第23章 图形的相似 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（华东师大版）

请铝卷风南专酸：：九年饭敏子 7如图，△4BC与△A'C是以点0为位数中心的位似图形.着 AB:A'序-1：2.附△4C与△A'C的面积之比为L》 41:,2 A.12 C13 0.14 第23章追梦基础训练卷（二） 8.生活第境·测量词室如图，为了估算斜的宽皮，小明采用的办山 制制三角吞的左用、中位规，位血刚吾和周形专生相 是：在河的对岸选取一点A.在近岸取点D.B,使得A,D.形在一 条直线上，且与河的边沿返垂直，俗品又在垂直于AB的直曳 测试时间：100分钟到线分数：120分 得分： 上取.点C,并测得D=15m,C■40，如果E”0m.喇利宽 选择静{身小殖3分，共刘分) AD为( 题号1234 5 6 910 .35m C40n D.45m 答案 I.在陆△AC中.∠AGB=0,CD是4B边上的高，刚下列结论不 正确的是( AAC公=AD,AN B.CD-=AD.RD CC=BD·AB DCD·AD=AC·BG 第10图 2如曙，M,N分别是△AC的边AB.AC的中点，若∠A=65 ，如图，在平面直角坐标系中，已知点￡(-4.2)，F(-2.-2).若 ∠A1=45°，W∠程=( △EF与△E'关于点)饱似.且△EF的晖积是△E面 A.20 B45 C65 积的4倍，点E的对应点E的坐标为( 1 4(-2.19 k(-8,4 C.(-8,4)或{8，-4》 D.(-2,1)或{2，-1 0学习情境·动点探究如图，在平直直角坐标系中，点A在y轴 正半轴上，0A=Σ将0烧点0膜时针装转45得珂4，过 点A作A,A,⊥1，交x轴于点A:将4绕点0时针旋转 第2观四 落3预图 苏4题图 45得到01，过.点A,作A,A,⊥4，交y轴于点A,…:按此规 如图.若点A坐标为(1.2)，点B坐标为(1.6)，那么G点的位置 律需环下去，则点A心的坐标是( 可表示为 1 4.{-20.20 l(D,4) A〔4.2) k[2.4) G.〔3.4) (4.4) C.(2w,2m) D.(2”,2w) 4如用.在正方彩网格图中.△AC与△A'广C是位慰周形.则位 二，填空蓝（每中题3分，共15分） 但中心是( 1L如图，0是△AC内任意一点.D,,F分则为A)..C0上的 A,点R E点P ,点0 B.点) 点，△ABC与△DEF是位似三角形.位候中心为Q.若AD= 玉知园，以点)为位红中心，把△A心放大为图形的2倍，得到 A0.期△BC与△DEF的食比为 △A'BC.以下说法中猎误的是( A,点A.).A'在5同一直线上 I.△AC△AC C点0到A?与A'的距离之比是1=4 D.BC/C 中一 第12题周 第13图 12.如图，点D.E,F分别为△AC三边AB.c.AG的中点，若 △5F的国长为8，期△AC的同长为 13.如图，△4B程△D位(，位似比为2：1.位银中心是原点 苏5随图 第？则国 0,店点生标是(6.2)，围点D的坐标为 6如图.AA凰是A子以点)为位触中心经过位蚁变换得的，若 14如图，点A的坐标为(1：3)，点B在￥轴上，起△04B沿￥轴向 △4C与△F的周长之比为2：3，用0A与0D之比为) 右平移到△D,若四边形A0C的面积为9，则点G的坐 A.2:3 k3:2 C.2:5 D.3:5 标为 第14题图 易5遵图 15如阁.在平行四边彩A5D中，∠C=135,AB=2.A0=3,点H G分别是D,BC上的动点，连站AH,出若E,F分别为AH M的中点，烟F的最小值是 三、解答驱（本大题共8个小遵，共75分》 16(8分)如图，在△AC中，D,E分别是边C,A的中点，连结 ED.D,若D平分LAC,求证：8D LAC 17.(9务)如图.在平而直角坐标系中，△4C的题点都在网格的 格点上，按要求解决下列月题 (I)面山△ABC关于，轴的轴对序周形△A,B,G: (2)以原点)为放蚁中心，在第一象限内出出A4C:,便 得△A,B,C,与△4，B,C位似.且相叙比为13并写指△ABC 与△ABC的面积机之比为 (3)在(1)，《2)的条件下，设△4内一点P的坐标为a,) 爆△4BC气内与点P对位的对应点的坐标为 1(9分)如周，△虻的中线D,CE相交下点B.F,G分别是 0B,C的中点. (1)点0是△18C的 6 ,重心与一 边中点的连线的长是对应线长的 (2)当AB=AC时.求证：四边形GD是矩形 以.骑学利过圆·物理〔9分)如阁.小虹正在使用手电筒进行物理 21新考法·项日式学习(10分)下表是小梦进行数学学料项甘化 光学实晚，电面上从左在右依次是增，术版和平面镜手电筒的 学习时候的记录表，填写活动最告的留分内客 灯泡位于点处，千电箭的光从平面镜上点星处反射后，恰好 活动主理测量居风格的高应 经过木板的边峰点F,落在墙上的点E处点E到地面的高度 D=4m,点F到地成的高度FC=15m,灯池到木版的水平距 活动工具杆、意尺 离AC=5.4m.精列木板的水平距离为D=5m.已如亮在镜面 反射中的反射角等于人射角.阅中点A.B,C.D在同一本平 而上 建土规数 (1求的长： (2)求灯淑到地雀的高度A的 【步最一】在地而上选一，点A,意直地所是立絲料 B,导是2未到E处，论时，B.E在一直战上： [多骤二】另速一点C,位直地面圣立标新0，后 测量方紫 4来到F处，此时M,D,F三也在一线上 [多骤三】前得两次测量标杆之间的里离为5阳 来，两个标杆的高度均为.5米，且N,A,E,C, 在一直找上 解决问观 清你根据以上测量数幕，帮助炎避小加茶出居民 楼的高度 2.(10分)知图1是华知大素九年级上册数学较材第知真的第3 在四边形ACD中，AD✉BC,P是对角线D的中点，装是C 中点，N是AR的中点求证：∠PN■∠P不用证明 结论应用： (1)如图2，在上述题目的条件下，延长图中的线段AD交NW 22.(10分)加图，在△4BC中，P是边AB上一友，因边形P'QM 的延长线于点E,廷长线段C交VW的廷长线于点F,求E: “是正方形，点，厂在边C上，点在△4℃内.连结B ∠AW=∠F: 并延长交C于点N,NW⊥C于点M,PIM交AB于点P (2}若(1》中的∠A+∠AC=122°，喇∠F的度数为 P0⊥C于点Q (I)求正：四边形PQWN为正方形： (2)若∠A=0,C=1.5m,sam=1.5m.求PW的长 8 23(10分》【教材星现】华东师大复九年级数学上杆课本67真有 这样一道施习题： 风出图中所有的相低三角形，并说明定由. (1)数学兴规小组的可学对本避适行深入研究得出4=AD A程开由如下： ∠AB=90, 2A=∠A, ∠4·∠B-90的 △1C0n△4CD八依据2)， COLAB. ∴.∠A00=90, ∠A+∠ACD=0 六∠B=① 占AG=AD·AB 请完战填室① :2依累是 (2)【结论运周】如收材图，若以AB所在直线为x轴，D所在 直线为y轴，点D为坐际原点，当A-工0).C(02)时.则点 界坐标为 (3)【石展提升】如图，在△4BC中，上4C=0,CD⊥AB.套是 为D为线段上一点，连结4护并延长室点E违结正若自 ∠CF∠A3C.若E=6,BE=2.求AB的长，∠DAG+∠ADE=90°，∴.∠DAG=∠CDE,.△ADG △00-&AG.2G=4G-An 10 15 21.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.BA∥CD, ∠E=∠FCD.∠EAF=∠CDF,..△AEF△DCF: (3分) .AE AF 1 (2)解：①由(I)知△AEF△DCF,CDF分 AE=2,DC=22. (5分)】 四边形ABCD是平行四边形，AB=DC..AB=22: (6分)】 ②，：四边形ABCD是平行四边形，：ADBC,.△EAF .EM2_1.Sa-1 △BC.EB32了S度g (8分) SagF行Sac=6 (10分) 22.解：(1).CP=AC-AP=(10-24)m,CQ=1cm,∠C= 90°，在R1△PCQ中，根据勾股定理，得PQ2=CP+CQ .(√65)2=(10-21)2+2，解得=1或1=7，(3分) 0≤1≤5，.t=1,故当t为1时，PQ的长度等于√6⑤ em: (5分)】 、(2)分两种情况：①当△CP0∽△CAB时.名 0宁得 35 12 (7分) 2当△00△C时C侵0之-0解得 综上所述，当1为支罗时，以G,P.0为顶点的 100 912或27 三角形与△ABC相似. (10分) 23.解：【探究】(1)∠DPB=∠A+∠ADP,.∠DPC+ ∠CPB=∠A+∠ADP,:∠A=∠DPC,、∠ADP= ∠CPB,:∠A=∠B,△DAP∽△PBC: (3分) PD AP 5 AP (2):△DMP∽△PBC一CPBC09,解得AP= 9 2 (5分) 【应用】AC=BC∠A=∠B,:∠CPE=∠A,、∠A= ∠CPE=LB,【探究】得△CP∽△PBE BP-BE AC AP (7分) BC=4.CE=3EB...BE=1..AC=4.BP=6-AP...AP (6-AP)=4,∴AP=3+5或AP=3-5. (10分) 第23章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查DDDDCADDDC 1.D2.D3.D 4.D 【解题方法】位似中心的确定方法：位似图形中，两组对 应点的连线所在直线的交点即为位似中心， 5.C 6.A【解析】由题意，得ACFD,△ABC∽△DEF,, 、△ABC与△DEF的周长之比为23,0=了，：AC∥ FD.△A0c△0FAC-2 `0D0p3故透A 7.D 追梦之旅铺路卷·九年 8.D【解析】·AB⊥DE,BC⊥AB,DEBC,.△ADE∽ 4C0品0”5器解释：A04线技选D 9.D 10.C【解析】由题意，得∠A0A,=45°，OA=0A,=2, ∠0A,A2=90°，.∠A,0A2=90°-∠A0A1=45°，. ∠0A,A,=90°-∠A,0A2=45°，.△A,0A2是等腰直角 三角形，.A1A=0A=√2，∴.OA:=2,同理可得： △A0A,△A,0小。，…，都是等腰直角三角形，0A 22,0A。=4…,A1(1,1),A(2,-2),A(-2,-2), A,(-22,22)…,2025÷2+4=253…1,点Am 22-1 在第一象限，坐标为(2)，(2))，即(2“， 2).故选C. 卷 【解题方法】两个位似图形对应边的比等于相似比或任 意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比， 12.16【解析】由题意，得BC=2DF,AC=2DE,AB=2EF △DEF的周长为8，.DF+DE+EF=8,∴.AB+BC+AC =16,即△ABC的周长为16. 13.(3,1)【解析】：△OAB和△OCD位似，位似中心是 原点D.△OAB和△OCD的位似比为2：1，B点坐标是 (6,2)6x=3.2x1点D的坐标为(3.). 14.(4.3)【解析】由题意，得四边形ABDC是平行四边 形，AC=BD,A和C的飘坐标相同，四边形ABDC 的面积为9，点A的坐标为(1,3)，.34C=9,.AC=3, .C(4,3). 15 2 【解析】过点A作AN⊥BC于，点N,四边形ABCD 是平行四边形，∠C=135°，.AB∥BC,.∠B=180°- ∠C=180°-135°=45°，AN⊥BC,∴.∠BAN=90°-∠B =45°，△ABN是等腰直角三角形，AB=2,.BN= AN=2.E,F分别为AH,GH的中点，∴EF是△AGH 的中位线EF=4G,当AG1BC时，AG有最小值， 中伊有最小位图 16.证明：：DE分别是边AC,AB的中点，DE是△ABC 的中位线，∴.DE∥BC,BC=2DE. (2分)） :BD平分∠ABC,∴.∠CBD=∠EBD,:DE∥BC, ∠CBD=∠EDB,∴.∠EBD=∠EDB,∴.DE=BE,(6分) AB=2BE,∴AB=2DE,AB=BC,点D是AC的中 点，∴BD⊥AC. (8分) 17.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求： (2分)】 (2)如图所示，△A,B,C,即为所求 (5分) 1 9 (7分) (3)(-3a.3b) (9分) 18.(1)重33 11 (每空1分，共3分) (2)证明：·AB=AC,∠ABC=∠ACB,AE=EB,AD= DC...BE=DC.DE//BC,DE=2 BC,OF=FB.OG= EC∴FGBC,FG=)BC,ED=FG,ED/FG,四边 及·ZBH·数学第4页 形EFGD是平行四边形，.E0=OG,OD=OF.(5分) (BC=BC 在△BCE和△CBD中 ∠EBC=∠DCB,..△BCE≌ BE=CD △CBD,.BD=CE,DO:BD=1:3,同理EO:EC=13 ∴EO=DO,EG=DF.四边形EFGD是矩形.(9分) 19.解：(I)由题意，得FC/DE,则△BFC∽△BD,则BC BD FC DE (2分) DC=5,DE=4,FC=1.5BC54,解得BC=3: (4分】 卷 (2)AC=5.4m,BC=3m,∴AB=5.4-3=2.4(m), ∠FBC=∠GBA,又·∠FCB=∠GMB,∴.△BGA∽ △BFC, (7分) 一把识9号：解得：46=12m,答：灯泡到地 面的高度AG为1.2m (9分)】 20.(1)证明：P是BD的中点，M是DC中点，.PM是 △DBC的中位线，PW/BC,PW=2BC,∠PMN= ∠E.同理可得PNAD,PN=D∠PNW=∠AEN. (4分) AD=BG,∴.PW=PN,∴.∠PMN=∠PNM,.∠AEM= ∠F: (8分) (2)29° (10分)】 21.解：由题可知，AB⊥FW,MN⊥FN,CD⊥FN,,∠N= ∠EAB=∠DCF=90°，：∠BEA=∠MEN,,△BEA △we会识2品 (4分) 月题△mcaw长-祭品 4 (8分) 解得：4N=50米，.MN=39米，答：居民楼的高度为39 米. (10分)】 22.(1)证明：NM⊥BC,NP⊥MN,PQ⊥BC,,四边形 PQMW为矩形. (1分) ~四边形PQMN是正方形PN/PN,Pm P'N BN M'N'BN P'N'M'N a:MN/Y.IN-BN PN-MN,而P N'=MN',÷PN=MN, (3分) 四边形PQMN为正方形 (4分】 (2)解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E,SAm= 1.5,∠B4C=90°，. 7AB·AC=1.5,AB=2,-BC= 23=25.c,A0=15A0-:5 2.5 6 (6分)】 设PN=,则PQ=DE=x,AE=名-，：PN/BC. 6 AE PN △APN∽△ABC,DBC' 62.5 (8分) 解得一)即PN的长为 30 37m. (10分)】 追梦之旅铺路卷·九年 23.解：(1)∠ACD两角分别相等的两个三角形相似 AC AD (每空1分，共3分) 2.o (5分) 【解析】由题意，得AD=√3，CD=2,AC= √AD+CD=√7，根据(I)可得AC=AD·AB,.AB= 6-90=-0=7得百号期点8象标 为( 3,0): (3)∠ACF=∠AEC,∠CAE=∠FAC,.△ACF AC AF △AEC,EACAC=AF·AE, (6分) 由(I)知AC=AD·AB,AF·AE=AD·AB一AB AF AE∠FAD=∠BAE,.△AFD∽△ABE.∠ADF= AD ∠AEB=90°，.AB=√6+2=√40=2√10.(10分) 第23章追梦综合演练卷 答案12345678910 谗查ABDBCC BBA C 1.A 【技巧点拨】参数法：根据比例式设出合适的参数，然后 用此参数的代数式分别表示出相应的字母，再代入所求 代数式求值，这种方法通常用于已知比例式，求代数式的 值 2.B 3.D【解析】小：四边形ABCD∽四边形A'BC'D',.∠D= 4D'=950,∠C=∠C=110°，1B=BC,·∠B=360°- ZALC-∠D=8,8BC解得：BC=45故选D 【易错提醒】在利用多边形的性质解答求角或线段长的 问题时，不要找错对应角与对应边 4.B 5.C【解析】.四边形ABCD是边长为4的正方形，：，AD =BC=4,ADBC,点E在AD边上，AE=1,.DE=AD AE=4-1=3,DE∥BC,.△DEF△BCF,∴. SADSE 9 16 故选C 6.C7.B 8.B【解析】由题意，得AD/CF,得△ADI∽△FGH,HG DH -你=3，由DG=6-2=4,得D1=4(1+3)x33.故选 B. 9A【解折：E=写DA=D,四边形A8CD 是平行四边形，AD LBC,AB/DC,AE=AD=】 3 3 BC,△EMG△EDC∽△CBG,SaE:SAmx=1:9,SaE 5ax=116Sa8us=9(16-1）=9:15=号 故选A。 10.C【解析】点C第一次关于y轴对称后在第二象限，点 C第二次关于x轴对称后在第三象限，点C第三次关于 ·ZBH·数学第5页