第24章 解直角三角形 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（华东师大版）

=2+3=9+33 2 16.解：(1)原式=32-22-22 (3分) =2: (5分) (2)原式=5-2-(5-25+1) (7分) =5-2-6+25=25-3. (10分) 17.(1)证明：4=[-(k+4)]2-4×1×(2k+4)=2≥0，.方程 总有两个实数根： (4分) (2)解：方程因式分解，得(x-2)(x-k-2)=0,x,=2, x1=k+2 (7分】 方程有一根小于1，.+2<1，解得：<-1，春的取值 范围为k<-1. (9分) 18.解：(1)如图所示，△A'BC即为所求 (2分) 其中A(5,-1),B(-1,2),C(2,3): (5分) (2)①如图所示，△DEF即为所求： (7分) 25 (9分) 19.解：(1)∠BCA的平分线CD,如图即为所求：(3分) A (2)由作图知：∠BCD=∠ACD= 2∠BCA,又△ABC 中，∠BCM=2∠A.·.∠A=∠BCD. (6分) 又，∠B=∠B,.△BCD∽△BAC (9分) 20.解：(1)设方程x2-6x+e=0的两个根为名1，x2,根据题意 得x=2xx,+=6,x1=C,3x,=6,解得x,=2, x2=4,.c=8: (3分) (2)方程(x-2)(x-n)=0的一个根为2，∴.另一个 根为1或4，当另一个根为1时，则m-n=0,即：m=n, (5分) 当另一个根为4时，则2×(4m-n)=0,4m-n=0,即： 4m=n: (7分) (3)设x=m与x=2m是方程ar2+br+c=0的解，∴2m+ s、 ,2m·m=号，消去m得：2=9ac (9分】 21.解：由题意，得CD=BG=2米，∠CEF=∠ABC=90°，.： ∠ACB=∠ECF,∴.△CEF∽△CBA. (3分) 需名名制得4C=0, (6分) ∴AB=√AC-BC=24(米)，.AG=AB+BG=24+2=26 (米)，，会议中心AG的高度为26米。 (9分)】 22.解：任务1：(20+2a)(32+2b)(每空2分，共4分) 任务2：根据题意得：(40-a)(20+2a)+(30-a)(32+2a】 =2244.整理得a2-22a+121=0. (7分) 解得：a,=a,=11.答：每件衬衫下降11元时，两家分店 一天的盈利和为2244元. (10分) 23.解：(1)1√17 (每空1分，共2分) (2)AF=2CD (3分) 理由如下：根据题意，在垂中四边形ABCD中，AF⊥BD 且F为BC的中点，∴.AD=BC=2BF,∠AEB=90°：又 ADBC,△AED△FEB,.EE-E=EE=2 =2:设BE= 追梦之旅铺路卷·九年 a,DE=20,AB=BD,..AB=BD=BE+ED=a+20= 3a,在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AE= AB:-BE =(30)2-a'=22a,EF=2a,..AF=AE F-2ata=3a.AB-CD CDB 2,∴.AF=√2CD: (5分) (3)①第三种垂中平行四边形.如图3即为所求： (7分) 2PE-3v4④或3y可 (10分) 4 2 【解析】理由如下：△ABC关于直线AC对称得到△AB C,分以下三种情况讨论： 如图4：由题意可知，∠ACB=∠ACP,:四边形ABCD是 平行四边形，∠ACB=∠PAC,∠PAC=∠PCA,. 卷 △PAC是等腰三角形：过P作PH⊥AC于H,则AH= 答 HC,.BE=5,CE=2AE=12,..B'E=BE=5.AE=6,.. AH=HC=AC=9...EH=9-6=3:PHLAC.B'E AC,ACPH△CBEWE即PH=9%5 124 在直角三角形PEH中，由勾般定理得：PE= Ennm空-3如图5，是长d DF交于点G,同理可得：△PGC是等腰三角形，连接 =1,.AG= 、P1,GF/BC,s△GF∽△CAB.iG AC,,PA⊥AC:同理，△CPA△CBE,AE=6,EC= BE_Cg即PA=5x185 12,RE=BE=5PA=AC 22PE 2;知图6，北时没有交 5+63 点，不存在PB,综上可知，PE=3y④或3v国 4 2 图3 G.- 图5 图6 第24章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 逸查CACDBBBCB C 1.C2.A 3.C【解析】R1△4BC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°. mB=sinM=亏·故选C 4.D 5.B【解析】，在RL△ABC中，CD是斜边上的中线，CD EAD=,AB,LDCA=∠A=25,∠CDE=LA ∠DCA=50°.CE是斜边上的高线，∴.CE⊥AB,. ∠CED=90°，∴.∠DCE=90°-50°=40°，故选B. 6.B【解析】过，点P作PD⊥OB于点D,PM=PN,MN= 2cm,∴.AMD=ND=1em.PD⊥OB,∴.∠PD0=90°. ·ZBH·数学第8页 ∠P0B=60L0PD=30,0D=20P=4em,0M =4-1=3(cm),故选B. 7.B8.C9.B 10.C【解析】点C作CH⊥AB于点H,,∠AHC=90°， LBDC=60°，LDCH=30,CD=16,DH=2CD= 8,EF⊥CD,六∠GFD=∠EFC=90°，在△AHC和 ∠AHC=∠CFE △CFE中， ∠A=∠BCD ,·.△MHC≌△CFE(AAS). AC=CE .AH=CF,∠BDC=60°，∠DFG=90,,∠DGF= 30°，DG=2DF,设DF=x,则DG=2x,CF=16-x, DG:AD=8:5,A0= 8 DG=5 5 8 ,4H=CF4+ 答 90F=32 8=16-x,解得x=3 ,故适C. 11.3+ 1275【解折：sni-号+(-n=0血4 2 01-am=0sml-5m6=1∠4=60， 45°，∠C=180°-∠A-∠B=75° 解题技巧)根据1m4-+1-m)产=0，得到 3 ,1anB=L,推出∠A=60°，∠B=45,再根据三角形内 角和求出∠C的度数。 13.7014.8 【解析】连接AB,0A2=1+3=10,AB2=12+32= 10,0B2=22+42=20,.042+AB2=0B,0A=AB, △AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，∴∠AOB= 45心cms∠A0B=0s450=2 2 16解：(1)原式=2x+3x 2 -4×1 (3分) 2 13 3 4 2 (5分) 2 (2)原式= +(3)2 (8分) 2 (10分)】 17.证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，.∠B= ∠C=30 (3分) 又：AD⊥AC,∠DAC=90 (6分) ∴，CD=2AD. (9分)】 18.证明：·OG平分∠MON..∠MOG=∠NOG (2分) AB⊥OG于点B.,∠AB0=90 (4分) C为线段0中点BC=宁40=0， (6分) .∴∠MOG=∠CBO..∠NOG=∠CBO,∴.BC∥ON (9分) 19.解：由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD. .△ABC∽△DEF (4分) 提0即00pE=12mm=12a (8分)】 追梦之旅铺路卷·九年 所以学校旗杆的高度是12m. (9分) 3s,6c=50 20.解：60km/h=5 x3=50(m）. (3分) :DE∥BC,.△ADE一△ABC,设小华家到广告牌的距 离为能0密解得和，？到 则70+30=100(m),所以小华家到公路的距离为100m (9分) 21.解：(1)△OCD是等腰三角形， (1分) 理由是：∴：△ACB和△ADB是直角三角形，且∠ACB= ∠ADB=90,0为B的中点.心0C=2B,0D=2B. .OC=OD.∴.△OCD是等腰三角形： (3分) (2):AC=BC,O是AB的中点，∴.OC⊥AB,∴，∠AOC= 90°. (4分)】 巾，∠ABD=30,A0=2B,0 AD=OD,.∠BAD=∠AOD=60°，∴.∠COD=∠AOD+ ∠A0C=150°： (6分) (3)过点D作DE⊥OC,交CO延长线于点E,·∠COD =150°，.∠D0E=30°， (8分) 00=2DE20D=l△c0D的 0c.0E=2x2x1=1 (9分) 2解：由题意.得∠B=∠A,∠A=2∠B,在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，.∴.2∠B+∠B=90° .∠B=30°，∠A=2∠B=60°： (4分) (2)△ACD.△BCD都是“友爱三角形” (5分) 理由如下：，：CD⊥AB.∴，∠ADC=∠BDC=90°，在Rt △ACD中，∠A=60°，.∠ACD=90°-∠A=30°， ∠ACD= 2∠A,∠ACD与LA互为“友爱角”， △ACD是“友爱三角形”： (7分) 在Rt△BCD中，∠B=30°，∠BCD=90°-∠B=60°， LB=2∠BCD,∠BCD与∠B互为“友爱角” △BCD是“友爱三角形” (10分) 23.(1)证明：：BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,.∠BDC =∠BEC=0eF为BC边的中点EF=BC,DF= 2BC EF=DE. 1 (3分) (2)解：.FE=FB=FC=FD,.∠FBE=∠FEB,∠FCD= ∠FDC.·∠A=60°.∴.∠ABC+∠ACB=120°，.∠BFE+ ∠DFC=180P-2∠ABC+180°-2∠ACB=120°，.∴.∠EFD= 60°. (5分) :F=F△BFD是等边三角形：BF=BC=3 △DEF的周长为3x3=9. (6分) (3)解：EC=V2BF,BF=CF,EC= 2BC..cos ∠BCE= 2∠ECB=459 (7分) BC=6,,EB=EC=32.∠A=60°，∠AEC=90°，. AE+(32)2=(2AE)2,∴.AE=N6(负值舍去)..AB= BE+AE=3,2+6. (9分) 在R△ADB中LABD=30°，A02B32+6 2 ·ZBH·数学第9页 Sg边8m=SAmr+Sae=7×)3×3+。×32+6 2 2 9 =33 (10分)】 2 第24章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查BCABBD CDAC 1.B2.C3.A4.B 5.B【解析】由题意得：AB=EG=122©m,∠CEG=30°，在 Rt△CEG中，CG=EG·tm30P=122×3=4,6=9.8 (cm),CF=3.8cm,,FG=9.8-3.8=6(cm),EF= VEG+FC=I8(em),在△EFG中，ig=EG-6 EF 18 被玻璃的折射率n=in30 1 =1.5,故选B. 6.D【解析】由题意知，∠PAB=30°，∠PBC=60°，∴.在R △MPc中，PG=A0sm0=65x=35(千米)，4C= an30=9(千米)，在R△PBC中，BC=PC PC 603(千 米)，∴.AB=AC-BC=9-3=6(千米)，故选D, 7.C8.D9.A 10.C【解析】EF:AH=1:3,.设EF=x,则AH=3x, △ABE≌△DAH,·AH=BE=3x,四边形EFGH是正 方形.EF=EH=x,.AE=3x+x=4x,在Rt△ABE中， AB=√AE+BE=V(4x)'+(3x)=5x,∴.c0s∠ABE= 能产子C 11.6【解析】如图，Rt△ABC中，CM= CB,AB=92,.CA+CB'=AB,..CA= CB=9,在Rt△ACD中，tan∠CAD= 3CD=3,BD=BC-CD=9-3=6 12.20213.6003 4行【解析】延长AD,过点C作CE1AD,垂足为E, 、mB=子.即0-子设AD=5,则AB=3张∠CDE =∠BDA,∠CED=∠BAD=90°，∴△CDE∽△BDA, 侣，成子45■ ∠C0=EC1 AE 5 15.24【解析】过D点作DF⊥BC于点F,设EF=xkm,则 DF=a,BP=手m,在R△BPD中，BD-BP0P 3km:D地在AB正中位置，AB=2BD=0m. 4 4cos∠ABC= 4,+3+1 ,tan∠ABC= 5 10 3 得x=3,则BC=8km,AC=6km,AB=10km,小张某天沿 A→C→E→B→D→A路线跑一图，他跑了8+10+6=24 (km). 追梦之旅铺路卷·九年级 AD 3 16.解：，AD=6,nC= D2CD=4. (2分) ∴.BD=12-4=8. (4分) 在R△ABD中，AB=√BD+AD=10. (6分) .cosB= BD 4 B5 (8分) 17.解：在R△CBD中，∠CBD=30°，CD=12m,∴DB= fan30=123(m. CD (2分) 过点C作CE⊥AB于点E,则CE=DB=125m.BE=CD =12m. (4分) 在A处测得旗杆CD的顶端C的俯角为42，. ∠ACE=42°，.AE=CE·an42°=123×0.9=18.4 (m), (7分) 卷 AB=BE+AE=CD+AE=12+18.4=30(m.故楼AB的 高度约为30m (9分) 案 18.解：(1)作AD⊥BC,则AD=20m,·∠B=45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴.BD=AD=20m, (3分) 在Rt△ACD中，∠C=30°，，CD=203m,.BC=BD+ CD=(20+203)m,.B,C之间的距离是(20+203)m (6分) (2)这辆汽车超速， (7分) 理下9 s20(m/s), (8分) 20m/s=72km/h>70km/h,∴.这辆汽车超速.(9分) 19.解：，BD⊥OA.CE⊥OA..∠BDO=∠CEO=90°，在R BD △BD0中，∠B0A=64°，BD=18.9Cm,..OB= sin64 2(cm). (4分) 由题意得：0B=OC=0A=21em,在R△0CE中，∠COA =37°，0E=0C·e37°≈21×0.8=16.8(cm), (8分)】 .AE=0A-0E=21-16.8≈4(cm),∴AE的长约为 4cm. (9分) 20.解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触难的危险， (1分) 理由如下：作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°， 由题意得：AB=60,∠B4D=90°-60°=30°，BD=240 =30.AD=/3BD=303海里>50海里 (4分) ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险 (5分) (2)由(1)得：B0D=30.AD=30w3.·BC=3×30=90(海 里)，∴.DC=BC-BD=90-30=60(海里)， (8分) 在Rt△ADC中，AC=√AD+DC=√(303)2+60= 307(海里)79.50海里：故A,C之间的距离约为 79.50海里. (10分) 21.解：，AB⊥BD.∠BAM=45°，∴∠AMB=∠BAM,∴.AB= BM=20米.，∴.在Rt△ABM中，AM=202米，(3分) 作AE⊥MC于点E,由题意得∠ACM=45°，∠CAM= 75°，∴.∠AMC=60°. (5分) AE .在Rt△AME中.AM=202米.，sin∠AME= AM 4E=sim60°·202-3×202=106米. (7分) 在R△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，AE=106米， 、sin ZACE=AC·AC= im450=203米=35米，故两 建筑物顶点A、C之间的距离约为35米 (10分)】 ·ZBH·数学第10页请铝卷风南中做：：九年复数子尖 第24章追梦基础训练卷（一） 划量，直角工清形的性清或气兔工勇品数 刚认时间：100合钟洲试分就：0分裤分： 一，选择题{年小题3分，共30分) 题号123456 7 8910 苦案 1.生活情境·飞行更南如图，行两棵树，一棵高8m,月一棵高2m, 档棒相距8m。一只小鸟从一棵树的制情龙到另一探树的何梢。 至少飞行利 A.6m 及8m C.10m 18m 41 幕题图 第2延阁 2.如图，在1△4BC中，∠ACB=90,∠A=0,G=1,用 AB=( A.2 BL.3 C. 3 3 D.1.5 3在△ABC中.∠C=0',若in1= 3期mB的值是( 4在1△AC中，乙C=0,G=5,4C=12,则imB的值是( 号 唱 匿 &图，在△AC中，C0,E分料是氧边上的中线.高线若∠A 血25”，则乙E的大小为列 A50 4 C.30 0.25 第5题图 第6题图 s如图.已知∠AB=0,点P在M边上，P=8m,点W,N在边 DB上.P=PN,若N=2em,g0H为( A.2cm B.3em C.4em D.lem 7如图，在1么AC中，∠C=90,点D在线段C上，且∠屋= 三.解答增（本大用共8个小理，头75分】 30,∠=60，C=3,期D的长度为 16（10分)计算： A.3 B.2 C23 D.3 8.图，∠AB=90,CD是AB边上的高，若AD=24,D=6,喇CD (1)2in30+3eow60r-4m45:(2}4m0+an0 的长是( A.8 i.10 C12 D.14 养8具图 第9霜图 第10期图 集.如图，在△AC中，AB=AC,∠R4C=120,m=25,D为8C的 17.〔9分】如周.在△AC中，AB■AC,∠4G=12.AD1AC交 中点，4E=B.测△E0的面积为) G干点D.求i证CD=24 R33 0 1山.如图，在△Ac中，点D在AB上，∠A=∠cD,CD=16,∠BC =60,延长CB至点E,使C医=AG.过点E作EF⊥CD于点F, 交AB于点G,若DG:A0=8:5,则DF为》 号 二，填空（每见3分，共15分） 11计算：60+245 2sin'60-0086i0 2在A中，若∠A,∠B销是4-，-m8户.0.明 ∠C的度数为 18(9分)如图，G平分∠WN.点A是W边上一点.注点A作 13.如图，在△ABC中，GD是斜边AB上的电提，∠A■20.划 4N⊥0G于点B.C为线段0H中点.连若BC求证：C0V ∠BCD= ■■■ 第13舞图 第13舞图 14.已知一直角三角形料边长为16，射这个直角三角感料边上的 中线长为 15,知图.∠0B是放置在正方形同格中的一个角，则∠A0B 的值是 ·13 以学习情境，话动限究(9会)科题膏景：在某次活动课中，甲，乙 两个学习小帽于同一时刻在阳光下对较风中一些物体进行了 测量下面是他们通过测量得判的一些信皂. 甲组：如周1.甲组测得一根直立于平地，长为m的竹竿的 影长为0m: 乙组：如图2.乙组测得学校旗杆的影长为900m: 任务要求：请根据甲，乙两粗得到的信息计年出学校纸杆的 高度 一90Ue 2 2组，生活情装·广告限(9分)如图.小华家点A处)和公格()之 问竖立着一块35m长且平行于公路的巨里广告牌(E).广告 伸挡住了小华的视线，图中的阴影那分是视点A的套区，指育 《内的果段公路记为C.一判以60张h匀速行驶的汽车经 过公路仅的时同是3，已广告佛和公路的距离是3m,求小 华家到公路的矩离， ·14 21(9分)如图.等腰直角三角尺△G与30三角尺△48D斜边 23〔10分》如图.在△4C中，∠A=60,0上C于点D.GE⊥A AB重合，)为A的中点，连结C 于点三，F为C边的中点，连结F,F (1)判度△0的彩状，并说明理由： （I)求证：FF=pF: (2)求∠C0D的度数： (2)若C=6,求△EF的周长： (31若C0=2.求△D的面积 (3)在(2)的条林下，若C=2F,求四边形EFDH的而积 22解定文〔0分)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另 个角的子，我们你这宵个角互为“发爱角，这个三角形叫件 “友爱三角形”.侧如，在△AC中，如果∠A=80,∠B=40.都 么∠A与∠B互为友爱角”，△C是~友爱三角形” 如图，△AC是“友爱三角形“.且∠A与∠B车为“友爱角“ (∠A>∠P),∠AGB=90 (1)求乙A.∠B的度数 (2)若CD是△AC中AB边上的高.则△ACD.△CD是“友 爱三角形产吗？为什么？