第04讲：基本不等式14个题型训练-2026届高三数学一轮复习

第04讲：基本不等式 题型01 基本不等式的适用条件 题型02 直接使用基本不等式求最值 题型03 配凑法求最值 题型04 基本不等式“1”的代换 题型05 分式型（一次/二次，二次/二次） 题型06 和与积共存时求和/积的最值 题型07 换元法求最值 题型08 消元法求最值 题型09 齐次化求最值 题型10 基本不等式链的应用 题型11 多次使用基本不等式 题型12 基本不等式在解三角形中的应用 题型13 基本不等式在平面向量中的应用 题型14 基本不等式在解析几何中的应用 本节导航 题型01 基本不等式的适用条件 （25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（   ）经典例题例题 A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 四步 内容 题意 拆解 题目给出4个代数式.要求判断每个代数式的最小值是否正确.核心是利用基本不等式（均值不等式）分析最值.需关注代数式中变量的取值范围及等号成立条件. 考点 定位 核心考点：基本不等式（均值不等式）的应用，具体涉及： 基本不等式“一正、二定、三相等”的使用条件； 代数式的“凑定值”变形技巧； 对勾函数的单调性（当基本不等式等号取不到时的补充方法）. 思路 构建 根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 解法 优化 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 本次考点为基本不等式的应用条件及凑项变形求最值，需重点掌握： 基本不等式的“一正、二定、三相等”； （25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有 .小试牛刀1 ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① （25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 【多选题】（25-26高一上·陕西商洛·阶段练习）下列各式中，最小值是2的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故A符合题意； 对于B，当时，，B不符合题意； 对于C，，此时无解， 即，则C不符合题意； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故D符合题意. 故选：AD. 题型02 直接使用基本不等式求最值 （2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知正数、，满足线性约束条件，要求乘积的最大值 考点 定位 核心考点是基本不等式（均值不等式）的“和定积最大”性质，辅助考点为凑系数的变形技巧 思路 构建 已知、均为正（满足“一正”），是定值（满足“和定”），需将凑成含的形式，利用“和定积最大”的基本不等式求最值 解法 优化 将变形为与匹配的形式： 由基本不等式“”（、），令、，则 代入，得 因此 当且仅当时等号成立，结合，解得、，此时取最大值1 本次考点为基本不等式“和定积最大”的应用及凑系数变形技巧，需重点掌握“和定积最大”的三个条件（一正、和定、三相等）、凑系数匹配已知和的变形方法（如将凑为以匹配） （25-26高一上·上海·阶段练习）已知，则的最大值为 ．小试牛刀1 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，得， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： （25-26高一上·上海·阶段练习）设、．已知，则的最大值为 ．小试牛刀2 【答案】4 【分析】由题设条件结合重要不等式即可求解. 【详解】因为、，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 （25-26高二上·贵州遵义·期中）的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据基本不等式求最值即可． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 题型03 配凑发求最值 已知，当取最小值时，实数的值为（    ）经典例题例题 A．1 B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知，求当代数式取最小值时，实数的取值，选项为四个给定数值 考点 定位 核心考点是基本不等式（均值不等式）的应用，重点是凑定值的变形技巧，以及“一正、二定、三相等”的使用条件 思路 构建 由可知（满足“一正”），需将变形，凑出含的形式以构造“积定”，再用基本不等式求最值，最后根据等号成立条件求的值 解法 优化 因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 用基本不等式求最值时，若代数式形式不满足“和定”或“积定”，需通过凑项（如本题拆分一次项匹配分式分母）构造符合条件的形式，同时需确保变量为正，最后验证等号成立条件是否满足 （25-26高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值是 ，此时 .小试牛刀1 【答案】 7 【分析】根据题意利用基本不等式求最值，并求等号成立的条件. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. （2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ．小试牛刀2 【答案】 1 【分析】利用基本不等式结合配凑法计算即可得. 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. （24-25高二下·山西·开学考试）若，则函数的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】7 【分析】把题干函数变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】 由可知， ，当且仅当时，等号成立， 即函数的最小值为7. 故答案为：7 题型04 基本不等式”1”的代换 （25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D．9 四步 内容 题意 拆解 已知实数，，且，要求代数式的最小值，选项为四个给定数值 考点 定位 核心考点是基本不等式的“1的代换”技巧，结合“一正、二定、三相等”的使用条件，属于条件最值问题 思路 构建 由变形得（匹配代数式中的），因、故（满足“一正”），利用“1的代换”，将代数式乘以（即乘以1），展开后构造积定形式，用基本不等式求最值 解法 优化 先变形约束条件：由得（，） 对代数式做“1的代换”： 展开得： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立 代入得： 验证等号条件：由得，结合，解得、（满足、），故最小值为，对应选项B 处理含分式和的条件最值问题，若约束条件是两变量的和为定值，可先变形约束条件匹配分式分母，再用“1的代换”（乘以定值和的倒数）展开代数式，构造积定形式后用基本不等式求最值，需确保变量为正且等号能取到 （25-26高一上·上海·期中）已知，且满足，则的最小值为 ．小试牛刀1 【答案】8 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】由可得， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：8. （25-26高三上·福建厦门·期中）设，，，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】， 当且仅当且，即、时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. （25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）已知，，，则的最小值为 小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先由题设得，再由基本不等式“1”的常数代换即可计算求解. 【详解】因为，，，所以， 所以. 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型05 分式型（一次/二次，二次/二次） 经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知，要求代数式的最大值，选项为四个给定数值 考点 定位 核心考点是基本不等式的应用（负变量下的变号处理），辅助考点为分式的整式分离（换元变形），属于含约束条件的分式最值问题 思路 构建 先通过换元将负变量转化为正变量（因），再对分式做整式分离（化为整式+分式形式），利用基本不等式求最值，最后结合换元关系验证等号成立条件 解法 优化 设，由得，且 将代入分子： 原式化为 因，令，变形得： 由基本不等式，（当且仅当即时等号成立） 因此 此时，（满足），故最大值为，对应选项A 当变量为负时，求分式最值需通过换元变号（将负变量转化为正变量），再对分式做整式分离，利用基本不等式时注意变号后不等式方向的变化，同时需结合原变量范围确定换元后变量的范围，验证等号成立条件 （2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ．小试牛刀1 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． （2022高一上·全国·专题练习）函数 的最小值为 ．小试牛刀2 【答案】7 【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值. 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 （25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 题型06 和与积共存时求和/积的最值 （25-26高一上·辽宁营口·期中）已知，，且.经典例题例题 (1)求mn的最小值； (2)求的最小值. 四步 内容 题意 拆解 已知，，且满足等式，(1)求的最小值；(2)求的最小值 考点 定位 核心考点是基本不等式的应用，(1)涉及“和转积”的不等式构造；(2)涉及消元法+凑项变形，或因式分解换元后的基本不等式应用 思路 构建 (1)由、，利用基本不等式，将已知等式中的替换为，构造关于的不等式求解最小值 (2)先通过已知等式消元（用表示），将转化为关于的一元代数式，再凑项变形为“整式+分式”形式，结合基本不等式求最值 解法 优化 （1）因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，即mn的最小值为16. （2）因为，所以，又，， 所以，同号， 假设，，，， 又，，，，与矛盾， 假设不成立，故，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. (1)已知“积=和+常数”的条件时，可利用基本不等式将“和”转化为“积的算术平方根”，构造关于目标积的不等式求解最值 (2)二元代数式的最值问题，可通过消元转化为一元代数式，再凑项变形为“整式+分式”形式，结合基本不等式求最值，需注意变量的取值范围（保证分式分母为正） （25-26高一上·安徽合肥·期中）设，且，则的最小值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知条件，结合不等式，可得，解不等式即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以，所以， 化简整理得，解得，或（舍去）， 所以的最小值为，当取最小值. 故答案为： （25-26高一上·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】由题设，结合重要不等式有，注意等号成立条件，从而得到，令得，解一元二次不等式求，即可得. 【详解】由题设，且，则， 由，当且仅当时取等号，则， 令，则，整理得， 所以（舍）或，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： （25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】1 【分析】利用基本不等式可得，结合已知求解可得的最小值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，解得或（舍去），所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为：. 题型07 换元法求最值 （2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知，满足线性约束条件，要求代数式的最小值 考点 定位 核心考点是基本不等式的“1的代换”技巧，辅助考点为换元法（将分母转化为新变量），属于条件分式最值问题 思路 构建 先通过换元将分母设为新变量，将原约束条件转化为新变量的线性等式，再利用“1的代换”将目标代数式与新变量的线性等式结合，展开后构造积定形式，用基本不等式求最值 解法 优化 设，（由得、） 将用、表示：解方程组，得、，代入，化简得 目标代数式转化为，利用“1的代换”： 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立 结合，得，代入换元式得、（满足），故的最小值为 本次考点是换元法结合“1的代换”的基本不等式应用，需重点掌握：分母换元的方法、原约束条件向新变量线性等式的转化步骤、“1的代换”构造积定形式的技巧 （25-26高一上·浙江·阶段练习）已知，则 的最小值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案为： （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，为正实数，且满足，则的最小值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】构造代数式，利用基本不等式即可得到最小值. 【详解】， ∵，且，为正实数， ∴， 当且仅当时，即时，取“=”， ∴，则. 故答案为： （24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】由得，根据基本不等式“1”的代换计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 题型08 消元法求最值 （24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知，，且满足等式，要求用消元法求代数式的最小值 考点 定位 核心考点是基本不等式的应用，辅助考点为消元法、分式的凑项变形，属于条件约束下的单变量代数式最值问题 思路 构建 从已知等式中用表示（消去），结合确定的范围，将目标式转化为关于的单变量代数式，通过凑项变形为“整式+分式”形式，利用基本不等式求最值 解法 优化 步骤1：消元（用表示） 对已知等式变形：，移项得，故 由且，分析得（保证分母、分子均为正） 步骤2：代入目标式并变形 将代入，得： 拆项凑形：将拆为，将拆为，化简得： 步骤3：用基本不等式求最值 因，故，由基本不等式： 当且仅当（即）时等号成立，此时（满足） 故的最小值为 本次考点为消元法结合基本不等式求二元最值，需重点掌握： 从约束等式中消元表示另一变量的方法 单变量代数式的凑项变形技巧 基本不等式应用前的变量范围验证 （24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. （2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： （23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先对进行因式分解得出；再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以. 又因为实数x，y满足， 所以， 则由基本不等式可得：， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 题型09 齐次化求最值 （25-26高一上·黑龙江·阶段练习）已知，，且，则的最小值是 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知、，满足线性约束条件，要求用齐次化方法求分式的最小值 考点 定位 核心考点是齐次化方法在基本不等式中的应用，辅助考点为代数式的齐次变形技巧、基本不等式“一正二定三相等”的应用 思路 构建 齐次化的核心是将分式的分子、分母化为同次式，利用已知条件，将分子中的低次项（、）乘以“”（即），使分子次数与分母（，次数2）一致，再拆分分式为可应用基本不等式的形式 解法 优化 齐次化处理：因，将分子中的、分别乘以，使分子次数为2： 分子 展开分子： ，，故分子 化简分式： 原式 应用基本不等式： 因、，，当且仅当（即）时等号成立 结合，解得、，此时原式最小值为 齐次化方法适用于条件为线性等式（和为定值）的分式最值问题，核心是利用定值等式将分子/分母凑为同次式，再拆分分式为“整式+分式”形式，结合基本不等式求解，需保证变量为正且等号成立条件满足 （2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】将代入可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以.又， 所以， 当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为： （24-25高三上·重庆渝中·月考）已知，，则的最大值是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： （23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知，，，则的最小值为 小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据条件化简后利用均值不等式求解即可. 【详解】由 ，， 可得， ， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 的最小值为 ． 故答案为： 题型10 基本不等式链的应用 早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ）经典例题例题 A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 四步 内容 题意 拆解 已知正实数、，满足约束条件，利用不等式链，判断四个选项中关于的最小值、的最大值、的最大值、的最小值的说法正确性 考点 定位 核心考点是基本不等式链的应用，辅助考点为换元法转化条件、代数式与（或）、的变形技巧，属于条件约束下的代数式最值判断问题 思路 构建 设（），将表示为，结合基本不等式确定的取值范围；再将各选项的代数式转化为关于的表达式，结合函数单调性或基本不等式分析其最值 解法 优化 步骤1：确定的范围 设（），由约束条件得 由基本不等式，得，解得，故（当且仅当时取等号） 步骤2：逐一分析选项 选项A：，由基本不等式得，当且仅当时取等号（满足约束条件），故的最小值为2，A正确 选项B：由，得，当时取等号，故的最大值为，B正确 选项C：，令，则，其在时单调递增，故最小值为，C错误 选项D：，由，得，当时取等号，故的最小值为，D正确 处理含、的条件最值问题，可通过换元（设）将约束条件转化为单变量范围，再结合基本不等式或函数单调性分析代数式最值，需注意变量范围需满足基本不等式的“一正二定三相等” 【多选题】（25-26高三上·山西大同·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式计算可判断ABC；利用不等式1的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为，，，且，所以，即，故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确。 故选：ABD. 【多选题】（25-26高一上·广东广州·期中）若，且，则下列不等式一定成立的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于AD：利用基本不等式直接判断即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式分析判断；对于C：根据消元，结合基本不等式分析判断. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 即，故C错误； 对于选项D：，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【多选题】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）若都为正实数，且，则（    ）小试牛刀3 A．的最大值为11 B． C．的最小值为2 D．的最小值为9 【答案】CD 【分析】对于A，由可判断；对于B，代入，结合配方法可判断，对于C，由可判断，对于D，由乘1法可判断. 【详解】解：因为都为正实数，且， 所以，当且仅当时取等号，故A错； 由已知得，可得， 所以，故B错误； ，当且仅当时取等号， 故C正确； ，当且仅当，时取等号， 故D正确． 故选：CD 题型11 多次使用基本不等式 （23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知正实数、、，满足约束条件，第一问求的最大值，第二问求代数式的最小值 考点 定位 第一问核心考点是基本不等式“和定积最大”的应用，第二问核心考点是基本不等式的凑项变形、单变量代数式的最值求解，辅助考点为分式的化简技巧 思路 构建 第一问：利用基本不等式“”（），结合构造关于的不等式，求其最大值 第二问：先化简含a、b的分式部分，求该部分的最小值，再将目标式转化为含的单变量代数式，通过凑项变形结合基本不等式求整体最小值 解法 优化 第一问：求的最大值 因、且，由基本不等式，得 两边平方得，即 当且仅当时等号成立，故的最大值为 第二问：求的最小值 1. 化简含a、b的部分： 代入，得 通分后为，令（），则的最小值为2（当、时取等号） 2. 转化为含的代数式： 目标式简化为，凑项变形为 3. 用基本不等式求最值： 因，由基本不等式得 当且仅当（即）时等号成立，故最小值为 利用“和定积最大”求积的最值，需满足基本不等式的“一正、二定、三相等”条件 多变量代数式的最值问题，可先化简部分变量的代数式求其最值，再结合剩余变量用凑项变形+基本不等式求解，需注意变量范围的验证 （23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值． 【详解】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由基本不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． （23-24高一上·四川成都·期中）已知是正实数，且，则最小值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合题意，利用基本不等式求得，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为是正实数，且， 可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为. 【详解】由正实数，且可得 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 又， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当，时，等号成立，此时的最小值为. 故答案为： 题型12 基本不等式在解三角形中的应用 （2025·浙江杭州·一模）设的内角的对边分别为，已知.经典例题例题 (1)若. （i）求； （ii）求； (2)求的最大值. 四步 内容 题意 拆解 已知△的内角的对边为，满足，(1)当、时，(i)求；(ii)求边；(2)求的最大值 考点 定位 涉及三角形内角和定理、三角恒等变换（正弦和角/差角公式）、正弦定理、基本不等式求最值 思路 构建 (1)(i)：利用得，代入已知等式展开化简，结合求 (1)(ii)：由求，利用求，再用正弦定理求 (2)：设，结合三角恒等变换将表示为关于的正切的代数式，再用基本不等式求最大值 解法 优化 （1）（i），展开化简得： 所以； （ii）由，而为三角形内角，故， 所以， 由正弦定理，得. （2）由（1）可得，故均为锐角， 所以， 当且仅当时，取到最大值. 三角形中可利用内角和定理将转化为，是处理角的关系的核心技巧 正弦定理需结合三角恒等变换，先求对应角的正弦值再计算边长 三角式的最值可通过换元（如）转化为代数分式，再用基本不等式求解 （25-26高三上·河南郑州·期中）在中，内角的对边分别为．已知．小试牛刀1 (1)求； (2)若，点在边上，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得到，进而可得，即可求解； （2）根据条件，利用（1）中结果及三角形面积公式，得，再由余弦定理及基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 由，则， 可得，所以， 由，即，则，即， 根据，解得. （2）由（1）有， 由，有， 由余弦定理， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以， 所以面积的最大值为. （25-26高二上·陕西·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理边角互化，然后利用两角和的正弦公式化简得，即可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式求得，再利用同角三角函数关系求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为，所以， 所以. 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 则. 由（1）可知，则， 则的面积， 故面积的最大值为. （2025·湖北黄冈·一模）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】解法一：由题设易得，，，，结合基本不等式可得，设的内切圆与边相切于点，结合图形可得，进而求解即可； 解法二：由题设结合平方关系、等面积法易得，结合余弦定理可得，，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，即，则，同理， 而，解得， 设的内切圆与边相切于点，    而， 则， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 由图可知， ， 则边长的最小值为. 解法二：由，得， 由，得①， 由余弦定理有 ， 则②，显然． 由①②整理得， 解得或（舍去）， 则，当时等号成立， 则边长的最小值为. 故答案为；. 题型13 基本不等式在平面向量中的应用 （25-26高三上·北京·阶段练习）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知D是△ABC的BC边（不含端点）上一点，E是AC中点，向量，先求的值，再求的最小值 考点 定位 核心考点是平面向量基本定理（共线向量的线性表示），辅助考点是基本不等式的“1的代换”求分式最值 思路 构建 先利用E是AC中点，将转化为的线性式，再结合D在BC上的共线条件，用平面向量基本定理建立的关系求；再利用的定值，通过“1的代换”结合基本不等式求的最小值 解法 优化 求的值 因E是AC中点，故，代入得： 又D在BC上，故存在，使 由平面向量基本定理，系数对应相等：，（即） 因此 求的最小值 由（），用“1的代换”： 展开得： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立 代入得，此时、（满足条件） 平面向量基本定理中，共线点对应的向量线性表示需满足系数和的特定关系 求分式最值时，若已知变量的线性和为定值，可通过“1的代换”展开代数式，结合基本不等式求解 （25-26高三上·四川成都·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】先根据中点的性质将转化为与有关的向量，再利用三点共线得到与的关系，最后根据均值不等式求出的最大值. 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. （25-26高三上·北京丰台·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线的条件可得，，再由基本不等式可得最大值. 【详解】因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. （24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值. 【详解】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型14 基本不等式在解析几何中的应用 （山西省太原市2025-2026学年高二上学期期中学业诊断数学试题）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线．经典例题例题 (1)求曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 四步 内容 题意 拆解 已知平面内定点和定直线，动点到的距离与到的距离比为，(1)求动点的轨迹曲线的标准方程；(2)过点且斜率为的直线与曲线交于D、E两点，求（为原点）的面积最大值 考点 定位 (1)椭圆的第二定义（轨迹方程推导）；(2)直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式求最值 思路 构建 (1)根据动点到定点与定直线的距离比，列坐标等式，化简得到椭圆的标准方程；(2)设直线方程，联立椭圆方程，用韦达定理得根与系数的关系，结合弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再用基本不等式求最大值 解法 优化 (1)求曲线的标准方程 由题意，动点满足，两边平方得： 展开化简：，整理得，即曲线的标准方程为 (2)求的面积最大值 设直线方程为，联立椭圆方程，消去得： 由判别式，得 设、，由韦达定理得： 弦长 原点到直线的距离 面积 令（），则，代入得： 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号 故，即面积的最大值为 (1)椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为离心率的点的轨迹是椭圆，可通过直译法推导其标准方程；(2)直线与椭圆联立需用判别式确定参数范围，结合韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再通过换元+基本不等式求最值 （25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．小试牛刀1 (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及椭圆所过的点列方程求参数值，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得到面积关于参数的表达式，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题意，得，解得，椭圆的方程为； （2）由（1），设直线，    联立，得且，故， ， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ．小试牛刀2 【答案】 2 【分析】根据的面积的最大值可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知条件可得、， 设，因为点为椭圆上一点， 所以，，， 所以的面积，当且仅当时取等号， 所以当的坐标为或时的面积取最大值，最大值为， 由已知可得， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以，所以 所以 故 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． （25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为 ．小试牛刀3 【答案】2 【分析】设，联立方程组求出面积为，令，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率不为0，， 故设，， 联立得，， 则， 则， 故的面积， 令，则，等号成立时，， 故的面积的最大值为2. 故答案为：2 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（  ） A．25 B．50 C．16 D．9 【答案】A 【分析】根据椭圆定义可得，根据基本不等式，代入计算，即可得答案. 【详解】根据椭圆的定义可得， 由基本不等式可得， 所以，即的最大值为25. 当且仅当时取等号. 故选：A 2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过变形已知条件得到两个正数的和为定值，构造所求式子与该和的乘积形式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】由，，，可得，且，. 则 , 由基本不等式，, 故, 当且仅当且，即，时，等号成立. 故选：C 3．（25-26高一上·浙江·期中）设，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件化简，再应用基本不等式计算求解最值. 【详解】，因为， 所以， 则， 当且仅当或时，取的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．11 D．24 【答案】B 【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7. 故选：B 5．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）若实数，，且，则（   ） A．的最小值为7 B．的最大值为9 C．的最小值为8 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】对于AD：整理可得，，代入结合基本不等式运算求解；对于BC：直接应用基本不等式解不等式即可判断. 【详解】对于选项A：由， 显然不符合上式，即，整理可得， 由，则，即，解得， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于选项B：由，则， 整理可得，解得，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 对于选项C：由，则， 整理可得，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：由选项A可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1，故D正确； 故选：D. 7．（25-26高一上·广东东莞·期中）若正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意， 当且仅当，结合，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：B 8．（25-26高三上·广东河源·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】变形所求式子，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当时，即当时等号成立，故的最小值为4. 故选：D 9．（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 11．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误. 【详解】A：当时，，故A错误； B：，当且仅当，即时取等号，故B正确； C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误； D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误； 故选：B. 二、填空题 12．（25-26高三上·天津·阶段练习）在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设中角所对的边分别为，结合图形，利用向量的加减数乘运算用表示出，再运用数量积的运算律与向量数量积的定义求出的表示式，根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，代入计算即得的最大值. 【详解】 如图，设中角所对的边分别为， 因点为的中点，点为的中点，，， 则， ， 则 ， 因，由余弦定理，，即， 于是， 因，可得，当且仅当时等号成立， 此时， 即当时，的最大值为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为 .    【答案】/ 【分析】根据题意以为基底表示，然后利用平方的方法进行化简得，结合基本不等式以及余弦函数单调性可得时，取最小值，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则， 又，，所以， 即，当且仅当即时等号成立， 此时，由函数在上单调递减知， 故当时，取最大值，取最小值， 此时， 的面积为. 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值． 【详解】因为，，， 所以， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 15．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知F是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】对直线斜率进行分类讨论，然后对斜率存在时设直线方程，联立方程组化简整理，根据根与系数的关系及弦长公式化简，利用均值不等式求解. 【详解】如图: 由椭圆方程可知，. 当直线斜率不为0时，设直线，， 联立，消去整理得：， 由,所以， 因为弦长(其中), 所以 ，所以. 所以 ，当且仅当， 即时，等号成立， 所以 的最小值为； 当直线斜率为0时，，下面说明：. 要使，即，也即，这显然成立，所以 所以. 综上，的最小值为， 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：基本不等式 题型01 基本不等式的适用条件 题型02 直接使用基本不等式求最值 题型03 配凑法求最值 题型04 基本不等式“1”的代换 题型05 分式型（一次/二次，二次/二次） 题型06 和与积共存时求和/积的最值 题型07 换元法求最值 题型08 消元法求最值 题型09 齐次化求最值 题型10 基本不等式链的应用 题型11 多次使用基本不等式 题型12 基本不等式在解三角形中的应用 题型13 基本不等式在平面向量中的应用 题型14 基本不等式在解析几何中的应用 本节导航 题型01 基本不等式的适用条件 （25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（   ）经典例题例题 A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 四步 内容 题意 拆解 题目给出4个代数式.要求判断每个代数式的最小值是否正确.核心是利用基本不等式（均值不等式）分析最值.需关注代数式中变量的取值范围及等号成立条件. 考点 定位 核心考点：基本不等式（均值不等式）的应用，具体涉及： 基本不等式“一正、二定、三相等”的使用条件； 代数式的“凑定值”变形技巧； 对勾函数的单调性（当基本不等式等号取不到时的补充方法）. 思路 构建 根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 解法 优化 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 本次考点为基本不等式的应用条件及凑项变形求最值，需重点掌握： 基本不等式的“一正、二定、三相等”； （25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有 .小试牛刀1 ①    ②    ③    ④， （25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·陕西商洛·阶段练习）下列各式中，最小值是2的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 题型02 直接使用基本不等式求最值 （2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知正数、，满足线性约束条件，要求乘积的最大值 考点 定位 核心考点是基本不等式（均值不等式）的“和定积最大”性质，辅助考点为凑系数的变形技巧 思路 构建 已知、均为正（满足“一正”），是定值（满足“和定”），需将凑成含的形式，利用“和定积最大”的基本不等式求最值 解法 优化 将变形为与匹配的形式： 由基本不等式“”（、），令、，则 代入，得 因此 当且仅当时等号成立，结合，解得、，此时取最大值1 本次考点为基本不等式“和定积最大”的应用及凑系数变形技巧，需重点掌握“和定积最大”的三个条件（一正、和定、三相等）、凑系数匹配已知和的变形方法（如将凑为以匹配） （25-26高一上·上海·阶段练习）已知，则的最大值为 ．小试牛刀1 （25-26高一上·上海·阶段练习）设、．已知，则的最大值为 ．小试牛刀2 （25-26高二上·贵州遵义·期中）的最小值为 ．小试牛刀3 题型03 配凑发求最值 已知，当取最小值时，实数的值为（    ）经典例题例题 A．1 B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知，求当代数式取最小值时，实数的取值，选项为四个给定数值 考点 定位 核心考点是基本不等式（均值不等式）的应用，重点是凑定值的变形技巧，以及“一正、二定、三相等”的使用条件 思路 构建 由可知（满足“一正”），需将变形，凑出含的形式以构造“积定”，再用基本不等式求最值，最后根据等号成立条件求的值 解法 优化 因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 用基本不等式求最值时，若代数式形式不满足“和定”或“积定”，需通过凑项（如本题拆分一次项匹配分式分母）构造符合条件的形式，同时需确保变量为正，最后验证等号成立条件是否满足 （25-26高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值是 ，此时 .小试牛刀1 （2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ．小试牛刀2 （24-25高二下·山西·开学考试）若，则函数的最小值为 ．小试牛刀3 题型04 基本不等式”1”的代换 （25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D．9 四步 内容 题意 拆解 已知实数，，且，要求代数式的最小值，选项为四个给定数值 考点 定位 核心考点是基本不等式的“1的代换”技巧，结合“一正、二定、三相等”的使用条件，属于条件最值问题 思路 构建 由变形得（匹配代数式中的），因、故（满足“一正”），利用“1的代换”，将代数式乘以（即乘以1），展开后构造积定形式，用基本不等式求最值 解法 优化 先变形约束条件：由得（，） 对代数式做“1的代换”： 展开得： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立 代入得： 验证等号条件：由得，结合，解得、（满足、），故最小值为，对应选项B 处理含分式和的条件最值问题，若约束条件是两变量的和为定值，可先变形约束条件匹配分式分母，再用“1的代换”（乘以定值和的倒数）展开代数式，构造积定形式后用基本不等式求最值，需确保变量为正且等号能取到 （25-26高一上·上海·期中）已知，且满足，则的最小值为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·福建厦门·期中）设，，，则的最小值为 .小试牛刀2 （25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）已知，，，则的最小值为 小试牛刀3 题型05 分式型（一次/二次，二次/二次） 经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知，要求代数式的最大值，选项为四个给定数值 考点 定位 核心考点是基本不等式的应用（负变量下的变号处理），辅助考点为分式的整式分离（换元变形），属于含约束条件的分式最值问题 思路 构建 先通过换元将负变量转化为正变量（因），再对分式做整式分离（化为整式+分式形式），利用基本不等式求最值，最后结合换元关系验证等号成立条件 解法 优化 设，由得，且 将代入分子： 原式化为 因，令，变形得： 由基本不等式，（当且仅当即时等号成立） 因此 此时，（满足），故最大值为，对应选项A 当变量为负时，求分式最值需通过换元变号（将负变量转化为正变量），再对分式做整式分离，利用基本不等式时注意变号后不等式方向的变化，同时需结合原变量范围确定换元后变量的范围，验证等号成立条件 （2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ．小试牛刀1 （2022高一上·全国·专题练习）函数 的最小值为 ．小试牛刀2 （25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 .小试牛刀3 题型06 和与积共存时求和/积的最值 （25-26高一上·辽宁营口·期中）已知，，且.经典例题例题 (1)求mn的最小值； (2)求的最小值. 四步 内容 题意 拆解 已知，，且满足等式，(1)求的最小值；(2)求的最小值 考点 定位 核心考点是基本不等式的应用，(1)涉及“和转积”的不等式构造；(2)涉及消元法+凑项变形，或因式分解换元后的基本不等式应用 思路 构建 (1)由、，利用基本不等式，将已知等式中的替换为，构造关于的不等式求解最小值 (2)先通过已知等式消元（用表示），将转化为关于的一元代数式，再凑项变形为“整式+分式”形式，结合基本不等式求最值 解法 优化 （1）因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，即mn的最小值为16. （2）因为，所以，又，， 所以，同号， 假设，，，， 又，，，，与矛盾， 假设不成立，故，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. (1)已知“积=和+常数”的条件时，可利用基本不等式将“和”转化为“积的算术平方根”，构造关于目标积的不等式求解最值 (2)二元代数式的最值问题，可通过消元转化为一元代数式，再凑项变形为“整式+分式”形式，结合基本不等式求最值，需注意变量的取值范围（保证分式分母为正） （25-26高一上·安徽合肥·期中）设，且，则的最小值为 .小试牛刀1 （25-26高一上·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为 .小试牛刀2 （25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最小值为 .小试牛刀3 题型07 换元法求最值 （2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知，满足线性约束条件，要求代数式的最小值 考点 定位 核心考点是基本不等式的“1的代换”技巧，辅助考点为换元法（将分母转化为新变量），属于条件分式最值问题 思路 构建 先通过换元将分母设为新变量，将原约束条件转化为新变量的线性等式，再利用“1的代换”将目标代数式与新变量的线性等式结合，展开后构造积定形式，用基本不等式求最值 解法 优化 设，（由得、） 将用、表示：解方程组，得、，代入，化简得 目标代数式转化为，利用“1的代换”： 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立 结合，得，代入换元式得、（满足），故的最小值为 本次考点是换元法结合“1的代换”的基本不等式应用，需重点掌握：分母换元的方法、原约束条件向新变量线性等式的转化步骤、“1的代换”构造积定形式的技巧 （25-26高一上·浙江·阶段练习）已知，则 的最小值为 .小试牛刀1 （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，为正实数，且满足，则的最小值为 ．小试牛刀2 （24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .小试牛刀3 题型08 消元法求最值 （24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知，，且满足等式，要求用消元法求代数式的最小值 考点 定位 核心考点是基本不等式的应用，辅助考点为消元法、分式的凑项变形，属于条件约束下的单变量代数式最值问题 思路 构建 从已知等式中用表示（消去），结合确定的范围，将目标式转化为关于的单变量代数式，通过凑项变形为“整式+分式”形式，利用基本不等式求最值 解法 优化 步骤1：消元（用表示） 对已知等式变形：，移项得，故 由且，分析得（保证分母、分子均为正） 步骤2：代入目标式并变形 将代入，得： 拆项凑形：将拆为，将拆为，化简得： 步骤3：用基本不等式求最值 因，故，由基本不等式： 当且仅当（即）时等号成立，此时（满足） 故的最小值为 本次考点为消元法结合基本不等式求二元最值，需重点掌握： 从约束等式中消元表示另一变量的方法 单变量代数式的凑项变形技巧 基本不等式应用前的变量范围验证 （24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ．小试牛刀1 （2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 .小试牛刀2 （23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为 ．小试牛刀3 题型09 齐次化求最值 （25-26高一上·黑龙江·阶段练习）已知，，且，则的最小值是 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知、，满足线性约束条件，要求用齐次化方法求分式的最小值 考点 定位 核心考点是齐次化方法在基本不等式中的应用，辅助考点为代数式的齐次变形技巧、基本不等式“一正二定三相等”的应用 思路 构建 齐次化的核心是将分式的分子、分母化为同次式，利用已知条件，将分子中的低次项（、）乘以“”（即），使分子次数与分母（，次数2）一致，再拆分分式为可应用基本不等式的形式 解法 优化 齐次化处理：因，将分子中的、分别乘以，使分子次数为2： 分子 展开分子： ，，故分子 化简分式： 原式 应用基本不等式： 因、，，当且仅当（即）时等号成立 结合，解得、，此时原式最小值为 齐次化方法适用于条件为线性等式（和为定值）的分式最值问题，核心是利用定值等式将分子/分母凑为同次式，再拆分分式为“整式+分式”形式，结合基本不等式求解，需保证变量为正且等号成立条件满足 （2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 .小试牛刀1 （24-25高三上·重庆渝中·月考）已知，，则的最大值是 ．小试牛刀2 （23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知，，，则的最小值为 小试牛刀3 题型10 基本不等式链的应用 早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ）经典例题例题 A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 四步 内容 题意 拆解 已知正实数、，满足约束条件，利用不等式链，判断四个选项中关于的最小值、的最大值、的最大值、的最小值的说法正确性 考点 定位 核心考点是基本不等式链的应用，辅助考点为换元法转化条件、代数式与（或）、的变形技巧，属于条件约束下的代数式最值判断问题 思路 构建 设（），将表示为，结合基本不等式确定的取值范围；再将各选项的代数式转化为关于的表达式，结合函数单调性或基本不等式分析其最值 解法 优化 步骤1：确定的范围 设（），由约束条件得 由基本不等式，得，解得，故（当且仅当时取等号） 步骤2：逐一分析选项 选项A：，由基本不等式得，当且仅当时取等号（满足约束条件），故的最小值为2，A正确 选项B：由，得，当时取等号，故的最大值为，B正确 选项C：，令，则，其在时单调递增，故最小值为，C错误 选项D：，由，得，当时取等号，故的最小值为，D正确 处理含、的条件最值问题，可通过换元（设）将约束条件转化为单变量范围，再结合基本不等式或函数单调性分析代数式最值，需注意变量范围需满足基本不等式的“一正二定三相等” 【多选题】（25-26高三上·山西大同·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·广东广州·期中）若，且，则下列不等式一定成立的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）若都为正实数，且，则（    ）小试牛刀3 A．的最大值为11 B． C．的最小值为2 D．的最小值为9 题型11 多次使用基本不等式 （23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知正实数、、，满足约束条件，第一问求的最大值，第二问求代数式的最小值 考点 定位 第一问核心考点是基本不等式“和定积最大”的应用，第二问核心考点是基本不等式的凑项变形、单变量代数式的最值求解，辅助考点为分式的化简技巧 思路 构建 第一问：利用基本不等式“”（），结合构造关于的不等式，求其最大值 第二问：先化简含a、b的分式部分，求该部分的最小值，再将目标式转化为含的单变量代数式，通过凑项变形结合基本不等式求整体最小值 解法 优化 第一问：求的最大值 因、且，由基本不等式，得 两边平方得，即 当且仅当时等号成立，故的最大值为 第二问：求的最小值 1. 化简含a、b的部分： 代入，得 通分后为，令（），则的最小值为2（当、时取等号） 2. 转化为含的代数式： 目标式简化为，凑项变形为 3. 用基本不等式求最值： 因，由基本不等式得 当且仅当（即）时等号成立，故最小值为 利用“和定积最大”求积的最值，需满足基本不等式的“一正、二定、三相等”条件 多变量代数式的最值问题，可先化简部分变量的代数式求其最值，再结合剩余变量用凑项变形+基本不等式求解，需注意变量范围的验证 （23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .小试牛刀1 （23-24高一上·四川成都·期中）已知是正实数，且，则最小值为 ．小试牛刀2 （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 .小试牛刀3 题型12 基本不等式在解三角形中的应用 （2025·浙江杭州·一模）设的内角的对边分别为，已知.经典例题例题 (1)若. （i）求； （ii）求； (2)求的最大值. 四步 内容 题意 拆解 已知△的内角的对边为，满足，(1)当、时，(i)求；(ii)求边；(2)求的最大值 考点 定位 涉及三角形内角和定理、三角恒等变换（正弦和角/差角公式）、正弦定理、基本不等式求最值 思路 构建 (1)(i)：利用得，代入已知等式展开化简，结合求 (1)(ii)：由求，利用求，再用正弦定理求 (2)：设，结合三角恒等变换将表示为关于的正切的代数式，再用基本不等式求最大值 解法 优化 （1）（i），展开化简得： 所以； （ii）由，而为三角形内角，故， 所以， 由正弦定理，得. （2）由（1）可得，故均为锐角， 所以， 当且仅当时，取到最大值. 三角形中可利用内角和定理将转化为，是处理角的关系的核心技巧 正弦定理需结合三角恒等变换，先求对应角的正弦值再计算边长 三角式的最值可通过换元（如）转化为代数分式，再用基本不等式求解 （25-26高三上·河南郑州·期中）在中，内角的对边分别为．已知．小试牛刀1 (1)求； (2)若，点在边上，，求面积的最大值． （25-26高二上·陕西·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)若，求面积的最大值. （2025·湖北黄冈·一模）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为 ．小试牛刀3 题型13 基本不等式在平面向量中的应用 （25-26高三上·北京·阶段练习）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知D是△ABC的BC边（不含端点）上一点，E是AC中点，向量，先求的值，再求的最小值 考点 定位 核心考点是平面向量基本定理（共线向量的线性表示），辅助考点是基本不等式的“1的代换”求分式最值 思路 构建 先利用E是AC中点，将转化为的线性式，再结合D在BC上的共线条件，用平面向量基本定理建立的关系求；再利用的定值，通过“1的代换”结合基本不等式求的最小值 解法 优化 求的值 因E是AC中点，故，代入得： 又D在BC上，故存在，使 由平面向量基本定理，系数对应相等：，（即） 因此 求的最小值 由（），用“1的代换”： 展开得： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立 代入得，此时、（满足条件） 平面向量基本定理中，共线点对应的向量线性表示需满足系数和的特定关系 求分式最值时，若已知变量的线性和为定值，可通过“1的代换”展开代数式，结合基本不等式求解 （25-26高三上·四川成都·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 .小试牛刀1 （25-26高三上·北京丰台·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 小试牛刀2 （24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .小试牛刀3 题型14 基本不等式在解析几何中的应用 （山西省太原市2025-2026学年高二上学期期中学业诊断数学试题）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线．经典例题例题 (1)求曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 四步 内容 题意 拆解 已知平面内定点和定直线，动点到的距离与到的距离比为，(1)求动点的轨迹曲线的标准方程；(2)过点且斜率为的直线与曲线交于D、E两点，求（为原点）的面积最大值 考点 定位 (1)椭圆的第二定义（轨迹方程推导）；(2)直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式求最值 思路 构建 (1)根据动点到定点与定直线的距离比，列坐标等式，化简得到椭圆的标准方程；(2)设直线方程，联立椭圆方程，用韦达定理得根与系数的关系，结合弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再用基本不等式求最大值 解法 优化 (1)求曲线的标准方程 由题意，动点满足，两边平方得： 展开化简：，整理得，即曲线的标准方程为 (2)求的面积最大值 设直线方程为，联立椭圆方程，消去得： 由判别式，得 设、，由韦达定理得： 弦长 原点到直线的距离 面积 令（），则，代入得： 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号 故，即面积的最大值为 (1)椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为离心率的点的轨迹是椭圆，可通过直译法推导其标准方程；(2)直线与椭圆联立需用判别式确定参数范围，结合韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再通过换元+基本不等式求最值 （25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．小试牛刀1 (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ．小试牛刀2 （25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为 ．小试牛刀3 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（  ） A．25 B．50 C．16 D．9 2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江·期中）设，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．11 D．24 5．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）若实数，，且，则（   ） A．的最小值为7 B．的最大值为9 C．的最小值为8 D．的最小值为1 7．（25-26高一上·广东东莞·期中）若正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（25-26高三上·广东河源·月考）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 9．（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 11．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（25-26高三上·天津·阶段练习）在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ． 13．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为 .    14．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则的最小值为 ． 15．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知F是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $