第09讲（一）抽象函数题型全归纳训练-2026届高三数学一轮复习

第09讲（一）抽象函数题型归纳 题型01：抽象函数定义域 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） 3.若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 6.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10.已知函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），则函数f（x2）–f（x+）的定义域为 ． 11.若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型02：抽象函数值域 1.已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 2.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则在上的最大值是________ 题型03：抽象函数赋值求值 1. 定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)(x.y∈(0,＋∞))，已知f(8)＝3， 则f(1)＝ , f()＝ 1. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 1. 已知对所有的非负整数均有，若，则______． 1. 设函数f(x)的定义域为R,且满足下列两个条件:①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②对任意x,y∈R,有 f(x＋y)＝f(x)f(y)，求f(0)的值 1. 已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 1. 已知函数，任意，满足，且，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 7．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1），则f（2020）＝（　　） A． B． C． D． 8.已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝1，则（　　） A．2n﹣1 B． C． D． 9.已知定义在R上的函数满足f（x+2）＝﹣f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 10.已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），又已知f（﹣2）＝2，则f（2022）＝（　　） A．0 B．1 C． D．2 11.定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．设g（x）＝f（x）+sinx﹣x，若g（10）＝2020，则g（﹣10）＝（　　） A．﹣2020 B．2020 C．0 D．1010 12．已知函数f（x）满足f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2．则　　． 13．已知f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（3+2x）＝f（7﹣2x），若f（x）＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝　　． 14．定义在R上的函数，对任意实数，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）＝2，记an＝f（n）（n∈N*），则a2016＝　　． 15．设函数f（x）＝|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）＝f（），f（10a+6b+21）＝4lg2，则a+b的值为　　． 16．若f（x）+f（1﹣x）＝4，则f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）＝　　． 题型04：抽象函数的单调性 1.（多选）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减 D．（注：） 2．设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 4.（多选）定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的解集为 5.已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数． 6.设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 1. 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1. (1)求证: y＝f(x)－1为奇函数; (2)求证: f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3. 1. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 1. 已知定义域为的函数满足对任意，都有． (1)求证：是偶函数；(2)设时，求证：在上是减函数； 10.定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 11.定义在上的函数满足：对任意的，都有： （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）在（2）的条件下解不等式：; （4）在（2）的条件下求证：. 题型05：抽象函数的奇偶性 1.（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 2.（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3.．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sinx，②f（x）＝ex﹣e﹣x，③f（x）＝ex+e﹣x，④是Ω函数的为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4.已知定义在上的函数满足：，某同学由此前提条件出发，然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若时，是奇函数且一定是单调增函数；②.若，是偶函数且有最大值为1；③.若，则；④.若，则.请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③④ 5.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6.．已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ） A．40 B． C． D． 7．设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8.已知函数f(x)为定义在R上的增函数，若对于任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． （1）求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数； （2）若f(1)＝2，解关于x的不等式f(x)－f(3－x)＜4． 9.设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，． （1）求的值，并判断函数的奇偶性； （2）解不等式 10.若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 11.是定义在上的函数，对一切都有且 （1）求； （2）判断函数的奇偶性 12.定义在上的函数满足：对任意的，，都有：. （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 13.函数对定义域上任意满足：. （1）求的值； （2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性； （3）当时，，证明在上是增函数. 题型06：抽象函数的对称性 1.（多选）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 2.设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______． 题型07：抽象函数周期性 1.已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2.已知函数定义域为，满足，则 . 3.已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ） A．5 B．-2 C．1 D．2 4.定义在正整数上的函数满足，则（ ） A． B． C． D． 5.设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则 ． 6.（多选）已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 7.（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．关于中心对称 D． 8.（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 9.（多选）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A． B． C． D． 10.函数的定义域为，对任意，恒有，若，则 ， ． 11.已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 题型08：抽象函数奇偶性周期性对称性综合 1.已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ） A． B． C． D． 3．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2） 5．定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A．4 B． C．8 D． 7．已知函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，，则方程在区间上的解得个数是（ ） A． B．6 C．7 D．9 8．已知定义在上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．定义在 上的函数满足 ，且对任意的 都有 （其中为的导数），则下列一定判断正确的是 A． B． C． D． 10．已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＜0时f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f（y）＝f（x+y）成立，若数列{an}满足，且a1＝f（0），则下列结论成立的是（ ） A．f（a2017）＞f（a2020） B．f（a2016）＞f（a2018） C．f（a2018）＞f（a2019） D．f（a2016）＞f（a2019） 12．已知定义在上的函数满足： ①； ②对所有，且，有. 若对所有，，则k的最小值为（ ） A． B． C． D． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数.若，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 14．若函数f(x)满足，当时，．若在区间内有两个零点则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．已知定义在上的函数，满足，且，，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ） A．函数的周期 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．实数的取值范围是 16．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ） A．是周期为2的函数 B． C．的值域为 D．在上有4个零点 17．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x）＝﹣f（x），且函数y＝f（x）为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f（x）是周期函数； ②函数f（x）的图象关于点（，0）对称； ③函数f（x）为R上的偶函数； ④函数f（x）为R上的单调函数； 其中真命题的序号为　　（写出所有真命题的序号） 18．若定义域为R的函数y＝f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．给出下列四个关于“λ﹣伴随函数”的命题：①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”；③f（x）＝2x是“λ﹣伴随函数”；④当λ＞0时，“λ﹣伴随函数”f（x）在（0，λ）内至少有一个零点．所有真命题的序号为　　． 19．设函数y＝f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）＝T•f （x），则称函数y＝f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y＝f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f（x）＝x是“似周期函数”； ③函数f（x）＝2x是“似周期函数”； ④如果函数f（x）＝cosωx是“似周期函数”，那么“ω＝kπ，k∈Z”． 其中是真命题的序号是　　．（写出所有满足条件的命题序号） 20．已知函数y＝f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）＝﹣f（1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）＝log2（x﹣1），给出以下4个结论： ①函数y＝f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称； ②函数y＝|f（x）|是以2为周期的周期函数； ③当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝﹣log2（1﹣x）； ④函数y＝f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增． 其中所有正确结论的序号为　　． 21．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）＝kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是　　． 22．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）＝f（），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，且f（）＝1．设m＝f（）+f（）+…+f（）n≥2，n∈N*，则实数m与﹣1的大小关系是　　． 23．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数： ①y＝﹣x3+1，②y＝3x﹣2sinx﹣2cosx③y④y． 以上函数为“Z函数”的序号为　　． 24．已知集合M＝{f（x）|f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y），x，y∈R}，有下列命题 ①若f1（x）则f1（x）∈M； ②若f2（x）＝2x，则f2（x）∈M； ③若f3（x）∈M，则y＝f3（x）的图象关于原点对称； ④若f4（x）∈M则对于任意不等的实数x1，x2，总有0成立． 其中所有正确命题的序号是　　． 25．定义在实数集R上的函数y＝f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实数t使得f（t+x）＝﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t的函数”．给出下列“关于t的函数”的结论： ①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”； ②“关于的函数”至少有一个零点； ③f（x）＝x2是一个“关于t的函数”． 其中正确结论的序号是　　． 26．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ，DE，且DJ⊆DE．若对于任意x⊆DJ，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）＝ex（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题： ①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）； ②函数g（x）有5个零点； ③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）； ④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1； ⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2 其中正确的命题是　　（填上所有正确的命题序号） 27．若函数y＝f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）＝2b（其中a，b不同时为0），则称函数y＝f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题： ①函数f（x）＝sinx+1是准奇函数； ②函数f（x）＝x3是准奇函数； ③若准奇函数y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数； ④已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）； 其中正确的命题是　　．（写出所有正确命题的序号） 28．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②；③f（1﹣x）＝1﹣f（x）．则　　；　　． 题型09：抽象函数零点 1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ） A．30 B．14 C．12 D．6 2.已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 3.已知定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣3）＝f（x），当x∈（0，）时，f（x）＝ln（x2﹣2x+2），则函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数是　　． 4.已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题： ①直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴； ②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数； ③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点． 问：以上命题中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10：抽象函数比较大小解不等式 1．定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）； ②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称； ③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0． 则f（）、f（2）、f（3）从小到大的关系是（　　） A．f（）＞f（2）＞f（3） B．f（3）＞f（2） C．f（）＞f（3）＞f（2） D．f（3） 2．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有0成立，则不等式f（x）＜0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 4．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（　　） A．∅ B．（﹣3，） C．（﹣2，） D．（，3） 5．已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+2）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有，若f（a）≤f（3a+1），则实数a的取值范围是（　　） A． B．[﹣2，﹣1] C． D． 6．定义在R上的函数y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，且f（x+1）是偶函数，则使f（2x﹣1）＞f（3）成立的x的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0） 7．已知定义在R上的函数f（x）满足： ①f（1）＝0； ②对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x）； ③对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有0；记g（x），则不等式g（x）≤0的解集为（　　） A．[﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1） C．[﹣1，0） D．[﹣1，0] 8.已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 9．函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x+2）关于x＝﹣2对称，若f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4] 题型11：抽象函数综合题 9． 定义在R上的函数，对任意的，有，且. （1）求证：；（2）求证：是偶函数. 10． 设函数的定义域为，对任意实数，有，且 (1)求证：； (2)若时，，求证：在上单调递减. 11． 设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 12． 已知定义域为的函数满足对任意，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 13． 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 14． 是定义在上的函数，对都有，当时，，且． (1)求，的值； (2)猜测为奇函数还是偶函数并证明； (3)求在上的单调性并证明． 15． 已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 16． 已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③. (1)求及的值； (2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数； (3)若，求实数的取值范围. 17． 已知函数的定义域为，且满足下列条件： （）．（）对于任意的，，总有． （）对于任意的，，，．则 （Ⅰ）求及的值． （Ⅱ）求证：函数为奇函数． （Ⅲ）若，求实数的取值范围． 18． 定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲（一）抽象函数题型归纳 题型01：抽象函数定义域 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根距抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 故选：D． 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知解即可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 3.若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由函数的定义域为求出的定义域，再由可得答案. 【详解】函数的定义域是 满足，即， 又分母不为0，则，所以函数的定义域为：故选：C. 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解析式有意义列方程求的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以由函数有意义可得 且，解得，所以的定义域为． 故选：A. 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数中的取值范围与函数中的范围一样. 【详解】因为函数的定义域为，所以，所以， 所以函数的定义域为.选D. 6.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求法可得答案. 【详解】因为的定义域为，所以， 所以的定义域为. 故选：C. 7.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的定义域为得，进而，求得即可. 【详解】∵的定义域为，∴，∴， 在中，解得， 所以函数的定义域为．故选：B 8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可. 【详解】设，则， 因为函数的定义域为，所以当时，有意义， 所以，故当且仅当时，函数有意义，所以函数的定义域为， 由函数有意义可得，所以，所以函数的定义域为，故选：D. 9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为.故选：C 10.已知函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），则函数f（x2）–f（x+）的定义域为 ． 【答案】（–，）. 【分析】函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），即–2<x<1，∴–4<3x+2<5，根据括号内范围一致得到，解出不等式组即可. 【详解】∵函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），即–2<x<1，∴–4<3x+2<5，∴函数f（x）的定义域为（–4，5），由，解得．∴函数f（x2）–f（x+）的定义域为（）． 故答案为（–，）． 11.若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域的求法列不等式组，解不等式组求得的定义域. 【详解】依题意， 由于，所以， ，所以由解得. 所以的定义域为.故选：A 题型02：抽象函数值域 1.已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】令，则，得， 令，则，所以，所以为奇函数， 任取，且，则，， 所以， 所以，所以在上递减， 所以当时，的最大值为， 因为，所以， 所以，故选：D 2.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则在上的最大值是________ 【答案】10 【解析】设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以，故在上的最大值为 题型03：抽象函数赋值求值 1. 定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)(x.y∈(0,＋∞))，已知f(8)＝3， 则f(1)＝ , f()＝ 【答案】0； f(8)＝f(2)+ f(4)= f(2)+ f(2)+ f(2) f(2)=1=2 f() 1. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 【答案】12；6 f(1+1)= f(1)+ f(1)+2=6，f(2+1)= f(2)+ f(1)+4=12 易知f(0)=0，f(-1+1)= f(-1)+ f(1)-2 f(-1)=0 f(-2)=2 f(-1)+2=2 f(-3)= f(-2)+ f(-1)+4=6 1. 已知对所有的非负整数均有，若，则______． 【答案】31 【解析】令，则，可得， 当时，令，令， 令，，则，可得， 所以， 令，，则，可得 1. 设函数f(x)的定义域为R,且满足下列两个条件:①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②对任意x,y∈R,有 f(x＋y)＝f(x)f(y)，求f(0)的值 【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)﹒f(0), 可得f(0)＝0或1． 若f(0)＝0，令y＝0，有f(x＋0)＝f(x)﹒f(0), 即为f(x)＝0，与条件①矛盾，则f(0)＝1 1. 已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【思路点拨】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则 1. 已知函数，任意，满足，且，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【思路点拨】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和. 【详解】令，，则，所以； 令，，则，所以； 令，则，所以， . 令，，则①，令，，则②， 令，，则③， 假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，. 同理可得当x为偶数时，. 所以原式= 7．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1），则f（2020）＝（　　） A． B． C． D． 【解析】解：取x＝1，y＝0，得3f（0）f（1）＝f（1）+f（1），∴f（0）， 取x＝n，y＝1，有3f（n）f（1）＝f（n+1）+f（n﹣1），即f（n）＝f（n+1）+f（n﹣1）， 同理：f（n+1）＝f（n+2）+f（n）， ∴f（n+2）＝﹣f（n﹣1）， ∴f（n）＝﹣f（n﹣3）＝f（n﹣6） 所以函数是周期函数，周期T＝6， 故f（2020）＝f（3×336+4）＝f（4）． ∵3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y） 令x＝y＝1，得3f2（1）＝f（2）+f（0），可得f（2）， 令x＝2，y＝1，得3f（2）f（1）＝f（3）+f（1），解得f（3）， 令x＝3，y＝1，得3f（3）f（1）＝f（4）+f（2），解得f（4）． ∴f（2020）； 故选：C． 8.已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝1，则（　　） A．2n﹣1 B． C． D． 【解析】解：令x＝1，y＝0，得2f（1）＝f（1）f（0），则f（0）＝2； 令x＝n（n∈N*），y＝1， 则有2f（n+1）＝f（n）f（1）＝f（n）， ∴， ∴{f（n）}（n∈N*）为等比数列，公比为，首项为1， 则{}（n∈N*）为等比数列，公比为2，首项为1， 则． 故选：B． 9.已知定义在R上的函数满足f（x+2）＝﹣f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 【解析】解：因为x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，所以f（1）＝1﹣sinπ＝1，f（2）＝2﹣sin2π＝2， 因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（0）＝﹣f（2）＝﹣2，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1， 所以f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝0． 因为f（x+2）＝﹣f（x），将x换为x+2，则f（x+4）＝﹣f（x+2），所以f（x）＝f（x+4），即函数的周期为4， 所以505×[f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）]＝0． 故选：D． 10.已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），又已知f（﹣2）＝2，则f（2022）＝（　　） A．0 B．1 C． D．2 【解析】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数且满足f（4﹣x）＝f（x）， 则有f（4﹣x）＝f（﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x）， 则f（x）是周期为4的周期函数， 则f（2022）＝f（﹣2+506×4）＝f（﹣2）＝2； 故选：D． 11.定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．设g（x）＝f（x）+sinx﹣x，若g（10）＝2020，则g（﹣10）＝（　　） A．﹣2020 B．2020 C．0 D．1010 【解析】解：∵有f（x+y）＝f（x）+f（y）， ∴f（0+0）＝f（0）+f（0）＝f（0）， 即f（0）＝0， 令y＝﹣x，则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0 即f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数， 若g（x）＝f（x）+sinx﹣x，g（10）＝2020， 则g（10）＝f（10）+sin10﹣10＝2020， 则g（﹣10）＝f（﹣10）﹣sin10+10＝﹣f（10）﹣sin10+10， 两式相加得：0＝2020+g（﹣10）， 得g（﹣10）＝﹣2020， 故选：A． 18．已知函数f（x）满足f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2．则　　． 【解析】解：函数f（x）满足f（a+b）＝f（a）•f（b）， 当a＝b时，可得f（2a）＝f2（a）， 令b＝1，a＝n，可得f（n+1）＝f（n）•f（1）， 即：2， 则 ＝2[f（1）+f（1）+f（1）+…+f（1）]＝2×2016×2 ＝8064． 故答案为：8064． 19．已知f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（3+2x）＝f（7﹣2x），若f（x）＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝　　． 【解析】解：∀x∈R，f（3+2x）＝f（7﹣2x）， ∴令t＝3+2x，2x＝t﹣3． ∴f（t）＝f（10﹣t）\ ∴f（x）＝f（10﹣x） ∵f（5）＝0， ∵（75﹣5）÷10＝7， ∴n＝2×7+1＝15． 故答案为15． 20．定义在R上的函数，对任意实数，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）＝2，记an＝f（n）（n∈N*），则a2016＝　　． 【解析】解：∵f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2； ∴f（x+1）+2≤f（x）≤f（x）+3， ∴f（x+1）≤f（x）+1， ∵f（x+1）+1≥f（x+2）≥f（x）+2， ∴f（x+1）≥f（x）+1， ∴f（x+1）＝f（x）+1； ∴f（2016）＝f（1）+2015＝2016， 故答案为：2016． 21．设函数f（x）＝|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）＝f（），f（10a+6b+21）＝4lg2，则a+b的值为　　． 【解析】解：因为f（a）＝f（），所以|lg（a+1）|＝|lg（1）|＝|lg（）|＝|lg（b+2）|， 所以a+1＝b+2，或（a+1）（b+2）＝1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）＝1． 又由f（a）＝|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2， 于是0＜a+1＜1＜b+2． 所以（10a+6b+21）+1＝10（a+1）+6（b+2）＝6（b+2）1． 从而f（10a+6b+21）＝|lg[6（b+2）]|＝lg[6（b+2）]． 又f（10a+6b+21）＝4lg2， 所以lg[6（b+2）]＝4lg2， 故6（b+2）16．解得b或b＝﹣1（舍去）． 把b代入（a+1）（b+2）＝1解得a． 所以 a，b． a+b． 故答案为：． 10．若f（x）+f（1﹣x）＝4，则f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）＝　　． 【解析】解：令S＝f（0）+f（）+…+f（）+f（1）， 则S＝f（1）+f（）+…+f（）+f（0）， ∵f（x）+f（1﹣x）＝4， ∴2S＝4（n+1）， 故f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）＝2n+2 故答案为：2n+2． 题型04：抽象函数的单调性 1.（多选）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减 D．（注：） 【答案】ACD 【思路点拨】求得的值判断选项A；利用函数奇偶性定义判断选项B；利用函数单调性定义判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】由对任意，总有， 令，则，则， 令，则， 则有，故 则是奇函数，故选项B判断错误； 又由，可得， 则，故选项A判断正确； 设任意，， 则， 又，则，则， 则在上单调递减. 故选项C判断正确； ， 又由，可得 则 2．设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 构造，由已知条件有，即为奇函数又时，可判断单调递减，结合的规则有即可求的取值范围. 【详解】 构造函数，因为， ∴， ∴为奇函数， 当时，， 在上单调递减， ∴在R上单调递减. ∵存在，所以， ∴，化简得， ∴，即. 故选：D 3.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意是奇函数，则，所以原不等式可化为，即，又在上是增函数，且为奇函数，因此在上是增函数，所以，解得，故选D． 4.（多选）定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】ACD 【思路点拨】对于A：利用赋值法求出； 对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明； 对于C：利用单调性的定义进行证明； 对于D：利用赋值法求出，把化为，即可解得. 【详解】对于A：对于任意的都有，令，则有，所以.故A正确； 对于B：对于任意的都有，令，则有，所以；令，则有，所以，故是偶函数.故B错误； 对于C：任取，不妨令，则有，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增.故C正确； 对于D：由B的判断过程，可知是偶函数；由C的推导过程，在上单调递增. 对于任意的都有，且，令可得：，令可得：. 所以可化为：，即解得：，即的解集为.故D正确 5.已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数． 【答案】证明见解析 【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立. 【详解】证明：任取、，且， 则． 因为，所以，所以，即， 所以函数是上的增函数． 6.设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）令可得，再令代入所给条件即可求解； （2）令，代入所给条件即可得证； （3）原不等式可化为，由二次不等式解法得出或， 再由及函数的单调性求解. （1）令，则，即， 因为的定义域是，在区间 上是严格减函数，所以不恒为0， 所以，即，再令， 则，即 ，所以函数是一个偶函数. （2）令，则，所以，得证. （3）令，则，即 ，所以， 由可得 ，即， 解得或，所以或 ，因为在区间上是严格减函数， 所以或，解得或或 ，又，即， 所以或或 ，所以不等式的解集为 1. 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1. (1)求证: y＝f(x)－1为奇函数; (2)求证: f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3. [解] (1)证明：因为定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立． 所以令x1＝x2＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1.即f(0)＝1. 令x1＝x，x2＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1.所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，故y＝f(x)－1为奇函数． (2)证明：由(1)知y＝f(x)－1为奇函数，所以f(x)－1＝－[f(－x)－1]． 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0. 所以f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)－[f(x1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1. 因为当x＞0时，f(x)＞1.所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)是R上的增函数． (3)因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，所以f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3， 由不等式f(3m－2)＜3，得f(3m－2)＜f(2)．由(2)知f(x)是R上的增函数， 所以3m－2＜2，即3m－4＜0，即m＜.故不等式f(3m－2)＜3的解集为. 1. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【思路点拨】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确 1. 已知定义域为的函数满足对任意，都有． (1)求证：是偶函数；(2)设时，求证：在上是减函数； 【答案】（1）取得，即， 取得，即， 取，得，即是偶函数； （2）设，则，由时，得， 则，即在上为减函数 10.定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2）. 【解析】（1）首先判断，再令，判断函数的奇偶性，再设任意，利用已知条件列式，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为，再利用函数的单调性，去掉“”后，求的取值范围. 【详解】解：（1）令，则，得， 再令，则，∴，∴为奇函数，对任意， 令，，则，∵当时，， ∴，，从而， ∴在上的单调递增.（2）∵为奇函数，∴， ∵在上的单调递增，且，∴在上单调递增，由题意得： 及在上恒成立，∴，得①； ，，得②，由①②可知，的取值集合是. 11.定义在上的函数满足：对任意的，都有： （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）在（2）的条件下解不等式：; （4）在（2）的条件下求证：. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）（4）详见解析 【分析】（1）令x＝y＝0 可求得f（0）＝0；令y＝﹣x代入可判断f（x）的奇偶； （2）设﹣1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），分析判断出﹣10，再结合条件即可证明结论； （3）根据奇偶性与单调性可得不等式组，解之即可； （4）可得，结合（2）可得结果. 【详解】解：（1）令得： 设，则，，即， 函数是奇函数； （2）设，则， 由知：，且，所以，即， ，又 即，从而，故，即， 即，所以在上是减函数 （3），又由为奇函数，即， 由（2）知在上是减函数， 解得：，故不等式的解集为； （4） ， 故 由，， 即 题型05：抽象函数的奇偶性 1.（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【思路点拨】对于A：令，结合题意运算求解；对于D：令，根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B：根据奇函数的定义分析判断；对于C：举反例分析判断. 【详解】因为对任意的， 对于选项A：令，则，解得，故A正确； 对于选项C：令，则，可得， 且的定义域为，所以为奇函数，故D正确； 对于选项B：因为为奇函数， 所以，故B正确； 对于选项C：例如满足题意，但为常函数，不具有单调性，故C错误； 故选：ABD 2.（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【思路点拨】由已知，利用赋值法计算判断得解. 【详解】定义在上的函数满足， 令，得，而，则，A正确； 令1，得，而，则， 令， 得，即，而，即，则，B正确； 令，得， 即有，因此，C错误，D正确. 3.．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sinx，②f（x）＝ex﹣e﹣x，③f（x）＝ex+e﹣x，④是Ω函数的为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】解：由（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0，即为f（﹣a）＝﹣f（a），则f（x）为R上的奇函数； 由（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，即为a＞﹣b，f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b）， 可得f（x）为R上的增函数， 则函数f（x）为R上的奇函数，且为增函数． 由①f（x）＝x﹣sinx，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数； 又f′（x）＝1﹣cosx≥0，可得f（x）为R上的增函数，故①是Ω函数； ②f（x）＝ex﹣e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数， 又f′（x）＝ex+e﹣x＞0，可得f（x）为R上的增函数，故②是Ω函数； ③f（x）＝ex+e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x+ex＝f（x），可得f（x）为偶函数，故③不是Ω函数； ④定义域为R，x≠0时，f（﹣x）f（x），可得f（x）为奇函数， 又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，但在R上不为增函数，比如f（﹣1）＞f（1），故④不是Ω函数． 故选：A． 4.已知定义在上的函数满足：，某同学由此前提条件出发，然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若时，是奇函数且一定是单调增函数；②.若，是偶函数且有最大值为1；③.若，则；④.若，则.请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【解析】由已知关系式， 对于序号①，∵，故令，得，则， ∴是奇函数，设时， 由不能保证推出， 故序号①不能肯定成立； 对于序号②，∵时，令，则，进而有， ∴是偶函数，此时不妨特取，显然有，即满足，且有最大值1. 故序号②成立. 对于序号③来说，∵序号②正确，显然，有，故序号③C正确. 对于序号④，∵，特取， 则， 进而有，整理得①. 且有② 由①②得，推得，又得， ∴是最小正周期为6的周期函数，根据，特取，则得. 再取，即， 解得，令，. 于是， 解得. ∴.故序号④正确. 综上所述，本题正确的序号为②③④. 故选：D. 5.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】 解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数， 不妨令，则，所以是偶函数， 则，因为当时，成立， 所以在上单调递减， 又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增， 则，，， 因为，，， 所以，所以， 故选：D. 6.．已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ） A．40 B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据已知和对数运算得，，再由指数运算和对数运算法则可得选项. 【详解】 因为，， 故，. ∵，故. 故选：C． 7．设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，因为， ∴， ∴为奇函数， 当时，， 在上单调递减， ∴在R上单调递减. ∵存在，所以， ∴，化简得， ∴，即. 故选：D 8.已知函数f(x)为定义在R上的增函数，若对于任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． （1）求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数； （2）若f(1)＝2，解关于x的不等式f(x)－f(3－x)＜4． [分析]（1）令x＝y＝0计算f(0)＝0，再令y＝－x即可得出f(x)＋f(－x)＝0，得出结论； （2）计算f(2)＝4，将不等式移项得出f(x)＜f(2)＋f(3－x)＝f(5－x),利用函数的单调性得出不等式解出x． 【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0), ∴f(0)＝0，令y＝－x,f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x),∴f(x)为R上奇函数． (2)f(2)＝f(1)＋f(1)＝4， ∵f(x)－f(3－x)＜4, ∴f(x)＜f(2)＋f(3－x)＝f(5－x), ∴x＜5－x,解得 9.设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，． （1）求的值，并判断函数的奇偶性； （2）解不等式 【答案】（1），奇函数（2） 【解析】（1）利用赋值法，求的值；利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性； （2）先证明函数是定义在上的增函数，求出，利用函数的奇偶性将不等式进行转化为，再利用函数的单调性脱去函数符号，即可求解． 【详解】（1）令，则，∴． ∵，∴，由，得， ∴函数是奇函数． （2）设，且，则，， ∵当时，，∴，即，∴， ∴函数是定义在上的增函数， 由，得， ， ∵，∴， ∴， ∵函数是定义在上的增函数， ∴，∴，∴不等式的解集为 10.若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 【答案】(1)函数是偶函数，证明见解析(2)[－9，9] 【分析】（1）令，则对任意实数x都成立，根据函数奇偶性的定义可得结论； （2）由已知得．再设任意的，利用函数的单调性的定义证得在上单调递增，再根据函数是偶函数得不等式，求解可得答案． (1)解;函数是偶函数，证明如下：令，则对任意实数x都成立， 所以是偶函数． (2)解：，因为，所以． 设任意的，则，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以不等式等价于．又是R上的偶函数，所以，解得， 所以不等式的解集为[－9，9]． 11.是定义在上的函数，对一切都有且 （1）求； （2）判断函数的奇偶性 【答案】(1)(2)偶函数 【分析】（1）取，得到 （2）取得到，即得到答案. 【详解】（1） 取，则 （2） 取得到，即 函数为偶函数 12.定义在上的函数满足：对任意的，，都有：. （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或或 【解析】（1）令得，再令即可证明.（2）根据定义结合已知证明. （3）转化为，再变换主次元考虑. 【详解】（1）证明：令得：设任意，则，，即， ∴函数是奇函数； （2）设，则，由知：，且，所以，即，∴，又 即，从而，即，， 所以在上是减函数； （3）由（2）函数在上是减函数，则当时，函数 的最大值为， 若对所有恒成立，则等价为 对恒成立，即， 设，则对恒成立，∴，即，即， 解得或或 13.函数对定义域上任意满足：. （1）求的值； （2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性； （3）当时，，证明在上是增函数. 【答案】（1）0；（2）奇函数；证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）直接令，即可求得的值；（2）令，利用奇函数的定义即可证明； （3）利用增函数的定义证明即可. 【详解】解：(1)令，， ， ， ； (2)由题意知：关于原点对称，令， ， ，即对定义域内的任意实数都成立，是定义域内奇函数 ； (3)设 ， ，又 ，，， ，，，， 即，在上递增. 题型06：抽象函数的对称性 1.（多选）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【详解】对于A中，令，可得，所以， 令，得到，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确； 对于C中，设，可得， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得， 所以，所以，得到， 所以的解集为，所以C错误； 对于D中，因为为奇函数，所以， 所以， 又，故，所以D错误 2.设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______． 【答案】 【思路点拨】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值. 【详解】令，则，； 令，，则，又，； 令，则，关于直线对称； 令，则， 不恒成立，恒成立，为奇函数， ，， 是周期为的周期函数，. 题型07：抽象函数周期性 1.已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【思路点拨】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解. 【详解】由题意令，得，又不是常数函数， 所以，再令，得， 即，则， 即，故， 所以函数的周期为， 所以 2.已知函数定义域为，满足，则 . 【答案】 【详解】因为，， 令，可得， 所以，， ， 所以，即函数为周期函数，且周期为， 当时，，所以， 所以， 则. 3.已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ） A．5 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 先根据对称性分析出的奇偶性，然后根据分析出为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出的值. 【详解】 由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得， 所以是周期为的偶函数. 所以， 故选：D. 【点睛】 结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况： （1）若函数的图象关于直线对称，则为偶函数； （2）若函数的图象关于点成中心对称，则为奇函数. 4.定义在正整数上的函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由已知结合换元法求出函数的周期，进而得解. 【详解】 ① ② 由①②可得 ， 所以函数的周期， 故选：C 5.设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则 ． 【答案】 【思路点拨】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值. 【详解】令，则，； 令，，则，又，； 令，则，关于直线对称； 令，则， 不恒成立，恒成立，为奇函数， ，， 是周期为的周期函数，. 6.（多选）已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【思路点拨】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到. 【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称， 令，则，故，则， 令，则，又不恒为0，故， 所以为奇函数，故A错误； 对于B，因为为偶函数，所以， 所以关于对称，所以，故B正确； 对于C，因为为偶函数，所以， 令，则，故， 令，则，故，又为奇函数，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知，所以， 故的一个周期为6，因为，所以， 对于，令，得，则， 令，得，则，令，得， 令，得，令，得， 所以， 又，所以由的周期性可得： ，故D正确. 7.（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．关于中心对称 D． 【答案】BC 【思路点拨】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令，则或，故A错误， 若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确， 令，则，所以关于中心对称，故C正确， 由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2， 令，则，故， 进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误 8.（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ACD 【思路点拨】A.通过赋值，求的值；B.赋值，即可判断函数的奇偶性；C.赋值，利用函数的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明，即可判断. 【详解】A.令，有，得，A正确； B.令，得，，则，函数的定义域为，所以函数为偶函数，故B错误； C.令，得，即， 设，则， 所以，所以函数的周期为2， ，，…，， 所以，， 所以，故C正确， D.由，，， 令，得，所以， 将换成，得，①， 将换成，得，②， 将换成，换成，得,③, ①+②-③,得， 则，得，故D正确 9.（多选）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【思路点拨】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可. 【详解】A：在中， 令，则有， 在中， 令，则有， 因此本选项正确； B：若成立，即有， 在中， 令，则有， 这与相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确； C：在中， 以代，得， 以代，得， 上面两个等式相加，得 ，或， 当时，则有，显然与矛盾， 因此，于是有 ， 因此函数的周期为， 由， 由， 在中， 令，得， 令，得， 由， 于是有， 因为，所以由， 于是， 因此， ， 因此本选项正确； D：在中， 令，所以有，因此有： 因为，，， 函数的周期为， 所以 ，因此本选项正确 10.函数的定义域为，对任意，恒有，若，则 ， ． 【答案】 , 【思路点拨】取特殊值可得；取特殊值可得是周期为函数，计算出的值可得答案. 【详解】令，则，解得， 令，则， 因为，所以； 令，则，， 令，则，， 令，则，， ， 令，则，即，可得， 令，则， 令，则， 可得，从而， 所以，可得， 所以，是周期为的函数， . 故答案为：①；②0. 11.已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【思路点拨】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到. 【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称， 令，则，故，则， 令，则，又不恒为0，故， 所以为奇函数，故A错误； 对于B，因为为偶函数，所以， 所以关于对称，所以，故B正确； 对于C，因为为偶函数，所以， 令，则，故， 令，则，故，又为奇函数，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知，所以， 故的一个周期为6，因为，所以， 对于，令，得，则， 令，得，则，令，得， 令，得，令，得， 所以， 又，所以由的周期性可得： ，故D正确 题型08：抽象函数奇偶性周期性对称性综合 1.已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增， 因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增， 不等式可化为或， ，即，解得，，即，解得， 故不等式的解集为，故选：D. 2.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，而知：在上单调减， 而，即，又知：， ∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数， ∴在上单调增，即，可得， 综上，有， 故选：A 3．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 对任意的，都有 ， 在上是增函数， 令， 则， 为偶函数， 在上是减函数， 且， ， 当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， 综上所述：的解集为：. 故选：A. 4．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2） 【答案】B 【解析】因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于， 即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，则，即， 解得或，故选：B 5．定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵时,， ∴当时,； 当时,， 即时,， ∵在上单调递增， ∴且， 解得，∴实数的取值范围是.故选：C. 6．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】∵，① ∴，又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数， ∴，② 由①②得，， 不等式为，（*）， 设，这是一个增函数，当时，， （*）变为，， 若存在，使不等式成立，则为： 存在，使成立， 由于，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是． ∴． 故选：B. 7．已知函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，，则方程在区间上的解得个数是（ ） A． B．6 C．7 D．9 【答案】D 【详解】∵当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1）， 令f（x）=0，则x2﹣x+1=1，解得x=1 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴在区间∈[﹣1.5，1.5]上， f（﹣1）=f（1）=0，又周期为3，所以f（﹣1）=f（2）=0 又f（0）=0 f（1.5）=f（﹣1.5+3）=f（﹣1.5）=﹣f（﹣1.5） ∴f（﹣1）=f（1）=f（0）=f（1.5）=f（﹣1.5）=0 又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6，共9个，故选D． 8．已知定义在上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由定义在上的奇函数在上是减函数，得在上是减函数 所以 所以，即对任意的恒成立 记，则 所以 因为，当且仅当时取等号，所以当的最大值为，所以 故选A. 9．定义在 上的函数满足 ，且对任意的 都有 （其中为的导数），则下列一定判断正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，则 ，因为当 时， ，所以 ，则 在 上单调递增. 因为 ，即 ， 所以 ，所以 关于 对称，则，因为在上单调递增，所以，则有，，，，所以A、B、C均错， 故选D. 10．已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）. 11．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＜0时f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f（y）＝f（x+y）成立，若数列{an}满足，且a1＝f（0），则下列结论成立的是（ ） A．f（a2017）＞f（a2020） B．f（a2016）＞f（a2018） C．f（a2018）＞f（a2019） D．f（a2016）＞f（a2019） 【答案】B 【解析】依题意，对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f（y）＝f（x+y）成立， 令x＝y＝0得：f2（0）＝f（0），所以f（0）＝0或f（0）＝1， 又当x＜0时f(x)＞1，所以f（﹣1）＝f（﹣1+0）＝f（0）×f（﹣1）＞0，所以f（0）≠0，即f（0）＝1. 又数列{an}满足f（an+1）f（）＝f（an+1+）＝1＝f（0），所以an+1，又知道a1＝f（0）＝1，所以a2＝＝，a3＝，a4＝＝1＝a1， 由数列{an}的递推关系知数列{an}为以3为周期的数列， 所以a2016＝a2019＝a3＝﹣2，a2017＝a2020＝a1＝1，a2018＝a2＝， f（a2017）＝f（a2020）＝f（1），f（a2016）＝f（a2019）＝f（﹣2）＝f（﹣1﹣1）＝[f（﹣1）]2，f（﹣1）＝f[（）+（）]＝， 当x＜0时f(x)＞1，所以f（-1）＞1，f（）＞1， 所以f（a2017）＝f（1）＝＜1，f（a2016））＝f（a2019）＝[f（﹣1）]2＞f（﹣1）， 又f（﹣1）＝＞f（）＝f（a2018）， 所以f（a2016）＝f（a2019）＞f（a2018）＞f（a2017）＝f（a2020）. 故选：B. 12．已知定义在上的函数满足： ①； ②对所有，且，有. 若对所有，，则k的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨令，则 法一： ，即得， 另一方面，当时，，符合题意， 当时，，故 法二：当时，， 当时， ，故. 13．已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数.若，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题可得函数的周期为4，可求，利用可得，可求，即得切线方程. 【详解】 ∵函数是定义在上的偶函数，且为奇函数， ∴， ∴， ∴， ∴函数的周期为4， 令可得即 ∴， 由得， ∴，又 ∴， ∴曲线在点处的切线方程为即. 故选：D. 14．若函数f(x)满足，当时，．若在区间内有两个零点则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题设可得，由内有两个零点，可知内与有两个交点，应用数形结合并利用导数判断存在两个交点时m的范围即可. 【详解】 由题意，若，则，则， ∴时，， ∴， 在内有两个零点，即内与有两个交点，且过定点， ∴时，显然图象只有一个交点，即仅有一个零点， 时，在右半支上，当过时，要使上图象有两个交点，则， 当时，在左半支上，当与相切时只有一个交点，此时，得，则， ∴，整理得，可得， ∴要使上图象有两个交点，则. 综上，. 故选：A 15．已知定义在上的函数，满足，且，，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ） A．函数的周期 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】 由知， 所以，周期，A错误； 取，得，由得，又，得， 所以当时，是个减函数，； 当时，，， 是个减函数，； 可知在单调递减，B正确； 当时，，，得， ， 所以在区间上，， 又，得， 即的图象关于直线x=1对称， 由周期性可知在上的图象关于直线对称，故C正确； 由题意知与(且)有且只有3个公共点， 考查函数，有极大值点，7，11，…， 极小值点，5，9，…，极大值为2，极小值为， 为减函数时不合题意，所以为增函数， 由得， 由题意知且， 即且，所以，D正确. 故选：BCD 16．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ） A．是周期为2的函数 B． C．的值域为 D．在上有4个零点 【答案】BCD 【解析】 对于A，由为上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A. 对于B，由是周期为4的周期函数，则， ，可判断B． 对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C． 对于D，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D． 【详解】 解：对于A，为偶函数，其图像关于轴对称，把的图像向右平移1个单位得到的图像，所以图象关于对称， 即，所以， 为上的奇函数，所以，所以， 用替换上式中的得， ， 所以，，则是周期为4的周期函数.故A错误. 对于B，定义域为R的奇函数，则， 是周期为4的周期函数，则； 当时，，则， 则， 则.故B正确. 对于C，当时，，此时有， 又由为上的奇函数，则时，， ，函数关于对称，所以函数的值域.故C正确. 对于D，，且时，， ，， ，， ①时，，此时函数的零点为0，2； 是奇函数，， ②时，的周期为，， ，此时函数零点为4； ③时，， ，此时函数零点为6； ④时，，，此时函数无零点； 综合以上有，在上有4个零点.故D正确； 故选：BCD 17．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x）＝﹣f（x），且函数y＝f（x）为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f（x）是周期函数； ②函数f（x）的图象关于点（，0）对称； ③函数f（x）为R上的偶函数； ④函数f（x）为R上的单调函数； 其中真命题的序号为　　（写出所有真命题的序号） 【解析】解：对于①，∵f（x）＝﹣f（x），∴f（x+3）＝﹣f（x）， ∴f（x）＝f（x+3）， ∴f（x）是周期为3的函数，故①正确； 对于②，∵函数y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称， ∵y＝f（x）的函数图象是由y＝f（x）的图象向右平移个单位得到的， ∴y＝f（x）的函数图象关于点（，0）对称，故②正确； 对于③，∵f（x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x），即f（x）＝﹣f（x）， 又f（x）的周期为3，∴f（x）＝f（x3）＝f（x）， ∴f（x）＝﹣f（x）， 又y＝f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）， ∴f（x）＝f（﹣x），令xt，则f（t）＝f（﹣t）， ∴f（t）是偶函数，即f（x）是偶函数，故③正确； 对于④，由③知f（x）是偶函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上的单调性相反， ∴f（x）在R上不单调，故④错误； 故答案为①②③． 18．若定义域为R的函数y＝f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．给出下列四个关于“λ﹣伴随函数”的命题：①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”；③f（x）＝2x是“λ﹣伴随函数”；④当λ＞0时，“λ﹣伴随函数”f（x）在（0，λ）内至少有一个零点．所有真命题的序号为　　． 【解析】解：对于①，假设常数函数f（x）＝k为λ﹣伴随函数”，则k+λk＝0，∴（1+λ）k＝0， ∴当λ＝﹣1或k＝0． ∴任意一个常数函数都是“λ﹣伴随函数”，其中λ＝﹣1． 故①错误； 对于②，假设f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”，则x+λ+1+λ（x+1）＝0恒成立， 即（1+λ）x+2λ+1＝0恒成立， ∴，无解，故f（x）＝x+1不是“λ﹣伴随函数”， 故②错误； 对于③，假设f（x）＝2x是“λ﹣伴随函数”，则2x+λ+λ•2x＝0恒成立， 即（2λ+λ）•2x＝0恒成立， ∴2λ+λ＝0， 做出y＝2x和y＝﹣x的函数图象如图： 由图象可知方程2λ+λ＝0有解，即f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”， 故③正确； 对于④，∵f（x）是“λ﹣伴随函数”，∴f（x+λ）+λf（x）＝0恒成立， ∴f（λ）+λf（0）＝0， ∴f（0）f（λ）+λf2（0）＝0，即f（0）•f（λ）＝﹣λ2f（0）≤0． 若f（0）≠0，则f（0）•f（λ）＜0，∴f（x）在（0，λ）上至少存在一个零点， 若f（0）＝0，则f（0）•f（λ）＝0，则f（x）在（0，λ）上可能存在零点，也可能不存在零点． 故④错误． 故答案为③． 19．设函数y＝f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）＝T•f （x），则称函数y＝f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y＝f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f（x）＝x是“似周期函数”； ③函数f（x）＝2x是“似周期函数”； ④如果函数f（x）＝cosωx是“似周期函数”，那么“ω＝kπ，k∈Z”． 其中是真命题的序号是　　．（写出所有满足条件的命题序号） 【解析】解：①∵似周期函数”y＝f（x）的“似周期”为﹣1， ∴f（x﹣1）＝﹣f（x）， ∴f（x﹣2）＝﹣f（x﹣1）＝f（x）， 故它是周期为2的周期函数， 故正确； ②若函数f（x）＝x是“似周期函数”，则f（x+T）＝T•f （x）， 即x+T＝Tx恒成立； 故（T﹣1）x＝T恒成立， 上式不可能恒成立； 故错误； ③若函数f（x）＝2x是“似周期函数”，则f（x+T）＝T•f （x）， 即2x+T＝T2x恒成立； 故2T＝T成立，无解； 故错误； ④若函数f（x）＝cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）＝T•f （x）， 即cos（ω（x+T））＝Tcosωx恒成立； 故cos（ωx+ωT）＝Tcosωx恒成立； 即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT＝Tcosωx恒成立， 故， 故ω＝kπ，k∈Z； 故正确； 故答案为：①④． 20．已知函数y＝f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）＝﹣f（1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）＝log2（x﹣1），给出以下4个结论： ①函数y＝f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称； ②函数y＝|f（x）|是以2为周期的周期函数； ③当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝﹣log2（1﹣x）； ④函数y＝f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增． 其中所有正确结论的序号为　　． 【解析】解：令x取x+1代入f（1+x）＝﹣f（1﹣x）得，f（x+2）＝﹣f（﹣x） ∵函数y＝f（x）为奇函数，∴f（x+2）＝f（x），则函数是周期为2的周期函数， 设0＜x＜1，则2＜x+2＜3， ∵当x∈（2，3）时，f（x）＝log2（x﹣1）， ∴f（x）＝f（x+2）＝log2（x+1）， 设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1， 由f（x）＝﹣f（﹣x）得，f（x）＝﹣log2（﹣x+1）， 根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象： 由上图得，函数y＝f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称； 且函数y＝|f（x）|的图象是将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变， 则函数y＝|f（x）|是以2为周期的周期函数； 故①②③正确， 而函数y＝f（|x|），则图象如下图： 由图得，图象关于y轴对称，故y＝f（|x|）在（k，k+1）（ k∈Z）上不是单调递增的， 故④不正确， 故答案为：①②③． 21．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）＝kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是　　． 【解析】解：∵函数f（x）是偶函数， 当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]， ∴f（x）＝x2，x∈[﹣1，1]， ∵定义在R上的函数f（x）的周期是2， 作出函数f（x）的图象， ∵不等式f（x）≤g（x）的解集是 [0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0）， ∴函数直线y＝kx在[0，1]，[1，3]内相交， 且在当x≥5时，不等式无解， 当直线经过点A（3，1）时，yx， 此时不等式的解集不满足， 当直线经过点B（5，1）时，yx，此时不等式的解集满足条件， 则若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0）， 则k满足k， 即正数k的取值范围是[，）． 故答案为： 22．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）＝f（），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，且f（）＝1．设m＝f（）+f（）+…+f（）n≥2，n∈N*，则实数m与﹣1的大小关系是　　． 【解析】解：∵函数f（x）满足， 令x＝y＝0得f（0）＝0； 令x＝0得﹣f（y）＝f（﹣y）． ∴f（x）在（﹣1，1）为奇函数，单调减函数且在（﹣1，0）时，f（x）＞0， 则在（0，1）时f（x）＜0．又f（）＝﹣1， ∵f（）＝f（） ＝f（）﹣f（）， ∴m＝f（）+f（）+…+f（） ＝[f（）﹣f（）]+[f（）﹣f（）]+…+[f（）﹣f（）] ＝f（）﹣f（）＝﹣1﹣f（）＞﹣1， 故答案为：m＞﹣1． 23．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数： ①y＝﹣x3+1，②y＝3x﹣2sinx﹣2cosx③y④y． 以上函数为“Z函数”的序号为　　． 【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的增函数． ①函数y＝﹣x3+1在定义域上单调递减．不满足条件． ②y＝3x﹣2sinx﹣2cosx，y′＝3﹣2cosx+2sinx＝3+2（sinx﹣cosx）＝3+2sin（x）＞0，函数单调递增，满足条件． ③f（x）＝y，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件． ④y，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递增，满足条件． 故答案为：②④ 24．已知集合M＝{f（x）|f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y），x，y∈R}，有下列命题 ①若f1（x）则f1（x）∈M； ②若f2（x）＝2x，则f2（x）∈M； ③若f3（x）∈M，则y＝f3（x）的图象关于原点对称； ④若f4（x）∈M则对于任意不等的实数x1，x2，总有0成立． 其中所有正确命题的序号是　　． 【解析】解：①当f1（x）时可计算f2（x）﹣f2（y）与f（x+y）•f（x﹣y）不恒等． ②当f（x）＝2x时，f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y）成立． ③令x＝y＝0，得f（0）＝0 令x＝0，则由f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y）得： f（y）•f（﹣y）＝﹣f2（y） 所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称． ④如函数f（x）满足条件：f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y），但在定义域上是增函数 故只有②③正确 故答案为：②③ 25．定义在实数集R上的函数y＝f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实数t使得f（t+x）＝﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t的函数”．给出下列“关于t的函数”的结论： ①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”； ②“关于的函数”至少有一个零点； ③f（x）＝x2是一个“关于t的函数”． 其中正确结论的序号是　　． 【解析】解：①若f（x）＝c≠0，取t＝﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）＝c﹣c＝0， 即f（x）＝c≠0是一个“t函数”；故f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”错误． ②若f（x）是“是关于的函数”，则f（x）f（x）＝0，取x＝0，则f（）f（0）＝0， 若f（0）、f （）任意一个为0，则函数f（x）有零点； 若f（0）、f （）均不为0， 则f（0）、f （）异号，由零点存在性定理知，在（0，）区间内存在零点； 故“关于的函数”至少有一个零点，正确； ③若f（x）＝x2是一个“关于t函数”，则（x+t）2＝﹣tx2，求得t＝0且t＝﹣1，矛盾．故不正确， 故正确的结论是②， 故答案为：② 26．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ，DE，且DJ⊆DE．若对于任意x⊆DJ，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）＝ex（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题： ①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）； ②函数g（x）有5个零点； ③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）； ④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1； ⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2 其中正确的命题是　　（填上所有正确的命题序号） 【解析】解：①由题意得，若x＞0时，则﹣x＜0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数， 则g（x）＝f（x）＝ex（x+1）（x＜0）， ∴g（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣g（x）， ∴g（x）＝e﹣x（x﹣1），（x＞0），故①正确； ②∵g（x）＝ex（x+1）（x＜0），此时g′（x）＝ex（x+2），令其等于0，解得x＝﹣2， 且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减； 当x∈（﹣2，0）上导数大于0，函数单调递增， x＝﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1， 且在x＝﹣1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负． 又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示： 由图象可知：函数g（x）有3个零点，故②错误； ③由②知函数g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故③正确，； ④由②知函数在x＝﹣2处取得极小值，极小值为g（﹣2）＝e﹣2（﹣2+1）＝﹣e﹣2， 根据奇函数的对称性可知在x＝2处取得极大值，极大值为g（2）＝e﹣2，故④错误； ⑤当x＜0时，g（x）＝ex（x+1），则当x→0时，g（x）→1， 当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1），则当x→0时，g（x）→﹣1， 即当x＜0时，﹣1＜﹣e﹣2＜g（x）＜1， 即当x＞0时，﹣1＜g（x）＜e﹣2＜1， 故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，即⑤正确． 故正确的命题是①③⑤， 故答案为：①③⑤ 27．若函数y＝f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）＝2b（其中a，b不同时为0），则称函数y＝f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题： ①函数f（x）＝sinx+1是准奇函数； ②函数f（x）＝x3是准奇函数； ③若准奇函数y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数； ④已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）； 其中正确的命题是　　．（写出所有正确命题的序号） 【解析】解：对于①，函数f（x）＝sinx+1有f（﹣x）+f（x）＝sin（﹣x）+1+sinx+1＝﹣sinx+sinx+2＝2， 则y＝f（x）为“准奇函数”，且（0，1）为f（x）的“中心点”，则①正确； 对于②，函数f（x）＝x3，由f（﹣x）+f（x）＝0，则a＝b＝0，不满足条件，则②不正确； 对于③，若准奇函数y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），即有f（a+x）+f（a﹣x）＝2f（a）， F（﹣x）+F（x）＝f（a﹣x）﹣f（a）+f（x+a）﹣f（a）＝2f（a）﹣2f（a）＝0，则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a） 为R上的奇函数，则③正确； 对于④，已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则f（a+x）+f（a﹣x） ＝（a+x）3﹣3（a+x）2+6（a+x）﹣2+（a﹣x）3﹣3（a﹣x）2+6（a﹣x）﹣2＝（6a﹣6）x2+（2a3﹣6a2+12a﹣4）＝2b， 即有6a﹣6＝0且2a3﹣6a2+12a﹣4＝2b，解得a＝1，b＝2，．则它的“中心点”为（1，2），则④正确． 故答案为：①③④． 28．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②；③f（1﹣x）＝1﹣f（x）．则　　；　　． 【解析】解：依题意知，f（1﹣1）＝1﹣f（1）＝f（0）＝0， ∴f（1）＝1； 令1﹣x＝x，得x， 由③f（1﹣x）＝1﹣f（x）得f（）； ∴f（）＝f（）f（）， ∴f（）； 令x，则f（）＝1﹣f（）， 又f（）f（），即f（）f（）[1﹣f（）]， ∴3f（）＝1，解得f（）； 同理可得：f（），f（），f（）； ∵，f（）＝f（），函数f（x）在[0，1]上为非减函数， ∴f（），故f（）＝1， ∴f（）+f（）． 故答案为：，． 题型09：抽象函数零点 1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ） A．30 B．14 C．12 D．6 【答案】A 【解析】由知函数的图象关于直线对称， ∵，是R上的奇函数， ∴， ∴， ∴的周期为4， 考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 方程在上有实数根， 则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数， 则由于，故方程在上有唯一实数， 在和上， 则方程在和上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有6个实数根之和为. 故选：A. 2.已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 函数的零点个数为5等价于与的图像交点的个数为5，然后作出函数图象，数形结合即可得出结果. 【详解】 ∵偶函数，，是奇函数，得，即 ，，得，，即与的图像交点的个数，因为，即为与的图像交点的个数，因为 的图像为半圆，故由图像可知斜率应该在与之间或为， 或， 故选：C. 【点睛】 函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3.已知定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣3）＝f（x），当x∈（0，）时，f（x）＝ln（x2﹣2x+2），则函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数是　　． 【解析】解：令x＜0，则0＜﹣x， 由于当x∈（0，）时，f（x）＝ln（x2﹣2x+2）， f（x）＝0，则x1＝1； 则f（﹣x）＝ln（x2+2x+2）， 又f（﹣x）＝﹣f（x）， 则x＜0时，f（x）＝﹣ln（x2+2x+2），f（x）＝0，则x2＝﹣1； 令﹣2≤x，则1≤x+3，f（x+3）＝ln（（x+3）2﹣2（x+3）+2）， 由于f（x﹣3）＝f（x），即有f（x+3）＝f（x）， 则﹣2≤x，f（x）＝ln（x2+4x+5），f（x）＝0，x3＝﹣2； 则x≤2时，f（x）＝﹣ln（x2﹣4x+5），f（x）＝0，x4＝2 当x时，f（）＝f（）＝﹣f（），即f（）＝f（）＝0， 故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为6． 故答案为：6． 4.已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题： ①直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴； ②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数； ③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点． 问：以上命题中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】解：根据题意，对于任意x∈R，都有f （x+6）＝f （x）+f （3）成立， 令x＝﹣3，则f（﹣3+6）＝f（﹣3）+f （3）， 又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）＝0，则有f （x+6）＝f （x），所以f（x）的周期为6； 据此分析三个命题： 对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为6， 则直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴，①正确； 对于②，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有， 则函数y＝f（x）在[0，3]上为增函数， 因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y＝f（x）在[﹣3，0]上为减函数， 而f（x）的周期为6，所以函数y＝f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数；②错误； 对于③，f（3）＝0，f（x）的周期为6， 所以f（﹣9）＝f（﹣3）＝f（3）＝f（9）＝0， 函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有四个零点；③错误； 三个命题中只有①是正确的； 故选：B． 题型10：抽象函数比较大小解不等式 1．定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）； ②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称； ③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0． 则f（）、f（2）、f（3）从小到大的关系是（　　） A．f（）＞f（2）＞f（3） B．f（3）＞f（2） C．f（）＞f（3）＞f（2） D．f（3） 【解析】解：由①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）； 得函数为周期函数，且周期为2， 由②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称； 得函数的图象关于直线x＝1对称， 由③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0得函数在[0，1]为增函数， 则f（）＝f（），f（2）＝f（0），f（3）＝f（1）， 又因为0， 所以f（0）＜f（）＜f（1）， 即f（2）＜f（）＜f（3）， 故选：D． 2．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数， a＝f（2cos）＝f（2cos）＝f（1），b＝f（）＝f（log24.1）c＝f（20.8）， 又由函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数， 且1＜20.8＜2＜log24.1， 则a＜c＜b； 故选：A． 3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有0成立，则不等式f（x）＜0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 【解析】解：根据题意，设g（x）＝xf（x）， 若函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）， 则g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），则g（x）为R上的偶函数， 若f（﹣1）＝0，则g（﹣1）＝g（1）＝0， 又由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有0成立， 即0，即函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数， 则在（﹣∞，﹣1）上，g（x）＝xf（x）＞0，在（﹣1，0）上，g（x）＝xf（x）＜0， 又由x∈（﹣∞，0），则在（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在（﹣1，0），f（x）＞0， 又由f（x）为奇函数，在在（0，1），f（x）＜0， 综合可得：f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）； 故选：C． 4．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（　　） A．∅ B．（﹣3，） C．（﹣2，） D．（，3） 【解析】解：∵f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x）， 令x＝x+1， ∴f（x）＝﹣f（﹣x）， ∴函数f（x）为奇函数， ∵x≥0时，f（x）＝x3， ∴f（x）＝x3，x∈（﹣3，3）， ∴f（x）+27f（1﹣x）＝x3+27（1﹣x）3＞0， ∴x3＞[3（x﹣1）]3， ∵f（x）＝x3为增函数， ∴x＞3（x﹣1）， ∴﹣3＜x， 故选：C． 5．已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+2）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有，若f（a）≤f（3a+1），则实数a的取值范围是（　　） A． B．[﹣2，﹣1] C． D． 【解析】解：根据题意，函数y＝f（x+2）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝2对称， f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有， 则函数f（x）在[2，+∞）上为减函数， 则f（a）≤f（3a+1）⇔|a﹣2|≥|3a+1﹣2|，即|a﹣2|≥|3a﹣1|， 解可得：a，即a的取值范围为[，]． 故选：A． 6．定义在R上的函数y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，且f（x+1）是偶函数，则使f（2x﹣1）＞f（3）成立的x的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0） 【解析】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称， 若y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，则f（x）在[1，+∞）上为增函数， f（2x﹣1）＞f（3）⇒|2x﹣2|＞|3﹣1|， 解可得x＜0或x＞2，即x的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）； 故选：B． 7．已知定义在R上的函数f（x）满足： ①f（1）＝0； ②对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x）； ③对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有0；记g（x），则不等式g（x）≤0的解集为（　　） A．[﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1） C．[﹣1，0） D．[﹣1，0] 【解析】解：根据题意，f（x）满足对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，则有f（0）＝0； 又由对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数， 若f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f（x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0， 又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0， 则g（x）≤0即g（x）0，即或或， 解可得：﹣1≤x≤0，即不等式g（x）≤0的解集为[﹣1，0]； 故选：D． 8.已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称， 又由f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增， 又由f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2， 解可得：x或x， 即不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）； 故选：D． 9．函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x+2）关于x＝﹣2对称，若f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4] 【解析】解；根据题意，f（x+2）关于x＝﹣2对称，则f（x）为偶函数，且f（﹣2）＝f（2）＝1， 则f（x﹣2）≤1⇒f（|x﹣2|）≤f（|﹣2|）， 又f（x）在（0，+∞）单调递增， 所以|x﹣2|≤2，解可得0≤x≤4； 故选：D． 题型11：抽象函数综合题 9． 定义在R上的函数，对任意的，有，且. （1）求证：；（2）求证：是偶函数. 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析 【分析】（1）在中，令可证； （2）在中，令，利用偶函数的定义可证. 【详解】（1）证明：在中， 令，得，又，所以. （2）证明：在中， 令，得， 又，所以， 即，所以是定义在上的偶函数. 10． 设函数的定义域为，对任意实数，有，且 (1)求证：； (2)若时，，求证：在上单调递减. 【分析】（1）首先可得，然后分别令、可证明； （2）令可得，然后结合条件和单调性的定义可证明. （1）令，可得，由，解得， 令可得，化简得， 令可得所以， 综上，； （2）因为，所以时， 又因为，所以时，时， 任取， 令可得， 因为， 所以 所以上式可化为，所以函数在上单调递减. 11． 设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）令可得，再令代入所给条件即可求解； （2）令，代入所给条件即可得证； （3）原不等式可化为，由二次不等式解法得出或， 再由及函数的单调性求解. 【详解】（1）令，则，即， 因为的定义域是，在区间 上是严格减函数，所以不恒为0， 所以，即，再令， 则，即 ， 所以函数是一个偶函数. （2）令，则， 所以，得证. （3）令，则，即 ， 所以，由可得 ，即， 解得或，所以或 ， 因为在区间上是严格减函数，所以或， 解得或或 ，又，即，所以或或 ， 所以不等式的解集为 12． 已知定义域为的函数满足对任意，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析, ② 【分析】（1）函数性质先计算，令即可证明（2）①设，则由通过性质可得出即可证明②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可. 【详解】（1）取得，即， 取得，即， 取，得，即是偶函数． （2）①设，则，由时，得， 则，即在上为减函数， ②由是偶函数且在上是减函数， 则不等式等价为， 即得，得得， 即或或，即不等式的解集为. 13． 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解(3)或 【分析】（1）根据题意，令，即可判断； （2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解. 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增.证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. 14． 是定义在上的函数，对都有，当时，，且． (1)求，的值； (2)猜测为奇函数还是偶函数并证明； (3)求在上的单调性并证明． 【答案】(1)；(2)函数是奇函数，证明见解析(3)函数为减函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，令，求得，结合，即可求得的值； （2）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的定义域为，且， 令，则，解得， 因为，所以. （2）解：猜测：函数是奇函数. 证明如下：由（1）知， 令，则， 所以，所以， 所以函数是奇函数. （3）解：设，则， 因为时，， 又因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为减函数 15． 已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 【答案】(1) (2)是上的减函数，证明见解析 【详解】（1）解：因为函数对任意实数恒有成立， 令，则，所以. （2）解：函数为上的减函数. 证明:令，则，所以，故为奇函数. 任取，且，则， 因为当时，，所以， 所以 ，即，所以是上的减函数. 16． 已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③. (1)求及的值； (2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，结合可求得的值； （2）在等式中令可证得函数为奇函数，然后任取、，并且，根据函数单调性的定义可证得函数为上的增函数； （3）利用（2）中的结论将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为对任意的实数、，恒成立， 所以在上式中令得，即， 又在上式中令，得. 又，. （2）证明：在等式中令得. 即，且定义域为，则函数为奇函数. 又由已知可得：当时，， 任取、，并且，则，即， 所以，即， 则函数在区间上为增函数. （3）解：因为对任意的实数、，恒成立， 令，则，即， 又因为，所以， 又由（2）知函数为上的奇函数，则，即， 又因为，所以， 又由（1）知，即， 则，也即， 又由（2）知函数为上的增函数， 所以，即，解得或，故所求实数的取值范围为. 17． 已知函数的定义域为，且满足下列条件： （）．（）对于任意的，，总有． （）对于任意的，，，．则 （Ⅰ）求及的值． （Ⅱ）求证：函数为奇函数． （Ⅲ）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）. 【分析】（Ⅰ）由题意，对于任意，都有，∴令，即可求解的值； （Ⅱ）令，得，再令 ，则，进而得到 ，即可得到结论. （Ⅲ）∵对于任意的，可得为单调增函数，利用单调性把不等式转化为，得∴，即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵对于任意，都有， ∴令，得 ，∴． 令，则，∴． （Ⅱ）令，则有，∴， 令 ，则， ∴ ，即： ． 故为奇函数． （Ⅲ）∵对于任意的，∴为单调增函数， ∵ 则 且 ，∴，∴， ∴，即： ，解得或 ． 故实数的取值范围是 ． 18． 定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，． （1）判断在上的单调性并证明； （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立． 【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2）. 【解析】（1）首先判断，再令，判断函数的奇偶性，再设任意，利用已知条件列式，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为，再利用函数的单调性，去掉“”后，求的取值范围. 【详解】解：（1）令，则，得， 再令，则，∴，∴为奇函数， 对任意，令，，则， ∵当时，，∴，， 从而，∴在上的单调递增. （2）∵为奇函数，∴，∵在上的单调递增，且， ∴在上单调递增，由题意得：及在上恒成立， ∴，得①； ，，得②，由①②可知，的取值集合是. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$