第27章 圆 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（华东师大版）

调路卷 河南◆极：21九年级效学下 第27章追梦基础训练卷（一） 围 围的认部减为图有养的任里关系 测记时同：100分钟 到试分数：20分 得分： 选择题（每小题3分，共0分） 题号123456 7s910 答案 1.下列说法正确的是( A弦是直径 B.弧是率到 C.直径是圆中最长的： D.半图品中最长的瓦 2已知⊙0的半径为6m,圈心0到直线0的距离为6m,则直线 a与⊙0的位置关系为( A,相交 B相切 C,相离 D.无法确定 3如图，A,B.C是⊙0上的三个点，∠A0B“58°，别乙CA的度 数是 L.35g k.42 C.3拉 .29 第3是医 第4州图 第5题图 毁 4.如图，四边形ACD的外接图为⊙O.C=CD,∠4C=35 ∠ACD=45°，则∠ADB的度数为( A,550 R.60 C.65 D70 5如图.四边形A8CD的外接周为⊙0，∠D=100°，CGE⊥AB交⊙0 于点E,连结0B,0E,则∠0E的度数为( A.18 H.20 6,259 D.40 6在⊙0中，弦AB和CD相交于P,且AB⊥CD,如果AP=4,PB 4,CP=2,部么O0的直径为( A.4 B.5 C.8 D.10 7如图，在△4BC中，AB=5.AC=4,BC=2,以A为图心，4B长为半 径作⊙A.延长BC交⊙A于点D,刚CD长为( A.5 B.4 2 D.23 0 图2 8图 8文化情境·传培文化筒车是我国古代爱明的一种本利灌活工 具，如图1.简车接水桶的运行轨道是以轴心0为属心的翼.如 图2.已知周心0在水面上方，且⊙0被水而截得的弦AR长为6 米，©0半径长为4米若点C为运行轨道的最低点，周点G到 弦AB所在直线的离是( 第14题图 第15题阁 15如图，在△A中，∠C=0.AC=3.BC=4.则AAC的内切 A1米 B(4-7)米 华径r= C.2米 D,(4+7)米 三，解答题（本大则关8个小理，共了5分） 9.如图，已知P以，PB是⊙D的两条切线，A,B为切点，线段OP交 16〔8分)如图.在△AC中，∠ACB=90.点0为PC边上一点 ⊙0于点从.给出下列四种说法，其中正确说法的个数 以点0为图心，0B长为半径的⊙0与边AB相交于点D,连结 是( DC.当DC为⊙O的切线时， ①PA=PB:2OP⊥AB:S四边形OAPB有外接圆： (1)求证：DC=AG ④W是△A0P外接图的属心 (2)若C=DB,O0的率轻为1，请直接写出DC的长为 A.1 H.2 C3 D.4 10,生活情境·装饰鱼日常生語中常见的装饰盘由圆盘和支果妇 成（如图1），它可以看作如图2所示的儿何图形.已年AC=BD =5m,AC⊥CD,垂是为点C,BD⊥CD,垂足为点D,CD=16m. ⊙0的半径r■10m,别阅拉离察而CD最近的距离是() 1工.〔8分)周1是某规市一座造型趋背的桥梁，该桥因素塔为网形 面被称为“戒折桥”，图2是该桥案塔示意图，已知桥面在圆形 A.4cm 8.3m D.1e 素塔上的部分4B-2Dm,C为B的中点，0为属心，连结0C 二，填室瑞（每小理3分，矣15分） (1)求证：0CLAB: 11如图，AB是⊙0的直径，点C.D.E都在@0上，∠1=55，则 (2)经测量，G到AB的距离为2m,求该⊙0的半径 ∠2= 图2 第11题阳 第12题图 第13斯图 12文化情境·数学文化我国古代数学经典著作（九章算术）中记 线了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在堰中，不短大小 以据锯之，深一寸，解道长一尺创径几何？”意思是：今有一周目 形术材，埋在墙壁中，不知其大小用餐去锯这木材，解口深D 1寸，道长AB=1尺《1尺■10寸，问这根图柱形木材的直径 是 13如图，四边形ABCD内接于回0，如果它的一个外角∠D心E= 64°.粥么∠0D的度数为 14如图，∠ABC是直角，在射线C上取一点0为圆心，以二0 长为辛径新翼，射线饶点B顺时针旋转 时⊙0 相切 ·29 I8(9分)如图，在△ABC中，AG=BC,⊙0经过B.C两点，交4 2L(0分)同读以下材料，并完成相应的任务： 延长线于点E,过点E作⊙0的切线交4的廷长线于点F,且 EF/OC 完义：顶点在园上。一边与周轴文，芳一边与具相切的角州微 (1)求证：∠B4C=45° 狱切角。 (2)设G0交B于点6，若C-7,inF-}求CG的值 欲初角定星：弦钢角等予它斯先的磁阶对的属周角 下面是该文理的事分伍明过程： 已知：如图，AB与回0相初于点A,靠C,D在⊙0上，连结 AC.CD.AD. 求话：∠亡=∠. 径明：连结A0并延长，交回0于点E, 违结 ,AB与⊙0相可于点A. ∠E4B=903(他据1) +∠EAC+∠CAR=0 1g.《10令)如图，4B是⊙0的直径，AB=6,G1AB,0优=5，C与 :AE是⊙0的直径， 4∠C4=903.(依暴2) ⊙0交于点D.点E是D的中点，FG,交OC的延长线于 ,∴，∠B+∠EAC=0 点F 《1)求证：F是O0的标线： (2)若CC0D.交AB于点G,求CG的长 任务 (1)上述正明过程中的“依船依据2“分别是指什么？ 依据1： 依强21 (2)请按丽上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (3)已知周中⊙0的率径2，弦切角∠CB=0°，直搜写出AC 的长 20.《10分)如图.在△ACD的外接圆中.弦AR平分∠1G,4C■ AD,过点B作圆的切线E,交AD的廷长线干点E (1)求证：DBE: 22新定文(10分)如图1，C,0是半图ACB上的两点，点P是直 《2已知4C=5,m∠CB=子求能的长 径AB上一点，且满是∠APC=∠P印，则称∠CPD是CD的 “率运角”： (1)如图2，若弦C5⊥AB,D是氧BC上的一点，连结DE交AB 于点P连结CP求证：LCPW是氧CD的章运角”： (2)如图3，若直径AB=2,弦E1AB,弧D的”率运角”为 90,RCD的长 ·30. 23文化情境·传统文化(10分)在古代，智壁的劳诗人民已经会 使用“石摩”，其原理为在磨盘的边缘连结一个固定长度的连 杆”，推动连杆相动作盘转动将根查婚辞，物理学上称这种 动力传输工具为由柄连杆机构”，如图1 小明受此府发设计了一个“双造杆机构”，设计图如图2，两个 图定长度的连开P.P的查结点P在⊙0上，当点P在©0可 上转动时，布动点A,B分别在财线OM,0W上滑动，制⊥0Y. 当AP与⊙0相切时，点B恰灯落在⊙0上，如图3 请仅就图3的情形解答下列问恩 (1)求证：∠PM0=2∠0： (2若⊙0的率轻为5心=9求即的长<7. 16.解：(1)y=x2-6x+9-9+5=(x-3)3-4,即y=(x-3)2-4: (4分) (2)由(1)知，抛物线的对称轴为x=3, (6分) 顶点坐标为(3，-4) (8分) 17.解：(1) x2-4x+3 (4分) (2)令y=0,代入y=x2-4x+3,解得x,=1,x2=3.(5分)】 .A(1,0),B(3,0),.AB=2 (6分) △ABC的面积为3，.AB边上的高为3， (7分) 令y=3,代人y=x2-4x+3,解得x,=0,x=4.∴.C(0,3) 或(4,3). (8分) 18.解：(1)当1≤x<50时，y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+ 180x+2000: (2分) 当50≤x≤90时，y=(200-2x)(90-30)=-120x+ 12000, (-2x2+180x+2000(1≤x<50) 综上所述，)={-120x+12000(50≤x≤90)」 (4分) (2)当1≤x<50时.二次函数开口向下，二次函数对称 轴为x=2 =45.当x=45时，y大=-2×452+180×45+ 2000=6050: (6分) 当50≤x≤90时，-120<0..y随x的增大而减小，当 x=50时，y大=6000. (8分)】 6050>6000,销售该商品第45天时，当天销售利洞 最大.最大利润是6050元. (9分) 19.解：任务1：设该抛物线的解析式为y=ax2+b,AB= 8m.CD=3m.AC=1m.∴.A(-4.0).D(-3,3),(2分) 3 03°解得 1 48 该抛物线的解析式为y 6=- 7 7 (4分) 当x=0时，y= E(0,),答：该抛物线型拱门的 48 48 最高点到地面的距离0B为贺： (6分) 任务2：当y-时，则48的5=-2=2,2 +2=4(m),答：两盏灯的水平距离为4m (10分) 20.解：(1)抛物线y=x2+2x+c的顶点与点(1，-2)互为“4 阶点”，又：y=x+2x+c=(x+1)+c-1,.顶点坐标为 ).1-(-1)=4(-2-c+D,解得：c (5分) (2)设这一点为(x,x+3x+1),根据“阶点”的定义得： x-1=1(x2+3x+1-2+),整理得：2+(3-1)x+1=0,(7 分) 只存在一个点与点P互为“1阶点”，，4=(3-1)2 41=0,解得：=g或1=1 (10分) 21.(1)-x2+6x0<x<6 (2分) (2)①6.75 (4分) ②函数图象如图所示： (6分) 追梦之旅铺路卷·九年级 (3)①当0<x<3时，y随x的增大而增大（答案不唯一， 合理即可)： (8分) 23 (10分) 22.解：(1)，8-6=2，.抛物线的顶点坐标为(2,3)，设抛 物线为y=a(x-2)2+3, (2分)】 把点4(8.0)代人得：36a+3=0,解得a= 12心抛物线 卷 的函数表达式为：y= 12(x-2)2+3: (4分) 答 (2)当x=0时=2×443=8 3>244球不能射进 球门 (7分) (3)1 (10分) 【解析】设小明带球向正后方移动m米，则移动后的地 2r-2-m)+3,把点(0,225)代入得： 物线为：y= 225=- 20-2-m)产+3，解得m=-5(合去)或m=1, “.当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足 球经过，点0正上方2.25m处 23.解：(1)把点B,点C的坐标代入解析式，得： 9动+c0解得：化子二次函数的表达式为y (e=3 -x2+2x+3: (3分) (2)存在点P,使四边形POPC为菱形. (4分) 设P(,-x2+2x+3),连结PP,PP交C0于点E,若四 边形POP'C是菱形.则PC=PO,则PE⊥CO.OE=CE= 2-+2x+3= ,解得x= 3 2+/10 2, 2-√10 2 (不合题意，舍去)…点P的坐标为(2+，而，3 22: (6分】 (3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,设P(x,- x+2x+3),易得直线BC的解析式为y=-x+3,则Q(x, -x+3),六Saam=SAw+56ow=20P,B0=2×(-+ 3x)x3=-3 31 27 8 (8分)】 3 当x=时，△CPB的面积最大，此时，点P的坐标为 315 ( 2,),△CPB的面积的最大值为。 (10分) 第27章追梦基础训练卷（一） 答業12345678910 速查CBDC B D C B C D 1.C 2.B 【方法指导】设回的半径为r,圆心到直线的距离为d,当 d<r时，直线和圆相交；当d=r时，直线和國相切；当d>r 时，直线和圆相离。 3.D4.C5.B6.D 7.C【解析】过点A作AE⊥BD于点E,连结AD,÷AD= AB=5,根据垂径定理，得DE=BE,.CE=BE-BC=DE- 2,根据勾股定理，得AD-DE=AC2-CE,5-DE2=4 -DE-2,解得DE=5CD=DE+GE20B-2 9 故选C. 8.B【解析】连结OC交AB于点E.由题意得OC⊥AB, ·ZBH·数学第18页 AE=BE=2AMB=3(米)，在R肚△ME0中，0E= √0-AE=√④-3=√7（米），.CE=0C-0E=(4- √7)米.故逸B. 9.C【解析】，PA,PB是⊙0的两条切线，A,B为切，点，. PA=PB,①正确：，OA=OB,PA=PB,∴，OP垂直平分 AB,②正确：PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点， .OA⊥PA,OB⊥PB,∴.∠OAP=∠OBP=90°.∴.点A,B 在以OP为直径的圆上，..四边形OAPB有外接圈，③正 确：：只有当∠AP0=30°时，OP=20A,此时PM=OM./ 才是△AOP外接圆的圆心，④错误.故选C 10.D【解析】如图，连结AB,OA,过，点O作 OG⊥CD于点G,交AB于点E,交⊙O于 点F.,AC⊥CD,BD⊥CD,AC=BD,.四 边形ACDB是矩形，∴，AB∥CD,AB=CD 卷 16cm,OG⊥CD,÷OG⊥AB,∴.AE=EB= C G D 8cm,.0E=√0A-AE=√/10-8=6(cm),.EF= 奏 OF-OE=10-6=4(em),.EG=AC=BD=5em,..FG= EG-EF=5-4=I(m),.间盘离桌面CD最近的距离是 lcm,故透D. 11.3512.26 13.128°【解析】小∠DCE=64°，÷∠BCD=180°-∠DCE =116°，：四边形ABCD内接于⊙0，∠A=180°- ∠BCD=64°，由回周角定理，得∠BOD=2∠A=128 14.60°或120° 15.1【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,根据 勾股定理，得AB=5,设△ABC的内切间与AB、BC、AC 切点分别为D、E、F,连结OD、OE、OF,∴OD⊥AB,OE⊥ BC,OF⊥AC,可得矩形EOFC,OE=OF,.矩形EOFC 是正方形，∴.CE=CF=r,,AF=AD=AC-FC=3-r,BE= BD=BC-CE=4-T,'AD+BD=AB,∴.3-T+4-r=5,解得r =1.则△ABC的内切圆半径r=1 16.证明：(1)连结O0,:CD是⊙0的切线， .CD⊥OD,÷.∠OD0=90° ∠BD0O+∠ADC=90 (2分)】 ,∠ACB=90°，÷.∠A+∠0BD=90° (4分】 .OB=OD,..∠0BD=∠ODB ∴，∠A=∠ADC.,.CD=AC: (6分) (2)3 (8分) 17.(1)证明：设AB与OC交于点D,C为AB的中点， AC=BC,.AD=BD.OC⊥AB: (4分) (2)解：连结0B,CD=2cm,0C1AB,BD=2B= 10cm, (6分)】 设⊙0的半径为rem,则0B=OC=r,OD=OC-CD=r-2 0D+BD2=0B,即(r-2)2+10=r2,r=26,⊙0的 半径为26cm. (8分) 18.(1)证明：连结0E,FE是⊙0的切线，∴0E⊥EF, ∠FE0=90°. (1分)】 ,'EFOC.∴，∠COE=∠FE0=90°】 (2分) ,∠ABC= 24C0E=459 (3分) AC=BC,..∠BAC=∠ABC=45 (4分) (2)解：过点G作GM⊥AC于点M,:EF∥OC,∴∠OCF =∠F,∴.sin∠OCF=sinF= (6分) 设GM=3x.则CM=4x.CG=5x.:∠BAC=∠ABC=45m ,△ABC和△AMG是等腰直角三角形. (7分) .AC=BC=7,AM=GM=3x,..3x+4x=7, (8分】 解得x=1,CG=5x=5. (9分】 19.(1)证明：连结0E,交BD于点H,点E是BD的中 点.OE是半径.∴.OE⊥BD (2分) EF∥BC,.∴.OE⊥EF. (4分) 又OE是半径..EF是⊙O的切线. (5分) (2)解：，AB是⊙0的直径，AB=6.OC⊥AB ,0B=3,:.BC=/0B+0C=9+25=34.(6分) 追梦之旅铺路卷·九年级 .S.om=2X0BXOC=2XBCXOH. 0H=3x5-15v3 √3434 (7分) .·cos∠OBC OB BH 3 BH BC OB3 m=93 34 BD=2BH=9 17 (9分) 934 .CG//OD... OD BD 3 17 cGBC÷CG34 CG= 3 (10分) 20.证明：(I)设AB与CD的交点为F.:AC=AD,AB平分 ∠DAC,AB⊥CD,DF=CF.AB是直径. (3分) BE是△ACD的外接圆的切线，.BE⊥AB,.CD∥ BE. (5分) 2AC=5.m∠C=号g0P=3=p. √AD-DF=√/25-9=4. (7分) 连结BD,:AB是直径，.∠ADB=90°，则eos∠DAB= BA04B=5x525 AD AF (8分) 44 a∠DAB=BEDF.BE3 5 ABAF心254心BE= (10分) 16 21解：(1)圆的切线垂直于过切点的半径直径所对的圆 周角是直角 (4分) (2).∠CAB=∠E,又∠E=∠D,∴.∠CAB=∠D. (7分) (3)AC=2 (10分) 【解析】.弦切角∠CAB=30°，由(2)可知：∠CAB=∠D =30°，.∠E=∠D=30°，AE为⊙0直径，∴.∠ACE= 90,在R△Ac中，AB=2x2=44C=号B=2 22.解：(1)AB是直径，CE⊥AB,,AB平分CE,∠CPA= ∠EPA,∠EPA=∠BPD,∴.∠CPA=∠BPD,∴.∠CPD 是弧CD的“幸运角”： (3分) (2)连结0C,0D,弧CD的“幸运角”为90°，∠CPD 90,∠APC=LBPD=号x(1800-90)=450 (5分) CE⊥AB,.∠CED=90°-45°=45°，.∠C0D=2 ∠CED=90P, (7分) AB=2C0=D0=2AB=L,六CD=√0C+0D= 2 (10分) 23.(1)证明：连结0P,延长B0与圆交于点C,则OP=0B =0C,AP与⊙0相切于点P,.∠AP0=90°， ∠PA0+∠AOP=90°， (2分) M0⊥CN,∠AOP+∠POC=90°，，∠PA0=∠POC. OP=0B,∴.∠OPB=∠PB0,∴.∠POC=∠0PB+ ∠PB0=2∠PB0.∴.∠PAO=2∠PB0: (4分) (2)解：如图所示，连结OP,延长B0与 圆交于点C,连结PC,过点P作PD⊥M OC于点D,则有：A0=√AP+OP= 5,由(1)可知∠P0C=∠PA0,RL ·ZBH·数学第19页 PDP0_0DPD_5_0D,解 △P0DR△0AP,“P00A0P,即52520 33 得PD=3,0D=4.∴CD=0C-0D=1, (8分) 在Rt△PDC中.PC=JPD+CD=1I0,·CB为圆的 直径..∠BPC=90°，.BP=√BC2-PC=√/I00-10= 3√10. (10分) 第27章追梦基础训练卷（二）》 答案12345678910 速查CDBACACBAD 1.C2.D3.B 4.A【解析】连结CD、OC、OD.C,D是以AB为直径的 半圆的三等分点，.∠AOC=∠COD=∠D0B=60°，AC= CD,教D的长为}，90号，解得1=1又 ,60r·r1 OC=OD,.△COD是等边三角形.，∠CD0=∠D0B =60°，六CD∥AB,.SAm=San,Sm春=S编= 60m×.王.故选A 360 6 5.C【解析】设旋转的角度是n°，滑轮的半径是0A=9em, 由孤长公式可得，”mx9 180 6m,解得：n=120,故选C. 6.A【解析】根据题意，⊙M的周长为：2m×1=2π，.⊙M 顺时针转动3周时，点P移动的孤长为：2π×3=6m,∴根 据孤长公式得.6m=”80,解得n=108,所以n的值为 108.故远A. 7.C 8.B【解析】扇形的面积=0亡=)(m2).故选 360 B. 9.A【解析】点O为正六边形ABCDEF的中心， ∠C00=360 6 =60°，0C=0D,.△C0D是等边三角 形，.OC=CD=1,故选A. 10.D【解析】如图1，△ABC为⊙0的内接正三角形，作 0W1BC于点M,连结0服∠0BC=了∠ABC=30, OM=}0B=2:如图2，四边形ABCD为⊙0的内接正 方形，作ON⊥DC于点N,连结OD.,∠ODC= 】LA0CE450N=DmN=号0D=22:知图3，六边 2 形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于点 H,连结0E,∠0BD=LFED=60Bh=0E 2,OH=W3EH=23,,半径为4的图的内接正三角形 正方形、正六边形的边心距分别为2,22,23，：2+ (22)=(25)之，以三条边心距为边所作的三角形 为直角三角形，该三角形的面积= 2×2x22=22 故选D. 图 图2 图3 追梦之旅铺路卷·九年级 【方法总结】运用直观撼象素养和数学运算素养构建解 直观想象素养 学 构造辅助线求边心距 运算 判所三角形的形状 素 养 求三角形的面积 11.1 12.23 卷 【解析】连结OC.:AB⊥CD,CD=23,.BC=BD, CE=DE=3,∠COB=∠BOD.∠BOD=2∠BCD= 60°，∴∠C0B=60°..0C=0B=0D,.△OBC.△0BD 都是等边三角形，.OC=BC=BD=OD,四边形OCBD 是菱形，.OC∥BD.S△mc=Sa侧mSm影=Sn, ED sin60-2.S 60·T×22T 0D= 360 3 15.8m-23-2【解析1连结OP,BF,:点E为AB的中 3 点，40/00能-1，PD为B的中点0F为 线段OB的垂直平分线，OF=BF.又：OF=OB, △BOF为等边三角形，∠BOF=60°.OA=OB, LAB0=45°，.△BDE为等腰直角三角形.：SAr= 60mx4_8m 360 5二×2×2—2,5。一」 2 OD·DF1 2 -2x2x2=23 Sm=5amr-5mr- 5m-25-2 16.解：(1)：AB的半径0A=2,0C⊥AB于点C,∠AOC= 60°.AC=0A·im60°=2x23-3 (2分) .AB=2AC=23 (4分) (2)0C⊥AB,∠A0C=60°，∠A0B=120°.(6分) 01=28的长是，120mx2_4 1803 (8分) 17.解：(1)：0E⊥AB,CD/AB,.0E1CD,DF=CF=2 CD=303cm. (2分)】 连结OD,设⊙0的半径OD=OM=r,∴OF=OM-FM=r -30,在△0DF中，2=(303)+(r-30)2,解得r= 60,即⊙0的半径为60cm; (4分】 (2)△0AB为等边三角形，∴∠0BE=∠AOB=60, AB=OB.OELAB..L BEO=90,BE=4B...OF= 0M+ME=60+20=80em,在R1△B0E中，AB2=802+ （兮)，解得仙=160（负值会去）。 (6分) 11603 Soow=2AB OE= 。 :S南能00三 60π×602 360 =600x(cm2),.S=Saa8- ·ZBH·数学第20页