九年级下册 第二章 二次函数 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（北师大版）

铺路卷 河南专灌，ZBB·九年级数学下 一为中，末用为中、系 第二章追梦综合演练卷 制或时间：100分钟 测流分表：120分 一，选择题（年小题3分，共0分） 题号12345678 910 答案 1.将二改函数y=-x2-2-3化为y=a(x-)+k的形式为( y=-(x-1)3+3 B.y=(x+1)2-4 C.y=-(x+1)-2 D.y=《x-1)3+2 亨2二次钢量y=-(x-2》+11的顶点坐标和对特鞋分别是( A.(2,11),直线x=2 B.（2.3),直线x=2 C.(-2,11).直线x=-2 D.(-2,3).直线x=2 3划物线的对称轴为直线：=3，了的最大值为-5，且与)宁字的 图像开口大小相月，则这条抛物线解斯式为( 1 --时 CP243)45 D产2-3)°-5 4.如果点A(1,3).(w,3)是抛物线y=(x-4)2情上两个不同的 点，那么w的值为 毁 .4 且3 C.6 .7 5若二次函数y=:2+虹e的图集经过A(m,),(0,).C(3 -,}D(泛历》，E2,为)则y1为为的大小关系是() L为 B.ycyc: C.yS D.Y:CCy 6金活情境·爽水滚广场上喷水被中的对头嫩露本面，喷出的水 线星一条端物线，水线上本珠的高度（米）关于水球和喷头的 水平距离（米）的话数解析式是y-之2+6(06车≤4》，那么 木珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平臣离是( A.I米 B.2米 C.5米 D.6米 7.函数y■2-2x+1和y=x+(是常数，且80)在一直角生 标系中的图象可能是( 8.已知二次函数y■-2(x-m)+4,当<-2时，y随x增大面增大。 三，解答题（本大题兵8个小见，共75分） 当0时，y随x增大观小，且m骑足n2-2m-3=0,则当x=0 16(8分)抛将线y=x2-2x+e轻过点(2.1). 时，y的值为() (1)求抛物战的顶点坐标 A.2 B.4 01+wzD.12 (2)将抛物线y=x2-2x+c沿y轴内下平移后.所得新抛物线与 9.如图，一条常物线与轴相交干A,B两友（点A在点B的左 x轴交于A,B两点，加果AB=2.求新轴物慢的表达式 创》，其顶点P在线段N上移幼.若点M,N的坐标分别为 (-1,-2)、(1,-2),点B的横坐杯的最大值为3，划点A的橘全 标的最小值为(》 A.-3 B.-1 0.3 17.(9分)已知抛物线y=+:+e轻过A(2,0),对称轴是直线王 一1，且关于年的方程a2+6e+c=x有两个相等的实数根 P (1)求抛精线的解析式 第9题固 第10题图 10,二次两数y=世2+：+e的周象如图所示，以下结论：①b34r: (2)设(m,,).(+2,)是抛物线y=2++e上的两点，请 比较与0的大小，并说明理 ②2c0,③当心时y随：的增大面增大：国。-+e0 中，正确的有(） A.1个 B.2个 C3个 D4个 二、填空驱（每小题3分，头5分） 11.将撒物线y=3x2-6r+4先向右平移3个单位.再向上平移2个 单位后得到新的抛物线，影新抛物线的顶点生标是 1深.〔9分)爵治桥是太原市首生对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小 12.如图显地物战y=++忙的图象的一事分，请保根据图象写 相等的抛物线型，桥扶如长虹出水，屹立于奇河之上，是太蜕市 出方程+x灯=D的两根是 地标性建筑之一，如周2所示，单个桥其在桥而上的跨度4一 0米，在水面的药度C=0米，桥面南水面的垂直离0B= 7米，以桥面所在水平缓为寡轴.0E所在直线为y轴建立平面 直角坐标系： (1)求洗桥质在抛物线的函数表达式： 第12题周 第13题图 第14题图 (2)求扶桥最高点到水面的距离是多少米？ 13.二次所数)=2+点+e的图象如图，期一次承数y=+a的图 象不经过第 象限 14.生活情境·面离东台鱼稀面是“中华名小吃”.如图，是一个面 成的藏面图碗身可近敏看作发物线，以魏底0为原点建立平 用 日2 国直角坐标系，已如碳日C宽28m,院深0M=9,&m,则当满 碗汤面的整直高度下降4.8m时，碗中汤面的水平宽度为 cm(确的厚度不计). 15.在直角坐标案中，已知直线三了+经过点M(-1,m)和友 2,》,抛物线y=:-x+2(a0)与线段W有两个不同的 交点，则：的取值范围是 ·35· 19.(9分)如图，二次函数y,■2-2x-3的图象与寒轴交于点A,B 2L,(0分)某商标将每件进价为80元的某种商品原来按海作100 《A在B的左侧)，与一次函数为=士+的图象交于A,C两点 元出售，一天可售出10件.后米经过市场调查，发现这醉商晶 (1)求6的值： 单价揭待低1元，其销量可增加0件. (2)求AAC的面积： (1)求度场经营该商品原米一天可铁利阁多少元： (3)根出图象，直接写出当为时x的取值范围. (2)设后来该南品件降价x元，离场一天可获利牌y元. ①若商杨经营该商品一天要疾利阁2160元，则每作商品皮得 价多少元1 2求出y与年之同的函数关系式，并写出当年取何值时，商据 可获润量大利润？量大利情为多少元？ 20.生活情境·发射〔10分》学校科学杜雨成员料作了一个物体 22,项日式学习(10分)某数学兴整小组在学习了抛物线的知间 发射器，可使用该发射器从施面竖直向上爱射出物体，已每发 后，决定利用抛物线的知识进行课外实践话动，下而是此次课 射出的物体离地面的高度（单位：■）满足关系式h=一， 外实践活动的料查报告： ,其中（单位1）是物体运动的时(，用发射器（发射器的高 活动题避地★战的深外实民活动 度忽路不计)将一个小这以初速度=1m/,地而短直肉 如图是一角抛扬找数携门的示意图，首先测量 上常. 椭物战型棋门的底部聘度AB,然后背高度为CD (1)小球从能出到落同地而需要 活动这粗 的标杆海直于层所在地面，水平方向移动标杆 (2)小球的高度能否达到5.5mt若能，请求出运动时间：若 标什项年D给好与情门的内壁是触，底布C 不能，替说明理由： 雄林在AB上，再量出A、C两点间的亚离. (3)小豫在实哈楼连续两次看到这个小球经过观察点，当观察 4 点离小球爱射点的竖直高度为4,2m时，求这两次阿隔的时 间差. 接门承意图 说明：示B所在直民为=种，经垃AB中点0的 唐为y轴建生年面直角坐标系，刺箭线型桃 门的最高点E到地面竹意高为E 测量数漏AB=8m,CD=3m,AC=1m 米波抛物线型剂门的最高点B到地面的距 任务1 高05： 委点孩得格线型桃门为装脂高地西的。高的同 任务2 榈各安裳一丝灰晚黑明方（大中忽感不计）， 两强灯的水平距善 ·36. 2这.(10分)如图，抛物线y==+x-2经过点A{4,0),(1,0),交 y轴于点C (1)求抛物浅的解析式 (2)点P是直线AC上方的抛物慢上一点，过点P作P刚⊥AC 于点日，求线段P刚民度的最大值 (3)Q为抛物线上的一个动点（不与点A.B,C重合），QW上玉 轴于点制.是否存在点0，使得以点A,0,M三点为顶点的三角 形与△A0C相似？若存在.直接写出点Q的坐标，若不存在， 请说明球由√5-4=3，.D(-8,0),把D(-8,0)代入y=ax2+5ax +4解得a=6 1 16.解：(1)设她围成的矩形的一边长为xcm,得x(50-x)= 600.解得x1=20,x2=30, (2分) 当x=20时，50-x=30: (3分】 当x=30时，50-x=20,所以小芳围成的矩形的两邻边 分别是20cm,30cm. (4分) (2)设围成矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,则有y= x(50-x),即y=-x+50x=-(x-25)2+625. (6分) 当x=25时题大=625；此时，50-x=25,矩形成为正方 形.即用这根细绳围成一个边长为25cm的正方形时， 其面积最大，最大面积是625cm2 (8分】 17.解：(1)：二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象经过点A 1,0)1+6+e=0由题意，得- 2 =2,.b=-4,c=3, .二次函数的解析式为y=x2-4x+3, (3分)】 ·.C(0,3).点B和点C关于该二次函数图象的对称 轴直线x=2对称，∴.B(4,3), (4分) 将A(1,0),B(4,3)代人一次函数解析式，得k+b=0 4h+b=3 信1一次函数的解析式为y=1 (6分) (2)由图象可得，不等式kx+b≤x2+bx+c的解集x≤1或 x≥4 (9分】 18.解：(1)设函数的表达式为y=a(x-2)2+9, (1分) 将点A(-1,0)代入得0=a(-1-2)2+9,解得a=-1.故 二次函数的表达式为y=-(x-2)+9,即y=-x+4x+5. (4分) (2)由y=-x2+4x+5可知点C(0,5). (5分) A点坐标为(-1,0)，对称轴为直线x=2,B(5,0), .直线BC函数表达式为y=-x+5, (6分) 把x=2代人得y=3,过点M作y轴的平行线交BC于 点H,则点H(2,3) (8分) Sswcn=2 HMxBO=2x6x5=15. (9分) 19.解：(1)由题意得：顶点B(4,4),点0(0,0)，设二次函 数的表达式为y=a(x-4)2+4,将点0(0,0)代入函数表 达式，解得a=4心二次函数的表达式为y= 4(、 1 4)+4,即y=4+2x (4分) (2)工人不会碰到头， (5分) 理由如下：由题意得：工人距0点距离为04+×1,2 1(m)将x=1代人y=+2,解得y=子=175 7 1.75m>1.68m,此时工人不会碰到头.(9分) 20解：（1抛物线y=+bre过点00,0，E10. (c=0 0医9心e=0解得6。一三抛物线的离数表 2 25 达式为：y=4 2, (3分)】 =5,.当x=5时，抛物线有最小值，最小 对称轴x=2a 值y= 252525 25. 42 …抛物线顶点坐标为(5，一 4 (5分】 1 2矩形 5 (2),B(t,0),∴.AB=10-24,BC=- 1, 5 1 ABCD的周长=2(4B+BC)=2(10-24-4+2)=-2 追梦之旅铺路卷·九年， 12+1+20 (7分) a=2<0,函数有最大值，当1=- -=1 2a 1 2x(-2） 41 时，矩形ABCD的周长最大值为：-)+1+20= (8分) ∴.当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是 41 (10分) 2 21.解：(1)y是x的一次函数，设y=kx+b,图象过点(10， 30),(12,240),代入得94620解得化0 b=600y =-30x+600. (2分) 当x=16时，m=120. (4分) (2)75862.5 (6分) (3)由题意，得6(-30x+600)≤900，解得x≥15.（7分) 设利润为地，0=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x 780 360,对称轴为x=2x（C30)13:a=-30<0,抛物 线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，(9分) ∴当x=15时，w量大=1350，即以15元/个的价格销售这 批产品可获得最大利润1350元. (10分) 22.解：(1)设y=a(x-1)+3,将(0,2.25)代人得2.25=a (0-1)+3,解得a=- 4心抛物线（第一象限部分）的 函数表达式为y=一4 3 x-1)2+3: (5分)】 3 (2)当y=0时，-4(x-1)'+3=0,解得=-1，=3， 第一象限部分的抛物线与x轴的交点为(3,0)，.要求 喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少3米.(10分) 23.解：(1)-2-3（-1,0) (3分) (2)存在， (4分) 理由：①当∠ACP是直角时，由点A、C的坐标知，OC= 0A,即∠BAC=45°，则PC与x轴的夹角为45°，，直线 PC过点(-3,0)，设PC表达式为y=mx+n,把点(-3， 0),(0,-3)代入得3mn=0,解得y=-x-3. (5分) (n=-3 联立3，舒得49（会去）故点 y,=-4ly=-3 P(1,-4): (7分)】 ②当∠P'AC为直角时，同理可得点P'的坐标为 (-2,5):综上所述，P的坐标是(1，-4)或(-2,5). (10分)】 第二章追梦综合演练卷 题号12345678910 答案CABDDBCAAC 1.C2.A3.B 4.D【解析】由题意，得A(1,3)与B(m,3)关于对称轴x= 1+m=4,解得m=7.故选D. 4对称， 5.D【解析】小：二次函数y=Ialx2+br+c的图象经过A (m,n)、C(3-m,n),.开口向上，对称轴为直线x= +3m号B(0,),D(2,),E(2,为)与对称轴 2 的距离中B最远，D最近，y<y<故选D. 3 6.B【解析1y-2+6r=2（x-2)P+6,六x=2时，了 取最大值6.故远B. 7.C 8.A【解析】函数的对称轴为：x=m,当x<-2时，y随x增 大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，则-2≤m≤0 ·ZBB·数学第20页 m2-2m-3=0,解得m=3或-1，故m=-1,则x=0时，y =-2(x+1)2+4=2.故选A. 9.A【解析】根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即 可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，此时的A 点坐标为(-1,0)，当对称轴过M点时，点A的横坐标最 小，此时的B,点坐标为(1,0)，此时A点的坐标最小为 (-3,0),故点A的横坐标的最小值为-3.故选A. 10.C【解析】由题意，得△=b2-4ac>0,即b2>4ac,所以① b 3 正确抛物线的对称轴为直线=2a2,心6 3a,∴b+2a=5a,而抛物线的开口向下，.a<0,∴.b+2a< 0,所以②正确：，抛物线的对称轴为直线x= 2当 3 y随x的增大而增大，所以③正确：心x=-1时， y>0,∴.a-b+c>0,所以④错误.故选C. 【归纳总结】二次项系数a决定抛物线的开口方向和大 小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下 开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的 位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号 时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点： 抛物线与y轴交于(0，c).抛物线与x轴交点个数由判别 式确定：4=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；4= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=62-4ae<0 时，抛物线与x轴没有交点。 11.(4,3)12.x1=-3,x2=113.四 14.20【解析】设抛物线解析式为y=ax2,由题意，得C (14,9.8).9.8=a×142,a 20y20,98-48 5,花y=5代入抛物线解析式y=0,可得x=士10， 因此汤面宽度为10-(-10)=20cm. 15.a≤-1或4≤a<行 5经过 ;【解析直线y=3+3 点M(-1,m)不点2，)m=-子×(-)+写=2，n 3x2+ +3=1,M(-1,2),N(2,1).抛物线y=am -x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，-3x+ 3=ar2-x+2,4=440、】 1 93>0,a<3,当a<0时， 2≤a+1+2,解 仔22解得a≤-1当a>0时.行22 得a≥44≤a<分 a<分嫁上所述：a≤-1成好≤a<兮 1 16.解：(1)把(2,1)代人y=x2-2x+c得4-4+c=1,解得c= 1 (2分) 所以抛物线解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,所以抛物 线顶点坐标为(1,0). (4分)】 (2)y=x2-2x+1=(x-1)2,抛物线的对称轴为直线x 1, (5分) 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2,所以 A(0.0),B(2,0). (6分】 所以新抛物线的解析式为y=x(x-2),即y=x2-2x. (8分) 17.解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得0=4a+2b+c ①， (1分) 函数的对称轴为x=1= ,即b=-2a②， (2分) 2 关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则A =(b-1)2-4ac=0③， (3分) 追梦之旅铺路卷·九年， a=- 联立①②③并解得 b=1 2,故抛物线的表达式为y c=0 (5分)】 (2)(m,y),(m+2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c上的两 点，则y2y,=)(m+2)2+(m+2)+ 2m2-m=-2m, (7分) 故当m≥0时，为2y1≤0： (8分) 当m<0时，y2y>0. (9分) 18.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx,由题意可得，点 B(-10,-7),对称轴为30. (2分)】 1100a-10b=-7 =30 2a 解得80601，即桥拱所在抛物线 的函数表达式是y=-0.01x2+0.6x: (5分) (2)y=-0.01x2+0.6x=-0.01(x-30)2+9, (6分】 ∴.当x=30时，y取得最大值9.9+7=16（米），桥拱 最高点到水面的距离是16米 (9分) 19.解：(1)当y1=0时，x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3, 抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0).直线为=-x+6 经过A点，∴0=-(-1)+b,.b=-1; (3分)】 (2)由(1)知为2=-x-1,联立得x2-2x-3=-x-1,整理得 x2-x-2=0.解得x1=-1(含)，2=2，把需2=2代人y2= -l,得⅓=-3c2-3)Sc-x灯3-(-101 ×|-31=6; (7分) (3)x<-1或x>2 (9分) 20.解：(1)2 (3分) 【解析】把。=10代入h=-52+t得，h=-52+10,当h =0时.即52-10=0，解得41=0,42=2,2-0=2，故小球 从抛出到落回地面需要28： (2)小球的高度不能达到5.5米」 (4分) 理由如下：把h=5.5代入h=-52+10得，5.5=-52+ 10,.5t2-10r+5.5=0.4=(-10)2-4×5×5.5=-10< 0,∴5.5=-5+10无实数解，.小球的高度不能达到 5.5米： (7分) (3)由题意得：4.2=-512+10,52-10+4.2=0，解得 41=0.6,42=1.4,4-41=0.8,答：这两次的时间差为0.8s. (10分) 21.解：(1)根据题意，得(100-80)×100=2000（元）.故商 场经营该商品原来一天可获利润2000元. (3分) (2)①根据题意，得(100-80-x)(100+10x)=2160,整 理，得x2-10x+16=0,解得x,=2,x2=8.故每件商品应 降价2元或8元. (6分) ②=(100-80-x)(100+10x)=-10x2+100x+2000=-10 (x-5)2+2250,当x=5时，y有最大值为2250.故y与x 之间的函数关系式为y=-10x2+100x+2000.当x取5元 时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元.(10分) 22.解：任务1：设该抛物线的解析式为y=ax2+b,由题意， 得A(-4.0),D(-3,3) (2分) 3 六65解得 7 = 48 ,该抛物线的解析式为y 7 7 (5分) 48 当x=0时，y= 48 E(0,今)，心该抛物线型拱门的最 高点E到地面的距离OE为3： (6分) ·ZBB·数学第21页 任务2：当y-的时则马+9的解得=-2 2,2-(-2)=4(m),∴.两盏灯的水平距离为4m.(10分) 23.解：(1)将点A、B的坐标代人抛物线解析式，得 fa+b-2=0 16a+46-2=0解得 =2 故抛物线的解析式为y= b=- 2 2t2 (3分) (2)由抛物线的解析式知，点C(0,-2),由点A,C的坐 标得，直线4C的解析式为y=2-2, (4分) 过点P作y轴的平行线交AC于点N,交x轴于点E,设 PH交x轴于点K∠PEA=∠KHA=90°，∠PKE= ∠AKH,∴.∠NPH=∠OAC,则an∠NPH=tan∠OAC= 8-则=LNm32 5 (5分】 设点P,+字-2)，则点N-2》,则P阳= PNoP-5( 4v5 2 天 (6分) s<0,故PH有最大值，当x=一=2时，PH的最 大值为4ac-b45 (7分】 51 (3)存在，点Q的坐标为(2,1)或(5，-2)或(-3，-14) (10分) 【解折1设点Q(m,了m2+ 1 +之m-2),则AM=m-4, 1,5 QM= 2m+2m-2,由(2)知，tam上0Ac=%=2, 以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似，则 LM0A=∠0AC或LMQA=L0CA,即am∠MOA=AW 2,即 m-4 号或2，解释m=2或5 2m-2 或-3或4（含去）或m=0(舍去)，即m=2或5或-3，将 共代入y经-2中，y1或-2或-14，故点0 的坐标为(2,1)或(5，-2)或(-3，-14) 追梦期中达标测试卷 题号12345678910 答案ABBBCBBABA 1.A2.B 3.B 【归纳总结】二次函数图象平移的规律：上加下减常数 项，左加右减自变量.但是在平移时要注意将二次函数表 达式写成顶点式：y=a(x-h)+c. 4.B 5.C【解析】：二次函数y=ax2+b+c开口向上，与y轴交 于负半轴，对称轴为直线x>0,.a>0,c<0,b<0,点P (b,c)所在的象限是第三象限，故选C. 6.B【解析】延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于 F,∠BCD=150°，.∠DCF=30°，又CD=4,.DF= 2,CF=√CD-DF=25,由题意得∠E=30°，∴.∠DCF =∠E,∴.DC=DE,.∴.EF=CF=2N3,∴.BE=BC+CF+EF= 追梦之旅铺路卷·九年级 6t45,A8=-Em8=(6r4)×号-(2.5+4)米故 选B. 7.B &A【解析1起(0,0)代入7=号(+3)46，得-号0叶 3)P4=0,解得=6抛猪线每折式为y▣子(+3 6,.B点坐标为(-3,6).BC⊥x轴于C,.图中阴影部 分图形的面积和=Se0cm=3×6=18.故选A. 9.B【解析】由题意得AB=16,当x=8时，y=-×64= 16 -4.当水位上升3米时，y=-1,把y=-1代入y=-16， ,解得x=士4，此时水面究CD=4-(-4)=8 得-1=16 米.故选B. 10.A【解析】根据题意将点(-1，-3)、(0,1)、(1,3)代入 (a-b+c=-3 (a=-1 二次函数y=ax2+bx+c中，c=1,解得{b=3,所 (a+b+c=3 (c=1 以二次函数解析式为y=-x2+3x+1.a=-1<0,∴.抛物 线的开口向下，所以①正确.y=-x2+3x+1= -(《昌宁则图象的对将轴为直线 ,所以② 3 3 3 错误。：国象的对称轴为直线x=之心当之时，函数 值y随x的增大而增大，所以错误；当y=0时， -2 4=0,解得，=3 3-/133+/13 2名 3< 2 厅<43火子.所以方程40的报 小于4，所以④蜡误综上所述其中正确的结论有①.故 选A. 11.y=-x2+1(答案不唯一）12.1<x<313.10 141【解析】连接AM,BM,由网格可知， ... CD/AM,AM⊥BM,∴.∠A=∠APC.由 A时 题意得，AM=√3+22=√3，BM= √3+2=√13；在Rt△ABM中，tanM D M l,an乙APC=aM=L 154而-5【解折1连接0B:4(-3,4)在y=)24 上，4=1-306=-1…抛物线的解折式为y=)- 当y=4时，)2-=4，解得x=12或-3B(12,4) 点A关于直线0P的对称点C,OC=0A=√/32+4= 5.0B=/12+4=4√10，.BC≥0B-0C,∴BC≥ 4√10-5，BC的最小值为4√10-5. 1解：原武=4}x号厅x停2x写 (3分) 2 =2-1-1+√3 (5分)】 =√3， (8分) 17.解：延长ED交AB于G,作DH⊥BF于点H.DE∥BF, 四边形DHBG是矩形，DG=BM,Dm=BG~ CH Q75,CD=15,DH=12,CH=9. 1 (4分)】 .GE=30+6+9=45(米). (5分) ·ZBB·数学第22页