第23章 图形的相似 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（华东师大版）

请路卷用南专极：H:九年级效等上 第23章追梦基础训练卷（一） 产 成吃例能我风相似区角参的时文和仕爱 第7题阳 第9题图 10图 副认时同：100介钟 别认分数：0分 府分： 8.在△ABC中，∠ACB=90',用直尺和园规在AB上确定点D,使 、选择题（每小题3分，共30分】 △AGD∽△CBD,银据作图底迹判唐，正确的是( 题号12345678910 4.A 答案 1.下列各组中的四条线段域比例的是( 9[酸材国23.L8变式]如图.AB//CD/EF,AC与D相交于点 A.4em.2cm.Iem.3cm B.lem.2cm 3cm.5cm C.3m、4m.5c,6m D.1m,2cm,2m,4 名，若E=5.=44=c,则号的值超 2节日情境·回庆节每年的10月1日是国庆节，是新中国成立的 纪念日，全国各地都升起了解艳的五红邈一国旗国旗法规 定：新有属旗均为相似矩形，在下列四面耳旗中，其中只有一面 不符合标准，这面国赏是 1如图.已知矩形ACD.AB=1,A0=4,￡为C边上一个动点 A. C. ∠40=∠EAP,AP=24B,连结0F,期DF的最小值为( H.2 “240em 160cm 144em 直线，分别交直线m,n于点A,G,,B,D 二，填空题（每小题3分，兵5分） 结论不正确的是( A.AC BD C.CE_DE 11新考法·开放性试题如图，AC中，点E,F分测是A5,4C上 CE DF CD EF AE BF n华狱 AC BD 的点，连结F,请你茶知一个条件 ,使得△ME △ACR 第3题图 第4题图 第6超图 4如图，在△A中，Em2.若-6，眉c的值为 第11题图 茅12题图 第14题图 第15题图 .2 C,1 D.9 12学料试题·音军如图，五线请是由等距离，等长度的五条军 气若博个相叙三角形的相敏比为3：2.谢它们的隔长之比为 行情线组成的，司一条直线上的三个点，B,C都在横线上，若 A.2:3 且32 C,4:9 D.94 AB=4.则C= 6知图，在边长为1的正方形网格上有两个相叙△ABC和△DF, 则上AC+∠C宝的度数为 A,1359 B.90 0，事么兰的能为 24+3y-3 C.60 D.459 7,如图，在AA中，点D在AB上，BD=24D.DE交AC于E 1从如国.D是△48c的边A8上的-点，5D-年B=3.C=2若 图下列结论木正确的是( A.BC-3DE 船告 CD-则4C的长为 15学习情境·省形新叠如图，在矩形ACD中，AB=6,D=4,E C△ADEM△ARG 是AB的中点.连结DE,P是边CD上一动点，沿过点P的直线 将矩形折叠，使点C落在DE上的点C处，当△DPC与△ADE 相时，P 三，解答精（本大题关8小理，共75分） 16〔9分)知因，已▣△ABC△ADE.AE=50m,EC-30m,BC= 70m,∠C=45,∠CB=0,求∠ABD和∠ADE的度数及 D呢的长度 17.(9分)如图，直线1况，且直线，山，山分别藏直线上于点 A,B,C,最线，于点D,E,F (1)若AB=4BC=8,EF=12,求DE的长： （a器-号4=7*4G的张 18(9分)知图1，点D,层分别是△ABC边AB,AC上的中点，算 AAE绕看点A道时针旋转角度a,得到图2，其中0Pca<0°。 连结BD.CE (1)求证：△AD△ACE: (2)当∠ADB=90,AC=4时，求GE的长 ·5. I9.《9分)如图，矩形ACD中，E,F分剩在AD,BC上，将四边彩 2L(I0分)如图，点F是平行四边形AGD的边AD上的一点，直 ABFE沿F折，使A的对移点P落在CD上，B的对称点为 线CF交线段A的延长线于点E, G,PG交C于M. (I)求E:△MEF∽△CF: 《1)求证：△DPA△PCH 2 《2)若P为D中点，且AB=6.C9,求出的长 (2):DP=1:2.AB=Sw= ①求AB的长： 2米△EBC的图机 2业.《9分)【较材呈现】下面是华师版九年级上册数学数材第76 页的部分内容. 如图，E是矩形AGD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F,AB一 22学习情境·动点探究(10分)在Rt△ABC中。∠C=90°，AC- 3.A0=2,CE=1.证明△AFD一ADCE,并计算点A到直线E 10m,G=7m,现有一动点P从点A出爱，沿线段AG向慈点 的型离 C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连结 请你结合图I.完成解答过程 【拓展应同】在图1的基雕上，延长线段AF交边C小于点G,如 PQ.如果点P的速度是2ems,点Q的速度是Iems,它们日时 出发，当有一点到选终点时，另一点也停止运动设运动时司 图2，期FG的长为 为段 (1)当：为多少时，PQ的长度等于65？ 2)当4为多少封.以C.P.Q为顶点的三角形与AAc朝根？ 6 23(10分》【蓝知】图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点 P不与点A,B重合)，∠A=∠B∠DFG=0°易证：△D4P一 △PBC(不要求证明》. 【探究】如图2.在四边彩ABCD中，点P在边AB上（点P不与 点A,B重合)，∠A=∠B·∠PC (1)求证：△APAPBC: (2)若PDm5.P℃=I0.BC=9,求AP的长 【痘用】如周3，在△AC中，A=C=4,A标=6，点P在边A 上（点P不与点A,B重合），崖结CP,作∠CPE=∠A,PE与边 C交于点E当CE=3EB时，求AP的长 44在【解题技巧】根据含有一个未知数，未知数最高次数为2 次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断. 2.D 3.A【解析】原方程移项得：x2-6x=5,则x2-6x+9=5+9, 即(x-3)2=14.故选A. 4.C 5.B【解析】把x=0代入方程x2-3x+m-1=0中，得m-1 =0,解得m=1,故选B. 6.D【解析】由题意得，△=(-2)2-4(a-2)≥0且a-2≠ 0,解得：a≤3且a≠2.故选D. 7.A 8.C【解析】由题意得，m+n=3,mn=1,∴m+n-mn=3-1= 2,故选C. 9.B 10.A【解析】设动点P,Q运动t秒后，能使△PBQ的面 积为15cm,由题意，得2(8-)×2=15，解得4=3,4 5(当1=5时，BQ=10,不合题意，舍去).故选A. 11.-1【解析】由题意得m2+1=2且m-1≠0，解得m=-1. 【易错提醒】本题易因忽略二次项系数不为0的限制条 件而致错. 12.x2-5x+4=0(答案不唯一) 13.11【解析】解方程得：x1=3,x2=4,当x=3时，2+3=5， 不能构成三角形，当x=4时符合三角形三边关系，三角 形的周长为2+4+5=11. 4k>-且k≠0【解析低-x=1,即x2--1=0, 关于x的方程红-x=1有两个不相等的实数根，“.1一 4kx(-1)>0且k0,解得>-且k≠0. 4 15.-12或-3【解析】解方程得x1=6,x2=-n,(x-6)(x +n)=0是“倍根方程”，∴，当-n是6的2倍时，即有-n =6×2=12,.n=-12,当6是-n的2倍时，即有-n=6 2=3,÷n=-3.综上所述，n=-12或-3. 16.解：(1)因式分解，得(x-3)(x-4)=0. (1分) 即x-4=0或x-3=0, (2分) 解得：x1=4,x2=3: (5分) (2)方程整理得x2+5x+5=0, (6分) a=1,b=5,c=5,4=52-4×1×5=5>0, (8分) .5,故原方程的保为 2×1 2 2 =55 2 (10分)】 17.解：任务一：①等式的基木性质 (1分) ②a+2ab+b=(a+b)2 (2分)】 ③四没有正确运用平方根的意义（每空1分，共2分） 任务二：解：二次项系数化为1，得2-3x子=0(6分) 移项，得x-3x= (6分) 配方得-3=+号即(2 3219 4,(7分) 开平方，得x-3t匹 3 2±√名= T 2 (9分) 18.(1)证明：4=(k+5)2-4(6+2k)=k2+2k+1=(k+1)2 ≥0，∴此方程总有两个实数根； (4分)》 (2)解：x=+5±(k+1) ,.x1=2,x2=k+3, (6分) 2 此方程恰有一个根小于-1，∴.+3<-1，解得k<-4,即 追梦之旅销路卷·九年 k的取值范围为k<-4. (9分)】 19.解：设茶园垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度为 (69+1-2x)m,根据题意，得x(69+1-2x)=600,整理得 x2-35x+300=0. (4分) 解得x1=15,x2=20,当x=15时，70-2x=40>35,不符合 题意合去； (6分) 当x=20时，70-2x=30,符合题意.答：这个茶园的长和 宽分别为30m、20m. (9分) 20.解：(1)根据定义，x2+2x-8=0的“倒序方程”为-8x2+ 2x+1=0: (3分) (2)原方程移项得x2+2x=8,配方，得x2+2x+1=8+1,即 (x+1)2=9,开平方，得x+1=±3，解得：x=2,x2=-4. (6分】 由(1)知，原方程的“倒序方程”为-8x2+2x+1=0,这里 大 a=-8,b=2,c=1.62-4ac=22-4×(-8)×1=36,.x= 卷 治即宁片 1 (9分) 案 2L.解：(1)设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长 率为x,根据题意得：100(1+x)2=144,解得：x,=0.2= 20%,2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该车间4月份 到6月份生产数量的平均增长率为20%； (4分) (2)设该零件的实际售价应定为y元，根据题意，得(y- 30)[600-10(y-40)]=10000,整理得：y-130y+4000= 0,解得：y1=50,y2=80, (7分) 又：要尽可能让车企得到实惠，y=50.答：该零件的 实际售价应定为50元. (9分) 22.解：(1)设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： (100-2x)(40-2x)=1600,解得：x,=10,x2=60(不符台 题意，舍去)，答：剪去的小正方形的边长为10cm: (3分) (2)①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的 小长方形，设收纳盒的高为α厘米，则收纳盒底面的长 为10020=(50-0)厘米，宽为(40-2a)厘米，5（50-0) (40-2a)=608, (5分) 解得：a=12,42=58>50(不符合题意，舍去)，∴收纳盒 的高为12厘米 (7分) ②》.·12<15，.不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒. (10分) 23.解：(1)② (2分) (2)设长方形的宽为x米，则长为(x+2)米.由题意，得 x(x+2)=15解得x=3或x=-5(會去)； (5分) (3)由题意，首先构造了如图所示的图形， (8分) 图中的大正方形面积是(x+x+2)2,其中四个全等的小 矩形面积分别为x(x+2)=15,中间的小正方形面积为 2,.大正方形的面积又可表示为4×15+22=64，进一 步可知大正方形的边长为8.∴，x+x+2=8.解得x=3. (10分) x+2 气+ +2 x+2 第23章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查DBBABDDCDB 1.D 【解题技巧】判断四条线段能否组成比例线段的方法：1. 统一单位：4条线段的长度单位化统一：2.排序：按从小 到小)的顺序排列，如a<b<c =C则能组成比列线段，否则不能组成比例线段， ·ZBH·数学第2页 16021203962642 2B【解析12403160443·963长、 宽分别为160cm、120em的国旗不特合标准.故选B. 3.B4.A5.B 6.D【解析】：AB=√+2=5，AC=√+3=/0， BC=5,DE=√1+I=√2，EF=2,DF=√3+1=√I0, AB AC BC 10 DE EF DE 2,△ABC∽△EDE,LBAC= ∠DEF=180°-45°=135°，∴.∠ABC+∠ACB=180°- ∠BAC=45°.故选D. 7.D【解析：BD=2ADAB=3AD,DE/BC,BC DE AD 1 BD CE 卷 B3BC=3DE,A结论正确DE/BC,8C △MDEM△ABC,B、C结论正确；DE∥BC,AB=3AD, 六SAAs= 5aceD结论错误，故选D. 【模型解读】相似三角形模型一母子型 此模型中的两个三角形有一个“公共角”，只需要再找到 一对等角或证明这个公共角的两边成比例即可说明这 两个三角形相似. 8.C 9.D【解析】设AE=,则BC=,EFMB,CE-C,即 CA CB' 5开立，解得x=20,即A6=20,CD/AB六△BCD 54 Ae岩是音宁选D 【模型解读】相似三角形模型一8字模型 此模型中的两个三角形有一组“对顶角”，只需再找一对 等角或夹这组对顶角的两边成比例即可说明这两个三 角形相似。 10.B【解析】取AD的中点G,连接FG,AD=4,∴.AG= 28=L9-2,:A=2B.AC ABE=2. ∠BAD=∠EAF,.∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD, ∠BAE=∠GAF,∴△BAEM△GAF,∴.∠AGF=∠ABE= 90°，∴.点F在线段AD的垂直平分线上，，DF=AF,当 点F与点G重合时，DF有最小值，最小值为2.故选B. 11.∠AEF=∠C(答案不唯一) 12.2 1及7【解折】设受子=子=0，则2k=3,=4, 所以红-3y+28M-9k+8M 2x+3y-324h+9%-12%=7. 4 4号【解折1：B0-手A=3,BC=2 .BD32 BC2=3' AB3BCAB∠B=∠B,△CBD△ABC, BC 2 BD BC ACB3cD=5 CD BC 2 3 AC=- 355 CD= 2 2*32 15弩或号【解折：四边彩ABCD是矩形，B=DC= 6,∠ADC=∠C=∠A=90°，：E是AB的中点，∴BE= AE=3,.DE=√AD+AE=√4+32=5，由折叠，得 PC'=PC,设PC=PC=x,则DP=6-x,当△DPC'与 △ADE相似时，△DPC'是直角三角形，①当∠DC'P= 90°时，∠DC'P=∠A=90°，DC∥AB,.∠PDC'= 追梦之旅销路卷·九年 LD△0En△Cm小e品号-芹解 得x=号CP号，②当∠DrC=0时∠nC 8 ∠A=90°，∠PDC'=LAED,△DPC∽△EAD,E DP 份号营解释G兰培上州老 24 △DPC与△ADE相似时，CP= 16.解：∠BAC=45°，∠ACB=40°，∴∠ABC=180°-45°- 40°=95°，'：△ABC∽△ADE,.∠AED=∠ACB=40°， (3分) 即∠ADE=∠ABC=95°， (5分) DE AE 50 5 E50,C=3003BC- 70cm,.∴.DE=43.75cm. (9分) DEAB 4 1 17.解：(1)：4，%六EF8c82 (2分) ∵EF=12,∴.DE= EF=6: (4分) AB DE 2 1 (24h%aCF子MB=7,BC= 2 (7分) 六AC=742135 22 (9分)】 18()正明：由题意，得0-B,AG=4c,出光 AD AE 1 2' (2分) 由旋转得∠BAD=∠CAE=a,.△ABD∽△ACE;(4分) (2)解：.△ABD∽△ACE,∠ADB=90°，∠ADB= LAECAC=4EC2 (7分) .CE=V√AC-AE=√4-2=25，CE的长是23. (9分)】 19.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∠D=∠C=90°，由 题意，得∠EPC=∠A=90°，·.∠DEP=∠CPH=90° ∠DPE,∴.△EDP∽△PCH: (3分) (2)解：CD=AB=6,AD=BC=9,P为CD中点，.PD= PC=CD=3,PE=AE=9-ED,PD2+ED=PE232+ ED2=(9-ED)2,解得ED=4,∴.PE=9-4=5,(5分) △ano-器是-音P-e= d 4 G=AB=6Gm=65Gm长为g（9分 20.解：【教材呈现】：四边形ABCD是矩形，CE=1, ∠ADC=∠C=90°，CD=AB=3,BC=AD=2,.DE= √/CD+CE2=√10. (2分) ,'AF⊥DE,∴，∠AFD=∠C=90°，∴.∠DAF+∠ADF= ∠ADF+∠CDE=9O°，∠DAF=∠CDE,△ADFn △DEC, (5分) =C即。=，解得AF-3√10】 AF CD #2/10' 5 (7分) 【拓晨应用1答 (9分) 【解析】四边形ABCD是矩形，∴LADC=∠C=90°， CD=AB=3,BC=AD=2,.DE=√CD+CE=√10， AF⊥DE,.∠AFD=∠CDA=90°，∴.∠CDE+∠ADE= ·ZBH·数学第3页 ∠DAG+∠ADE=90°，∴.∠DAG=∠CDE,.△ADG △0E0dAG-2gc=AG-A √10 15 21.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.BA∥CD, ∠E=∠FCD,∠EAF=∠CDF,.△AEF∽△DCF: (3分) (2)解：①由（知△AEF一△DcF,∴0=0F=2· AE=万，∴.DC=22, (5分) :四边形ABCD是平行四边形，.AB=DC,∴.AB=22: (6分】 ②，：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,.△EAF .EA√21.SAEF-1 △BBC,EB323心Sa9 (8分) 2 SAur3Saesc=6. (10分) 22.解：(1)CP=AC-AP=(10-2)cm,CQ=tcm,∠C= 90°，在Ru△PCQ中，根据勾股定理，得PQ=CP+CQ .（√65)2=(10-2)2+2，解得t=1或t=7,(3分) 0≤t≤5，∴.t=1,故当t为1时，PQ的长度等于√6⑤ cm; (5分) (2)分两种情况：①当△CPQ∽△CMB时，CCB CP CO 0的-号得 35 12 (7分) ②当Ac0△c时瓷是0产-节解得 综上所达，当：为支罗9时，以C,P,Q为顶点的 100 12或27 三角形与△ABC相似. (10分) 23.解：【探究】(1)：∠DPB=∠A+∠ADP,∴.∠DPC+ ∠CPB=∠A+∠ADP,:∠A=∠DPC,·∠ADP= ∠CPB,∠A=∠B△DAP∽△PBC: (3分) PD AP 5 AP (2):△DAP∽△PBC,CPBC0),解得AP 9 29 (5分) 【应用】AC=BC,.∠A=∠B,:∠CPE=∠A,,∠A= LCPE=LB,探究】得△CMP∽△PBE,BPBE AC AP (7分) BC=4,CE=3EB,∴.BE=1,AC=4,BP=6-AP,∴.AP (6-AP)=4,∴AP=3+5或AP=3-5. (10分) 第23章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查DDD DCA DD DC 1.D2.D3.D 4.D 【解题方法】位似中心的确定方法：位似图形中，两组对 应点的连线所在直线的交点即为位似中心 5.C 6.A【解析】由题意，得AC∥FD,△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的周长之比为23，=号，4C/ FD,△A0C△D0F,:0A-AC2 0DDF3故遮A 7.D 追梦之旅铺路卷·九年 8.D【解析】·AB⊥DE,BC⊥AB,.DE∥BC,.△ADE∽ 4C治品品5器解释A0=45长选D 9.D 10.C【解析】由题意，得LA0A:=45°，OA=0A,=V2, ∠0A1A2=90°，∴.∠A10A2=90°-∠A0A1=45°，. ∠0A,A1=90°-∠A,0A2=45°，△A10A2是等腰直角 三角形，A1A2=0A,=√2，.042=2，同理可得： △A,0A4,△A,OA6,…,都是等腰直角三角形，0A4= 22,0A=4…,.A1(1,1),A(2,-2),A(-2,-2), A,(-22,22)…,2025÷2÷4=253…1,点Am 225=1 225=1 在第一象限，坐标为(2)三，(2)了)，即(2“， 2%).故选C. 大 【解题方法】两个位似图形对应边的比等于相似比或任 意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 12.16【解析】由题意，得BC=2DF,AC=2DE,AB=2EF △DEF的周长为8，∴.DF+DE+EF=8,∴.AB+BC+AC =16,即△ABC的周长为16. 13.(3,1)【解析】：△OAB和△0CD位似，位似中心是 原点O,△OAB和△OCD的位似比为2：1，B点坐标是 （6,2)6x对=3,2x1点D的套标为(3，). 14.(4,3)【解析】由题意，得四边形ABDC是平行四边 形，.AC=BD,A和C的飘坐标相同，：四边形ABDC 的面积为9，点A的坐标为(1,3)，.3AC=9,,AC=3, ∴.C(4,3). 5② 【解析】过点A作AN⊥BC于，点N,,四边形ABCD 是平行四边形，∠C=135°，AB∥BC,,∠B=180°- ∠C=180°-135°=45°，AN1BC,÷,∠BAW=90°-∠B =45°，∴△ABN是等腰直角三角形，AB=2,.BN= AN=2.E,F分别为AH,GH的中点，∴.EF是△AGH 的中位线EF=4C,当AG1BC时，AG有最小值， 即F有最小值只 16.证明：：D,E分别是边AC,AB的中点，DE是△ABC 的中位线，∴.DE∥BC,BC=2DE, (2分) :BD平分∠ABC,∴.∠CBD=∠EBD,:DE∥BC,. ∠CBD=LEDB,∴.∠EBD=∠EDB,∴.DE=BE,(6分) AB=2BE,∴AB=2DE,.AB=BC,点D是AC的中 点，.BD⊥AC. (8分) 17.解：(1)如图所示，△A1B,C,即为所求； (2分) (2)如图所示，△A,B,C,即为所求 (5分) 1 9 (7分) (3)(-3a,3b)】 (9分) 18.(1)重33 11 (每空1分，共3分)】 (2)证明：.AB=AC,.∠ABC=∠ACB,AE=EB,AD= DC..BE=DC,DE//BC,DE=BC.OF=FB,OG= C,FPG/BC,FG=BCED=PG,ED/FG,四边 及·ZBH·数学第4页