九年级上册 第四章 图形的相似 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（北师大版）

请路卷。河南专面，2阳：九年效数子上 中为题中，期米通推和为中电，声原通器 第四章追梦基础训练卷（一·） 1成吃创气我2平借线命气晨气吃州 3相侧多进移4极季4商帮相加始条件 5相树玉为形利流走短始证朝 测点时幻：10分种测议分复：12川分 选择题{每小聪3分.共3刘分》 题号12345678910 苦聚 已知3 不则下到等式不成立的超 1 A.4n=36 64 43 03 +67 2下列四组线段中，不构成比例线段的一组是( 男 A.lem.2em.3em.6cm B.2em,3em.4em.6em C电，、2,5,6 0.1m,2m,31t,44 回王如图，在么4C中，E∥脱，D=6.=3,A5=4,则4C的 长为 A.2 C.6 D.8 拟 第3周国 第4瑾国 4如图，，化2，直线AB.D与、.分别相交于点A,0B和 点C0A若品cm=6,期0m的长 : A.24 3 飞6 D.4 多.下列说法正确的是( A,两个等酸三角形一定相似 B两个等边三角形一定相制 C两个矩形一定相似 D.两个直角三角形一定相似 隔学科试量·音乐知图，五线请是出等距离的五条平行情线组 成的.知果直线I上的三个点A,B,G都在城线上，且A,B两点 可的距离为4，都么星，C两点间的年离为( .4 3 .2 以.1 12已gxyg=2:34,且x+y-=2,那么r+y+2= 15如图.在△AC中，D是高，CE为∠ACB的平分线.若AC= 15.=20.GD=12.则E的长第于 第6题图 第7题国 14如图，AD是△A的中线，E是AD上一点，AE:AD=1:3.CE 7.如图，一张矩形纸升A动的长AB-m,笼一m,把这张纸 的廷长线交A于点F.若AF=】,5,期A= 片沿一组对边A店和G的中点连线F对都.对折后所得矩形 AEFD与原矩形AB相似.则xy的值为 其.2 5-1 A.2 0.2 器若如图所示的两个四边感相虹，嫌∠▣的度数是( 第14道图 弟15题图 A.75 C87 D.120 1线如图，正方形F的四个顶点分矧在正方形CD的四条边 、上，若正方形卡G出与正方形ACD的相做比为写，(45< 60 E)的值为 三，解答题（本大题共8个小薄.失75分》 革8想图 某0想图 9.知图.∠1■∠2.期下列各式不能说明△AC∽△AE的 16数学思想·分类思想(8分)已 26 是() 0++7 A∠D=∠B :机DE AB BC +6+e =k,求-3张-4的值 e妆能 D.∠求aE 10.数学恩想·分类思相图，在△C中，A8=AC=8,C=6,点 P从点B出发以1个单位/秒的速度向点A运动，同时点Q从 点C出发以2个单/秒的速度向点》园动.当以B,P,Q为顶 点的三角形与△相起时，运动时钶为( 17.(8分)如图，E,F分别为矩形cD的边AB散的中点，石知 形ABCD范形EF,AB=1.求矩形AGD的而积 249 c骨成写 D以上将不购 二，填空影（每小通3分，共15分） 1L.中考新趋势·开位性试题如阁，△48C中，点￡，F分料是AB。 C上的点，连提F,请你逐加一个条州 ,使得△AEF 某11则图 弟13题图 ·17 1(9分】如图.在△C和△'C中，D,D分别是AB、AB上 21(0分》加图，在△AC中，AD是角平分线，点B在边AC上， -a妆得品花普△与 且AP=AE·AB,连接DE (I1求证：△4D∽△DE △'BC是香相似，并说明理， (21若D=3,E-2,求AE的长 19.《10分)图，在平行四边形ACD中，E为BC边上一点，连接 E,F为线段E上一点.且∠AFE=∠H. 《1求E:84DFn△ 《21若AB-8,D=63.AF=43.求DE的长 22(1D分)如，正方形AD中，M为C上一点，F是AM的中 点，FLAM,垂是为F交AD的廷长线于点E,交E于点X (I)求证：△4W一△EFA (2)若AB=12,W=5.求D5的长 20,骑点同恩(10分)如图，在平面直角生标氛中，已知04~12 乘米，0B=6厘米，点P从点0开始沿H边向点A以1厘米/ 秒的速度移磷：点Q从点B开前滑0边向点O以1源米/秒 的速度移如暴PQ同时出发，用4秒)表示移动的时间(0 ≤1≤6)，那么，当：为何值时.△0与△AB相似： ·18· 25文化情境，鲸学文化(10分)千多年前，古香群数学家政多 需所(uk如，当公元馆400年-公元前347军)发现：辞 条线段A那分制成长，短两条线段AP,阳，若短线段与长线段 B标点p 的长皮之此等于长线腔的长度与全长之比，脚吧仁 易 叫做线段A的黄金分别点，如因.在△AC中，点D是线段 AC的黄金分割点，且AD<CD.AB=我 (I)求T:∠AC=∠AB: (2)若c=4m,求D的长BC,∠D=90°，∠C=180°-∠D=90°，AD=CD=10, ∴，四边形AFCD是正方形，CF=10,根据上面结论，可 知BE=DE+BF,设BE=x,DE=4,∴.BF=BE-DE=x 4,∴.CB=CF-BF=10-x+4=14-x,CE=CD-DE=10-4= 6. (4分) ∠C=90°，CE+CB2=BE2,.36+(14-x)2=x2,解 得4警放服 79 (6分) (2)135° (7分) 过点A作AF⊥CA,取AF=AC,连接BF,CF,∠BAF= ∠BAC+∠CAF=9O°+∠BAC,∠DAC=∠BAD+∠BAC= 9O°+∠BAC,,∠BAF=∠DAC,又，AC=AF,AB=AD ·.△FAB≌△CAD(SAS),BF=CD,∴.线段CD有最大 值时，只需BF最大即可，在△BCF中，BF≤BC+CF,当 B、C、F三点共线时，BF取最大值，此时BF=BC+CF,在 等腰直角三角形ACF中AC=AF=4,∠ACF=45°，∴CF =2AC=4W2,,CB=6,BF最大为：4√2+6，即CD最大 值为4W2+6,此时∠ACB=180°-∠ACF=135°（10分) 第四章追梦基础训练卷（一） 题号12345678910 答案CDCC B CBC BC 1.C2.D3.C 4c解标：4%一品品名品名脚 6=5C0=36故选C. C03 5.B6.C 7.B【解析】：四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=ycm,由 折叠的性质得AE=)AB、 2矩形AEFD与原矩形 ADCB相似，一ADAB' 或x=-2(舍)，王=2.故选B. 8.C9.B 10.C【解析】设运动时间为t秒.∴.BP=1,CQ=24,.BQ= BC-CQ=6-24,当△BAC△BPQ,ABBC 、_B0,即。=， 解得1s△C△n贺器若-6g解 24 9 得1=了；综上所述，当以B,P,Q为顶点的三角形与 么1BC和似时，运动时同为益或？.故选C 9 【易错提醒】在处理与相似三角形有关的存在性问题时， 要注意分类讨论思想的应用.本题中点P,Q是动点，其 位置不同，会导致相似三角形的对应边不同，应充分考 虑所有可能出现的情况，避免希解. 11.∠AEF=∠ACB(答案不唯一)12.18 13.602 【解析】由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB= AD+BD=25.故由勾股定理的逆定理知△ACB为直角三 角形，且∠ACB=90°.作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x, 由∠ECF= 2∠ACB=45,得∠CEF=45°∠ECF= ∠CEF,EF=CF=x,于是BF=20-名EF/AC,AC EF 能后25得972 7 14.7.5【解析】过D作DM∥CF交AB于点M..:AD是 追梦之旅铺路卷·九年， △ABC的中线，BM=MF.DM∥CF,·.△AFE △m品治方APN=A 1 =5AB.:AF=15,AB=5x1.5=7.5 15.2【解析】：正方形EFGH与正方形ABCD的相似比 1 为 假设EF=5k,AB=3kyLA=LB=∠FEH= 90°，·LAEH+∠BEF=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴. ∠AEH=∠EFB.,·EH=EF,∴.△HAE≌△EBF(AAS), .AE=BF,设AE=BF=x,则EB=3站-x,在R△EFB中， EF=BE2+BF2,.(5k)2=(3弘-x)2+x2,整理得x2- 3x+22=0,解得x=k或2k(合弃)，.AE=k,BE=2k, AE 1 BE 2a 26 2c 2d 16.解： =k,.当a+b+etd b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c ≠0时，由等比性质可得2a+6tc+d=k= 2 3(a+b+c+d) ；(2分) 当a+6+cd=0时，b+e+d=-a,k=2a-20 =-2: b+c+d -a (4分) 当=时以-3站-4（子-3x子4=9 (6分) 3 当k=-2时，k-3-4=(-2)2-3×(-2)-4=6.(8分)】 17.解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得E_A8 AB BC (3分) b,则AD=BC=2又：AB1二= (6分) 宁号（负数合去)以C-2么=2 =2, S账m=BCXAB-=√2×1=√2. (8分) 18.解：相似，理由如下4D4 'AD AB ”ABA'BA'DA'B (2分) 又品格品-%品△4c △A'D'C,.∠A=∠A' (6分) 又：瓷0△Mc△MBC (9分) 19.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC,AB ∥CD,.∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC. (2分) ∠AFD+∠AFE=18O°，∠AFE=∠B,.∠AFD=∠C, .△ADFM△DEC. (5分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，，CD=AB=8, AM0Faac0光 (8分)】 DE=AD·CD63x8 12. (10分) AF 45 20条，0诺△P00△408时，器-识即答亡整理 得12-21=，解得=4. (4分) 2站△m0△04时，兴品号后整理得6 -1=21,解得t=2 (8分) 0≤≤6，∴.1=4和=2均符合题意，.当t=4或1=2 时，△POQ与△AOB相似. (10分) 21.(1)证明：AD是∠BAC的平分线，∠BAD=∠EAD. (1分) AD AB AD=AE·AB,AEAD△ABD∽△ADE:(4分） ·ZBB·数学第10页 (2)解：.△ABD△ADE,..∠ADB=∠AED.:∠DAE +∠ADE+∠AED=18O°，∠ADB+∠ADE+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠DAE,即∠CDE=∠CAD. (6分) 又：∠DCE=∠ACD,△DCE∽△ACD, (7分) 。ACCD,AC3 9 CD CE32AC= (9分) 9 5 六AE=AC-CE=22=2 (10分) 22.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠B= 90°，AD∥BC,∴.∠AMB=∠EAF (2分) 又，EF⊥AM,∴.∠AFE=90°，.∠B=∠AFE,∴，△ABM n△EFA: (4分) (2)解：∠B=90°，AB=12,BM=5,.AM=√12+5= 13,AD=12,F是AM的中点AF=之W=65, (7分) △MBM△EFA,BWAM AF AE' (8分) 即5.13 即65AEAE=169,.DE=AB-AD=49.(10分) 23.(1)证明：：点D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD ∴.AD:CD=CDAC,,AB=CD,.AD:AB=ABAC,(3分) 而∠DAB=∠BAC,.△ABDM△ACB,·∠ADB= ∠ABC; (5分) 2)条：△ABD∽△ACB配2而MB=CD.BC BD_AB CD AC (7分) CD 点D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD,. AC 5-1,BD5-1 2…4 2 .BD=(25-2)cm. (10分) 第四章追梦基础训练卷（二） 题号12345678910 答案CDADCACBAC 1.C2.D3.A 4.D【解析】四边形ABCD为平行四边形，∴.DCAB, △DFE∽△BFA.,DE:EC=2:1,∴.DE:DC=23,∴.DE AB=2:3,.C△Dm:C△那4=2：3，故选D. 5.C6.A 7.C【解析】，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心 OD=2AD,..OD:0A=2:3,..DF:AC=EF:BC=2:3.. BC=6,∴.EF=4.故选C 8.B 9.A【解析】由题意可得AB∥OE∥CD,.△COE∽△CMB, AB0E一△BDC,5-8C8C=C5AB=5,0E= OE 2 CE 2.AB5 BC 设CB=x,BE=y,则=2， 2y xty5..x 3 0Ey-3 0D了D=故速A 3 10.C 11.4 12.12【解析】设三角形草地的最短边的实际长度为xm, “平面图上三角形草地和实际三角形草地相似，心6 18 普解得：=12 13.57.5【解析】.BD∥CF,.△ABDM△ACF,.AB:AC =BD:CF,即5：AC=0.4:5,解得AC=62.5,.BC=AC- AB=62.5-5=57.5(尺). 追梦之旅铺路卷·九年， 15.6.4 【技巧点拨】利用镜子的反射测量物体高度的关键是要准 确掌握“反射角=入射角”这一物理常祝，并能够在图形中 准确找到这两个角，这是证明三角形相似的重要条件. 16.解：(1)如图，△A,B,C,为所作 (3分) (2)如图，△A,BC,为所作： (6分) :4 (3)△CC,C:的面积为9：4，的坐标为(7,9)：A2的坐标 为(3.5). (8分) 【注意】位似中心与位似图形之间的常见位置关系：位似 中心可能位于两个图形的同侧，也可能位于两个图形之 间，还可能位于两个图形的内部或边上，还可以是顶点 17.解：(1)如图所示：△A'B'C即为所求 (4分】 (2)如图所示：△DPE即为所求（答案不唯一）.(8分) 18.解：过N点作ND⊥PQ于点D.太阳光线可以近似的 看成平行光线，∴△ABC∽△QDN. (2分) :60D 2 QD ·BCDN1.61.2 (6分) QD=1.5m.,PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3 (m).故木杆PQ的长度为2.3m. (9分) 19.解：EFHG是正方形，EF∥BC,△AEF∽ABC, EF AK (4分)】 BC AD 又：AD⊥BC,∴EF=EG=KD,设正方形边长为x,则AK x8-x =8-x小128 (8分) 解得x=4.8,故这个正方形零件的边长为4.8cm. (10分】 20.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ △AEF的周长AE CD.△AEF∽△CDF,△CDF的周长CD （2分) AE AE 2 AE:EB=2:3BCD5 (4分) △AEF的周长2 △CDF的周长5 (5分) (2:△MB∽△CDP,g=Ag-2S.2 CCD5六SAr 5, (7分) △CDF的面积为25cm2,Sa4ov=10cm2,·SAACD 35cm2,.Sm形4cm=2S么4cm=70(cm2) (10分) 21.解：A'C⊥AB,BD⊥AB,.∠0CA'=∠0DB=90°. LCOA'=∠DOB',.△OCA'∽△ODB'. (4分) 器8号品 (7分) B"D=9x2=0825,故短臂端点垂直下降了0.825 ·ZBB·数学第11页