专题06 相似三角形之A或X模型综合（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形之A或X模型综合 一、填空题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,D是AB上一点，点E在BC上，连接CD,AE交 于点F,若∠CFE=45°，BD=2AD,则CE=一 【答案】2 【分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DG‖AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长， 其次利用△CDG∽△CBD,，求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE,求出BE的长，最后得出 答案，本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出 辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案， 【详解】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点， E G 在DG∥AE中，AC=BC=6, :AB=AC2+BC2=62, 又：BD=2AD, AD=22, 在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2, ÷CH=6-2=4, 在RtACHD中，CD=VCH2+DH2=25, DG∥AE, .LCFE=LCDG=45°，∠B=45°， 1/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CDG=LB, 又：∠DCG=∠BCD, .△CDG∽△CBD, CD CG CB CD' .CD2=CG.CB, 即20=6CG, CG=10 :BG=BC-CG=6- 108 33 又DG∥AE, △BDGn△BAE, 又：BD=2AD, BDBG2 BA BE 3' 又6- BE=BG×3-4, 2 .CE=6-4=2, 故答案为：2. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、 AE交于点F.若∠BFE=45°，则CE= E 【答案】 30128 117 11 【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定 和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键.以AC、 CB为邻边作矩形ACBK,过点A作AM∥DB交BK于点M,过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N, 再过点N作BC的平行线交AC、KB的延长线于点H、Q,则四边形BCHQ是矩形，结合矩形的性质，证 2/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 明四边形ADBM是平行四边形，△AMN是等腰直角三角形，从而推出△AKM≌△MQN(AAS),求出CH=5, HN=5,再证明aACE∽aAHN,即可求出CE的长. 【详解】解：如图，以AC、CB为邻边作矩形ACBK,过点A作AM∥DB交BK于点M,过点M作 MN⊥AM交AE的延长线于点N,再过点N作BC的平行线交AC、KB的延长线于点H、Q,则四边形 BCHQ是矩形， M B∠K=∠Q=90°，AC∥BK,AC=BK=6,AK=BC=HQ=8,BQ=CH, D是AC的中点， AD=CD-14C-3, 2 :AM∥DB,AD∥BM, :四边形ADBM是平行四边形， .BM AD=3, .KM BK -BM =3, AM∥DB,∠BFE=45°， ∠MAN=45°， :MN⊥AM, ∴△AMN是等腰直角三角形， :AM MN :∠KAM+∠AMK=90°，LAMK+LNMQ=90°， :ZKAM ZNMO, ∴.△AKM≌△MQN(AAS, :AK MO=8,KM NO=3, .CH BO=MO-BM =5,HN =HO-NO=5, :BC∥HQ, .△ACE∽△AHN, 5/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC CE AH HN' 6 CE 6+55, c 30 故答案为： 11 3.如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处，MN与 G0安于点新流纷与边，GD火于台，F,进接8，素器}则胎足 BE A M D B C 【答案】2 3 【详解】解：如图，延长MN,BC交于点Q. P B :AD∥BC, ∴.△DMP∽△CQP. MD MP DP 1 QC OP CP2 ∴.QC=2MD,QP=2MP, 设DP=a,MD=x,则CP=2a,QC=2x,正方形ABCD边长为3a, .BO=3a+2x. 由翻折和正方形的性质可得，∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB=3a-AE. 4/45 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠EMB=∠EBM. ∠EMP-LEMB=∠EBC-∠EBM,即∠BMP=∠MBC, .MO=BO=3a+2x ÷Mp=,M0=3a+2x 3 3 在Rt△DMP中，MD2+DP2=MP2, x2+a2 3a+2x2 3a 12 解得：x=0(舍)，x2= ÷AM=3a-12g=3 5a=50 在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2, A2a)=(3a-AE) 解得：AE=36。 250, 3639 .BE EM=3a- 250, 36 4E=2 12 BE 39 13 12 故答案为 13 【点晴】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股 定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键 4.如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE=1,连接BE,过C作CF⊥BE,垂足为F, CF交对角线BD于G,将△BCG沿CG翻折得到△HCG,CH交对角线BD于M,则SHGM= 【答案】9 8 5/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】过点G作GR⊥BC于R,过点H作HWBC交BD于N,由正方形性质可证明：△ABE△FCB, 由勾股定理可求BF,由翻折性质可得△HGC≌△BGC,进而可证明：△BHN~△BED,可求得HN,再由△ Hh△CB,可求得，再由△CGR△CB即可求有结论 【详解】解：如图，过点G作GR⊥BC于R,过点H作HN∥BC交BD于N A E B 则∠BRG=LCRG=90°， :CF⊥BE .∠BFC=909 .∠CBF+∠BCF=90° :正方形ABCD .∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC=3 ∠ABE+LCBF=90 .∠ABE=∠BCF .△ABE-△FCB 在Rt ABE中，BE=√AB2+AE2=V32+P=√0 BF AE BF 1 即 BC BE 3=10 BF=30 10 由翻折知：FH=BF=30,BH=30,HC=BC=3,AHGC兰ABGC 10 :HN //BC :.BHN△BED DEBE,即HN HN BH 310 5 210 .HN =6 :aHNM~△CBM HM HN 2 MC BC 5 6/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 HM 2 HC=7' S.MGML HM 2 S.HGC HC-7' :GR⊥BC,∠CBG=45 △BGR是等腰直角三角形，设BR=GR=x,则CR=3-x, ·aCGR-CBF 股明w 4 3 GR= Γ4 :.S.BCG=2 1 3_9 BC×GR=二x3 248 :.S. 9 2 :S.HGM= 2.99 S.HGC=7828 故答案为： 9 28 【点晴】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和 性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化， 有一定难度，属于中考填空压轴题类型， 二、解答题 5【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成(1)中证明，并提炼方法完成(2)(3)题. 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 图(1) 图(2) 图(3) [结论证明】 (1)如图(1)，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C,BC'交AD于点E,求证： 重合部分△EBD是等腰三角形， 【类比迁移】 7/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图(2)，将长方形纸片ABCD折叠，使B,D两点重合，点A的对应点为A,折痕分别交AD,BC 于点M,N,求证：AM=NC. 【拓展应用】 (3)如图(3)，将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕为EF,将∠DAF对折再展开，折痕为AM，求 CM的值， M 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析；(3)5-」 2 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， (1)要证△EBD是等腰三角形，则需要证△EBD中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质 即可证得结论； (2)由折叠可得BN=ND,要证AM=NC,则需要证明MD=BN,进而结合(1)中结论即可得证： (3)结合(1)中结论，可延长AM交BC的延长线于点N,进而得到AF=FN,aCNM∽△DAM,再结合正 方形的性质、勾股定理求出CV AD'即可求出CM。 的值： MD 【详解】(1)证明：由折叠知LEBD=∠DBC, 在长方形ABCD中，AD∥BC, ∠ADB=∠CBD, ∠EBD=∠EDB, .EB=ED, :重合部分△EBD是等腰三角形； (2)证明：同理(1)可知∠DMN=∠DNM, .MD ND :四边形ABCD是长方形， .AD BC, 由折叠知，BN=ND, .MD =BN ∴.AM=NC; (3)如图，延长AM交BC的延长线于点N, 8/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M B F 同(1)可得∠FAN=∠FNA, .FA=FN 设AB=2x,则AD=2x,BF=FC=x, AF=√AB2+BF2=V5x, .FN=5x, ..CN=5x-x, :AD∥BC, .△CNMn△DAM, CM_CN5-1 MD AD 2 6.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角 板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G,易知EF=EG (EA G) 图1 图2 图3 (1)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，EF与EG是 否仍然相等？若相等，请给予证明：若不相等，请说明理由： (2)如图3，将(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变，若 EF AB=a、BC=b,求 的值. EG 【答案】(1)见解析 (2)EFb EG a 【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质。 9/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P,然后利用ASA证得RtAFEIS≌Rt△GEH,则 问题得证： (2)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N,可得EM‖AB,ENI‖AD,则可证得 △CEN∽△CAD,△CEM∽aCAB,又由有两角对应相等的三角形相似，证得aGME∽△FNE,根据相似三角 形的对应边成比例，即可求得答案。 【详解】(1)EF=EG, 证明如下： 如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I,则EH=EI,LHEI=90°， F:∠GEH+LHEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°， GBH ∠IEF=∠GEH, RtaFEIS≌RtAGEH(ASA), :EF EG (2)如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N,则LMEN=90°， D F..EM AB,EN I AD, G(B M ∴△CEN∽aCAD,△CEM∽△CAB, NECE。 EM CE AD CA AB CA NE EM L即NE-ADb AD AB EM AB a :∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， :LGEM=∠FEN, .∠GME=∠FNE=90°， ∴.△GME∽△FNE, EF EN EG EM 10/45 专题06 相似三角形之A或X模型综合 一、填空题 1．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 2．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 3．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 4．如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ． 二、解答题 5【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 6．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点 重合， 三角板的一边交 于点， 另一边交 的延长线于点，易知 (1)如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形 的对角线 上， 其他条件不变， 与 是否仍然相等？若相等，请给予证明： 若不相等． 请说明理由： (2)如图3，将（1）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变， 若、，求的值． 7．（1）如图，中，点在线段延长线上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，．当，，时，求线段的长． （2）如图1，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，．证明：． 8．如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 9．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 10．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 11．如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若矩形是正方形，求的值． 12．阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 13．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 14．【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． 【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形，求证：． 【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当时，求的长． 15．已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 16．如图1，在正方形中，点E为边上一点，将沿翻折得到，延长交边于点G (1)求证：； (2)如图2，连接，，若，，求的面积； (3)如图3，延长至点M，使得，过点M作分别交、于点N、O，试判断、、的数量关系，并加以证明． 17．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 18．如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 19．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $