第16讲 指对幂函数比较大小讲义-2026届高三数学一轮复习

第16讲 指对幂函数比较大小 知识点一：指、对、幂数比较大小的一般方法 1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3.作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4.估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5.构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6、放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 知识点二：比较大小的其它方法 7.利用函数与方程的思想构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． 8.转化为两函数图象交点的横坐标 9.特殊值法 10.基本不等式法 11.平方法 常用放缩表达式 1. 常见的指对放缩 ，，， 2. 常见的三角函数放缩 3. 其他放缩 ，， ，， ， ， 放缩程度综合 常见函数的泰勒展开式： 泰勒公式： 泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法． 【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式： 其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量． （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 常见函数的泰勒展开式结论： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 构造函数 1.构造函数的重要依据 2.常见构造类型 ， 方法技巧 1构造相同函数，比较不同函数值 2构造不同函数，比较相同函数值 3.构造不同函数，比较不同函数值 这个时候，不等式放缩就是首选之道了! 4.先同构，再构造，再比较 当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小. 比较大小专题：指数对数幂函数比较大小 题型1 指数函数 ◆类型1 同底数型 ◆类型2 不同底数化同底数型 ◆类型3 找中间值法 ◆类型4 单调性与中间值的运用 ◆类型5 单调性的运用 题型2 对数函数 ◆类型1 同底数型 ◆类型2 不同底化同底型 ◆类型3 找中间值法 ◆类型4 单调性与中间值的运用 ◆类型5 单调性与作差作商法的运用 题型3 幂函数24 题型4 指数对数幂函数综合 ◆类型1 找中间值型 ◆类型2 单调性及中间值的运用 ◆类型3 指数对数化简计算在比较大小中的运用 题型5：利用换底公式比较大小 题型6：分离常数再比较大小 题型7：乘倍数比较小 导数与比较大小（构造函数比较大小专题 ） 题型1：直接利用单调性 题型2：引入媒介值 题型3：含变量问题 题型4：构造函数 题型5：数形结合 题型6：特殊值法、估算法 题型7：放缩法 题型8：不定方程 题型9：泰勒展开 题型10：同构法 题型11：帕德逼近估算法 过关测试 第一部分：指对幂函数比较大小基础 题型01：指数函数 一：同底数型 1.利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）和；（2）和；(3)，； 【解析】（1）因为指数y=2x函数在(-∞，+∞)上是增函数，又，所以. 因为指数函数y=0.6x在(-∞，+∞)上是减函数，又，所以. （3）由于对数函数在上单调递增，得：. 2.比较下列各式大小． ①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62； 【解析】：①，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73. ②∵y＝0.6x是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62. 3.比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，． 【答案】(1)(2) (3)当时，；当时，； 【分析】（1）利用函数是增函数可求解；（2）利用函数是增函数可求解； （3）分类讨论，及时，函数的单调性，进而求解. (1)因为函数是增函数，且，所以 (2)因为函数是减函数，且，所以 (3)当时，函数是增函数，且，所以； 当时，函数是减函数，且，所以； 4．设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性性质可知，函数在 R上为单调增函数 由题知，，选项D正确.故选：D. 5.利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）； （2）； （3） 【解析】（1）3.10.5<3.12.3；（2）； （3）当a>1时，a2.4>a2.1，当0<a<1时，a2.4<a2.1. 6.若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据指数函数为上的减函数比较即可得答案 【详解】解：因为函数为上的减函数，且，所以，因此.故选：B. 二：不同底数化同底数型 1．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a、b、c化为形式，由的单调性判断大小关系. 【详解】，，∵递增，且，∴，即.故选：B. 2.0.8－0.1______1.250.2； 【答案】：∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. 3．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性判断，，与的大小关系即可求解. 【详解】，因为在上单调递减，因为，所以，即，所以，故选：B. 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数的性质比较． 【详解】∵是增函数， ，，∴，即．故选：C． 【点睛】本题考查幂的大小．幂能化为同底数的幂时，化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，如果不能化为同底数的幂，可借助中间值如1进行比较． 5．若，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A．a>b>c>d B．b>a>d>c C．b>a>c>d D．a>b>d>c 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】解：， 另外，则b>a，则c>d故b>a>c>d故选：C. 6．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用指数函数的单调性判断出三者的大小关系. 【详解】，由于在上递增，且，所以故选：D 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接求出的值，即可得答案； 【详解】 ， ，故选：C. 三：找中间值法 1． ，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质判断可得； 【详解】解：因为指数函数，它在R上是减函数，又，∴， 因为指数函数，它在R上是增函数，又，所以， ∴，故选：B. 2.比较下列各组数的大小： ⑴，，1；（2）1.70.3______0.93.1. 【解析】(1)∵>1,<1，∴<1<.（2）∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1. 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中间值比较大小即可. 【详解】解：根据题意，，，所以．故选：B． 4．三个数，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质和指数幂的运算，求得的范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，，又由，所以.故选：A. 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别比较、和1的大小，即可求解. 【详解】根据题意，因为，，所以.故选：B. 6．已知，，，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断出a、b、c的范围，与0、、1比较大小，即可得到结论. 【详解】因为，所以.因为，所以. 而，所以，故.故选D. 7．三个数，，之间的大小关系是（    ） A．﹤﹤ B．﹤﹤ C．﹤﹤ D．﹤﹤ 【答案】C 【分析】判断a、b、c与1的大小关系进行大小比较. 【详解】因为，所以﹤﹤.故选：C 【点睛】指、对数比较大小： （1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 四：单调性与中间值的运用 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数的单调性，利用中间值比大小 【详解】是增函数，因为，所以，故因为是减函数，故，而故故选：D 2.设，，，则、、的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、三个数的大小关系. 【详解】由指数函数在上单调递减，在上单调递增，可知，，故，故选：C. 3.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】∵是减函数，，所以，又，∴． 故选：C． 4．若，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质比较大小即可 【详解】因为在上为减函数，且，所以，即， 因为在上为增函数，且，所以，即，所以，故选：C 5．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得. 【详解】由指数函数的单调性可得，， ，所以.故选：D 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数的单调性确定正确选项. 【详解】在上递减，，即.故选：D 五：单调性的运用 1．设，，中，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】因为指数函数是单调减函数，，所以，即； 因为幂函数在上是增函数，，所以，即． 综上，．故选：C． 【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键． 2.若，则a､b､c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即， 所以，即故选：A 3．设，，，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用指数函数的单调性可比较、的大小关系，利用幂函数的单调性可比较、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】，，因此，.故选：B. 4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减所以，故.故选：B 5． ，这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】， 故选：B 题型2 对数函数 一：同底数型 1．比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，． 【答案】(1)(2) (3)当时，；当时，； 【分析】（1）利用函数是增函数可求解； （2）利用函数是增函数可求解； （3）分类讨论，及时，函数的单调性，进而求解. (1)因为函数是增函数，且，所以 (2)因为函数是减函数，且，所以 (3)当时，函数是增函数，且，所以； 当时，函数是减函数，且，所以； 2.比较下列各题中两个值的大小 （1） ;(2) ； 【解析】(1)y=log3x,单调递增，;(2) a>1时，y=logax单调递增，∴;0<a<1时，，y=logax单调递减，∴ 3．比较下列各组数中两个数的大小： （1），；    （2），； （3），；    （4），. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】根据对数函数的单调性，比较可得答案. 【详解】解：（1）因为函数在上单调递增，且，所以，综上所述：； （2）因为函数在上单调递减，且，所以，综上所述：； （3）因为函数在上单调递增，且，所以，综上所述：； （4）因为函数在上单调递增，且，所以，综上所述：. 4.比较下列各对数的大小（填“>”“<”或“=”）： （1）____________；（2）________； （3）________；（4）___________； 【答案】     <     <     >     <    【分析】直接利用对数函数的单调性得到答案. 【详解】根据对数函数单调性知： （1），（2），（3），（4）； 5．比较下列各组数的大小． (1)log3.10.5与log3.10.2；(2)与； 【答案】(1)log3.10.5>log3.10.2(2) 【分析】（1）由在(0,＋∞)上是增函数，即可求得结果. （2）由在(0,＋∞)上是减函数，即可求得结果. (1)因为在(0,＋∞)上是增函数，所以log3.10.5>log3.10.2. (2)法一：因为在(0,＋∞)上是减函数，所以. 法二：＝－3，＝－2，由－3<－2知. 6．比较下列各组数中两个数的大小： （1），；    （2），； 【答案】（1）； （2）. 【分析】结合对数函数的单调性和运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）由对数函数在上为单调递增函数，又由，所以. （2）由对数函数在上为单调递减函数，又由，所以. 7．比较下列各题中两个值的大小： （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 【分析】构造相应的对数函数，结合对数函数单调性比较即可. 【详解】解：（1）设函数，由于，故函数在为增函数，因为，所以 ； （2）设函数，由于，故函数在为减函数，因为，所以 ； （3）设函数，由于，故函数在为减函数，因为， 所以 ； （4）设函数，由于，故函数在为增函数，因为， 所以 . 【点睛】本小题主要考查利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 二：不同底化同底型 1．比较大小： ______ 【答案】 【解析】根据对数运算性质以及对数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以故答案为： 【点睛】本题考查对数函数性质，考查基本分析判断能力，属基础题. 2.设，，，则，，三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算变形、，再根据对数函数的性质判断即可； 【详解】解：，，因为函数在定义域上单调递增，且，所以，即， 故选：D 3．比较下列各组数的大小： （1）； （2）. （3）; 【答案】 （1）； （2）.（3） 【分析】根据对数的运算公式和对数函数的单调性，逐项比较，即可求解. 【详解】（1） 因为，所以，即. （2） 因为，所以< ，即. （3） 因为, 且,故 4．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数运算法则可得，根据的单调性可得大小关系. 【详解】，在上单调递减且， ，即.故选：B. 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数的图象与性质得到，再由对数的换底公式和性质，得到，得出，即可求解. 【详解】由对数函数的图象与性质，可得， 由对数函数的运算性质，可得，， 又由，可得，即，所以.故选：A. 三：找中间值法 1.已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】，即；，即； ，即，所以.故选：C 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 2.比较下列各组中两个值的大小． （1），；（2）， 【答案】（1）；（2） 【分析】利用对数函数的中间值比较大小即可. （1）由对数函数在上单调递增，在上单调递减， 得，即：. （2），，即，，所以 3.设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定题中，，的取值范围，再根据大小排序即可. 【详解】由题知，，，， 所以排序得到.故选：D. 【点睛】本题主要考查了比较指数对数的大小问题，属于基础题. 4．已知，，，则，，的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用中间量和比较可得答案. 【详解】，，，所以.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用中间量和比较是解题关键. 5．已知,,，则,,的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，,，所以.故选：A. 6.已知,,，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较即可得答案. 【详解】由，所以，所以 ，所以 所以 故选：D 6．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性比较. 【详解】因为，，， 所以，故选：D 四：单调性与中间值的运用 1．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案. 【详解】解：由题意，，，，即，，，而，所以， ，而，即，又，，而，则，即， 同理，，，而，则，即， 综上得：，所以.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，与中间值1，，比较，以及运用公式进行化简是解题的关键，考查学生的化简运算和推理能力. 2．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数性质、对数换底公式结合均值不等式计算、判断作答. 【详解】对数函数都是上的增函数，，于是得，，而，而，于是得：，所以有.故选：C 3．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性，分别计算，，的范围即可比较大小. 【详解】因为，所以，即， 可得，即， 因为，所以，即， 所以，又，可得， 因为，故 所以，即， 所以，即，所以， 故选：D． 4．已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性可知，，，据此可得答案. 【详解】因为，，, 又 ， 所以，，，所以. 故选：D. 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解. 【详解】解：因为为单调递增函数，所以.因为，所以． 故选:B． 6．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【答案】B 【分析】函数和都在上单调递增，可得出，，结合，，可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 而，，所以， 又因为函数在上单调递增，所以， 所以，即. 故选：B. 【点睛】本题考查几个数比较大小，考查对数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 五：单调性与作差作商法的运用 1．比较大小. 【答案】 【解析】分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.,同理可证. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题. 2.，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把，，分别转化为，，，利用的单调性判断出，即可得到结论. 【详解】，，. 因为在上为增函数，所以， 所以． 故选：C. 3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a 【答案】B 【分析】根据中间量以及作商法比较大小. 【详解】∵， ∴，∴a>b，∴a>b>c，故选：B. 题型03：幂函数 1．比较下列各组数的大小： (1)，；(2)，；(3)，，． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小. （2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小. （3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较. （1）因为幂函数在上单调递减，且，所以． （2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以． （3），，，因为幂函数在上单调递增，所以． 2.比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，；(4)，． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）依据幂函数在的单调性即可进行大小比较； （2）依据幂函数在的单调性即可进行大小比较； （3）依据幂函数在的单调性即可进行大小比较； （4）依据幂函数在的单调性即可进行大小比较. (1)函数在单调递增，由可知， (2)函数在单调递增，由可知， (3)函数在单调递减，由可知， (4)函数在单调递减，由可知， 3.已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可. 【详解】，因为函数是实数集上的增函数， 所以由可得：，即， 故选：C 4.(1)，1，(2)， 【答案】(1)；(2)； 【分析】(1)根据幂函数y＝的单调性即可判断大小； (2)根据幂函数的单调性即可判断大小； （1），幂函数在区间上是增函数，故； （2），幂函数在上减函数，故； 5., 【解析】 幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜1.21.∴<< 6.设，则a，b，c的大小关系是________． 【答案】 【解析】∵函数是增函数，∴，又∵函数是减函数，∴，∴. 7.若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是________． 【答案】　5a＜0.5a＜5－a 【解析】　5－a＝a，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a. 8．若，则a､b､c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以，即 故选：A 题型04：指数对数幂函数综合 一：找中间值型 1．已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性及中间值比大小. 【详解】，且，故，，故.故选：B 2.已知，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找中间值0和1，比较a、b、c和它们的大小即可. 【详解】∵，，， ∴.故选：D. 3．已知a＝，b=，c＝，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b 【答案】C 【分析】根据中间值较大小. 【详解】因为，且，故；又，故； 又，故；故.故选：C. 4． 这三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别比较与中间值0和1的大小关系即可得答案. 【详解】解：因为，，， 所以，故选：C. 5．已知，则a，b，c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断a、b、c与0和1的大小关系即可比较它们的大小关系. 【详解】，，， 即，∴.故选：B. 6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对数函数的性质比较a，b，c的大小即可. 【详解】由， 所以.故选：B 9．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系. 【详解】由题意知，，即，，即， ，又， 即，∴．故选：A 二：单调性及中间值的运用 1.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】∵是减函数，，所以， 又，∴．故选：C．（中间值与单调性） 2.设，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案． 【详解】，，，又在上单调递增， ，，故选：C． 3．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别比较a、b、c与0和1的大小即可判断它们之间大小关系. 【详解】，，， .故选：C. 4．设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性及中间值比大小. 【详解】因为，，在定义域上单调递减， 故，，， 所以.故选：A 5．已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性比较的大小，再用作中间量可比较出结果. 【详解】因为指数函数为递减函数,且,所以，所以， 因为，，所以，综上所述：.故选：A 6．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，并与0比较，即可判断. 【详解】当时，的图象在的图象的下方，所以， 又，所以，故选：B 7.设，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比大小. 【详解】由已知得，，且， ，所以.故选：A. 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数与对数的运算性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得，又由指数函数的性质，可得且，即，由，又由， 所以.故选：C. 9．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】故选：B 10．已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性求解. 【详解】解：因为，，所以， 故选：D 11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、对数函数的性质判断． 【详解】，，∴，故选：A． 12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数、指数函数和幂函数的单调性直接比较大小即可. 【详解】依题意，，，而，即，故.故选：C． 三：指数对数化简计算在比较大小中的运用 1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由， 所以.故选：D 2.设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系. 【详解】，；，，，即，又，.故选：C. 3． 、、这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将指数幂化为根式的形式，即可直接得出结果. 【详解】，，，因为，所以 . 故选：B. 4．设，，，则，，三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算变形、，再根据对数函数的性质判断即可； 【详解】解：，，因为函数在定义域上单调递增，且，所以，即， 故选：D 5.已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的运算性质进行判断即可 【详解】 ，   ，．故选：B． 四：利用换底公式比较大小 1.设，，为正数，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，，为正数，令，则，因此有：，，，又函数在上单调递增，而，则， 于是得，所以.故选：D 2.设a=log32，b=ln2，c，则a､b､c三个数的大小关系是（       ） A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 【答案】D 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∴log32ln2，∴a<b<1，∵c50=1，∴c>b>a，故选：D. 3.已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】运用对数运算公式化简及对数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为，，所以，， 所以，即：，所以，故①正确，②错误； 又因为，所以，所以，即：， 所以，故③正确，④错误．故选：B. 4.设，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，，所以，所以，故排除A、B选项；又，且，所以， 故选：D. 5.设，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，因为，所以，由，因为，所以，因此，由，，于是有：，因为， 所以，因为，所以，即，故选：B 题型06：分离常数再比较大小 1.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质化简可得，结合对数函数的单调性即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得：， ，， 因为，则，所以.故选：A． 2.已知，，，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， ，因为函数在上单调递增，所以，则，所以.故选：D． 题型07：乘倍数比较小 1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A. 2.已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（       ） A．a<b<c B． C． D． 【答案】B 【详解】，，所以，所以 又因，，所以，所以 所以，故选B 第二部分：高考指对幂比较大小综合题型 题型01：直接利用单调性 1.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，则，即， 因为，， 所以，所以，则，即， 又，所以， 所以. 故选：D 2．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，又，因为，单调递增，所以. 故选：C 3.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，幂函数在上单调递增， 又，所以， 所以， 又对数函数在上单调递减，所以， 故. 故选：D. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由在上递增比较a，b，再由在上递减，得到比较即可. 【解答过程】因为在上递增，且， 所以，即， 又在上递减， 所以， 所以. 故选：D. 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案． 【解答过程】由，，， 则，， 又，， 则，即， 所以． 故选：D． 6.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在R上单调递增，可得，又， 则． 由在上单调递增，可得． 由在上单调递增，可得． 所以， 故选：A． 7.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增， 所以，即， 因为在定义域内单调递减，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 综上：. 故选：D 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断的范围，即可得答案. 【解答过程】因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数， 故， 所以, 故选:D. 9.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解. 【解答过程】，，即， ， 下面比较与的大小，构造函数与， 由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，      当时，；当时， 由，故，故，即， 所以， 故选：A. 10.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为定义域上单调递减，故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；又，满足必要性，故选：C 11.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值比较大小. 【详解】因为在R上单调递减，故，即，因为在上单调递增，故，因为在上单调递减，故， 故.故选：C． 12.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，比较大小，即可得答案. 【详解】因为函数是R上的增函数，故，即，而，故，故选：C 13.已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先可得，再根据对数函数的性质得到，即可判断. 【详解】因为，所以，又，， 因为，，，所以，则，即，所以.故选：B 题型02：引入媒介值 1.已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数单调性和中间值比较出大小. 【解答过程】， 故. 故选：B. 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解. 【解答过程】，又因为通过计算知，所以，即， 又，所以，所以. 故选：B. 3.已知，，，则（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故.故答案为：C. 4.若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数为增函数可知，由为增函数可得，由由为增函数可得，，，故选:D 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为，， 又因为， 所以，， 所以，，即. 故选：C. 6.设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，， ，而，所以. 故选：B 7.设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，，因此，. 故选：A. 8.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数的性质求得、，即可判断大小关系. 【解答过程】由， 由，则， 所以，即. 故选：C. 9.故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以， 故选：D 10.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故选：A. 11.已知，，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，即， ，即， ，故 故选：B 12.若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，所以.故选：C. 13.已知，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以.故选：C 14.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，故.又，故.， ，故选：A 题型03：作差作商 1.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系. 【解答过程】因为，所以； 又因为，所以； 综上所述：. 故选：C. 2.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用作差法结合基本不等式可得出、的大小关系，利用中间值结合指数函数、对数函数的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为，所以，，则， 因为， 所以，，则，所以 因为 ，即，因此，. 故选：C. 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】，，作商，利用基本不等式可得，得，根据对数函数的单调性可得. 【解答过程】，， ， 所以， ， 所以. 故选：A. 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先证明，利用比商法结合基本不等式证明，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明即可得结论. 【解答过程】因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以，故， 因为， 又，所以，所以， 所以，又， 所以， 所以， 故选：A. 题型04：含变量比较大小 1.（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项中，因为，故在R上单调递减，故， 因为在上单调递增，故，综上，，A正确； B选项中，由于，而已知，所以B不正确； C选项中，， 设，则， 设， 则， 所以在上递增，这样，故C正确； D选项中，取，，则，， 又，故，所以D错误. 故选：AC. 2.已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】且、、均为不等于的正实数， 则与同号，与同号，从而、、同号. ①若、、，则、、均为负数， ，可得，，可得，此时； ②若、、，则、、均为正数， ，可得，，可得，此时. 综上所述，. 故选：D. 3.已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案. 【解答过程】解：设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以. 故选：C． 4.已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】且、、均为不等于的正实数， 则与同号，与同号，从而、、同号. ①若、、，则、、均为负数， ，可得，，可得，此时； ②若、、，则、、均为正数， ，可得，，可得，此时. 综上所述，. 故选：D. 5.已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案. 【解答过程】解：设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以. 故选：C． 6.设且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 则 因为，所以，则， 因为，所以． 故选：A． 7.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【解题思路】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案． 【解答过程】， 故令，则，． 易知和均为上的增函数，故在为增函数． ∵，故由题可知，，即，则． 易知，， 作出函数与函数的图象，如图所示， 则两图象交点横坐标在内，即， ， ． 故选：B． 8.设，，若a，b，c互不相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点，可判断C，D. 【解答过程】由，可得，因为，所以，故A正确； 当时，，若，则， 故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确， 因为，， 可将看成函数与图象的交点横坐标， 当时，图象如下图， 可得：，此时. 当时，图象如下图， 可得：，此时，所以C不正确，D正确； 故选：ABD. 9.已知x，y，z都为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，则，，， 所以，B错误； （注意等号不成立），故，A正确； （注意等号不成立），则，C正确， 由，令且， 则， 由， 因为，故， 综上，，即在上单调递减， 所以，故恒成立，即，D正确. 故选：ACD 10.已知当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，令，，则， 令，，则，A正确； 因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误； 由得，，即， 于是，，，…，， 以上各式相加有，即，C正确； 由得，，因此， 设，， 则，所以，D正确． 故选：ACD 11.多选题已知正实数a，b，c满足，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由正实数a，b，c，以及，可得， 又，所以． 所以，又，所以， 即，等价于， 构造函数， ， 当时， 故在上递增，从而． 又取时，原式为同样成立， 故CD不正确， 故选：AB 12.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【解题思路】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案． 【解答过程】， 故令，则，． 易知和均为上的增函数，故在为增函数． ∵，故由题可知，，即，则． 易知，， 作出函数与函数的图象，如图所示， 则两图象交点横坐标在内，即， ， ． 故选：B． 13.设，，若a，b，c互不相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点，可判断C，D. 【解答过程】由，可得，因为，所以，故A正确； 当时，，若，则， 故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确， 因为，， 可将看成函数与图象的交点横坐标， 当时，图象如下图， 可得：，此时. 当时，图象如下图， 可得：，此时，所以C不正确，D正确； 故选：ABD. 题型05：构造函数比较大小 1.若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意到，后利用函数单调性可得答案. 【详解】由题有.因函数均在上单调递增，则函数在上单调递增.注意到，则，即.故选：B 2.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由题意，在中，的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近.这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近. ∵所以随着的增大，比值越来越小，且趋向1.∴是上的减函数；∴，故选：B. 3.设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 4.设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 易知，且， 所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减， 即，在时取得等号， 且，在时取得等号，则，在时取得等号， 所以，即. 故选：D 5.设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，的定义域为， ，令可得：，令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，即， 变形可得，即，所以； 又，所以，又因为， 所以，综上，， 故选：B． 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 因为，所以，而， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 综上，. 故选：B． 7.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递增； 又，所以， 所以； ，， 设，， ，所以函数在区间上单调递减， 所以， 所以，又， 所以，则， 综上，. 故选：C. 8.已知实数满足，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案. 【解答过程】设， 在上单调递增， 又，所以； 设 ， 在上单调递减， 又，所以 ， 因为，所以. 综上可知，. 故选：B. 9.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数的性质判断得，利用分母有理化判断得，利用构造函数法与导数判断得，从而得解. 【解答过程】由，可得，即， 而， 设，则， 所以在上是减函数，所以，即， 所以． 故选：C． 10.记，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数单调性即可比较，通过放缩法即可比较大小. 【解答过程】设，，则， 则在上单调递增，， 则，即，即， ， ，则. 则. 故选：B. 11.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造、利用导数研究单调性，即可比较各数的大小. 【解答过程】，，． 取，则，，． 设，则， 所以在上单调递增，则，即，所以． 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即， 所以． 故选：A. 12.（若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知变形得，构建函数，然后利用函数的单调性求解. 【详解】因为，所以构建函数，则有，因为在上单调递增，则在上单调递增，所以.故选：A. 13.若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数和对数运算法则可将已知等式化为，根据对数函数单调性得到，设，由函数单调性可得结果. 【详解】由题意知：，，，，，， ，即，在上单调递增，，；设，则， 与在上单调递增，在上单调递增，，即.故选：A. 14.若，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到. 【详解】令，则为上增函数，又，则，则，故选：B 题型06：数形结合比较大小 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，画出的图象， 故为下凸函数， 当时， 所以，. 设，画出图象， 故为上凸函数，当时， 所以， 同一坐标系内画出和的图象， 又在R上单调递减，故，所以. 设，则，在上单调递减， 所以时， 所以，， 所以，同理可得，， 相加得，， 所以. 故选：A 2.已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，由，故， 由与在上单调递增，故在上单调递增， 又，，故，故B错误； 令， 由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点， 由，故， 又， ，故，故C错误； 有，故A错误；，故D正确. 故选：D. 3.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 设0，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 根据已知得， 可设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 综上，. 故选：D. 4.雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 令，两函数图象如图所示， 因为均单调递增，且， 结合图象可知当时，，即， 故，故； 如图，单位圆A中，于，设，， 则的长度，，， 则由图易得，，即， 所以，故； 综上，. 故选：B. 5.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即，故， 因为，所以， 又，由得，即， 令，， 则，当时，， 故在上单调递减， 所以，所以， 故， 综上，. 故选：D 6.若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，当时， ，单减，故，即； 设，，当时，， 所以，即，即； ，故最小， ，，， 因为，所以，所以，， 所以 故选：C 7.若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 8.已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可. 【解答过程】解：因为均为大于0的实数， 所以， 进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系， 故作出函数图像，如图， 由图可知 故选：C. 9.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】的比较利用零点存在性定理求解零点所在区间，的比较则转化为两函数图象交点的横坐标大小比较，数形结合由图可知. 【解答过程】由题意知，是函数的零点， 因为， 由，则， 且， 由零点存在性定理知，； 由题意知，是函数的零点， 因为， 且， 由零点存在性定理知，， 故， 由， 得， 作出函数的大致图象， 如图所示，数形结合由图可知． 综上，. 故选：A. 10.已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【解答过程】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B. 11.已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解 【解答过程】令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 因为， 所以，即， 所以，所以， 又递增， 所以，即； ， 在同一坐标系中作出与的图象，如图： 由图象可知在中恒有， 又，所以， 又在上单调递增，且 所以，即； 综上可知：， 故选：A. 题型07：特殊值估算法 1.若都不为零的实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取，满足，但，A错误； 当，满足，但，B错误； 因为，所以，所以，C正确； 当或时，无意义，故D错误． 故选：C 2.已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，则，，，所以． 故选：B． 3.若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以，所以，所以错误； 令，此时与无意义，所以错误； 因为，所以由不等式的性质可得，所以正确； 令，则，所以错误. 故选：. 4.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，可知， 又由，从而，可得， 因为，所以； 因为，从而，即， 由对数函数单调性可知，， 综上所述，． 故选：B． 题型08：放缩法 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以． 因为，， 所以． 综上可知，． 故选：B． 2.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即； 令，则恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即； 由诱导公式得， 所以，因此； 因为，， 故只需比较与的大小， 由二项式定理得，， 所以． 综上，. 故选：C 3.已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 对于A，易得，所以，故A成立. 对于B，因为，所以，故B成立. 对于C，， 当且仅当时，等号成立， 显然等号不成立，所以，故C不成立. 对于D，因为且， 所以，故D成立. 故选：C. 4.设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， 因为，所以， 因为， ， 所以， 所以. 故选：D. 5.下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由于， 所以，故，故A错误； 对于BCD，设，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此， 即，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对进行估值即可判断. 【解答过程】，且，故， ，即. 由可得，又，故.则. 故选：C. 7.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到. 【解答过程】因为， ，故， ， 所以. 故选：A. 8.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然，， 因为，所以； 又因为，， 令，．则， 可知在上单调递增， 则，可得， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 则，即，所以； 综上所述：． 故选：A． 9.已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ， 因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以    故， 故选：B. 10.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，，构造研究单调性比较大小即可，结合指数函数、基本不等式确定大小. 【解答过程】由，，要比较大小，只需比较大小， 故只需比较大小，令且，故， 所以在上递增，而，即， 所以 ，故， 又，则（等号不能成立）， 所以. 故选：A. 题型09：不定方程 1.若且，且，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】令，则． 由得：． 函数在上单调递增，在上单调递减． ，，，，，， （4）（a），（5）（b），（6）（c）． ，（6）（5）（4），（c）（b）（a）， 又，，，，，都小于，． 故选：． 2.已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，a、b、c是正实数， 所以， 因为，所以， 对于A，若，则，满足题意； 对于B，若，则，满足题意； 对于C，若，则，满足题意； 对于D，若，则，不满足题意． 故选：D． 3.设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【解析】假设，则，， 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 即有与假设矛盾，所以， 故选：C 4.已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】先比较与2的大小， 因为， 所以， 所以，即， 故排除，， 再比较与2 的大小， 易得，当时，由，得与矛盾，舍去， 故，则有，得， 令，， 令，则， 故， 故， 从而． 故选：． 5.已知实数，满足，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】， 故， ，， 故，即， ，且， ，， 令， 则， 故，即， 故， 故选：． 题型10：泰勒展开式 1.设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选 2.，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ，故选B 3.已知，则（    ） 【答案】A 【解析】设，则，， ，计算得，故选A． 4.设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排） 【答案】 【解析】，由函数切线放缩得，因此． 故答案为： 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 题型11：同构构造函数 1.已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（    ） A．，使 B．，使 C．，有 D．，有 【答案】ABC 【解析】由 得， 令，则分别在和上单调递增， 令，则分别在和上单调递增， 当时，的值域为，当时，的值域为， 所以存在，使得； 同理可得，存在，使得， 因此，使，故选项A正确． 令，则方程 可化为， 由换底公式可得， 显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确． 当时，因为，所以． 又在上单调递增，所以． 因为， 令，则在上单调递增． 因为，所以， 从而，所以． 综上所述，，故选项C正确． 当时，因为，所以． 又在上单调递增，所以． 因为． 令，则在上单调递增， 因为，所以， 从而，所以． 综上所述，，故选项D错误． 故选：ABC． 2.已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 函数是正实数集的上的增函数， 因为，因此，显然， 因此选项A不正确； 当时，， 函数是正实数集的上的增函数， 因为，因此，显然， 因此选项B不正确； 因为，所以 由， 构造函数，显然该函数单调递增， 由，因此选项C不正确，选项D正确， 故选：D 3.（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】等式，等号两边同除以， 可得， 所以， 所以， 所以， 构造函数，则， 显然，函数在定义域内是增函数， 所以，即． 而，而， 故，故，故D正确. 故选：AD． 4.已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得 因，则有即（*） 设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：. 故选：B. 5.（多选题）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】ABC 【解析】因为， 令函数，则， 则函数在上单调递增，且， 可知当时，；当时，； 且，则有： 当时，，即，可得，故A正确； 当时，，即，可得，故B正确； 又因为当时，在定义域内单调递减，可得； 当时，在定义域内单调递增，可得， 所以C正确，D错误． 故选：ABC. 6.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式， 令函数，求导得，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，即，因此函数在R上递增， 原不等式等价于，于是， 对于AB，取，有，AB错误； 对于CD，，即，C错误，D正确. 故选：D 题型12：帕德逼近估算 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近可得， 综上，． 故选：B. 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， 综上，． 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近，得， ，，综上，. 故选：B 故选：B 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， . 综上，． 故选：A 巩固练习 1．已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 且， 则，即. 故选：C. 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，构造函数，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此可得，即， 所以， 又指数函数为单调递增，可得，即， 因为，所以. 故选：A. 3．设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令函数，求导得，即函数在上单调递减， 而，又，因此， 所以. 故选：B 4．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 5．已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， ，，则，故， 又，，，，，故最小值是， 故选：C． 6．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，又，，即； ，，即，； ，可令， ，在上单调递增， ，即，； 综上所述：. 故选：A. 7．已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，且，， 令，则， 设，可得，所以为R上单调递增函数， 因为，可得，即， 所以，即单调递减，所以，即， 即，所以， 再设，可得， 所以在上在单调递增，所以，即， 又因为，所以，所以， 综上可得：. 故选：C. 8．已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得 因， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，故. 令，则. 当时，，单调递减， 则，即. 故. 故选：A. 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故. 故选：A. 11．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】得. 由得， 又. 取，则. 设， 则， 所以在区间内单调递增， 又，则， 即，所以. 令， 则， 所以在区间内单调递增， 则， 故，则，即， 所以. 故选：A. 12．（多选题）已知，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，因为，所以， 令，， 则， 因为，所以恒成立， 故在上单调递减， 故， 则，故A错误； B选项，由A选项可知， ，故B正确； CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误. 故选：BC 13．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】已知，则，有， 由，得，则，即， 所以，A选项正确； 函数，有， 时，，单调递减，时，，单调递增， ，，即，时等号成立， 已知，由，所以，B选项正确； 已知，则，，当且仅当，即等号成立， 所以，有，得，C选项错误； 设，有，则，，有， 设，有， 设，则， 所以，即，， 所以，在上恒成立， 得在上单调递增，，即，D选项正确. 故选：ABD. 14．（多选题）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意，即， 而在定义域上递增，故， 所以，即，A对，C错； 由，，故零点， 所以，B对； 由，则， 而，显然，则，故， 综上，，D对. 故选：ABD 15．（多选题）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，为单调递增函数，故， 由于，故，或， 当时，，此时； ，故； ，； 当时，，此时，，故；，； 对于ABC，A正确，BC均错误； 对于D，，两边取自然对数，， 因为不管，还是，均有， 所以，故只需证即可， 设（且），则， 令（且），则， 当时，，当时，， 所以，所以在且上恒成立， 故（且）单调递减， 因为，所以，结论得证，D正确． 故选：AD． 16．（多选题）已知，，，下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】A选项，变形得到， 因为，所以，故， 解得，当且仅当时，等号成立，A错误； B选项，因为，所以，即， 又，所以，即， 因为，所以，同理可得， 由可得，故， ，所以， 故，解得， 又，即，所以，即，解得， 解得，综上，，同理可得， 所以，故B正确； C选项，因为，所以，解得， 当且仅当时，等号成立， ，C正确； D选项，由B可知，， 设，，则， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，所以， 所以，即，解得， ， 故选：BCD 17．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 令，所以，则， ， 所以， 即恒为递增函数， 则，即，所以， 综上：， 故选：A. 18．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 令，，则， 令，， 则， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 将中换为可得，， 即，故在上恒成立， 所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 故选：D 19．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，． 取，则，，． 设，则， 所以在上单调递增，则，即，所以． 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即， 所以． 故选：A 20．已知，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 构造函数，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值， 若，不妨设， 设，，则， ， 当时，，故在上单调递增， 故，即， 又，故， 因为，所以， 而在上单调递减， 故，则， 由于，令， 而， 而在上单调递减， ，即， ，而，故，即， 综上，. 故选：C 21．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ， 因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以 故， 故选：B 22．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 因为在上单调递增，所以， 所以，即， 所以， 令，则， 当时，，所以在上递减， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 综上，， 故选：D 23．（多选题）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】令，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， ，有，故， 又，， 故，故有， 故，即C正确，，即，故D错误， 下证：恒成立. 即证：，即证， 设， 则， 因为，，故， 故在上为减函数，故， 即在成立， 故恒成立. 因为，则， 若，则； 若，则， 而故即，故A错误； 令，有， 则， 当时，，当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 有，又，故， 令， 则， 由，故，即， 故在上单调递增，又，故恒成立， 即，由，即有， 又，即有，有，， 又在上单调递减，故，即，故B正确. 故选：BC. 24．（多选题）下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由 ，则有，A正确； 假定，有， 令，求导得，在上单调递增， 则，即当时，，，， 令，求导得，在上单调递减， 则，即当时，，，， ， 因成立，则成立，所以成立，B不正确； 假定，有， 令，，则在上单调递增， 而，则，所以成立，C不正确； 令，求导得，， 曲线在处切线方程为， 令，求导得，即在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：AD 25．（多选题）若实数，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断； 对于选项B：利用换底公式：， 等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减， 对于选项A：因为，所以， 即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确； 对于选项C：， 由于函数在上单调递减，所以，即， 因为，所以，取，则，故选项C错误； 对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确. 对于选项B：，因为， 所以等价于，因为， 因为， 所以不等式成立，故选项B正确； 故选：ABD 26．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD. 27．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由已知，得． 令，则，所以， 所以， 所以． 等式两边同时除以，得，即． 同理，令，有． 所以是方程的两个根． 设，则易知在区间上单调递减， 所以． 又因为， 所以．故，且，所以． 又，所以． 故选：BC． 28．（多选题）已知，，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，函数均为R上的增函数， 且时，两函数值相等，均为1，时，两函数值相等，均为9， 作出函数的图象如图： 由图可知当时，，即，A正确； 对于B，时，， 由于，故，故，B正确； 对于C，作出函数的图象如图， 由图象可知当时，，即，C错误； 对于D，，则，，， 由于，故，即，D正确， 故选：ABD 能力提升 一、单选题 1．已知，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，利用导数可求得在上的单调性，从而确定，，结合，令即可得到大小关系. 【详解】令，，则， 在上单调递增，，即； 令，，则， 在上单调递增，，即； 又当时，，当时，； 则当时，，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系. 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先构造函数，比较，再构造函数，通过求导，判断单调性，比较与的大小，最后构造函数，进而确定与的大小关系，从而得出结果. 【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即， 令，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，故当时有， 所以， 令，则， 因为， 当时，，所以， 函数在上单调递减，所以，也即， 所以，故， 故选：B. 3．已知，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即， 所以， 所以﹔ 因为，所以， 令（），则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，所以， 所以，所以： 设 设 在上，，递减，所以 所以，递增， 所以，即 所以 综上： 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题. 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可. 【详解】法一：若，令 在上单调递增， ，即，比较与的大小，先比较与 若 令 时单调递减，. 法二：秒杀 另一方面由时，， . 故选：B 5．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以, 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论. 【详解】解：，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 即， 所以， 即，所以， 由，得， 由，得， ， 因为， 所以，所以， 所以，即， 所以， 综上所述. 故选：A. 【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度. 7．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，求导根据单调性得出，即，所以，即，所以；构造，求导根据单调性得出，即. 【详解】令，， 则， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴，即， 又∵在上单调递增，∴，即，∴，即； 令，， 则， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴，即，∴， 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 【点睛】本题考查构造函数比较大小问题，解题关键是能够根据，，的形式，构造适当的函数模型，利用导数确定函数的单调性，根据单调性，比较特殊函数值之间的大小. 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解. 【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减， 所以当时，，即，所以， 又，，且，， 所以； 故选：B 9．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算法则求出，又，分别可看做，的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为估值困难，故考虑利用与函数近似的有理函数对其大小进行估值，最后求得答案. 【详解】由题意，， 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，即，所以，因为函数在上单调递增，所以，又，， 所以，因为在单调递减，所以，所以，故， 因为，函数在上单调递减，所以，所以，所以，即， 所以， 故选：A. 【点睛】本题解决的关键在于观察表达式特点，通过构造函数，利用函数的单调性估计各数值的大小范围，由此比较大小. 10．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到，进而得到，，，结合，，得到，，求出. 【详解】∵，由定义域可知， 故， ∵在定义域上单调递减， ， ， ∵，∴， ∵，∴， 故，则， ， ，由定义域可知：， 又∵， ∴，则， ，故， ∵，， ∴， ， . 故选：B. 【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 11．设，（e是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数得到，判断出.由二项式定理判断出，比较出a、b；对于a、c，构造函数，利用单调性证明出. 即可得到答案. 【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以. 又单调递增，所以 所以，即. 而由二项式定理得：. 对于a、c，由，. 记，则， 所以在上单调递增，所以.所以，所以. 综上所述：. 故选：C 【点睛】比较大小： （1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较； （3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小. 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由易得；构造函数，由导数与函数的单调性求得的单调性，从而证得；由此可得. 【详解】令， 所以时，， 因为，即， 所以，故，即， 令，则，显然在单调递增， 令，得，故在上单调递增， 因为，故，则， 故在上单调递增，则， 即，即，故， 综上：. 故选：A. 13．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过变形将问题转化为比较，，的大小，再通过观察三个式子的结构，从而构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此进行比较得解. 【详解】因为，，， 所以只需要比较，，的大小即可， 令，则， 因为，所以，则，所以在上单调递增， 故，则，即， 所以； 令，则， 因为，所以，，所以在上单调递增， 故，即，即， 所以； 综上：. 故选：A. 14．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，研究的奇偶性和单调性，由此判断出的大小关系. 【详解】设，则，，． 因为， 所以． 当时，因为， 所以在上单调递增． 因为，所以． 要比较和的大小关系， 即比较和的大小关系， 即比较和的大小关系， 其中，， 所以，所以，所以． 所以. 的另解：先证明， 不妨设，即证， 即证，其中， 即证， 构造函数， ， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即成立， 也即成立. 所以，即. 故选：A 【点睛】比较实数的大小关系有很多方法，如差比较法、利用函数的单调性的方法、利用分段法、利用导数的方法.其中利用导数来比较大小，可以先根据要比较的数的结构进行构造函数，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来得出大小关系. 15．已知实数，，，那么实数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的单调性可得到，利用对数函数的单调性可得到，假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，利用长度关系和正弦定理可得到，然后利用作差法能得到，即可求解 【详解】由于可得，即， 又由于，所以， 假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D， 所以，，， 所以,所以即， 所以， 所以， 所以即，解得， 在中，即， 所以， 由于即，所以， 所以， 因为，所以， 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出，需假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b与c，a与b，利用中间值比较即可. 【详解】记，则， 记，则，又，所以， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 所以，故时，，所以， 所以， 又， 所以， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 即时，，所以， 所以， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围. 17．已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案． 【详解】， 故令，则，． 易知和均为上的增函数，故在为增函数． ∵，故由题可知，，即，则． 易知，， 作出函数与函数的图象，如图所示， 则两图象交点横坐标在内，即， ， ． 故选：B． 18． ，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，构造函数，通过单调性判断，于是证明，即可求得a、b、c的大小关系. 【详解】令 则，显然 即单调递减，所以，即，. 令 则，即在上单调递增 所以，即， 所以 令 则 当时，，即在上单调递增 又，所以当时， 所以，即 即， 又，所以，即. 综上：. 故选：C. 19．设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 20．设，，，则下列关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，再构造函数，判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以，即， 所以， 令，则， 令， 则， 所以在上递减， 所以，所以， 所以在上递减， 所以， 即当时，， 所以， 即， 所以． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数和，即，当且仅当时，取等号，当时，. 21．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案. 【详解】，，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，，，则，， ，，∴，排除D． ，则，，，∴，排除B． 比较与大小，先比较与大小， ,， 因为，所以 所以在上单调递增，， 所以，所以， ∴，综上. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案. 22．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项. 【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾. 23．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 令，则， 所以函数在上递增， 所以，即，即， 所以，即， 综上，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键. 24．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，构造函数，，利用导数分析单调性，可得函数在上单调递增，进而得到，可得；构造函数，利用导数分析单调性，可得，进而得到，由，进而得到，进而求解. 【详解】由. 设， 则， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 即，即， 所以， 则函数在上单调递增， 所以，即， 即，即； 设， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即， 即，即， 所以， 又， 所以，即， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据： （1）结合函数性质进行比较； （2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较； （3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.. 25．已知是自然对数的底数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果. 【详解】设，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， ，时，，即， 设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立， 即， 令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即， 得：，那么， 即，即， 综上可知. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小. 26．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性即得. 【详解】∵，，， ∴， 对于函数，， 令，，则， ∴在上单调递减， ∴，即，在上单调递减， ∴，即， ∴， ∴. 故选：B. 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过中间值1结合不等式性质可得；解法一：构造，利用导数判断单调性，结合单调性可得；解法二：构造，利用导数判断单调性，结合单调性可得. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即； 解法一：构造，则， 当时，可得，则在上单调递增， 又因为，则， 所以， 则，即； 解法二：构造，则， 令，解得，则在上单调递减， 所以， 即，则，可得； 综上所述：. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 28．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据作差法比较与的大小关系，然后构造函数，利用导数判断函数单调性，借助函数的单调性即可比较与即与的大小关系. 【详解】已知，， 则 . 由于，所以，得. 令，则，，. 而且， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 由于，，即. 若有两个解，则，， 所以，，所以，， 即，， 令（），则， 故在上单调递增，所以， 即在上，. 若，则有，即. 故，所以. 当时，有，故，即； 综上所述. 故选：D 【点睛】方法点睛：在比较大小中常用的方法有三种： （1）作差法比较大小，即若，则，否则； （2）作商法比较大小，即若（），则，否则； （3）构造函数，根据函数单调性比较大小. 29．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，，利用导函数得到其单调性，从而得到， 当且仅当时等号成立，变形后得到，当时，等号成立，令后得到； 再构造，利用导函数得到其单调性，得到，当且仅当时，等号成立， 变形后得到，当时，等号成立，令得到，从而得到. 【详解】构造，， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，当且仅当时等号成立， 因为，所以， 当时，等号成立， 当时，，所以 构造，则，当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，所以，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 令，则，所以， 综上， 故选： 【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解. 30．设，，，这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式得到，结合的单调性，比较出，先利用多次求导，得到，，从而得到，比较出. 【详解】， ∵，而在上单调递增， ∴ 且时，，以下是证明过程： 令，， ，令， 故，令， 故，令， 则，令， 故，令， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 指对幂函数比较大小 知识点一：指、对、幂数比较大小的一般方法 1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3.作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4.估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5.构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6、放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 知识点二：比较大小的其它方法 7.利用函数与方程的思想构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． 8.转化为两函数图象交点的横坐标 9.特殊值法 10.基本不等式法 11.平方法 常用放缩表达式 1. 常见的指对放缩 ，，， 2. 常见的三角函数放缩 3. 其他放缩 ，， ，， ， ， 放缩程度综合 常见函数的泰勒展开式： 泰勒公式： 泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法． 【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式： 其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量． （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 常见函数的泰勒展开式结论： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 构造函数 1.构造函数的重要依据 2.常见构造类型 ， 方法技巧 1构造相同函数，比较不同函数值 2构造不同函数，比较相同函数值 3.构造不同函数，比较不同函数值 这个时候，不等式放缩就是首选之道了! 4.先同构，再构造，再比较 当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小. 比较大小专题：指数对数幂函数比较大小 题型1 指数函数 ◆类型1 同底数型 ◆类型2 不同底数化同底数型 ◆类型3 找中间值法 ◆类型4 单调性与中间值的运用 ◆类型5 单调性的运用 题型2 对数函数 ◆类型1 同底数型 ◆类型2 不同底化同底型 ◆类型3 找中间值法 ◆类型4 单调性与中间值的运用 ◆类型5 单调性与作差作商法的运用 题型3 幂函数24 题型4 指数对数幂函数综合 ◆类型1 找中间值型 ◆类型2 单调性及中间值的运用 ◆类型3 指数对数化简计算在比较大小中的运用 题型5：利用换底公式比较大小 题型6：分离常数再比较大小 题型7：乘倍数比较小 导数与比较大小（构造函数比较大小专题 ） 题型1：直接利用单调性 题型2：引入媒介值 题型3：含变量问题 题型4：构造函数 题型5：数形结合 题型6：特殊值法、估算法 题型7：放缩法 题型8：不定方程 题型9：泰勒展开 题型10：同构法 题型11：帕德逼近估算法 过关测试 第一部分：指对幂函数比较大小基础 题型01：指数函数 一：同底数型 1.利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）和；（2）和；(3)，； 2.比较下列各式大小． ①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62； 3.比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，． 4．设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）； （2）； （3） 6.若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二：不同底数化同底数型 1．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.0.8－0.1______1.250.2； 3．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A．a>b>c>d B．b>a>d>c C．b>a>c>d D．a>b>d>c 6．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 三：找中间值法 1． ，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.比较下列各组数的大小： ⑴，，1；（2）1.70.3______0.93.1. 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．三个数，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．三个数，，之间的大小关系是（    ） A．﹤﹤ B．﹤﹤ C．﹤﹤ D．﹤﹤ 四：单调性与中间值的运用 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.设，，，则、、的大小关系是（       ） A． B． C． D． 3.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 五：单调性的运用 1．设，，中，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.若，则a､b､c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5． ，这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型2 对数函数 一：同底数型 1．比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，． 2.比较下列各题中两个值的大小 （1） ;(2) ； 3．比较下列各组数中两个数的大小： （1），；    （2），； （3），；    （4），. 4.比较下列各对数的大小（填“>”“<”或“=”）： （1）____________；（2）________； （3）________；（4）___________； 5．比较下列各组数的大小． (1)log3.10.5与log3.10.2；(2)与； 6．比较下列各组数中两个数的大小： （1），；    （2），； 7．比较下列各题中两个值的大小： （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 二：不同底化同底型 1．比较大小： ______ 2.设，，，则，，三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．比较下列各组数的大小： （1）； （2）. （3）; 4．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 三：找中间值法 1.已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.比较下列各组中两个值的大小． （1），；（2）， 3.设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小是（    ） A． B． C． D． 5．已知,,，则,,的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6.已知,,，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 四：单调性与中间值的运用 1．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b 五：单调性与作差作商法的运用 1．比较大小. 2.，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a 题型03：幂函数 1．比较下列各组数的大小： (1)，；(2)，；(3)，，． 2.比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，；(4)，． 3.已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 4.(1)，1，(2)， 5., 6.设，则a，b，c的大小关系是________． 7.若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是________． 8．若，则a､b､c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型04：指数对数幂函数综合 一：找中间值型 1．已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 3．已知a＝，b=，c＝，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b 4． 这三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则a，b，c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二：单调性及中间值的运用 1.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.设，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.设，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 三：指数对数化简计算在比较大小中的运用 1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3． 、、这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则，，三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 四：利用换底公式比较大小 1.设，，为正数，且，则（       ） A． B． C． D． 2.设a=log32，b=ln2，c，则a､b､c三个数的大小关系是（       ） A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 3.已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①③ C．①④ D．②④ 4.设，，则（       ） A． B． C． D． 5.设，，则（       ） A． B． C． D． 题型06：分离常数再比较大小 1.设，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则（       ）． A． B． C． D． 题型07：乘倍数比较小 1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 2.已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（       ） A．a<b<c B． C． D． 第二部分：高考指对幂比较大小综合题型 题型01：直接利用单调性 1.设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 3.记，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 9.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12.已知，则（    ） A． B． C． D． 13.已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02：引入媒介值 1.已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则（          ） A． B． C． D． 4.若，，，则（     ） A． B． C． D． 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6.设，则有（    ） A． B． C． D． 7.设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9.故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 10.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 11.已知，，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12.若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13.已知，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 14.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型03：作差作商 1.若，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型04：含变量比较大小 1.（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.设且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 8.设，，若a，b，c互不相等，则（    ） A． B． C． D． 9.已知x，y，z都为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 10.已知当时，，则（    ） A． B． C． D． 11.多选题已知正实数a，b，c满足，则一定有（    ） A． B． C． D． 12.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 13.设，，若a，b，c互不相等，则（    ） A． B． C． D． 题型05：构造函数比较大小 1.若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.设，，，则（    ） A． B． C． D． 3.设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 4.设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5.设，，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7.已知，则（   ） A． B． C． D． 8.已知实数满足，则（     ） A． B． C． D． 9.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10.记，，，则（    ） A． B． C． D． 11.设，，，则（    ） A． B． C． D． 12.（若，则（    ） A． B． C． D． 13.若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 14.若，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 题型06：数形结合比较大小 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 3.设，则（    ） A． B． C． D． 4.雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 6.若，则（     ） A． B． C． D． 7.若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 8.已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9.已知，则（    ） A． B． C． D． 10.已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 11.已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型07：特殊值估算法 1.若都不为零的实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.若满足，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 题型08：放缩法 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4.设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7.已知，则（    ） A． B． C． D． 8.若，，，则（    ） A． B． C． D． 9.已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10.设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型09：不定方程 1.若且，且，且，则　　 A． B． C． D． 2.已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 3.设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 4.已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 5.已知实数，满足，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 题型10：泰勒展开式 1.设，则（ ） A． B． C． D． 2.，则（ ） A． B． C． D． 3.已知，则（    ） 4.设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排） 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型11：同构构造函数 1.已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（    ） A．，使 B．，使 C．，有 D．，有 2.已知，若，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4.已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 5.（多选题）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C． D． 6.若，则（    ） A． B． C． D． 题型12：帕德逼近估算 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 1．已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．设，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（多选题）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）已知，，，下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．设，，，则（    ） A． B． C． D． 20．已知，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（多选题）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选题）下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 25．（多选题）若实数，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 28．（多选题）已知，，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 能力提升 一、单选题 1．已知，，．则（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．设，（e是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 13．若，，，则（    ） A． B． C． D． 14．若，，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知实数，，，那么实数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 18． ，，，则（    ） A． B． C． D． 19．设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 20．设，，，则下列关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 21．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 22．设，，，则（    ） A． B． C． D． 23．设，，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 25．已知是自然对数的底数，设，则（    ） A． B． C． D． 26．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，则（    ） A． B． C． D． 29．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．设，，，这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$