专题04圆（期中知识清单）（知识导图+7个考点清单+5种题型解读）九年级数学上学期人教版五四制

专题04 圆（考点清单，知识导图+7个考点清单+5种题型解读） l ＝ 【清单01】圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 【清单02】垂直于弦的直径 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【清单03】弧、弦、圆心角 1．弧、弦、圆心角相关概念 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． ⑤顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 2．弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 【清单04】圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【清单05】直线与圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 2．确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 3．直线和圆的关系有三种 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 4．切线的性质和判定 ①切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 5．切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【清单06】正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【清单07】 弧长和扇形面积 1．弧长和扇形面积： ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 2．圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高； ①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 【考点题型一】圆的有关性质 【例1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B． 【变式1-1】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于，则，，设圆形纸片的半径长为，则，，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， 设圆形纸片的半径长为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴圆形纸片的半径长是， 故选：． 【变式1-2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是的内接四边形，，是的直径，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 【变式1-4】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）先由圆内接四边形得出再结合圆周角定理，即可作答． （2）因为弧与弧相等，所以，则，证明等边三角形，所以，即可证明四边形是菱形； 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴ ∴ （2）解：如图：连接 ∵弧与弧相等 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴等边三角形， ∴ 四边形是菱形； 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键 【考点题型二】点、直线与圆的位置关系 【例2】（22-23九年级上·福建莆田·期中）的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在圆外， 故选：C． 【变式2-1】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是（    ）    A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理；过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断． 【详解】解：过点作于，如图，   ， ， 在中，， ， 点在外，所以选项不符合题意； ， 点在外，所以选项不符合题意； ，半径， 直线与相切，所以选项符合题意，D选项符不合题意． 故选：C 【变式2-2】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ， 是直角三角形，且斜边长为10， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为， 故答案为：5 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，   是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-4】（22-23九年级上·广西河池·期中）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识． （1）如图连接，，由是直径知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，再利用，根据等腰三角形的性质知，得到，即得证为切线； （2）由，知，在直角中可利用勾股定理求出，再利用的面积相等求出，然后在直角中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵，知， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型三】弧长和扇形面积 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、圆周角定理，由等边三角形的性质结合圆周角定理得出，再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 故选：C． 【变式3-1】（22-23九年级上·贵州黔西·期中）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（    ） A．该扇形的圆心角为，直径是4 B．该扇形的圆心角为，直径是3 C．该扇形的圆心角为，直径是6 D．该扇形的圆心角为，直径是4 【答案】D 【分析】根据，，可以写出和的形式，然后即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决． 【详解】解：，， ，， 该扇形的圆心角为，直径是4， 故选：D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确扇形的和． 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可； 【详解】∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长； 故答案是：． 【变式3-3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）将如图放置在直角坐标系中，并绕点顺时针旋转至的位置，已知，．则旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作旋转变换及扇形面积的计算，由，得到，求得，，，点为的中点，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：旋转过程中所扫过的图形如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 则旋转过程中所扫过的图形的面积∶ ， 故答案为：． 【变式3-4】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据题意可得出，从而可判断出直线与的位置关系； （2）根据图中阴影部分的面积等于的面积-扇形的面积”即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又∵点A在上， ∴与相切； （2）解：∵的半径为2， ∴， 又∵， ∴， ∴ 【考点题型四】分类讨论思想 【例4】（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理． 【详解】解：如图： 一弦所对的圆心角为，即， ∴ ∴ 该弦所对的圆周角为或， 故选：C 【变式4-1】（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，当时，连接，，先证明三点共线，再证明是等边三角形，得到，则，再利用弧长公式求解即可；当时，则，则为直径，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当时，连接，， ∵， ∴，点D为的中点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长为； 如图所示，当时，则， ∴为直径， ∴弧的长为； 综上所述，弧的长为或， 故选D． 【变式4-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 【答案】或 【分析】 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 分两种情况讨论，当点在上方时，设与相交于点O，连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于，由勾股定理可求，的长，由“”可证，可得，，可求，当点在上方时，同理可求的值． 【详解】解：如图，当点在上方时， 设与相交于点O， 连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于， ∵四边形是正方形， ，， 又∵， ， 又，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 当点P在的下方时， 同理可求， 故答案为：或． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据证明即可； （2）由（1）得：，则，又由可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，即的度数为． （3）分两种情况：①当时，可得是等边三角形，则中，，，则可得，，则；②当时，可得． 【详解】（1）解：在和中， ，，， ． （2）解：由（1）得：， ， ， ， 在中，， 即， ， ， ∴的度数为． （3）解：①当时，如图： ，， ， ， 是等边三角形， 在中，，， ， ， ． ②当时，如图： 是等腰直角三角形， ． 综上，或． 【点睛】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理，弧的度数等于它所对圆心角的度数等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是发现并证明三角形全等，掌握直角三角形的性质和理解“弧的度数等于它所对圆心角的度数”． 【变式4-4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，确足，则称是的“美丽角”． (1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连结交于点P，连结，是的“美丽角”吗？请说明理由； (2)如图2，设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数； (3)如图3，在（1）的条件下，若直径，的“美丽角”为，当时，求的长． 【答案】(1)是的“美丽角”，理由见解析 (2)的“美丽角” (3)3或4 【分析】（1）是的直径，弦，根据垂径定理得等腰三角形，，对顶角相等，可得，是的“美丽角”． （2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，根据弧的度数α，求出圆周角的度数，外角等于不相邻的两个内角的和，可求的度数． （3）连接，利用勾股定理列方程，求． 【详解】（1）解：是的“美丽角”，理由如下： ∵是的直径，弦， ∴平分， 即为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是的“美丽角”． （2）解：∵的度数为α， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵是的“美丽角”， ∴， ∴． ∴的“美丽角”的度数为α； （3）解：如图，连接OC，OD， ∵的“美丽角”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵直径， ∴， ∴； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设， 则， 在中， ∵， ∴， 解得：或， ∴或， ∴当时，； 当时，， 综上可知，的长为3或4． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，勾股定理，本题是新定义型题目，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 【考点题型五】方程思想 【例5】（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．连接，先求出，，设，则，，然后运用等腰三角形的性质分别求得和的值，然后即可解答． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为弦的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即可能是． 故选：C． 【变式5-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在半圆O中，直径，C是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于D，点E是的中点．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，连接，，设的弧度为，求出的弧度为，求出，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时最小，则．图形折叠及三角形边关系的性质是解题关键． 【详解】解：连接，，    设的弧度为， ∴的弧度为：， ∵， ∴的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， ∴的弧度为：， 点为的中点， ∴的弧度为：， ∴的弧度为：， 即所对圆心角为，是等腰直角三角形的斜边，直角边为半径， ∵， 半径为1， ∴， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时最小， ∴． 故选：A． 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，抛物线与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可知点在以为圆心，2为半径的半圆上，则点在以为圆心，1为半径的半圆上，的最小值为，求出即可求解． 【详解】解：如图，作直线，则为抛物线的对称轴，取的中点，连接，， 令，则， 解得或， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∴，， 由中位线的性质可得：， ∴点在以为圆心，1为半径的半圆上运动， 连接交于， ∴， 如图，当A、G、F三点共线时，即与重合，最小， ∴的最小值为， 故答案为： 【变式5-3】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接．    (1)求的度数． (2)若，求的半径． 【答案】(1)； (2)的半径为2． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定以及含的直角三角形的性质的应用． （1）根据垂径定理求出，，根据线段垂直平分线性质求出，，由此可证得为等边三角形，进而可得； （2）先求出，由此可得，进而可设，则，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，过点， ， ， ，过点， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：， ， ， ， 又∵， ， ， 设，则， ∵，且， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即的半径为2． 【变式5-4】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．    (1)若，求的度数； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题； （2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题； ②作，证明四边形为矩形，再根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）如图，连接，    ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 设，则， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，作于点M，于点N，    由①得：， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴由勾股定理得，， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $ 专题04 圆（考点清单，知识导图+7个考点清单+5种题型解读） l ＝ 【清单01】圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 【清单02】垂直于弦的直径 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【清单03】弧、弦、圆心角 1．弧、弦、圆心角相关概念 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． ⑤顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 2．弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 【清单04】圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【清单05】直线与圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 2．确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 3．直线和圆的关系有三种 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 4．切线的性质和判定 ①切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 5．切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【清单06】正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【清单07】 弧长和扇形面积 1．弧长和扇形面积： ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 2．圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高； ①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 【考点题型一】圆的有关性质 【例1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是的内接四边形，，是的直径，则的度数是 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【变式1-4】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【考点题型二】点、直线与圆的位置关系 【例2】（22-23九年级上·福建莆田·期中）的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【变式2-1】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是（    ）    A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【变式2-2】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    【变式2-4】（22-23九年级上·广西河池·期中）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，，求． 【考点题型三】弧长和扇形面积 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23九年级上·贵州黔西·期中）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（    ） A．该扇形的圆心角为，直径是4 B．该扇形的圆心角为，直径是3 C．该扇形的圆心角为，直径是6 D．该扇形的圆心角为，直径是4 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）将如图放置在直角坐标系中，并绕点顺时针旋转至的位置，已知，．则旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【变式3-4】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【考点题型四】分类讨论思想 【例4】（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离． 【变式4-4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，确足，则称是的“美丽角”． (1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连结交于点P，连结，是的“美丽角”吗？请说明理由； (2)如图2，设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数； (3)如图3，在（1）的条件下，若直径，的“美丽角”为，当时，求的长． 【考点题型五】方程思想 【例5】（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在半圆O中，直径，C是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于D，点E是的中点．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，抛物线与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接．    (1)求的度数． (2)若，求的半径． 【变式5-4】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．    (1)若，求的度数； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $