九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（北师大版）

铺路卷河南专酒·ZBB:九年级致学下 7,在△A8C中，∠A,∠B都是候角，且a《=2 △AG的形状是 第一章追梦综合演练卷 A.直角三角形 压饱角三角形 制认时间：0口分钟 测流分表：120分 C锐角三角形 D.锐角三角形或纯角三角形 ,选择题{年小题3分，共0分】 8.堰长为2cm的等要三角形面积为3em,期此等腰三角形的肌 题号 1 2 3 4 6 9 10 案 角是() A.30减150 R60 L.已知in4 2,则型角A的度数是( C.120 D.60或12D A.75 . C.45 9.陈阻是中耳杰出的历史学家，教有家陈据放屠位于广东省江门 n.30W 市，故居的前面嘉立着陈饵呢生的半身别像，如图，从塑像正前 2在△AC中，∠C=0.n4- 则m4的值超 方距离度座D点2米的A点处测量，塑像花部C点的钟角为 D.i 45,顶都形点的用角为60°，点R.G:D在同一条直线上，则数像 的高度C为( 3.如图，点A(3,)在第一象限.0H与年结历夹的锐角为m,言 务 A.(22-2)米 子用：的镇( C.(23-2)米 D.(3-1)米 A.I 且2 C.3 n S 2 拟 第9是围 第10题图 第3图 第4超图 第5题图 10.生活情境·共章单车为出行方柜，近日来植来越多的长春市民 4.知图新示，△AC的原点是正方形网格的格点，用加M的算 使用起了共享单车，图【为单车实物图，图2为单车示意周.A品 与驰面平行.点A、异，D共线.点D,F,G共线，坐整C可沿射线 E方向测节.已知∠ABE=0,车轮半整为0m,当C= 5 呀 60■时，小明体验后觉得销着比较舒适，此时坐整C离熟面高 5如图，已知在k1△C中，∠ABC=0,点D沿BC月B向C运 度约为()（结果精确到1cm.参考数据：im70-0,94. 动（点D与点B、C不重合），作BB⊥AD于点E,CF⊥AD于点 mw70=0,34.an70"=1,41) F削E+CF的值( A.90cm B.86m 82m D.80em A不变 压增大 二，填空驱（每小理3分，共5分） C诚小 D.先变大再变小 11.R1AABC中，∠C=0r,nA= 金.某水库大圳的黄断面是梯形，圳内一斜坡的拨度=1：5是指教 面的铅直高度与水平宽度的比，则这个斜娘娘角为() 268=0,Lc A.30 .45 C.60 D.90 1A如图，∠BG=90,EP=10,0G=17,omP0=}期友F的 坐标是 第13题图 第14是墨 第15题图 14生活情境·要示薄如图，悬矗立在高婆公路水平地面上的交通 警示牌，经测量得到如下数据：AM=4术，AB=8米。∠W4D= 45,∠BC=30°.则雪示牌的高CD为 米（结柔精确 到0.1，参考数据：反=L41,E=1.73) 1及数年思·分境罗恩如图，已知一-H=6,点P是射装 0N上一动点.当△A0P为直角三角形时，则AP= 三、解苦（本大题务8个小题，共75分） 16(10分》计算： (1)(5)y5-5e30(2)(24mn451-51 17.(9分)如图，在锐角△ABC中，AB=10m,BC=9m,△AC的 面为27m2.求1eB的依 ·29 I8《9分)如图.点P是La的边Q对上的一点，已知点P的横坐标为 21.文化情境，传文化(9分)“醋月二十五，报物做豆离”.解州 4 6,若a 中某新农甘至今还保图看过障夕前磨豆嘴的传策习俗，如图「 是狮豆高用的传统工具老石事，主要军作为一条凳，上下两 (1)求点P的级坐标 个量盘。一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等图】 (2)求∠a其他的三角雨数值 是石影静止时的示意图，推粒杆B及执子C》平行于水平面 E是天花板页部的拉钩，两根拉绳与扶手CD恰好组成等腰三 角形CDE,此时拉陶￡与扶于CD的中心点B所在的直线垂直 于本平面.现测得推拉杆AB距地面的高度为12m,天花板 部E距地面3,1m,若∠CE即门，求再限牧绳的总长度至今为 多少品（结果精骑到001m参考数据：i80°=09g,6os80° =-017,an0'=567J 9《9)如周，在△A8c中，∠4GB90,4号C-2,D是 AB的中点，过点B作直线CD的f线，套足为点层 求：(1)线段D的长1 (2)c∠ABE的值 0《9务)知图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一胜正在 作业的淮船D在南篇西45方向。海监好航行别B处时，望见 渔船D在南篇东45方向，又能行半小时到达C处望见消船D 在南篇东62”方向，若每监船的速度为40海里/小时，求A、B 2a.(0分)在△8C中，∠c=90,m∠4C=号 之闻的距离.（精确到0.1海里，参考数据：62m0.88, (1)如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂是 0m462=0.47,tn62=1.88) 分别为、N.若点B恰好是线段WN的中点，求n∠AM 的值 (2)如图2.P是边BG延长线上一点，∠PB=∠4C,求1m ∠PAC的值 ·30. 23(10分)图1是一台实物授影仪.图2是它的示意图，折线B-A -0表常因定支架，A0垂直水平桌面0B于点0，点B为装转 点，C可转动.当C绕点B顺时针旋转时，投影头CD始熟 至直于水平桌面0泥，经测量：A0=&.4m,CD=8m,AB= 40em,C-45m (1》如周2，∠AC=0°，BC0E ①填空：∠&0= 投影探头的硫点D到桑而0呢的距离为 (2)如图3，将{1)中的℃向下旋转，∠A8C=30时，求投影探 头的璃点D到桌面0B的距离.（参考数居：nm=0州。 ee700.34,in40°w0.64,a40°w0T刀)AB=AC,AD平分∠BAC,.∴.AD⊥BC..∠ADC=90° ·CE⊥AN,,∠AEC=90°，∠DAE=∠ADC=∠AEC= 90°，四边形ADCE为矩形： (5分) (2)DF∥AB,DF=。AB.理由：：四边形ADCE是矩形， 21 .AF=CF,AB=AC,AD平分∠BAC,,BD=CD,.DF 是△AC的中位线，即DF/M,DF=AB (9分)】 21.解：(1)把点A(-4,0),点B(0,3)代人y=x+b得， (-4k+b=0 1b=3 解得 4小直线的表达式为)=4+3： b=3 (2分) 把=2代人y=子+3得，=× 3 4 6. 2+3=9 把C(2,号)代入y=m得m=9双曲线的表达式为y 9 x (4分) 3 9 (2)设P(a,4a+3),则Q(a,。),~点P作x轴的垂 线，交双曲线于点Q,.PQ∥OB,四边形PQ0B为平 行四边形0=0B子+3-？=3，解得a=-25 3 (正值舍去)∴.点P的横坐标a的值为-23.(9分) 22.解：(1)46 (2分) (2)设柿子每箱售价定为x元(x≥40)，则每箱售价降 价(50-x)元. (3分)】 由题意得：x[40+2(50-x)]=2250,整理得：x2-70x+ 1125=0, (7分)】 解得x,=45,x2=25(不合题意，舍去)，答：当柿子每箱 售价定为45元时，每天能获得2250元的销售额. (10分) 23.解：(1)120°∠A(答案不唯一》 (2分) 【解析】小：点C、D分别是线段AB的三等分，点，.AC =CD=BD,,△CPD是等边三角形，，∴P=PD=CD ∠PCD=∠PDC=60°，，.AC=PC=BD=PD,∠ACP= ∠BDP=120°，.△ACPa△BDP(SAS),.∠A=∠B= ∠APC=∠BPD,,∠A+∠B+∠APB=180°，∴.4∠A+60 =180°，.∠A=30°，.∠APB=30°+30°+60°=120°； (2)CD=AC·BD,理由：∠APB=120°，∴.∠A+∠B= 180°-120°=60°. (3分) △PCD是等边三角形，∴.∠CPD=∠PCD=∠PDC= 60°，.，∠A+∠APC=∠PCD=60°.∠APC+∠BPD=I20 -60°=60°，.∠A=∠BPD,∠ACP=∠BDP=120°， △ACPA△PDB. (6分) AC PC AC CD PD-BD CD-BDCD=AC·BD, (8分) （6)品的值为或 (10分) 【解析】：以AC、CD、BD为边的三角形恰好是直角三角 形，.CD=BD-AC或CD=AC2-BD,①当CD=BD -AC时，CD=AC·BD、∴.BD-AC=AC·BD,解得 BD-+ 24C,m22当6D=AC-BD时， .AC√5-1 CD=AC·BD,AC-BD=AC·BD,解得AC=1+5 2 m…品，上所品值为号 2 2 追梦之旅铺路卷·九年身 九年级下册 第一章追梦综合演练卷 题号12345678910 答案DABBCACDCB 1.D2.A3.B 4.B 【技巧点拨】在网格中构造直角三角形的方法：(1)在网 格中找一格点，使要求三角函数值的锐角在该直角三角 形中，利用网格求出各边长，进而求出该锐角的三角函 数值.(2)作三角形的高，利用等面积法求出直角三角形 的高，进而求出该锐角的三角函数值， 5.C【解析】：BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,.CF∥ BE,.∠DCF=∠DBE,设∠DCF=∠DBE=a,÷.CF=DC ·csa,BE=DB·cs,∴BE+CF=(DB+DG)cos=BC ·c0sae∠ABC=90°，.0°<a<90°，当点D从B向C运 动时，a是逐渐增大的，∴，0sa的值是逐渐减小的，BE +CF=BC·co%的值是逐浙减小的.故选C. 6.A7.C 8.D【解析】设AB=AC=2,过点C作CD⊥AB于点D, 3,CD=3.当AABC是锐角正 Rt△ACD中，.sinA= cF2LA=60°：当△ABC是 CD3 纯角三角形时，在R△ACD中.sin∠DAC=CD-目 ∠DAC=60°..∠BAC=120°.故选D. 9.C【解析】由题意得，在Ri△ADC中，DC=AD·an ∠DAC=2×tan45°=2，在Rt△ABD中，BD=AD·an ∠BAD=2tan60°=23，∴.BC=BD-DC=(23-2)米.故 选C. 10.B【解析】作CH⊥AB于H,作AP⊥地面于P,由题知， AP=30m,BC=60em,∠ABE=70°，∴，CH=BC·sin70°≈ 60×0.94=56.4(cm),∴坐垫C离地面高度约为56.4+ 30✉86(cm).故选B. 1.25220 13.(8,12)【解析】过点F作直线FAOG,交y柏于，点A, 过点G作GH⊥FA交AF的延长线于点H,则∠FAE=9O. .FA∥OG,.∠FGO=∠HFG.·∠EFG=90°，.∠FEA+ ∠AFE=90P,∠HFG+∠AFE=90°，.∠FEA=∠HFG= 3 3 ∠FG0.sLFG0=亏，coLFEA=5,在R△AEF 中，EF=I0.,∴.AE=EF0s∠下EA=6.∴，根据勾股定理得，AF =8,∠FAE=90°，∠AOG=90°，∠GHA=90°，∴，四边形 OHA为矩形，.AH=OG..OG=17,,AH=17,∴.H=17 8=9在△M，中0 WFG-∠F003 5 FG=15,.由勾股定理，得HG=15-g=12F(8.12). 14.2.9 15.23或32【解析】当AP⊥ON时，∠AP0=90°，则sin0= 30m0M=6.AP=25:当PA10A时，∠A=90,则 3 AP sin0=3_Ap 30p,设AP=3x(>0),则0P=3,由句殿定理， 得(3x)2+62=(3x)2,解得x=V6(负数舍去)，∴AP=3× √6=32：综上所述，AP的长为23或32. 6解：原式=1h5号2号-子 (5分) ·ZBB·数学第17页 (2)原式=4-2×1+5=4-2+5=7. (10分) 17.解：过点A作AH1BC于点LS=2刃2×9XH= 27.,∴.AH=6 (3分) .AB=10...BH=AB'-AH =8, (5分) 六amb=机3 BH 4 (9分) 18解：(1)过P作PM1x轴于点M,则∠PMO=90°由题意， M63PW=8点P的纵坐 PMPM 4 得OM=6:tana= 标是& (4分) (2)在R△OMP中，∠PM0=90°，PM=8,0M=6∴.0P= Pm+0f=/8+6=10. (6分) PM 8 4 0M63 .'sina= p105,oa= (9分) 0P105 19解：(1)在△AC中，∠4CB=9Ps4=AC-3 AB5·BC =12.∴.AB=15 (3分) 15 D是B的中点CD=2B= (5分) (2:D是B中点5r=8ac=5,即D 2‘21C·BC,BB-36 (7分) BE 24 在RI△BDE中，cos∠ABE= BD 25 (9分) 20.解：过点D作DE⊥AB于点E.∠ADE=∠BDE=45°，∴ AG=BE=DB,设E=海里，则DE=x海里：BC=了×0 =20(海里).CE=x+20, (3分) 在m△CE中，∠CDE=6位.CE=m∠CDE.+20 'DE tarn62°， (6分) an62°-27BAB=2x=455,故A,B之间的距 20 ,x= 离约为45.5海里， (9分) 21.由题意可得EB⊥CD,ED=EC,∴.∠EBC=90°， (1分) 由题意得：EB=31-1.2=1.9(m), (3分) EB ∠BE=80°，∴.EC= n8*1.94(m）. (5分) :.EC+ED=3.88(m).答：两根拉绳的总长度至少为3.88m (9分) 22.解：(1).AM⊥MN,CV⊥MN,.∠M=∠V=90°，.∠MAB+ ∠ABM=90∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABM=90°， ∠MAB=∠NBC,.'.△MMB∽△BC, (2分) BN BC =tan 2B4C=2 (3分) ,点B是线段MN的中点，∴，BM=BN.在△AMB中， a∠AM=BW1 AM2 (5分) (2)过点C作CD⊥AC交AP于点D,过点D作DE⊥BP于 点E:∠APB=∠BMC,m∠BHC=BC-= AB2…心am∠APB= AB 1 BP 2 (6分) 设BC=x,则AB=2x,BP=4x,则CP=BP-BC=3.同理(I) 中，可得∠BAC=LECD,,∠APB=∠ECD.DE⊥BP, 3 CE=EP=)CP=2,x.同理()中，可得△ABC△CED,- CD CE 3 (9分) AC AB 4' 追梦之旅铺路卷·九年刻 CD 3 ..在R△ACD中，tan∠PAC= AC4 (10分) 23.解：(1)160 (1分) ②36cm (2分) (2)过点D作DH⊥OE于点H,过点B作BM⊥CD,与 DC延长线相交于点M.∠MBA=70°，∠ABC=30°，. ∠MBC=40° (5分) 在Rt△BMC中，MC=BC·sin∠MBC=45sin40°≈28.8 (m), (8分) CD+36-MC-CD=36-28.8=7.2(cm).故投影探头的端 点D到桌面OE的距离约为7.2cm. (10分) 第二章追梦基础训练卷（一） 题号12345678910 答案BD AAADCBDC 1.B2.D3.A4.A 5.A 【归纳总结】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一 是求出原批物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系 数法求出解析式：二是只考虑平移后的顶点坐标，即可 求出解析式. 6.D【解析】在二次函数y=2(x-1)+c中，对称轴x=1, 5 在图象上的三点(-2，).(0，).（3为)，点(-2，） 5 离对称轴的距高最远，点(3乃)离对称轴的距离最近， ,y<2<y1,故选D. 7.C【解析】把点(-3,7)和(-1,1)代入二次函数解析式， 5 9-36+27 3 3 得 5 5 ,解得02y=+3x+2抛 a-b 21 b=3 物线对称轴为直线x=- 3=-1.x-1时，y=1,x 2× 2 5 1时y=号x2+3x+)二7当-2≤x≤1时，函数的最大 值为7，最小值为1，.7-1=6.故速C 8.B 9.D【解析】.Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3,. ∠AOB=∠A=45°.CD⊥OB,.CD∥AB,.∠OCD= ∠A,∠A0D=L0CD=45°，0D=CD=L,S6O=2 ×0DxGD=2z（0≤1≤3)，即S=2f(0≤1≤3).故选D. 10.C【解析】①，抛物线开口向上，且与y轴交于负半 轴，∴.a>0,c<0,∴.ac<0,结论①正确：2.批物线对称 轴为直线=1名=1，心6=-2：抛物线经过 （-1,0),.-b+c=0,∴a+2n+c=0,即3n+c=0,结论2② 正确：③抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1,当x<1时，y随x的增大而减小，结论③错误.故 选C. 11.y=-x+4x(答案不唯一） 12.1【解析y=x2-2x+1=(x-1)',.h=1,k=0,h+k =1. 13.a1>a2>0>04 14.3【解析】y=x2-2x+4=(x-1)2+3,则抛物线的顶点坐 标为(1,3)，当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最 小值为3.四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD,∴，对角线 BD的最小值为3. 15.-2+25 ·ZBB·数学第18页