精品解析：甘肃省兰州市某校2024-2025学年九年级下学期3月阶段性考查数学试卷

2024-2025学年第二学期总、分校联考九年级数学3月阶段性考查试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2. 石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034m．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将含有的三角板按图所示放置，点在直线上，其中，，分别过点作直线的平行线，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 数轴上三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（ ） A. 点A左侧 B. 点A点B之间（不含点A点B） C 点B点C之间（不含点B点C） D. 点C右侧 5. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形的一个顶点在原点，点的坐标为，则第二象限的顶点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 以下说法错误的是（ ） A. 等边三角形有3条对称轴 B. 直角三角形的三边中斜边一定最长 C. 点关于x轴的对称点是 D. 等腰三角形底边上的高就是顶角的角平分线 8. 已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）函数关系是（　　） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( ) A. B. C. D. 11. 如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：_________________． 14. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为______． 15. 如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则_________． 16. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 三、解答题（共12小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 用配方法解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，点在双曲线上，点B在x轴上．将线段平移到，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，． （1）求m和k的值； （2）直线与x轴交于E，与y轴交于F．求证：． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：； （2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 22. 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米． （1）按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式： （2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由： （3）假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？ 23. 作图题： （1）【画图并思考】：（不写作法，说明知识原理） 如图，某村庄计划把河中的水引到水池中，怎样开渠线路最短，画出图形；其数学原理是_______________________________. （2）【尺规作图】：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和如下图所示，画出． 24. 广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸各买一箱，标记为，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择，小明在，两箱水果中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位）； 数据统计表 抽取序号 箱沙糖桔直径 箱沙糖桔直径 统计量 平均数 众数 中位数 根据题目信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）由折线图可知，______（填“＞”“＝”或“＜”） （3）爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求：大小均匀，直径在之间．请帮助小明用合适的统计量评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据． 25. 某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，点在同一水平地面上． （1）求扶梯的高度．（参考数据：） （2）为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 26. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27 矩形纸片ABCD中，AB=4． 实践思考： （1）连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若ADAB，如图①． ①BD=______，tan∠ADB=______； ②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形； ③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______； （2）若AD=（1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数； 拓展探究： （3）若ADAB，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦” （1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ； （2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期总、分校联考九年级数学3月阶段性考查试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034m．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 将含有的三角板按图所示放置，点在直线上，其中，，分别过点作直线的平行线，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 根据平行线性质可知，再根据三角板可知，进而求出，再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：，， ． ， ． ． ， ． 故选：C． 4. 数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（ ） A. 点A左侧 B. 点A点B之间（不含点A点B） C. 点B点C之间（不含点B点C） D. 点C右侧 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据，，，可得，异号，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】解：由图可知，，而，， ∴， ∴原点在点B点C之间； 故选C 5. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形的一个顶点在原点，点的坐标为，则第二象限的顶点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理可确定点A的坐标，然后确定点A关于轴的对称的点的坐标即可． 详解】如图所示：过点A作AC⊥OB于点C， ∵等边△OAB顶点B的坐标为(-2，0)， ∴CO= CB=1，BO=AO=2， ∴， ∴点A的坐标为：， 故点A关于轴的对称点坐标为：， 故选：C． 【点睛】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 6. 关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 以下说法错误的是（ ） A. 等边三角形有3条对称轴 B. 直角三角形的三边中斜边一定最长 C. 点关于x轴的对称点是 D. 等腰三角形底边上的高就是顶角的角平分线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形、直角三角形和等腰三角形的性质，轴对称的性质．根据等边三角形、直角三角形和等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可． 【详解】解：A、等边三角形有3条对称轴，说法正确，本选项不符合题意； B、直角三角形的三边中斜边一定最长，说法正确，本选项不符合题意； C、点关于x轴的对称点是，原说法错误，本选项符合题意； D、等腰三角形底边上的高就是顶角的角平分线，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 8. 已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量总油量流出油量”是正确解答的前提． 根据“剩余油量总油量流出油量”，用代数式表示流出油量即可． 【详解】解：根据“剩余油量总油量流出油量”可得， ， 故选：B． 9. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率估计概率可估计黑球的概率，然后根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】设袋中红球的个数是个，由题意得： ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 所以，袋中红球有6个， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 10. 茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可． 【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷， 由题意，得：， 即： 故选B． 【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 11. 如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，旋转的性质，勾股定理，能得到点运动的路径是圆心角为，半径为5的扇形的弧长是解题的关键． 根据题意和图形，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据弧长公式计算即可得到的长． 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 12. 如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出四边形PBCQ的面积，得到y与x的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可. 【详解】由题意得： (0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y轴对称，顶点为（0，8）， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式法和应用公式法因式分解． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 14. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案． 【详解】解：的顶点，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△， 点的对应点的坐标为，或，， 即，或，． 故答案为：，或，． 【点睛】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质． 15. 如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 16. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，用频率的集中趋势来估计概率． 当试验次数很大时，频率会在某个常数附近摆动，这个常数就可以作为该事件发生的概率的估计值.求解计划是观察表格中回复满意的频率数据，随着调查人数的增加，看频率的稳定趋势，从而估计出平台用户回复满意的概率． 【详解】解：从表格中可以发现，随着调查人数的不断增多，回复满意的频率在0.9附近波动． 所以估计平台用户回复满意的概率为0.9． 故答案为：0.9． 三、解答题（共12小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值：先计算乘方，零指数幂，代入特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4.5 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简，然后把给定的值代入计算． 【详解】解： ， ， ， ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，主要考查了完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式以及合并同类项法则． 20. 如图，点在双曲线上，点B在x轴上．将线段平移到，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，． （1）求m和k的值； （2）直线与x轴交于E，与y轴交于F．求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出B、D坐标，从而确定平移的方式，进而求出点C的坐标，最后把A、C的坐标代入即可求解； （2）利用（1）中A，C的坐标，求出直线解析式，然后求出E，F的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴线段由到，可以是向右平移2个单位，向上平移1个单位， ∵， ∴， 将A，C代入双曲线解析式，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1），得，， 设直线为， 则 解得，， ∴直线为， 当时，， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平移，待定系数法求反比例函数、一次函数解析式等知识，明确题意，数形结合，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：； （2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到平行线，根据平行线的性质，角平分线的定义，得到∠AFE=∠FBC=∠FED=∠ABE即可． （2）利用平行四边形的性质，证明△DEF≌△CEB，得到FD=BC=AD，证明四边形AEFG是平行四边形，结合DE=DF得证EG=AF，得证四边形AEFG是矩形． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC，AB∥DC， ∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBC=∠ABE， ∴∠AFE=∠FED， ∴DE=DF． 【小问2详解】 四边形AEFG是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC，AB∥DC，AD=BC， ∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBC=∠ABE， ∴∠AFE=∠FED， ∴DE=DF． ∵E为CD边的中点， ∴DE=EC， ∴△DEF≌△CEB， ∴FD=BC=AD， ∵ED=DG， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵DE=DF， ∴EG=AF， ∴四边形AEFG是矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，平行四边形的判定性质是解题的关键． 22. 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米． （1）按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式： （2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由： （3）假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？ 【答案】（1） （2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，理由见解析 （3）小明应该向前走1米才能命中篮圈中心 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与3比较即可； （3）由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将代入求得的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：， 当时，， 小明的这次投篮未能命中篮圈中心； 【小问3详解】 解：出手的角度和力度都不变， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， ， 解得：，， 向前走7米，因为原来是八米，向前七米，还剩一米呢！应该是球处于上升趋势，故舍去． 小明应该向前走1米才能命中篮圈中心． 23. 作图题： （1）【画图并思考】：（不写作法，说明知识原理） 如图，某村庄计划把河中的水引到水池中，怎样开渠线路最短，画出图形；其数学原理是_______________________________. （2）【尺规作图】：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和如下图所示，画出． 【答案】（1）垂线段最短；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用垂线段最短，过点M作河岸的垂线段即可． （2）首先作∠AOC=∠1，再以OC为边作∠BOC=∠2，进而得出答案． 【详解】解：（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短或“垂线段最短”． ∴如图，即为所求的最短线路． （2）如图所示：∠AOB即为所求． ． 【点睛】本题主要考查了复杂作图，掌握作一角等于已知角是解题关键．同时考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短． 24. 广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸各买一箱，标记为，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择，小明在，两箱水果中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位）； 数据统计表 抽取序号 箱沙糖桔直径 箱沙糖桔直径 统计量 平均数 众数 中位数 根据题目信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）由折线图可知，______（填“＞”“＝”或“＜”） （3）爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求：大小均匀，直径在之间．请帮助小明用合适的统计量评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据． 【答案】（1），， （2） （3）这两箱沙榶桔符合一级果要求，选择箱沙榶枯更好，依据见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义求解； （2）根据折线统计图可得波动越小的方差越小； （3）根据方差大小，作出决策，答案不唯一，言之有理即可． 【小问1详解】 解：； 箱沙糖桔直径数据从小到大排列为 ； 故答案：，，． 【小问2详解】 根据折线统计图可得， 故答案为：． 【小问3详解】 根据表格数据可得知，这两箱沙糖桔符合一级果要求， 选择箱沙榶枯更好，由于，大小均匀， ∴选择箱沙糖枯更好（答案不唯一） 25. 某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，点在同一水平地面上． （1）求扶梯的高度．（参考数据：） （2）为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）这样改造不可行，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，特别是锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的运用，解题的关键是从实际问题中抽象出两个直角三角形和利用公共边建立联系，再通过相应的锐角三角函数求出所需边长，进而判断改造是否可行． （1）在中，利用的正弦函数对边斜边结合已知长和的近似值，求出的长度； （2）先在中，利用的余弦函数邻边斜边求出的长度；再在中，利用的正切函数对边邻边求出的长度；进而计算结合的长度求出最后通过比较与的大小，判断改造是否可行． 【小问1详解】 在中， ∴（）， 答：扶梯的高度约为； 【小问2详解】 这样改造不可行，理由如下： 在中， ∴（m）， 在中， ∵， ∴这样改造不可行． 26. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 27. 矩形纸片ABCD中，AB=4． 实践思考： （1）连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若ADAB，如图①． ①BD=______，tan∠ADB=______； ②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形； ③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______； （2）若AD=（1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数； 拓展探究： （3）若ADAB，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______． 【答案】（1）①8，；②等腰；③ （2）∠DBM=225° （3）42 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质得∠A=90°，再由勾股定理得BD=8，然后由锐角三角函数定义得即可； ②由得∠ADB=30°，再由等腰直角三角形的性质得∠AEG=45°，然后由折叠的性质得∠GEH=∠ABD=60°，求出∠DEH=∠DHE，即可得出结论； ③由矩形的性质得∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，CD=AB=4，求出∠CDF=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后由三角形面积公式即可求解； （2）由等腰直角三角形的性质得∠AMB=45°，AM=AB=4，，再证BM=DM，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （3）作点N关于AB的对称点，则，由圆周角定理得点P在以BC为直径的半圆O上，连接交AB于Q，交半圆O于P，则OP=OB=，，此时PQ＋QN的值最小，再证'≌△BQO（AAS），得=QO，AQ=BQ=，然后由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∵AB=4，ADAB， ∴ADAB=4， ∴， ， 故答案为：8，； ②由①得：tan∠ADB， ∴∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°﹣∠ADB=60°， ∵∠A=90°，△AGE为等腰三角形， ∴∠AEG=45°， 由折叠的性质得：∠GEH=∠ABD=60°， ∴∠DEH=180°﹣∠AEG﹣∠GEH=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴∠DHE=180°﹣∠DEH﹣∠ADB=180°﹣75°﹣30°=75°， ∴∠DEH=∠DHE， ∴DE=DH， ∴△DHE是等腰三角形， 故答案为：等腰； ③∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，CD=AB=4， ∴∠DCF=90°， 由②得：∠ADB=30°， ∴∠BDC=90°﹣∠ADB=60°， ∵DF⊥BD， ∴∠BDF=90°， ∴∠CDF=90°﹣∠BDC=30°， ∴CFCD， ∴S△ACFCF×AB， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵∠A=90°，AM=AB， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB=45°，AM=AB=4，BMAB=4， ∵AD=（1）AB=44， ∴DM=AD﹣AM=4， ∴BM=DM， ∴∠DBM=∠BDM∠AMB=22.5°； 【小问3详解】 解：∵ADAB=4，N为边AD的中点， ∴ANAD=2， 作点N关于AB的对称点N'， 则AN'=AN=2， ∵∠BPC=90°， ∴点P在以BC为直径的半圆O上，连接ON'交AB于Q，交半圆O于P， 则OP=OBBC=2，QN=QN'， 此时PQ＋QN的值最小=PQ＋QN'=PN'， ∵∠N'AQ=90°=∠OBQ，∠AQN'=∠BQO，AN'=BO=2， ∴△AQN'≌△BQO（AAS）， ∴QN'=QO，AQ=BQAB=2， ∴， ∴PQ＋QN=PN'=2QO﹣OP=42， 即PQ＋QN的最小值为42， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、轴对称的性质、圆周角定理以及最小值问题等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦” （1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ； （2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题中定义即可画图得出； （2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标； （3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，结合三角形的面积求得的值，根据锐角三角函数可求得点的坐标，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴关于直线的“对称弦”的是线段； 【小问2详解】 解：设点，关于直线的对称点为,， ∴直线垂直平分，， ∵是关于直线的“对称弦”， ∴,在上， ∵点的坐标为， 即点在上， ∵直线经过圆心， ∴点也在上， ∵， 故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点； ∵， 即是等边三角形， 故点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理，点的横坐标为，点的纵坐标为， 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点关于直线对称点为, ∴直线垂直平分， ∵线段是关于直线的“对称弦”， ∴在上， 由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上， 又∵， 即； 令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图： 令，则，即点，, 令，则，即点，， 则， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 即点的坐标为， ∵，； ∴， 整理得：， 解得：或， 故的值为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $