精品解析： 上海市普陀区2024-2025学年七年级下学期期中数学复习试卷（A卷）

2024-2025学年上海市普陀区七年级（下）期中数学复习试卷（A卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，不是的同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 点到直线的距离是非负的 B. 同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C. 经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 4. 已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形三条高线必在三角形内， 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 6. 如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（ ） A. 含角的两个直角三角形 B. 腰对应相等的两个等腰三角形 C. 周长为的两个等边三角形 D. 一个钝角对应相等的两个等腰三角形 8. 如图， ，点， ， ，分别在两条平行线之间，，，若， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 已知与是对顶角，且与互余，那么______． 10. 如图，，直线和直线的锐角夹角是______． 11. 如图，请写出能判定一个条件：__________． 12. 把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________． 13. 一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 14. 如图，有一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____． 15. 三角形的三边分别为，则的取值范围是___________． 16. 如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 17. 如图，如果，那么x、y、z之间数量关系是______． 18. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 三、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 尺规作图（不要求写作法，但需保留作图痕迹，并写出结论）． （1）作，使； （2）作边上中线； （3）在上述中，由公理______（填符号）可以直接证得______． 20. 如图，已知：在中，，，点E、F分别为边、上的点，且．求证：． 证明：， （______）， ． 又， ____________． ， ______． （______）． 21. 如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 22. 我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 23. 如图，在中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，,请说明 24. 求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 25. 图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． （1）如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； （2）如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 26. 已知的面积为，将沿射线的方向平移到，使点和C点重合，连接交于D． （1）画出符合题意的图形； （2）求证：； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市普陀区七年级（下）期中数学复习试卷（A卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，不是的同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够准确判断同位角、内错角和同旁内角．观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与的关系进行判断即可． 【详解】解：A．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； B．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； C．观察图形可知：和不是同旁内角，故此选项符合题意； D．观察图形可知：和同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项符合题意； C、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； D、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 点到直线的距离是非负的 B. 同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C. 经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据点到直线的距离的定义、平行线的概念、平行公理、平行线的性质判断． 【详解】解：A、点到直线的距离是非负的，是真命题，不符合题意； B、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，故本选项命题是假命题，符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，是真命题，不符合题意； D、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：B． 4. 已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 5. 下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的内角和定理；三角形的分类．分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：任意三角形的内角和都是，故①正确； 等边三角形是特殊的等腰三角形，故②错误； 三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确； 只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误； 故选：B． 6. 如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：D． 7. 下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（ ） A. 含角的两个直角三角形 B. 腰对应相等的两个等腰三角形 C. 周长为的两个等边三角形 D. 一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法；由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、D、两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故A、D不符合题意； B、腰的夹角不一定相等，故B不符合题意； C、由判定两个等边三角形全等，故C符合题意． 故选：C． 8. 如图， ，点， ， ，分别在两条平行线之间，，，若， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据三角形的内角和定理，即可得到∠PAP2+∠PCP2=140°-50°=90°，依据∠PAP1=∠PAP2，∠PCP1=∠PCP2，可得∠PAP1+∠PCP1=30°，再根据三角形内角和定理，即可得出∠P1的度数． 【详解】 ∴度数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和为180°． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，，直线和直线的锐角夹角是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握邻补角互补的性质是解题的关键． 根据，结合已知条件即可求出的度数，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即直线和直线的锐角夹角是， 故答案为：． 11. 如图，请写出能判定的一个条件：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行进行作答即可． 【详解】解：依题意，∵ ∴ ∴能判定的一个条件： 故答案为： 12. 把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________． 【答案】如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面． 【详解】解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；解题的关键是掌握命题由题设和结论两部分组成． 13. 一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 14. 如图，有一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____． 【答案】25° 【解析】 【分析】先标注图形，再根据平行线的性质求出∠3，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵，∠1=20°， ∴∠1=∠3=20°， ∴∠2=45°－20°=25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质求出∠3的度数是解题的关键． 15. 三角形的三边分别为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系解答． 【详解】由题意得：8-3<a-1<8+3， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边． 16. 如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 17. 如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 18. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 三、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 尺规作图（不要求写作法，但需保留作图痕迹，并写出结论）． （1）作，使； （2）作边上的中线； （3）在上述中，由公理______（填符号）可以直接证得______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作射线，在射线上截取线段，使得，分别以A，B为圆心，a为半径作弧，两弧交于点C，连接即为所求； （2）作垂足为D，线段即为所求； （3）根据证明三角形全等即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问3详解】 解：由题意， 由公理可知． 故答案为：，． 20. 如图，已知：在中，，，点E、F分别为边、上的点，且．求证：． 证明：， （______）， ． 又， ____________． ， ______． （______）． 【答案】垂直的定义；；B；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由余角的性质推出，得到．判定． 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， 又， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行． 21. 如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 22. 我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂线，平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 由垂直的定义得，可得，根据平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 23. 如图，在中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，,请说明 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB，再根据∠FDE=∠B，证明∠DFB=∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路进行解答即可. 【详解】证明：∵∠FDC=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB 又∵∠FDE=∠B（已知） ∴∠DFB=∠EDC 在△DFB与△EDC中 FB=ED（已知），∠DFB=∠EDC，BF=CD（已知） ∴△DFB≌△EDC（SAS） ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键. 24. 求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先写出已知、求证，然后通过证明三角形全等解决问题． 【详解】解：已知：点P为的角平分线上的任意一点，如图， 求证：P点到距离相等． 证明：过P点作于C点，于D点，如图， ∴∠， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P点到的距离相等， 所以在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 25. 图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． （1）如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； （2）如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．三角形外角的性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到； （2）过点A作，过点作交于点，根据上述证明可得，再利用角平分线的性质和三角形外角定义，求得，再求得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作，过点B作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点A作，过点作交于点， ， ， ，平分， ， ， ， ， 角平分线与垂直， ， ， ． 26. 已知的面积为，将沿射线的方向平移到，使点和C点重合，连接交于D． （1）画出符合题意的图形； （2）求证：； （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）连接，根据平移的性质可得，，从而证明即可； （3）利用三角形中线的性质求解 【小问1详解】 解：图形如图所示： ； 【小问2详解】 解：连接， 由平移变换性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵面积的面积， 又∵， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $