九年级上册 第四章 图形的相似 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（北师大版）

铺路卷罚南专图·Z6B·九年级数学上 A.2.4米 一为局中，期末国用“为中有、希保副 B.8米 C.3米 第四章追梦基础训练卷（二） D.必须知道两恩电线仟的距离才能求出点P离地面距离 6刊两相解三角形调寓7相包三清用的恒清 7.如图，△ABC与△DEF位叙，点0是位中心，且0D=2AD,若 围 8厨尽的盛阳 BC=6.谢EF=() 测就时间：100分钟测议分数：120分 A.2 8.3 D.5 一，选择题《每小题3分，共30分) 题号1234567910 答案 1.在下面各图中，不锈加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角 形都是相做的，则位似图形的个数是( 第8题阁 4☑ 8.如图，在平面直角坐标系中，已知点00,0)，A(6,0),(08) A. 2 C.3 D.4 以某点为仪很中，心，作出与△AOB的位以比为是的位缸△CDE 2知果△ABC△DEF.A.B分别对应D,E.且AB:DE-I:2.都么 期位似中心的坐标和。的值分别为( 下列等式一定成文的是( A.(0,0).2 C(2,2),2 南 A.RC-DE=1:2 且2.2号 1,号 B.△ABC的面积：△DEF的面积=1：2 9,爵学料试题·物理据（图经）记程，在两千多年前，我国学者墨 G∠A的度数：∠D的度数=12 子和他的学生做了“小孔成像”实验，削释了光的直线传插原 D,△AC的周长：凸DEF的周长■12 理小孔成像的示意图加图所示，光线经过小孔0，物体AB在麻 玉如图，小明在打周球时，要使球给好能打过网，而且落在离网5m 布上形成倒立的实像GD(点A,B的对应点分别是C,D).若物 的位置上，期球轴击球的高度应为( 体AB的高为3em,小孔0到地面距离0E为2m,则宾檬CD的 A.2.7m B..8m C.0.m D.6m 高度为( 40 14 C.jom D. 10 第3题图 第4是图 某6思图 4如图，已知平行四边形AD,点E在汇上，E:C-2:1,连接A店 交D于点F,测ADF与ABF的周长之此为 第9见图 第10见 A4:9 B.1:3 C.1:2 D.2:3 10,如图，在△4G外任取一点0，连接A00、0,并取它们的中 ,容=子周△ABC与△程'C的面积之 AB 3 点D、EF,得△DF,则下列说法正确的个数是 ①△ABC与△DEF是位似图形 比为( ②△AC与△DEF是相航图形 9 ③△ABC与△DEF的满长比为1：2 ④△ABC与ADEF的面积比为4：1 6坐活情境·电线杆相邻两限电线杆都用钢索在地面上团定，如 A.1个 8.2个 3个 D.4个 图，一根电线杆树素系在离地而+米处，另一根电钱杆钢紫系在 二，填空驱（每小题3分，共5分） 离地面6米处再根电线杆的闲啸都有一积围定在另一眼电线 11.已翅△AC△DEF,面积比为1：4，AG的对应边为DF,AC= 杆底军，则中何再限钢案闭交处点P离电面(》 2,用DF的长为 1江坐活情境·草地某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分 刚为4加m、5m.6m.已知这块三角形草地最长边的实际长度 为18m,期最短边的实际长度是 13,文化情境·壁学文亿儿廉算术》是我国古代数学名著，书中有 如下问题：”今有并径5尺，不烟其深，立五尺木于井上，从术术 型水岸，人径四寸.间井深儿何？意恩是：如图，井径万E■5 尺.立术高4B=5尺、0=4寸=04尺。刚井深 尺 茅13列图 第14题图 第15题图 14如图0是△AC内任意一点，D,E,F分别为A0、0,C0上的 点.且△ABC与△DF是位似三角形，位似中心为G,若AD= 了0，周△ABC与△DEF的位：比为 15.常习情捷·刷树离如图，小明为了测量树的高度CD,他在与树 根同一水平雀上的B处故置一块平面镜，然后他站在A处利 好从镜中看到树顶D,已知A,B.C三点在同一直线上，且A万 =2m,BC=8出.也的眼防离甩面的高皮1.6■，期树的高度CD 为 m 三，解答思（本大题头8个小通，共5分） 16.(8分)如图.在边长为1个单使长度的小正方彩同格中 (1)属出&AC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后 的△A,BC (2)以点B为位似巾心，算凸4C放大为原来的2倍，得到 △AC,请在网格中出△AC: (3)直接写出△CC,C的面积.及A,4的隆标 ·19 17.《8分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12× 1.生器情境·第车场(10分)健着生活水平的是高，家用新车已 2网格中，给出了格点△C和直线上. 经成为很多人出行的交通工具，为此接建了很多停车缓如周 (1)到出△ABC关于直线I对称的格点△A"C 已知某停车场人口处的栏杆的长臂A0长是12米，短臂B0长 《2)在直线（上选取一格点，在网格内出格点△DPE,使得 是，1米，当长臂端点垂直升高AC一9米时，知臂端点垂下 △DPE∽△C,且相似比为2：1. 降了多少米？（栏杆宽度忽略不计） 1战.《9分)在可一时射博限术杆在太阳光下的影子如图所示，其中 木杆AB=2m,它的影子C=1.6m,木杆P0的思子有一部分 落在墙上，PW=1.2m,WN=08m,求术杆PQ的长度 22,(I0分)如图1，在悦角A4G中，AD是C边上的高，G=6, AD=4,动点P沿线段AD从点A向点D鸢动，过点P作EF GC.EF交AB于E,交AC于F,以EF为边向下作正方 形EPGH (I)投AP长为，利用相似三角悬的性质.可用含x的代数式 裁示正方形的边长为EF= 1如图2，当x 时，M恰好落在边C上，此时EF长 为 19.们0分》如图，一块材料的形状是悦角三角形AC,边BC (2)如图3，当阳在△AC外事，且正方形FC与△AC公 12m,高AD=8Bm.把它加工战正方形零件，使正方彩的一边 其部分的面积为6时，求点P的位置（即求AP的值）， 在BC上，其余两个顶点分别在AB、AG上，这个正方形零件的 边长是多少？ 20.《10分)如图，口ABCD中，AE:ER=23,DE交AC于点F (1)求△AEF与△CDF周长之比： (2)如果△CDF的面积为25■2，求四边彩ACD的山供 ·20· 23项日式学习(10分)在综合实找保上，数学兴规小组用所学登 学知识未解决实际月题实戏报告如下： 海动课则 测量居民楼的高度 表动工其 标杆、卷尺 健主候型 【步雅一】在地面上选一点A,垂直地面竖主标 杆AB,后通2术到E处，此时M、B、E在同一直 线上： 【乡席二】芳选一成G,修直地面竖立标杆GD,后 副量方黄 灵4米到F处，此的M、D、F三东包在可一直 腹上 [雪深三】测得两次测量标杆之同的距高为50 来，两个“杆的高度均为15来，且NA,,C, P在网一直找上 解浇何是 请北根据以上刷量我兼，帮对所患中加求出居 民楼MW的高度(2)解：.△ABD△ADE,..∠ADB=∠AED.:∠DAE +∠ADE+∠AED=18O°，∠ADB+∠ADE+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠DAE,即∠CDE=∠CAD. (6分) 又：∠DCE=∠ACD,△DCE∽△ACD, (7分) 。ACCD,AC3 9 CD CE32AC= (9分) 9 5 六AE=AC-CE=22=2 (10分) 22.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠B= 90°，AD∥BC,∴.∠AMB=∠EAF (2分) 又，EF⊥AM,∴.∠AFE=90°，.∠B=∠AFE,∴，△ABM n△EFA: (4分) (2)解：∠B=90°，AB=12,BM=5,.AM=√12+5= 13,AD=12,F是AM的中点AF=之W=65, (7分) △MBM△EFA,BWAM AF AE' (8分) 即5.13 即65AEAE=169,.DE=AB-AD=49.(10分) 23.(1)证明：：点D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD ∴.AD:CD=CDAC,,AB=CD,.AD:AB=ABAC,(3分) 而∠DAB=∠BAC,.△ABDM△ACB,·∠ADB= ∠ABC; (5分) 2)条：△ABD∽△ACB配2而MB=CD.BC BD_AB CD AC (7分) CD 点D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD,. AC 5-1,BD5-1 2…4 2 .BD=(25-2)cm. (10分) 第四章追梦基础训练卷（二） 题号12345678910 答案CDADCACBAC 1.C2.D3.A 4.D【解析】四边形ABCD为平行四边形，∴.DCAB, △DFE∽△BFA.,DE:EC=2:1,∴.DE:DC=23,∴.DE AB=2:3,.C△Dm:C△那4=2：3，故选D. 5.C6.A 7.C【解析】，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心 OD=2AD,..OD:0A=2:3,..DF:AC=EF:BC=2:3.. BC=6,∴.EF=4.故选C 8.B 9.A【解析】由题意可得AB∥OE∥CD,.△COE∽△CMB, AB0E一△BDC,5-8C8C=C5AB=5,0E= OE 2 CE 2.AB5 BC 设CB=x,BE=y,则=2， 2y xty5..x 3 0Ey-3 0D了D=故速A 3 10.C 11.4 12.12【解析】设三角形草地的最短边的实际长度为xm, “平面图上三角形草地和实际三角形草地相似，心6 18 普解得：=12 13.57.5【解析】.BD∥CF,.△ABDM△ACF,.AB:AC =BD:CF,即5：AC=0.4:5,解得AC=62.5,.BC=AC- AB=62.5-5=57.5(尺). 追梦之旅铺路卷·九年， 15.6.4 【技巧点拨】利用镜子的反射测量物体高度的关键是要准 确掌握“反射角=入射角”这一物理常祝，并能够在图形中 准确找到这两个角，这是证明三角形相似的重要条件. 16.解：(1)如图，△A,B,C,为所作 (3分) (2)如图，△A,BC,为所作： (6分) :4 (3)△CC,C:的面积为9：4，的坐标为(7,9)：A2的坐标 为(3.5). (8分) 【注意】位似中心与位似图形之间的常见位置关系：位似 中心可能位于两个图形的同侧，也可能位于两个图形之 间，还可能位于两个图形的内部或边上，还可以是顶点 17.解：(1)如图所示：△A'B'C即为所求 (4分】 (2)如图所示：△DPE即为所求（答案不唯一）.(8分) 18.解：过N点作ND⊥PQ于点D.太阳光线可以近似的 看成平行光线，∴△ABC∽△QDN. (2分) :60D 2 QD ·BCDN1.61.2 (6分) QD=1.5m.,PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3 (m).故木杆PQ的长度为2.3m. (9分) 19.解：EFHG是正方形，EF∥BC,△AEF∽ABC, EF AK (4分)】 BC AD 又：AD⊥BC,∴EF=EG=KD,设正方形边长为x,则AK x8-x =8-x小128 (8分) 解得x=4.8,故这个正方形零件的边长为4.8cm. (10分】 20.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ △AEF的周长AE CD.△AEF∽△CDF,△CDF的周长CD （2分) AE AE 2 AE:EB=2:3BCD5 (4分) △AEF的周长2 △CDF的周长5 (5分) (2:△MB∽△CDP,g=Ag-2S.2 CCD5六SAr 5, (7分) △CDF的面积为25cm2,Sa4ov=10cm2,·SAACD 35cm2,.Sm形4cm=2S么4cm=70(cm2) (10分) 21.解：A'C⊥AB,BD⊥AB,.∠0CA'=∠0DB=90°. LCOA'=∠DOB',.△OCA'∽△ODB'. (4分) 器8号品 (7分) B"D=9x2=0825,故短臂端点垂直下降了0.825 ·ZBB·数学第11页 米 (10分) 2解：（号号号 (3分) (2)设AP长为x,由题可得EM=PD=AD-AP=4-x, 正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6，∴EF· 3 EM=62·(4-x)=6 (7分) 解得：x=2,即AP=2,当AP=2时，AP<AD,点P在 △ABC的内部，满足题意」 (10分) 23.解：由题可知，AB⊥FN,MN⊥FN,CD⊥FN,∴，∠N= ∠EAB=∠DCF=90°，：∠BEA-∠MEN,·,△BEA △MEN, (2分)】 “品品 (6分) 4 同理△FDC∽△FMN,N,即示N4+50+N解 得：AW=50米，MN=-39米，答：居民楼的高度为39米 (10分) 第四章追梦综合演练卷 题号12345678910 答案DC C CDC DB DB 1.D 2C【解折1：DF=12BF=12-DBa,BC AB 号e解得号数达C EP' 3.C4.C5.D 6.C【解析】，四边形ABCD∽四边形A'B'CD',∴.ABA'B' =BC:B'C,AB:A'B=3:5,BC'=15,.BC=9.故选C. 7.D【解析1~.2DF2 AD3心AFF方四边形ABCD是平 DE 行四边形，AB=CD,AB/CD,△DEF一△ABF,B ==二.DE=4,CD=10.故选D. 8.B【解析】，：五边形ABCDE与五边形A'B'CD'E'位似， 0A=10cm,0A'=30cm,相似比为0A:0A'=10:30=1: 3,:.五边形ABCDE的面积与五边形A'B'CD'E'的面积 的比为(0A:0A')2=1:9.Sx越0rcor=27cm', S生边郑Aae=3Cm.故选B. 9.D【解析】在口ABCD中，：AD∥BC,.∠CBE=∠AEB 由题意得∠CBE=∠ABE,∴.∠AEB=∠ABE,.AB=AE AF⊥CD,AH⊥BC,∴，∠AHB=∠AFD=90°，在平行四 边形ABCD中，∠ABH=∠ADF,.△ABH∽△ADF. I∠BAH=∠EAF ∠BAH=∠EAF.在△ABI与△AEG中，AB=AE ∠ABE=∠AEB .△ABI≌△AEG(ASA),∴.BI=EG.BI=IG,∴.CGE=IG AD∥BC,∴.∠DAH=∠AHB=90°，.IE=2AG=2AI=6, .AE=√E-A=33.故选D. 10.B 1.322 13.24 14.5或26【解析】BD⊥AB,AC1AB,∠A=∠B= 90°，当∠ACE=LBDE时，△ACE△BDE,BEBD AE AC 2 3AE=子BE①；当∠ACE=LBED时，△ACE :AE-AC,即AB·BE=AC·BD=2x3=6②，由 △BED,BDBE ①②得子BE=6,解得E=3(负值会去)AB=2 追梦之旅铺路卷·九年， AB=AE+BE=5,即m=5:当AE=2时，BE=3,两个三角 形相似；当AE=3时，BE=2,两个三角形全等，符合题 目要求；设AE=x,则BE=m-x,.x:3=2:(m-x),整理 得x2-mx+6=0,方程有唯一解时，△=m2-24=0,解得m =±26（负值舍去），m=26;当m=26时，AE:BE= 2:3时，两个三角形相似：AE=BE=√6时，两个三角形相 似：同样是两个点可以满足要求：综上所述，△BDE与 △ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是 5或26. 153③4 【解析】设∠BAD外角为∠MAD.过点F作FHI AD于点H,FN⊥AM于点N,,·AF平分∠MAG,FH⊥ AD,FN⊥AM,∴∠FAH=45°，FN=FH.FH⊥AD,∴. ∠FAH=∠AFH=45°，.AH=FH,.AF=2FH=√2，. FH=AH=1,FN=FH=L.点E是边AB上靠近点B 的四等分点，.BE=1,.EC=√BE+BC=√/1+16= √I7,:将线段EC绕点E旋转，∴.EC=EF,在Rt △NPE布△BC中，很-G·△NPE台 △BEC(HL),∴.∠BCE=∠NEF.,∠BCE+∠BEC= 90°，.∠BEC+∠NEF=90°，∴∠FEC=90°，.CF=√2 EC=√34.，∠FHG=∠D=90°，∠FGH=∠CGD, △FHG∽△CDG,. FH FG 1 、CD=Gc=4FG=sFC=34 5 64么能器即克名 (5分) ..BC=8,..AC=AB+BC=12. (8分) 17.(1)解：CD是边AB上的高，CD⊥AB,∴∠CDA= ∠BDC=90°.又. CDBD△CDA∽△BDC,.∠A= AD CD ∠DCB. (3分) 又：∠A+∠ACD=90°，∴.∠DCB+∠ACD=90°，即 ∠ACB=90. (5分) (2)证明：：∠B=∠B,∠BCA=∠BDC=90°，△BDC n△BCM. (7分) BD BC 六BCABBC=BD·AB (9分) 【归纳总结】利用相似三角形证明等积式的步骤：(1)将 等积式转化为比例式.(2)观察比例式中的线段是否分 别在两个三角形中，若在两个三角形中，则可证明这两 个三角形相似，若不在两个三角形中，则可利用如下方 法转化：①等线段转化；②中间比转化；③添加辅助线构 造相似三角形转化.(3)根据相似三角形对应边成比例 或中间比转化得到步骤(1)中的比例式，再化为等积式. 18.解：过A作AEMN交BD于点H,交BC于点E,过D作 DF/Bc交AE于点R,-倍-2号 3MN//AE. BM 1 BM BO BN 1 AB BH BE 3 (3分) NB3,BE=CN,BN=CE.DF/CE,D为AC中 CN DF AD 1 DF 1 点CEA2DF=2CE=2BN,BE6 (5分) DH DF 1 ~DF/BE,△DFH△BEH,B阳BEG（7分） B01 设DH=a,则B阴=6a,8册3心B0=2a,0H=4a, D05a5 0D=5a,0B2a2 (9分) 19.解：(1)如图所示：△ABC即为所求： (3分)】 ·ZBB·数学第12页