第3章 第3节 第2课时 导数与函数的最值-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的最值”核心考点，依据高考评价体系梳理定义理解、求法应用、实际建模三大考查模块。通过回归教材夯实基础概念，基础自测辨析极值与最值区别等易错点，结合高考真题改编题归纳具体函数、含参数函数、实际应用三大常考题型，精准对接高频考点。 课件亮点在于“基础梳理-考点突破-真题实战”的系统备考策略，如通过含参数函数最值例题总结分类讨论方法，培养数学思维。以生物种群数量模型案例展示数学语言表达现实问题，帮助学生掌握导数应用答题技巧，教师可利用规律方法与易错警示精准教学，助力高效冲刺。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第三章 一元函数的导数及其应用 第三节 第三章　一元函数的导数及其应用 导数与函数的极值、最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第三节　导数与函数的极值、最值 导数与函数的最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 求函数的最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 根据函数的最值求参数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 最值的实际应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十四） 本部分内容讲解结束 函数的最值 (1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值． f(a)　 f(b)　 f(a)　 f(b)　 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值. 【常用结论】 若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值．(　　) × 若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值不一定是[a，b]上的最大值，f(x)可能在端点处取得最大值． (2)若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得．(　　) × 若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定不是x＝a和x＝b时取得． (3)如果函数f(x)的定义域为(a，c)，且f(x)在(a，b]上递减，在[b，c)上递增，则f(x)的最小值为f(b)．(　　) √ 由单调性可知，函数f(x)在区间(a，c)内有唯一的极小值点x＝b，且根据单调性可知其为最小值点，即最小值为f(b)． (4)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　　) × 反例：f(x)＝x2在区间(－1,2)上的最小值为0. 2．(人A选二P93 例6改编)函数f(x)＝x3－x2＋1在区间[0,2]内的最小值为(　　) A． B． C． D． 由题意，得f′(x)＝3x2－2x，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在区间[0,2]内有极小值，也是最小值，最小值为f＝.故选D. 3．已知函数f(x)＝－2ln x＋x2＋ax在(1,2)上有最值，则a的取值范围是(　　) A．(－3,0) B．(－∞，－3) C．(0，＋∞) D．(0,3) 由题意可得f′(x)＝－＋2x＋a(x>0)，f′(x)在(1,2)上单调递增，若f(x)在(1,2)上有最值，则f(x)在(1,2)上不单调，所以解得－3<a<0.故选A. 4．(苏教选一P230T7改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 32 角度1　求具体函数的最值 【例1】　(1)若x＝是函数f(x)＝ax2＋ln(3x)的一个极值点，则当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－2＋ln 3 B．－＋ln 3－1 C．－＋ln D．－2e2＋ln 3＋1 由f(x)＝ax2＋ln(3x)求导，得f′(x)＝2ax＋，依题意，f′＝2a×＋＝a＋2＝0，解得a＝－2，此时，f(x)＝－2x2＋ln(3x)，则f′(x)＝－4x＋＝，又x>0，故当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0，即函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，即是f(x)的极大 值点．又因为x∈，故得函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．又f＝－＋ln 3－1，f(e)＝－2e2＋ln 3＋1，显然f>f(e)，故f(x)的最小值为f(e)＝－2e2＋ln 3＋1.故选D. (2)(2025·吉林模拟)已知函数f(x)＝e2x＋ex－x. ①求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 因为f(x)＝e2x＋ex－x，则f′(x)＝2e2x＋ex－1，可得f(0)＝2，f′(0)＝2，即切点坐标为(0,2)，切线斜率为k＝2，所以切线方程为y＝2x＋2. ②当x∈[－1,0]时，求函数f(x)的最大值与最小值． 由①可得f′(x)＝2e2x＋ex－1＝(ex＋1)(2ex－1)，且x∈[－1，0]，则ex＋1>0，令f′(x)>0，则2ex－1>0，解得－ln 2<x≤0；令f′(x)<0，则2ex－1<0，解得－1≤x<－ln 2.可知f(x)在[－1，－ln 2)内单调递减，在(－ln 2,0]内单调递增，又因为f(－1)＝＋1，f(0)＝2，f(－ln 2)＝＋ln 2，且＋1<2，所以函数f(x)的最大值为2，最小值＋ln 2. [规律方法]　求函数f(x)在区间[a，b]上最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)其中一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出(a，b)上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成. 角度2　求含参数函数的最值 【例2】　(1)已知函数f(x)＝x.讨论f(x)的最值； 由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－＝，当a≤0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，无最大值，无最小值；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，当x∈时，f′(x)<0， f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故当x＝时，f(x)取得最小值，且最小值为f＝1＋ln a，无最大值．综上，当a≤0时，f(x)无最大值，无最小值；当a>0时，f(x)的最小值为1＋ln a，无最大值． (2)(2025·安徽黄山质检)已知函数f(x)＝x2－4ax＋a2ln x在x＝1处取得极大值． ①求a的值； 由已知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－4a＋＝＝，令f′(x)＝0得x＝a或x＝，当a＝1时，令f′(x)>0得0<x<或x>1，令f′(x)<0得<x<1，故函数f(x)在上单调递增，在 上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在x＝处取极大值，在x＝1处取极小值，与函数f(x)在x＝1处取得极大值不符；当＝1，即a＝3时，令f′(x)>0得0<x<1或x>3，令f′(x)<0得1<x<3，故函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在x＝1处取极大值，在x＝3处取极小值，符合题意，所以a＝3. ②求f(x)在区间上的最大值． 由①得f(x)＝x2－12x＋9ln x，f′(x)＝，x∈.令f′(x)>0，得≤x<1，函数f(x)单调递增，令f′(x)<0，得1<x≤e，函数f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－12＝－. [规律方法]　含参数函数的最值问题 若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，分析函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【对点练】 1．(角度1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝aln 1＋b＝b＝－2.因为f′(x)＝－，所以f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f′(x)＝－＋，f′(2)＝－＋＝－.故选B. 2．(角度1)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1x2的最小值为________． －e 令f(x1)＝g(x2)＝t，则x1＝et，x2＝t－2，x1x2＝(t－2)et，令h(t)＝(t－2)et，求导得h′(t)＝(t－1)et，当t<1时，h′(t)<0；当t>1时，h′(t)>0.所以函数h(t)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(t)min＝h(1)＝－e. 3．(角度2)设a∈R，f(x)＝ln x－ax＋1.若函数y＝f(x)的图象都在x轴下方(不含x轴)，则a的取值范围是_____________. (1，＋∞)　 f′(x)＝－a＝，x>0， ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且x→＋∞，f(x)→＋∞，显然不符合题意． ②当a>0时，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0； f(x)在上单调递增，上单调递减，f(x)max＝f ＝ln＝－ln a<0，解得a>1.综上，a的取值范围是(1，＋∞)． 【例3】　(1)若函数f(x)＝ln x－ax在区间(0，＋∞)上的最大值为0，则f(e)＝(　　) A．0 B． C．1 D．e f′(x)＝－a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值．当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当a>0时，f(x)有最大值，最大值为f＝ln－1＝0，所以a＝，所以f(e)＝0.故选A. (2)若函数f(x)＝2x＋＋3ln x在(a,2－3a)内有最小值，则实数a的取值范围是______________． 函数f(x)＝2x＋＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－＋＝＝，令f′(x)＝0可得x＝1或x＝－(舍)，当0<x<1时f′(x)<0；当x>1时f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即最小值，又因为函数f(x)在(a,2－3a)内有最小值，故0≤a<1<2－3a，解得0≤a<，所以a的取值范围是. [规律方法]　 已知函数最值求参数的步骤 (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值． (2)比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值． (3)结合已知求出参数. 【训练1】　(1)(2025·河北联考)已知函数f(x)＝ax－ln x的最小值为0，则a＝________. 由f(x)＝ax－ln x，得f′(x)＝a－＝，x>0.若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无最小值，则a>0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝0，解得a＝. (2)已知函数f(x)＝x－ln(mx)，若对∀x>0，f(x)≥0，则实数m的取值范围为________. (0，e]　 由题意可知，m>0，f′(x)＝1－＝，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝1－ln m，因为对∀x>0，f(x)≥0，所以1－ln m≥0，解得0<m≤e. 【例4】　(2025·江苏苏州模拟)生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数f(x)＝(a≠0)来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等． (1)记f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)＝f(x)[1－f(x)]，求a； 因为f(x)＝＝(a≠0)，所以f′(x)＝，此时f(x)[1－f(x)]＝·，因为f′(x)＝f(x)[1－f(x)]，所以＝·，即aex＝aex(ex＋1－aex)，由a≠0，ex>0，所以1＝ex＋1－aex，解得a＝1. (2)若y＝K(K>0)是f(x)的渐近线，则我们称K为该生态系统的K值．在(1)的条件下，某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其K值为K.通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量(即f(x)瞬时变化率最大)． 由(1)，知f(x)＝，要函数f(x)瞬时变化率最大，即求g(x)＝f′(x)＝的最大值，则令g′(x)＝＝0⇒－e2x＋ex＝0，令ex＝t>0，则－t2＋t＝0, 解得t＝0(舍)，t＝1，解得x＝0.因此可列表： x (－∞，0) (0，＋∞) g′(x) ＋ － g(x)   因此可得x＝0是g(x)的极大值点，因此在x＝0时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，因此f(0)＝＝.而f(x)＝＝1－<1，因此可知当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量． [规律方法]　用导数解决最优化问题的基本思路 最优化问题→用函数表示数学问题→用导数解决数学问题→最优化问题的答案. 【训练2】　对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和生产收入z(单位：万元)都是产量x(单位：t)的函数，分别为y＝x3－24x2＋225x＋10，z＝180x. (1)试写出该企业获得的生产利润w(单位：万元)与产量x之间的函数关系式； 因为总利润＝总收入－总成本，即w＝z－y，所以w＝w(x)＝180x－(x3－24x2＋225x＋10)，即w＝－x3＋24x2－45x－10(x≥0)． (2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 根据导数公式表及导数的运算法则，可得w′(x)＝－3x2＋48x－45＝－3(x－1)(x－15)，解方程w′(x)＝0，得x1＝1，x2＝15，当0<x<1或x>15时，w′(x)<0，当1<x<15时，w′(x)>0，所以函数w＝w(x)在(0,1)，(15，＋∞)上单调递减，在(1,15)上单调递增．又w(15)＝1 340，所以函数w＝w(x)在x＝15处取得最大值，此时最大值为1 340.即该企业的产量为15t时，可获得最大利润，最大利润为1 340万元． $$