精品解析：江西省鹰潭市余江区正源学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

七年级练习（五） 数学 说明：1．范围：下册第一章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 计算的结果是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，该直径用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将两个边长为的小正方形分别放在两个边长为的大正方形中，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A. 49 B. 44 C. 39 D. 34 6. 若，则的个位数字为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则x满足条件__________． 8. 已知，则的值为___________． 9. 若关于的整式是某个关于的整式的平方，若为正整数，则___________． 10. 计算的结果为___________． 11. 为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园内开辟了劳动教育基地，如图是由劳动教育基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分分别表示八年级和九年级的劳动教育基地面积．若，则___________． 12. 已知实数，定义运算：，若，则________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 简便运算： （1）； （2）已知，求的值． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 17. 已知展开的结果中，不含和项为常数）． （1）求的值； （2）先化简，再求值：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 规定：． （1）若，求的值； （2）判断与是否相等，并说明理由． 19. 逆向运用幂的运算可以得到等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，求的值； （2）比较大小：若，则的大小关系是什么？ 20. 如图，一块长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含和的代数式表示休息区域的面积（结果要化简）； （2）若恒成立，求休息区域的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察以下等式： ．．． （1）按以上等式的规律填空：； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：． 22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：____________； 方法2：____________； （2）观察图2请你写出下列三个代数式，之间的等量关系______． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求的值． 六、解答题(本大题共12分) 23. 【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，∵代数式的值与的取值无关，∴含的项的系数为0．∵原式，∴，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为、宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为，左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级练习（五） 数学 说明：1．范围：下册第一章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 计算的结果是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘法及合并同类项，根据同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘法及合并同类项法则计算即可． 【详解】解：A．，原式计算不正确，故本选项不符合题意； B．，原式计算不正确，故本选项不符合题意； C．，正确，故本选项符合题意； D．，不正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，该直径用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式：，也考查了完全平方公式．解题关键在于熟练掌握平方差公式．利用平方差公式的结构特征对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B、，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，将两个边长为的小正方形分别放在两个边长为的大正方形中，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A. 49 B. 44 C. 39 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，列出代数式，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：，， ， ， 阴影部分面积为， 故选：A． 6. 若，则的个位数字为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以，凑出平方差公式的形式是解题的关键．将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， 又∵， ∴指数每4个个位数字重复一次， ， ∴个位数字为6， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则x满足条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了0指数幂，掌握相关性质是解题的关键． 8. 已知，则的值为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10． 9. 若关于的整式是某个关于的整式的平方，若为正整数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为，则一次项为，据此列式，再进行求解即可． 【详解】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方，， ∴， ∴， ∴或， ∵为正整数， ∴ 故答案为： 10. 计算的结果为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，得，化简计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：1． 11. 为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园内开辟了劳动教育基地，如图是由劳动教育基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分分别表示八年级和九年级的劳动教育基地面积．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ； 故答案为：． 12. 已知实数，定义运算：，若，则________． 【答案】3或1或 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握1的任何次幂都等于1、的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1．根据知，据此可得或或，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或或， 解得或或， 故答案为：3或1或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行运算，即可作答． （2）运用完全平方公式进行运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 14. 简便运算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）7 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂与零指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得； （2）先根据已知等式可得，再根据幂的乘方法则可得，然后计算同底数幂的乘法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把变形为，然后代入求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴ ∴原式． 16. 如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】解：（1）. （2）. 【解析】 【详解】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，  ∴．  S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；  （2）根据题意得：  （a+b）（a-b）= ． 17. 已知展开的结果中，不含和项为常数）． （1）求的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1） （2），61 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算．熟练掌握多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则，平方差公式，完全平方公式是关键． （1）利用多项式乘以多项式法则计算，根据不含和x项进行解答即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后把字母m、n的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． ∵展开的结果中，不含和x项， ∴． 解得；． 【小问2详解】 解： ． 将代入得， 原式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 规定：． （1）若，求的值； （2）判断与是否相等，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：当时，即时，则与相等， 当时，即时，则与不相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 当时，即时，则与相等， 当时，即时，则与不相等 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，幂的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，整理得，即可作答． （2）分别整理得，，再进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 19. 逆向运用幂的运算可以得到等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，求的值； （2）比较大小：若，则的大小关系是什么？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【小问1详解】 解： ∵， ， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：依题意， ∵ ∴ ． 20. 如图，一块长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含和的代数式表示休息区域的面积（结果要化简）； （2）若恒成立，求休息区域的面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式解决面积问题，多项式乘多项式与图形面积，解题关键是掌握完全平方公式． （1）长方形土地面积减去花坛面积即可； （2）先根据求出，，再代入（1）求得的休息区域的面积求解． 【小问1详解】 解：∵长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛， ∴休息区域的面积为 平方米； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∴，， 解得：， ∴休息区域的面积为（平方米）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察以下等式： ．．． （1）按以上等式的规律填空：； （2）试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：． 【答案】（1） （2） 解： 即． （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）读懂题意，按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意， ∴ ． 22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：____________； 方法2：____________； （2）观察图2请你写出下列三个代数式，之间的等量关系______． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）①36；② 【解析】 【分析】（1）方法一：求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可：方法二：根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案； （2）根据（1）中阴影部分的面积相等，即可得出等式； （3）直接利用（2）的结论即可解答． 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：； 【小问3详解】 解：①， ∵， ∴； ②， ∵， ∴， ∴， 六、解答题(本大题共12分) 23. 【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，∵代数式的值与的取值无关，∴含的项的系数为0．∵原式，∴，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为、宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为，左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式运算中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）计算得，即可求解； （3）设，则．计算，即可求解； 【详解】解：（1）． ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得． （2） ． ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． （3）设，则． ∴． ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $