆周角定理得出是的直径，由勾股定理求出，，再根据割补法求出阴影部分面积即可． 本题考查了圆内接四边形，勾股定理，掌握圆周角定理，勾股定理，圆的面积公式，直角三角形的面积公式等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵的内接四边形中，， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积为 ， 故选：B． 43.（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算， ()由圆周角定理得出，得出，由得出 ，由圆周角定理得出 ，即可得出结论； ()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积； 熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键． 【详解】（1）证明:∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）如图，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ， ． 十六．平移法求面积（共2小题） 44.（22-23九年级上·江苏连云港·期中）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】设分别与交于、，延长交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图设分别与交于、，延长交于点． 将半径为的扇形沿西北方向平移，即将半径为的扇形向西平移，再向上平移． ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积、平移的性质、勾股定理、扇形以及三角形的面积公式等知识点，正确理解题意得到是解题的关键． 45．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形，若，，交于点．连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而推导，在中，由勾股定理可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得 ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、扇形面积计算、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题关键 十七．化整为零法求面积（共2小题） 46.（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．根据垂径定理得出，证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图，设线段，交于点E， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 47.（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】连接、，根据C，D是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般． 【详解】解：连接、．    ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 十八．半径的计算（共3小题） 48.（20-21九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以为直径作交于点E，连接，.    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O的半径为3 【分析】对于（1），连接，先说明，可得，再根据同角的余角相等得，然后根据“等边对等角”得，进而得出，即可得出答案； 对于（2），设的半径为r，根据勾股定理可得，再根据勾股定理用含有r的式子表示，即可得出关于r的方程，然后求出解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴. ∵是的直径， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴，即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， 设的半径为r，则，， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）． ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理是求线段长的常用方法． 49．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论； （2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点作于，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即的半径长为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 50．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】（1）连接，，利用角平分线的定义和邻补角的定义得到为直角，再利用直径所对的圆周角为直角和平行线的判定定理得到，则得到，由垂径定理的推论得到，则，由圆的切线的判定定理即可得出结论； （2）延长交于点，由垂径定理的，利用矩形的判定定理和性质定理得到，设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，，如图， 、的角平分线与分别相交于点、， ，， ， ， ． 为直径， ， ， ． ， ． 为的中点， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：延长交于点， ，， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中， ， ， ． 的半径为13． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 十九．弧长的计算（共4小题） 51.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C．π D． 【答案】C 【分析】此题考查了弧长公式，n是圆心角度数，R是半径，根据公式代入计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长为． 故选：C． 52.（23-24九年级上·浙江温州·期中）若扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式：求解即可． 【详解】扇形弧长 故答案为：． 53.（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是∶ （1）利用圆周角定理，切线的性质可得出，，利用余角的性质可得出，利用等边对等角可得出，然后等量代换即可得证； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明∶∵是的直径， ∴，即， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设圆的圆心为O，如图，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求出，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设圆的圆心为O，如图，连接， ∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵弧的度数为， ， ， ∵，即， ∴， ∵， ； （2）解：连接， ∵点D、E是半圆弧的三等分点， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 弧的长为 二十．面积的计算（共3小题） 55.（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 56．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂径定理得到，，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接，首先根据垂径定理得到，然后求出，设，则，根据勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接，    ∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）∵，，   ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弓形阴影面积，解题的关键是正确出辅助线． 57．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知为的直径，是弦，于E，于F，连接，，. (1)求证：； (2)若cm，求的值及阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，特殊角三角函数，以及扇形的面积的计算，正确求得的度数是解决本题的关键． （1）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：和的两个角相等，从而证得两个三角形相似； （2）根据中位线定理和角的正弦求出，然后求出是等边三角形，然后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴点F是AC的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 二十一．实际应用中的计算（共3小题） 58.（23-24九年级上·山东济宁·期中）赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（    ） A．25米 B．30米 C．35米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴米． 设圆的半径是R，则， ∴， 解得米． 故选A 59．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记相关结论即可． 【详解】解：如图所示： ∵ ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台 故答案为： 60．（21-22九年级上·福建漳州·期中）如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间． 【答案】轮船从点出发小时后最初遇到台风 【分析】根据题意可得轮船正好在以台风中心为圆心、20海里长为半径的圆上即为轮船最初遇到台风的时间，设小时后最初遇到台风，画出图形（见解析），先求出的长，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意可知，轮船正好在以台风中心为圆心、20海里长为半径的圆上即为轮船最初遇到台风的时间， 因为海里， 所以当台风中心到达点时，轮船恰好在台风区的边界， 所以轮船从点出发到最初遇到台风时，台风中心位于点的下方， 画出图形如下：其中点为台风中心，点为轮船，则海里， 设小时后最初遇到台风，则海里，海里， 海里， 海里， 由勾股定理得：，即， 解得或， 当时，，不符题意，舍去， 答：轮船从点出发小时后最初遇到台风． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、一元二次方程的应用、勾股定理的应用，画出图形，正确建立方程是解题关键 $专题04 圆（21种常考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直接运用勾股定理计算 · 运用“单勾股”列方程 · 运用“双勾股”列方程 · 作圆心到弦的垂线段构造直角三角形 · 弧、弦之间的关系 · 圆周角、弧之间的关系 · 弦、圆心角之间的关系 · 弦、弧、圆心角之间的关系 · 补短法在圆中的应用 · 截长法在圆中的应用 · 有公共点：连半径、证垂直 · 无切点：作半径、证垂直 · 作差法求面积 · 等积法求面积 · 割补法求面积 · 平移法求面积 · 化整为零法求面积 · 半径的计算 · 弧长的计算 · 面积的计算 · 实际应用中的计算 1． 直接运用勾股定理计算（共3小题） 1.（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，①分别以弦的端点，为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；②作直线交于点．若，，则（    ） A．10 B．3 C．8 D．6 2.（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知的直径，弦，，那么圆心O到的距离是 ． 3.（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 2． 运用“单勾股”列方程（共3小题） 4.（21-22九年级上·贵州遵义·期中）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　） A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2 6.（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．已知：，．求残片所在圆的面积．    3． 运用“双勾股”列方程（共3小题） 7.（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰三角形内接于半圆，，半径长为，且直径，则的长为（    ） A． B． C． D． 8.（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ． 9. （23-24九年级上·甘肃定西·期中）的半径为是的两条弦，．求和之间的距离． 4． 作圆心到弦的垂线段构造直角三角形（共1小题） 10．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知是的直径，弦 ，垂足为，，，点在弧上，射线与射线相交于点． (1)求的半径； (2)如图，若时，求的长． 5． 弧、弦之间的关系（共2小题） 13.（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，若，且，求的长度． 14．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，，若，求的长    六．圆周角、弧之间的关系（共3小题） 15.（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，点D是的内心，的延长线和的外接圆相交于点E，连接，，且； （1）的度数为 ； （2）的度数为 ． 17．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 七．弦、圆心角之间的关系（共1小题） 18.（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，则线段 （填“”“”或“”）． 八．弦、弧、圆心角之间的关系（共3小题） 19.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，则（　　） A． B． C． D． 20.（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：． 21.（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦于点H，点F为圆上一点且，连接，过点C作交AB于点G，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 九．补短法在圆中的应用（共3小题） 22.（22-23九年级上·安徽·期中）如图，在和中，，连接，，平分，，交于点F，F为的中点，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 23.（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 24.（21-22九年级上·湖北武汉·期中）如图，为直径，为上一点，于，交于，为中点，交于点．    (1)求证：； (2)若，，求半径和长． 十．截长法在圆中的应用（共2小题） 25．（22-23九年级上·北京·期中）如图：已知的内接等腰直角，，为上一点，连结、、． (1)求证：； (2)若点在上（异于、两点），上述结论是否成立？________（填“是”或“否”），如果不成立，请直接写出新的结论________________． 26．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接． (1)若点P是弧上一点， ①∠BPC度数为 ___________； ②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接． (2) 探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 11． 有公共点：连半径、证垂直（共5小题） 27.（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 28．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，平分． (1)求证：是的切线； (2)延长和交于点，若，求的值； 29．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由． 30.（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 31．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，平分，交于点，是边上的点，经过点，的交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 十二．无切点：作半径、证垂直（共3小题） 32.（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知：如图是的直径，，与分别相切于点、点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为10，设，，求关于的函数解析式． 33.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点、分别为、的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的面积． 34.（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知是的直径，是圆外一点，直线交于点，不重合，平分交于点，过作，垂足为 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 12． 作差法求面积（共3小题） 35.（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 36．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分的面积为 ．    37．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，为的直径，点B为延长线上一点，是的切线，A为切点，且，    (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 十四．等积法求面积（共3小题） 38.（23-24九年级上·浙江温州·期中）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六角星图案，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C．12 D． 39.（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 40.（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，．求阴影部分的面积． 十五．割补法求面积（共3小题） 41.（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在边长为2的等边中，D是边上的中点，以点A为圆心，为半径作圆与，分别交于两点，则图中阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 42.（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，的内接四边形中，，，，，分别以四边形的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 43.（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 十六．平移法求面积（共2小题） 44.（22-23九年级上·江苏连云港·期中）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为 ． 45．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形，若，，交于点．连接，则图中阴影部分的面积是 ． 十七．化整为零法求面积（共2小题） 46.（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 47.（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 ． 十八．半径的计算（共3小题） 48.（20-21九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以为直径作交于点E，连接，.    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 49．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 50．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 十九．弧长的计算（共4小题） 51.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为（　　） A． B． C．π D． 52.（23-24九年级上·浙江温州·期中）若扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的弧长为 ． 53.（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 54．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 二十．面积的计算（共3小题） 55.（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 56．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 57．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知为的直径，是弦，于E，于F，连接，，. (1)求证：； (2)若cm，求的值及阴影部分的面积. 二十一．实际应用中的计算（共3小题） 58.（23-24九年级上·山东济宁·期中）赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（    ） A．25米 B．30米 C．35米 D．50米 59．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台． 60．（21-22九年级上·福建漳州·期中）如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间． $