九年级上册 第一章 特殊平行四边形 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（北师大版）

请路卷河南专面：2阳：九年级数子上 =为题中，翻米通值和为中电，声原通国 第·章追梦基础训练卷(-·) 【表形的性质身树文2师形的机有身利定 刚试时何：160合钟渊试分就：20分 分： 6.如图，在电形AD中，点W在对角线AG上，过M作AB的平行 一、选择题{每小得3分，共30分】 线交AD于点E,交C于点F.连接DA和.已知D5=2,E 题号12345678910 =4,爆图中明影富分的面积是() 答案 A12 张10 0.6 1.在矩形AcD中.对角线AC.即交于点0，若=6，雨A的 7.生活临品，中国临以红色和全色的丝线精心凯的菱形中国结 长为( 装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴食着保厚 A.3 ,23 C,3 D.6 的文化意复和美好的祝相.若量外层菱形的对角线长度分别为 2如图，已知四边形ACD中.E,FGH分别为ABC,(D、DA的 16,12c,期它的两条对边的年离应为( 中点.闲加下列厚个条件，不能判断四边形用为菱形的 ..8m C.12cm .4.8m 是( N.如图，在平面直角坐标系中，若菱形D的圆点A,B的坐标分 A.EH=MG BG⊥E C.AC-BD D.AC⊥D 别为(-2,0).(3,0).点D在r伯上，第点G的坐标是(1 和 A(4.3》 .(5,31 C(5.4) D.(5.w2I) 业，学习啊缓·方案设叶已知：知图1.四边形A8D是菱彩.在九线C 上找两点E.F,杜四边EF知是菱形.甲，乙两个方案( 第2图 第3理圈 第4题国 玉如图，在矩形A市中，用直尺和具规作D的垂直半分线EF 拟 交AB干点G,交于点H,若B=4,C=3,则AG的 甲：令AF=E 乙：择pF上AD交AC千F点 长为( 1 作ELBC变AC于E充 A,甲对.乙帽 B.乙对.甲帽 G.甲.乙都对 D,甲、乙都 4我国古代有“不以规矩，不能域方同”的说法，人们把”线矩”当 10,文纪佛项·监竿文化情人相补原理是我国占代 作几同名司，"规”是阅，“矩“是方，所以初中以后就把长方形数 量学的重要成就之一，是早是由三同阳时期数学来 为比较专业的名移“矩形“，木艺话动课上，小明用四根雅木条 刘微建“将一个儿何图感，任意切成多境小 :,,一，4指成如周所示的一个四边形，观要判断这个四边形是 图形.儿何图形的总自积持不变，等于所分别成的小图形的雀 否是矩形，以下测量方案正确的是( 1 职之和”是该算现的重琴内容之一，如图，矩形D的对角线 A测量是否有三个角是直角B.测量对角规是否相等 G即交于点0，AB=6,C=,过点》作E1C,交D于点 C测量两组对边是否分别相等D测量对角线是否互相年真 E,过点E作EF⊥D,正足为F,则OR+FF的值为( 5坐语情境·来杯小术司学在喝水时想到了这样一个同题：如图 每形ACD为~个正在例水的水杆的藏面图，杯中水童与A0的 交点为E.当本杯底面AM与水平前的夹角为37时，∠ED的 二，填空恩（每小通3分，共15分） 大小为： 1L.已知菱形的面积为24m,一条对角线长为■.则这个菱彩 A.2护 B.37 C.53约 D63 的网长是 米. 12.已知，如阅.两张等宽的餐条交叉叠粒在一起，重合部分构成四 边形ACD,若阔得A,C之间的平离为8em,&,D之闻的离 为6em,侧线程A像的长为 第12见围某13则图 第4殖围 第15题图 13.如图.EGF分料是△AC的高，从为C的中点，5F=5.C= 8制△EFM的周长是 14如图.已知在平行四边形ACD中，AB=C.C=10,∠CD= ,两面点B)分别在平面直角坐标采的x轴x触的正率轴 上剂动，连接4，侧04的长的最小值是 15中专新道势如周.在矩形纸片ACD中.D=1,点E在A形 上，若点形关于直线第的对称点厂落在AD上时，∠月E 22.5”.则∠Ar。 ,EBG的值为 三、解答愿（本大题共8个小随，共75分》 16.(9分)如周.在平行因边形AD巾.P是4B上-点（不与点 A.B重合).CP=CD,过点P作01P,交D于点Q,连接 CU,∠=∠AQ ()求：国边形ACD是每形 (2)当AP=3.AD=9时，求A0和C0的长 17.中考斯趋势，尺深件图〈9会)图，四助形A是矩形(AD5 20,(9分)如图，四边形ACD是平行四边形，对角线AC.D交于 A). 点0，D=24B,A5BD,05AB 《1)尺规作图：作以AC为对角线，且点B,F分则在CAD上 (1)求证：四边形A0E是菱形. 的菱形ACF:(要求：不写件法，保帽作图痕逐》 (2)若0-2.品4u43.求0的长 《2)若AB=2,AD=8,求菱瑟A5CF的边长， 21(I0分)如图，在距形AD中.∠4D的平分线交BC于点E 交心的廷长线干点 (1)若AB=2,AD=3,求EF的长 18生话情项·吊车(9分)如阅1是吊车的实物佩，图2是吊车工 (2)若G是P的中点，连接G和G,求正：G= 作示意脱高车作业时是通过液压杆D的帅第使显重骨A书 统点B转动的，从面使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度 业可以钟皆)，在某次悬重作业中，学习兴里小图经过测量和 客询工人年得了解到下信息：如周3，起重胃AB=10米，点B 到族血的距离E=18米，群绘绳所在直线AP重直息面于点 F,点B再AF的距离G8米求点A到地而的距离AF的长 为多少米学 22.《1D分)如图，在△AG中，点0为AG边上的个功点，过点0 作直线WNB,设N交∠4的外角平分线F于点F,交 ∠AB内角平分线CB于点E (1)试说明0=0 (2)当点)运动到何处时，四边形AECF是矩形，并明你的 结论 9.{9分)图，D、E,P分别是△MC各边的中点，连接D述 5F:4E (1)求证：四边形AEF为平行国边形： (2)加上条件 后，德使得四边移A0EF为菱形，请从① ∠B4C=0,245平分乙G:34程=4G这三个条件中这择1 个条件填空（可序号），并加以证明 2 23.(10分)保本再现 思考：线们：道.菱形外时舟线夏相垂直反式来，对角线正 相金直的平行回遵形是菱彩喝？可以发现并证明菱形的 个判定定理：对角气反相修直的乎行四过形是菱， (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学衡出了图形（如图 1),并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程 已知：在平行四边形AD中，对角线B上AC.垂足为 术证：平行四边形A是菱形. (2)知但成用：知周2，在平行四边形AD中.对角线4G和 D相交于点0，AD=5,AC=8,D= ①求证，平行四边彩AD是菱形： 2延长京点E,连接OE交CD于点F,若∠5=Σ∠D,求 证：△CE是等餐三角形 得答案详 九年级上册 第一章追梦基础训练卷（一） 题号12345678910 1.A 2.D 【归纳总结】 判定一个四边形是菱形有如下思路： 四条边相等→·菱形 了一组邻 四边形 边相等 →菱形 平行四边形 对角线互→菱形 相垂直 3.C【解析】四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=3,∠A= 90°.EF是BD的垂直平分线，∴DG=BG.设AG=x,则 DG=BG=4-x,在Rt△ADG中，由勾股定理，得AD+AG =DC2,即32+2=(4-x)2,解得x=8 ,即AG的长为8 7 故选C. 4.A5.C6.C 7.A【解析】如图，AC=16cm,BD=12cm, ·AC⊥BD,.∠AEB=90°.AE=CE= 1 A )AC=8c四，BE=DE三)BD=6m,·.AB =√8+6=10(em),设菱形ABCD两 B 条对边的距离hcm,:S氢利n=10h= 2×16×12,解得h =9.6,.它的两条对边的距离应为9.6m.故逃A 8.D【解析】由题意，得AB=AO+OB=5,∴AD=AB=CD= 5,D0=√AD-A0=5-2=√2I,点C的坐标 是：(5，√2I).故选D. 9.C 10.C【解析】AB=6,BC=8,∴，矩形ABCD的面积为48. AC=VAB+BC=10,A0=D0=号AC=5对角线 AC,BD交于，点0，.△AOD的面积为12..E0⊥A0,EF 105w=Sam+5am12=宁x5x0+宁5x 故递C 24 EF,∴.5(EO+EF)=24,∴.E0+EF=1 11.2012.5em13.13 14.53-5【解析】过点A作AE⊥BD于点E,连接OE.当 点A.O,E在一条直线上，此时AO最短，平行四边形 ABCD中，AB=BC,BC=10,∠BCD=60°，∴.AB=AD=CD =BC=10,∠BAD=∠BCD=60°，..△ABD是等边三角 形，∴AE过点O,E为BD中点.∠BOD=90°，BD= 1DE0=5,在Rt△AED中，∠DAE=30,DE=2 AD,AD=AE+DE,又：AD=10,.AE=√10-5=5 N3,∴.0A=AE-0E=53-5. 15.45°2【解析】由翻折可知：∠BCE=∠B'CE=22.5, BC=B'C,∠B=∠EB'C=90°，∴.∠DCB'=90°-22.5°×2 =45°，∠BEB'=360°-∠B-∠BCB'-∠EBC=135°，∴ DB'=DC=1,∠AEB=180°-∠BEB'=45°，.BC= 追梦之旅铺路卷·九年 解详析 √B'D+DC=2,.AD=BC=BC=2,,AB=√2-1， 设BE=B'E=x,则AE=1-x,在RI△AB'E中，根据勾股 定理得：AE+AB=BE,.(1-x)+(2-1)=x2,解得 x=2-2,.BE=2-√2.∴.BE+BC=2-√2+2=2 16.(1)证明：∠BPQ=∠BPC+∠CPO=∠A+∠AOP ∠BPC=∠AQP,∠CPQ=∠A.P0⊥CP,÷∠A= ∠CPQ=90°，平行四边形ABCD是矩形； (4分】 (2)解：四边形ABCD是矩形，∠D=∠CPQ=90 在△C0和△cr0中.8CS△c0≌R △CPQ(HL),∴DQ=PQ.设AQ=x,则DQ=PQ=9-x,在 R△APQ中，AQ+AP=PQ,x2+3=(9-x)2,解得x= 4,.AQ的长是4.则QP=DQ=5. (6分)】 设CD=AB=CP=y,则PB=y-3,在R△PCB中，根据勾 股定理得y2=(y-3)+9,解得y=15. (8分) 在Bt△CD0中，C0=/5+15=5/10 (9分)】 17.解：(1)如图，点E、F为所作： (4分) B E (2)设菱形AECF的边长为x,则AE=CE=x,∴BE=8- ,即菱形 ,在△ABE中，2+(8-x)2=,解得x=1 AB0F的边长为识 (9分)】 18.解：在Rt△ABG中，由勾股定理得，AG=AB-BG= /10-8=6. (4分) ·BE⊥EF,AF⊥EF,BG⊥AF,∴，∠BEF=∠EFG= ∠BGF=9O°，∴.四边形BEFG是矩形，.GF=BE=1.8 米，AF=6+1.8=7.8(米)，即点A到地面的距离AF 的长为7.8米 (9分) 19.(1)证明：已知D.E.F为AB,BC,AC的中点，..DE为 △ABC的中位线， (2分) DEAC.且DE=之4C=A即DEAF,DE=AF四 边形ADEF为平行四边形. (5分) (2)例：②证明：AE平分∠BAC,.∠DAE=∠FAE, 又：四边形ADEF为平行四边形，∴，EF∥DA,.∠DAE =∠AEF,.∠FAE=∠AEF,∴AF=EF,,平行四边形 ADEF为菱形. (9分)】 20.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形.∴OB=OD D.BD=2ABAB=OB.AE//BD.OE//AB. 1 边形ABOE是平行四边形.·AB=OB,.四边形ABOE 是菱形 (4分) (2)解：连接BE,交A0于点F四边形ABOE是菱形， 0A L BE.AF OF=70A=1,BF=EF= 边影t=0A·BE=)X2×BE=43BE=43 2 BF=23, (7分) 在Rt△BOF中，OB=√BF+OF=√I3,.BD=2OB= 2/13. (9分) 2L.解：(1)四边形ABCD是矩形，六AD∥BC,∠DAB= ∠ABC=∠BCD=9O°.BC=AD=3.,,∠DAE=∠BEA.. AE平分∠BAD,.∠DAE=∠BAE=45°，.∠BEA= ·ZBB·数学第1页 ∠BAE=45°，∴.BE=AB=2.∴.CE=BC-BE=1..·∠CEF =∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴.∠F=∠CEF=45°，∴.CE =CF=1. (5分】 在Rt△CEF中，EF=√EC+FC=√2. (6分) (2)连接CG,G是EF中点，CG=EG,∠ECG=45° ∴，∠BCG=∠DFG=45°.又，DF=BC,∴.△BCG≌ △DFC(SAS)..DG=BG. (10分】 22.解：(1)·CE平分∠ACB,∠ACE=∠BCE.·MN∥ BC,,∠OEC=LECB,÷∠OEC=∠OCE,∴EO=C0, 同理C0=FO.∴.E0=FO. (5分)】 (2)当点O运动到AC中点处时.四边形AECF是矩形 ,·AO=CO.EO=FO.,四边形AECF为平行四边形. (8分) GE平分LACB,∠AE=了∠ACB,同理，LACF- 2∠ACC.S∠ECF=∠ACE+∠ACF=2(∠ACB ∠ACG)= 2×180°=90°，一四边形AECF是矩形 (10分) 23.证明：(1)，·四边形ABCD是平行四边形.对角线BD⊥ AC于点O,.∴0A=OC,∠AOB=∠COB=90°，在△AOB (OA=OC 和△COB中 ∠AOB=∠COB.,△AOB≌△COB OB=OB (SAS),∴AB=CB,∴.平行四边形ABCD是菱形：(3分)】 (2)①.·四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD 相交于点0，AD=5,4C=8,BD=6,0A=0C= ACs 4.00=0B=20=3.01400=443=25,40=5 =25,0A+0D3=AD..△A0D是直角三角形，且 ∠AOD=90°，∴.CA⊥BD,.平行四边形ABCD是菱形： (6分) ②：BC=DC,CM⊥BD,LAB=∠ACD.”∠E=2 ∠ACD,∴.∠E= 2 ∠ACB,∴，∠ACB=2∠E.,·∠ACB= ∠E+∠COE,∴.2∠E=LE+∠COE,.∠E=∠COE, CO=CE,∴，△OCE是等腰三角形 (10分) 第一章追梦基础训练卷（二） 题号12345678910 答案C DADBCBBDC 1.C 【归纳总结】判定四边形是正方形的 一般思路 四边形 平行四边形 定 义 菱形 矩形 法 正方形 2.D3.A 4.D【解析】.：四边形ABCD为正方形，AB=4,CE=DF= 1,∴.∠C=∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=4,BE=BC -CE=3,∴AE=WAB+BE=5,.△ADF≌△DCE (SAS),,∠DAF=∠CDE.∠DFA+∠DAF=90°， ∠DFA+∠CDE=90°，∠DGF=∠AGE=90.点H为 4E的中点，GH=。AE=)故送D】 21 追梦之旅铺路卷·九年 5.B6.C 7.B【解析】设正方形D'CO'E是正方形OCDE沿x轴向 右平移后的正方形.：顶，点A,B的坐标分别为(-2,6) 和(7,0)，设直线AB解析式为y=x+b,代入可得y= 2x 3 +，当点E落在AB边上时，点E的坐标为(4,2)，此 时点D坐标为(2,2).故选B. 8.B【解析】连接EG.EG是正方形EFGH的对角线， ∴∠GEH=45°.·AC是正方形ABCD的对角线， ∠ACB=45°，∠GEH=∠ACB,∴AC∥EG.正方形AB CD的面积是8cm2,Sac=4em2,Sac=4+L.1= 5.lcm2.由于△ACG和△AEC是同底等高，面积相等， △ACG的面积为5.1cm2.故选B. 9.D【解析】图1连接AC.,·菱形ABCD中，AB=BC.·, ∠B=60°，.△ABC是等边三角形.对角线AC=I0m, ∴，BC=10cm,∴.CE=BC=IOm.图3过点E作EH⊥BC 交BC的延长线于点H.△DCE是等边三角形， LDCELECH30EH-CE=5em -，x10x5=25(em2.放选D. 10.C【解析】标记直角三角形斜边为MN,MN交CG于点 H.∠M=30°，.∠MHG=90°-30°=60°，∴.∠CHN= ∠MHG=60°.OA∥AMN,∴.∠AOC=∠CHN=60°.四 边形A0BC是矩形，，∠A=90°，.∠AC0=90°-60°= 30°，01=，×2=1，在直角三角形40C中，由勾股定理 得AC=√OC-OA=3,斜面对木块的支持力为5 牛.故选C. 11.AB=BC(答案不雕一)12.2013.65 40 2 【解析】：四边形ABCD是正方形，AB=AD= CD,∠BAE=∠D=∠C=90°，由作图知∠DAP=∠ABE, ,.∠ABE+∠AEB=∠DAP+∠AEB=90°，，∠AIME= 90°，÷∠BMP=∠AME=90°，在△ABE与△DAP中 (∠ABE=∠DAP AB=AD ,.△ABE≌△DAP(ASA),,AE=PD, ∠BAE=∠D .CP=DE=1,.BP=√4+=√I7,N为BP的中 点MN=P=7 2 15.2【解析】如图，延长BG交CH于点 A (AB=CD E,在△ABG和△CDH中，AG=CH BG=DH .△ABG≌△CDH(SSS),∴.∠1=∠5， ∠2=∠6.，AG=CH=4,BG=D1H=3.AB=5,.AG+BG =AB,-∠AGB=∠CHD=90°，.∠1+∠2=90°，∠5+ ∠6=90.又，∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠1= ∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中， (∠1=∠3 AB=BC,∴.△ABG≌△BCE(ASA),.BE=AG=4,CE (∠2=∠4 =BG=3,∠BEC=∠AGB=90°，∴.GE=BE-BG=4-3=1, HE=CH-CE=4-3=1,在Bt△GHE中，GH=GE+E =/个+下=2. 16.证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠ABE= ∠BCF=9OP. (3分) ,CE=DF,∴.BE=CF (5分) (AB=BC 在△AEB与△BFC中， ∠ABE=∠BCF,,,△AEB≌ BE=CF 及·ZBB·数学第2页