第二十四章 圆 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（人教版）

20.解：(1)设方程x-6x+e=0的两个根为x1,x2,根据题意 得x2=2x…1+2=6,x1=c,.31=6,=2,.2 =4,.c=8: (3分) (2),·方程(x-2)(mx-n)=0的一个根为2，：.另一个 根为1或4，当另一个根为1时，则-1×(m-)=0,∴m -n=0,即：m=n,当另一个根为4时，则2×(4m-n)=0. .4m-n=0,即4m=n: (6分) (3)设x=m与x=2m是方程ax+br+e=0的解，∴，2m+ ms、6 2m·m=后，清去m得2=9ae (10分) 21.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.由题意得 500(1+x)=720,解得x1=0.2=20%,1=-2.2(不合题 意，舍去).故该品牌头盔销售量的月增长率为20%： (5分) (2)设该品牌头盔的实际售价应定为￥元/个.由题意 得(y-30)[600-10(y-40)]=10000.整理得y2-130y+ 4000=0.解得y,=50.y2=80.尽可能i让顾客得到实 惠∴y=50.故该品牌头盔的实际售价应定为50元/ 个 (10分) 2解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为(-15，，设 抛物线解析式为y=a(+5)户+号，把点4(0,0)代入， =0,解得a=-1 得225u+9 0足球运动轨迹抛物线的 函数表达式为y=+15)2 2 (3分) 当x=-24时，y= 819 =2.88>2.51,.足球不能进入 502 球网： (5分) 任务二：：足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A 为原点，AF所在直线为x轴，，抛物线的函数表达式仍 为=0+15号 (7分) FC=7,AC=24,∠FCA=90°，∴AF=25,当x=-25时， y=2.5<2.51,能打到远角E处人网. (10分) 23.解：(1)45 (2分) (2)UJ=EJ+BI (3分) 理由：将△AEJ顺时针旋转90得到△ABJ',由旋转的性 质可得J=AU”,EJ=BJ',∠EAJ=∠BAJ,:四边形 4BFE为正方形，.∠BAE=90°.由(I)中结论可得 ∠AU=45°，∴.∠BAI+∠EAU=45°，.∠BAJ'+BAI= 45°，∠AJ=∠AJ'.在△A和△AJ'中，AI=AL,∠AJ =∠AJ',J=AJ',△MI≌△A(SAS),J='. I'=BI'+BI,..IJ=EJ+BI; (7分)】 (3)KR=25」 (10分) 【解析】将△AER绕点A顺时针旋转90得到△ABR',连 接KR',根据旋转的性质可得∠E=∠ABR'=45°，ER= BR'.由(2)中的结论可证△AKR'≌△AKR,.KR=KR' ∠E=45°，∠ABE=45,∠KBR'=∠ABE+∠ABR'= 9O在Rt△KBR'中、BK+BR2=R2,,BK+ER= KR,.KR=25, 第二十四章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查ADCDCCBDCB 1.A2.D 3.C 追梦之旅铺路卷·九年 【技巧点拨】过点O作OD⊥BC,垂足为D,根据已知可得 ∠BAC+∠BOC=I8O°，再根据圆周角定理可得∠BOC= 120°，然后根据等暖三角形的性质以及三角形内角和定 理可得∠OBC=∠OCB=30°，最后在Rt△OBD中，利用 含30度角的直角三角形的性质求出OD,BD的长，再利 用垂径定理进行计算，即可解答 4.D 5.C【解析】设AB,AC,BC和国的切点分别是P,N,M,DE 与⊙0相切于Q,C=x,根据切线长定理，得CN=CM= x,BM=BP=9-x,AN=AP=10-x则有9-x+10-x=8,解 得x=5.5.文因为MD=QD,EQ=NE,所以△CDE的周长 =CD+CE+QE+DQ=2x=11.故选C. 6C【解析】连接OE,由题意，得CD垂直平分OM.直线 CD交半圆O于点E,AE=OE.AB是半圆O的直径， 卷 .OA=OE,OA=AE=OE,△AOE为等边三角形，. 答 1 LA0E=60°，∠ABE=2∠A0E=30故选C. 7.B【解析】连接OC交AB于D,则OC⊥AB,又AB=8, ∴A=BD=)B=4在△0D中，0A=5,A=4 0D=√-4=3.CD=5-3=2(米).故选B. 8.D【解析】连楼AQ,AP.根据切线的性质定理，得AQ1 PQ,要使PQ最小，只需AP最小，根据线段最短，可知 当AP⊥x轴时，AP最短，∴.P点的坐标是(-3,0).故选 D. 9.C【解析】连接AP并延长交直线【于，点C,连接BQ并 延长交直线I于，点D,过，点A作AE⊥BD于点E,过，点P 作PF⊥BD于点F,连接PQ,根据题意可得AC=4,BD= 6,∴.AC=DE=4,.BE=6-4=2.∠BAE=30°，.AB= 4,AE=√4-2=23，PF=AE=25,又PC=DF= 2,DQ=3,∴.QF=1,∴.PQ=PF+QF=I3.故选C. 10.B【解析】在x轴负半轴取OD=OA=2,连接CD.·AM =C1,0D=0A0M=2CD,当0M最大时，卑cD最 大，而当D,B,C三点共线时，即C在DB的延长线上时， CD最大.0B=0D=2,∠B0D=90°，BD=22,CD 22+10W2CD=2+2,即0M的最大值为，2 宁故选B 11.1212.(2,0) 13.20【解析】连接OA,易知OD⊥AB,交AB于点C,∴.AC =BC.在Rt△AC0中，A0=0C2+AC2,即50=0C+40, ∴.0C=30.∴.CD=0D-0C=20km. 14.23【解析】连接OC,则OC=0M=10.CE与⊙O 相切于点C,.CE⊥OC,∠ECD+∠OCA=∠OCE= 90.,OD⊥AB交AC于点D,∠EDC=∠ADO.,. ∠A0D=90°，.∠EDC+∠A=∠AD0+∠A=90°. ∠OCA=∠A,.∠ECD=∠EDC.,AB为⊙O的直径. .∠DCF=∠ACB=90°，.∠ECF+∠ECD=90°，∠F+ ∠EDC=90°，∴.∠ECF=∠F,∴.EC=ED=EF=22,OE =√0C+EC=32,.0D=32-22=2,∴AD= √0川+0D=25. 15.216°【解析】连接AB.PA、PB是⊙0的切线，A、B为 切点，PA=PB,∠PAB=∠PBA=2(180-∠APB) =36°，A、D、C、B四点共圈，∴，∠D+∠CBM=180°， ∠PBC+∠D=∠PBA+∠CBA+∠D=36°+180°=216°. ·ZBR·数学第8页 16.解：∠BAC=60°，∠B0C=2∠BAC=120°.(2分) 0h=0C.L06C=∠00B=x(180r-12091=30 (4分) 0D1BC,.∠0DC=90°，0D=20B=1. (8分) 17.证明：连接BE.:E是△ABC的内心，.∠BAD= ∠CAD.∠ABE=∠CBE. (2分)】 又：∠CBD=∠CAD,.∴.∠BED=∠BAD+∠ABE= ∠CAD+∠CBE.∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠CAD+ ∠CBE.∴.∠BED=∠DBE...DE=DB. (8分) 18.解：(1)连接0B,解方程x-9x+18=0,得x,=3,x2=6, .AC=3,AB=6, (2分)】 卷 由圆周角定理得.∠AOB=2∠C=90°.，△AOB为等要 答 直角三角形 (3分) ∴0B2+0A2=AB,即20B2=62,0B=32.即⊙0的半 径为32. (5分) (2)∠C=45°，AE⊥BC,∴.△AEC为等腰直角三角形， 由勾股定理得G=:能。AF。 (9分) 19.(1)证明：选择①CD∥AO,∠ABC=45 (2分)】 连接OC,则∠AOC=2∠ABC=90°.即OC⊥OA.,·CD/ 40..OC⊥CD.·OC是半径..CD是⊙0的切线： (5分】 (2)解：连接0B,0C.AB=CB,0B=0B,0A=0C. △AOB≌△COB(SS,∴.∠AB0=∠CB0=∠OAB=22 5°，∠B0C=∠A0B=180°-22.5°-22.5°=135°.(10分) 20.解：(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等圆内接四边 形的对角互补 (4分)】 (2)证明：∠CEA+∠CEB=180°，.∠CFB=∠CEB I∠CFB=∠CEB 在△CFB和△CEB中，{∠CBF=∠CBA,.△CFB≌ BC=BC △CEB(AAS).∴.BF=BE. (10分) 2L.(1)证明：连接OD、BD..AB为⊙O的直径，.∠ADB= ∠CDB=90°. (2分) 点E为BC的中点，∴.BE=DE=CE,∴.∠DBE= ∠BDE.:OB=OD,,∠OBD=∠ODB,∠OBD+ ∠DBE=∠ODB+∠BDE,即∠ABC=∠ODE=90°，∴OD ⊥DE.DE是半圆⊙O的切线： (5分) (2)解：由(1)知：BE=DE=CE=2,.BC=4.·∠ACB= 60°，.△CDE是等边三角形，.CD=CE=2.在 Rt△ABC中，∠BAC=30°，，AC=2BC=2×4=8,.AD= AC-CD=8-2=6 (10分) 22.(1)证明：连接0C.0D.,AC,BD分别与⊙0相切于点 C,D,.∠AC0=∠BDO=90°. (3分) (AC=BD 在△ACO和△BD0中，∠ACO=∠BD0=90°，：.△ACO OC=OD ≌△BDO(SAS).∴.AO=BO.又，EO=FO.∴.AE=BF, (6分】 (2)解：设0E=0C=x,则A0=x+4.在R1△AC0中，由勾 股定理，得(x+4)2=x2+8.解得x=6..A0=10.∴.AB= 20.两个绳柄之间的距离4B为20. (10分) 23.(1)证明：BC为⊙0直径，EA⊥AD,∴，∠BAC=∠BDC =∠DAE=90°.，∴.∠BAF+∠CAF=∠BAF+∠BAE=90° ∴.∠CAF=∠BAE.∠ABD+∠ACD=18O°，∠ABD+ ∠ABE=180°，.∴.∠ABE=∠ACD.又.AB=AC,∴.△ABE 追梦之旅铺路卷·九年 ≌△ACD(ASA). (4分) (2)45 (6分)】 (3)解：：△EAB≌△DAC,.AE=AD,SE=S△e, 1 e=42 ·AD=4..AD=22. (10分) 第二十四章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查BABCAAABCD 1.B2.A3.B 4.C【解析】设旋转的角度是n°，滑轮的半径是OA=9cm, 由孤长公式可得m=6m,解得m=120.故选C 180 5.A【解析】连接OE.,四边形ABCD是菱形，.∠D= ∠B=70°，AD=AB=3,∴0A=OD=1.5.0D=0E,∴ ∠0ED=∠0DE=70°，.∠D0E=180°-2×70°=40°， 0E的长=40mx1.5 180 3m.故选A 6.A 7.A【解析】根据题意，2m×1=2m,2m×3=6π，根据孤长 公式得.6m=10mm,解得n=108.故选A 1801 8.B【解析】⊙0的直径为2，则半径是1，连接BCAO, 根据题意知BC⊥AO,AO=BO=1,在B1△ABO中，AB= √OB+0M=√2，即扇形的对应半径R=2,孤长I= 90m×√2_2 180 =2,设周维底西国丰径为则有2mr= 2, 解得 4 故选B 9c【g折10.12002-子+号=2秒).2062 =1013,故在第2026秒时，点P的纵坐标为0.故选C. 10.D【解析】作DH⊥AE于点H.:∠AOB=90°，OA=2, 0B=1,.AB=√OA+OB=5.由旋转得△E0F≌ △BOA,∴.∠OAB=∠EFO.∠FEO+∠EFO=∠FEO+ ∠HED=90°，∴，∠EFO=∠HED,∴，∠HED=∠OAB." ∠DHE=∠AOB=90°，DE=AB,∴.△DHE≌△B0A (AAS),:.DH=OB=1,S=SAA+Somr+SAoor- Sam-7x3x1+×1x2+0:mx290mx5 2 360 360. 10-石故选D. 4 11.45 12.十二【解析】设正多边形的外接圆为⊙0，连接0A, OB..∠ADB=15°，，∠A0B=2∠ADB=30°，而360°÷ 30°=12，，这个正多边形为正十二边形. 13.号r【解析】AB=18cm,BD=9cm,∠DAE=150, AD=9m,E的长为150xmx9_5 180 2(m. 14.27 15.4m-42【解析】连接AB,CD,OE,OE交CD于点1. OC=AC,OD=DB,.CD∥AB.AE=BE,OE⊥AB, CD⊥0E.∠C0D=90°，+.CD=√0C+OD= 1 V2+2=22,Sat0m=2·GD·0E=42,Sm 1 =5a0m-St0m=4·T·4-42=4n-42. 段·ZBR·数学第9页请路卷河南专服·服：九年级越等上 第二十四章追梦基础训练卷（一） 国的老兴性质又点和需，直规和国的住里其系 围 测试时同：100分钟 到试分数：120分 得分 一，选择题{每小题3分，共30分】 号1234567910 答案 L.已知⊙0的半径是4m,鼠心0到同一平面内直线I的距离为 3:m,测直线1与⊙0的位置关系是( A,相安 B.相切 C.相离 D.无法列断 2如图，两边形AC是⊙0的内接四边形。∠C=110,即 ∠BDC的度数是( A.1I0 .70 D.125 第2见围 第3题图 第4通图 毁 玉如图.⊙0的华径为2.AAG是⊙0的内接三角形，连接0B、 0C若∠4C与∠BOC补.则蕊BC的长为(》 A45 B.3国 C.25 D.万 4如图，⊙0经过五边形04BCD的四个顶点.若AD=150,∠A= 75,∠D-60,则C的度数为() A25 .40 C.50 D.6④ 5如图，⊙0为凸AC的内切同，AC-1D,AB=8.G9,点D,E分 别为BC,4C上的点，且DE为@0的切线，则△CD呢的周 长为( A.9 B.7 C.II D.8 6如器，4B是半同0的直轻，分州以0，A为圆6，大干0的长 12如图在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作-一风填，圆心坐标 为半径年无，两孤相交干C,D两点，直线CD交半圆0干点E, 13如图是水平放置的水管靓而示意图，已知水管的半径为50■， 连接E,别∠AE的大小是() 本面宽AB=80m,则水深CD约为 A.20° 8.25 C30 D.35 ?.生活情境·简车简车是我国古代爱明的一种水利葡覆工具，明 朝科学家徐光白在《农政全书)》中用图面线绘了简车的工作原 理，如图1，简窄经水桶的运行轨道是以轴心0为慨心的到，如 图2已知圆心0在水面上方，且⊙0被水而戴得的弦AB长为8 第13题图 第14题图 第15箱图 米，回0半径长为5米若点C为运行轨道的最低点，则点C到 14如图，△AG内接于⊙O,AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D, 弦AB所在直线的距离是() 廷长C,OD交于点F,过点C作⊙0的线CE,交0F于点 A.1米 B.2米 C3米 D.4米 系如果04=√10，EF=2、2,则AD的长为 N如图.点A的坐标为(-3,2).OA的半径为1，P为年陆上一动 15如图，PPB是O0的切线，A,星为切点，点CD在回0上.若 点，0切⊙4于点0.则当P0为最小值时.点P的坐标为() ∠P=10,期∠B+∠D= A.(-4,0 B(-2,0) 三，解答题（本大随养8个小见，共75分） C.(-4.0)t(-2.0) D.(-3.0j 16(8分)如图，⊙0的半径为2，点A为⊙0上一点，0D⊥强G 于点D,如果∠4G-60求0D的长和∠OCB度数 第8理图 第9规图 第10是图 9如图所示，在平而中⊙P和⊙0分群与直线（相切，⊙P的直轻 为4，⊙Q的直轻为6，做直线与OP相切于点A且平行于直 线！，直线马2与⊙Q相切于点B且平行于直线1若线段AR与直 线的亮角恰为30则两图心PV的距离是() A.9 .4w3 C1 D.10 10如图.点A.B的坐标分别为A(2,0),(0,2).点C为坐标平面 1T,(8分)如周.点E是△AC的内心，AE的廷长线和△AC的外 内一友，BC=1,点M为线段AC的中点，產接0W,群0M的最 核到相交于点D.求证：DE=D派 大值为() A.2+1 B.i+2 1 C22+1 二，填空驱（每小通3分，养5分】 1L如图，AB是⊙0的直径，四边形ACD内接于⊙0.若C=CD =DM=6.则⊙0的直径A为 第11是图 第12题图 ·13 18《9分)知图，在纯角△ABC中，∠C=45,AB⊥BC,垂是为点E, 且AB与C的长度为方程2-：+8=0的两个根，⊙0是 △AC的外接，求： 《1)⊙0的率径： (2)5的长 1.《10分)如图，⊙0是△ABC的外接圆，连接04，过点C作一条 射线D (1)请从以下条件中：①GDBA0,∠ABC=45°：②∠BCD= ∠4C:③CF平分∠AGD立择一相能狂明CD是⊙0的制线 的条件，并写出证明过程： 《2)若0A=2.∠0AB=22.5°.AB=CB,求∠B0C的度数 ·14. 2组文化情境·数学文化(10分)图诗材料，解答间愿 文化情境·传疏文化(10分)抖空竹在我国有着悠久的浙生， 美于国的引厘 是国家级非物质文化意产之一，为以扬传领文化，某校将料空 古◆册数学家、物理季宗阿系米德道传李位的数单善作有10余 竹列人了体有课程在学习了图之后，数学兴趣小组的同学门 种，下面是（阿基农德企集》的（引理》中纪筑的一个命题： 对抖空竹造行了探究，示意图如图所示，已知绳4C,0分别与 如国1A图是⊙0的旗，点C在⊙0上，CD LAB千是D,在孩AB上 空竹⊙0相切于点C,D,且AG-BD.连接左右两个蝇柄A,B. 取一AE,後DE=D,AF是C上的一A,且G=C,是楼B】 4B经过国心0.交⊙0于点B,E 到F=能 小辅时这个同周限感头施，经过思青，写出了下面的证明过程： (1)求证：AE=BF 还明：园2，道接4，E,CF,BGC, (2)若AE=4AC=8.求两个绳精之间的距离AB DLAn于点D,D5=AD.,C4=Cg,,∠C4E=∠G34 示.O.CF=CM(徐养I),LCBF-∠CRA 国边影ABFC内是于O0,.∠CB+∠GFW=180.(像满2) 周1 图2 (1)上述证明过程中的依据1为 ,依据 2为 (2)将上述证明过程补充毫整 23.(10分)图，在△ABC中，AB=AG,BC为回0的直轻，D为⊙0 上任意一点，连接AD交C于点F,⊥AD交DB的廷长线于 点E,连接CD (1》求证：△ABEe△McD: (2)当∠C4D的度数为 时，因边形ADC是正方形： (3》若四边形ABDC的面积为4，求AD的长 21〔D会)如图，在△AC中，∠ABC=90,以AB为直径作率 圈⊙O交AC于点D,点E为BC的中点，连接D成 (1)求迁：DE是半图O0的切线： (2)若∠4GB=607,DE=2,求AD的长