培优03 丰富的图形世界章末10种题型归类（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

培优03 丰富的图形世界 题型1 几何体的点、棱、面 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 题型2 计算平面图形旋转后所得立体图形的体积 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，边长，边长，，高长，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少． 题型3 计算平面图形旋转后所得立体图形的最大体积 8．（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）如图，以直角三角形的直角边所在直线为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（结果保留π） 9．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． (1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）有一张直角三角形纸片，它的两条直角边分别为和 ，将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥体（如图①、图②）．试猜想哪个圆锥体的体积大，并通过计算证明你的猜想．（注：，共中为圆锥的体积，为圆锥的底面半径，为圆锥的高） 11．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 题型4 常见立体图形的相关计算 12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 13．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）有一个硬纸做成的礼品盒（结果保留） (1)做这样一个礼品盒至少要硬纸多少平方厘米？ (2)这个礼品盒的体积是多少？ 14．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）小明利用星期天制作了一个底面边长都为，侧棱长为的五棱柱形的无盖笔筒． (1)这个五棱柱笔筒的外部共有多少个面？多少条棱？ (2)制作这个笔筒的侧面至少需要多少平方厘米的材料？ 15．（22-23六年级·上海·假期作业）淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 题型5 与展开图相关的计算题 16．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 18．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 19．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 20．（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 21．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形 经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D) (2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是 ． (3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积． 题型6 画三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 22．（2025七年级上·广东·专题练习）用个棱长分米的正方体拼成一个几何体，按图的方式摆放在桌面上． (1)这个几何体覆盖桌面的面积是（ ）平方分米． (2)在这个几何体上又添加了两个棱长分米的正方体，得到一个新的几何体．从新几何体的前面看到的图形如图，从上面看到的图形和原来一样．在方格纸上画出从新几何体的上面和左面看到的图形． 23．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图所示的几何体，由五个大小相同的小正方体搭成． (1)分别画出从正面，左面和上面看到的该几何体的形状图； (2)当去掉一个小正方体_______时，剩余部分从左面看形状没有改变（填写图中小正方体的序号）． 题型7 根据已知视图，确定几何体含小正方体个数 1）根据主视图，从左到右数出每列中的小正方形个数，在俯视图从左到右对应的列中的每个小正方形内填入相应的数字； 2）根据左视图，从左到右数出每列中的小正方形个数，在俯视图从上到下对应的行中的每个小正方形内也填入相应的数字； 3）取每个位置两个数字的最小值，再将所有最小值相加就得到组成几何体的小正方体的个数. 24．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由若干个相同的小正方体搭建而成的几何体从三个方向看到的图形，请你在从上面看到的图形中写出对应位置小正方体的个数． 25．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 26．（24-25六年级上·山东泰安·期末）如图是由几个小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方体中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的从正面，从左面看到的形状图． 27．（24-25六年级上·山东泰安·期末）一个几何体由10个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)当时，的值为_____； (2)当时，请在网格中画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； 题型8 由俯视图、左视图(或主视图)确定小正方体最多的个数 1）若已知左视图和俯视图，将左视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应行的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 2）若已知主视图和俯视图，将主视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应列的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 28．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）用若干个形状大小相同的小正方体搭成一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，问：搭成这样的几何体，最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 29．（2024七年级上·全国·专题练习）易错题  从正面和上面看到的用大小相同的小立方块搭成的几何体的形状图如图所示． (1)这样的几何体有多少种？ (2)它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ (3)分别画出需要小立方块最少和最多时，从左面看到的几何体的形状图． 30．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)要保持从正面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 31．（24-25七年级上·重庆·期末）【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 32．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 题型9 三视图的相关计算问题 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 33．（24-25七年级上·全国·期中）如图是由棱长为的块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个不同方向看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并且从正面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加_________块小立方块，此时该几何体的表面积为_________． 34．（24-25七年级上·全国·期末）用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的图形如图所示．这样的几何体只有一种吗？ (1)它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)求用最多的小正方体搭成几何体的表面积． 35．（24-25六年级上·山东烟台·期中）综合与实践： 如图是由几个完全相同的边长为1的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．    (1)请在方格纸中分别画出从正面和左面所观察到的几何体的形状； (2)这个组合几何体的表面积为______个平方单位；（包括底面积） (3)若保持从上面看到的这个几何体形状不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则搭成这样的几何体中表面积最大的是______个平方单位．（包括底面积） 36．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，在一个平整的地面上，有一个由若干个相同的棱长为的小正方体搭成的一个几何体． (1)这个几何体由 个小正方体组成； (2)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体的形状图； (3)如果向这个几何体露出的表面喷上黄色的油漆（不含和地面接触的面），请计算需要喷漆的面积一共是多少． 题型10 与截面相关的计算问题 37．（24-25六年级上·山东烟台·期中）三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 38．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，长方形的长为，宽为． (1)把长方形绕边所在的直线旋转一周，请写出旋转后的几何体． (2)若用平面沿方向去截所得的几何体，求截面的最大面积． 39．（2024七年级·全国·竞赛）有一种铁制的正方体模胚来制造一零件，模胚上下和左右的正中间各有一个圆柱体形的空间（空间用来铸零件），给你以下工具：直尺、三角板、记号笔，水，一个能装下模胚的长方体容器，想办法尽可能快和准确的测出零件体积？ 40．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 丰富的图形世界 题型1 几何体的点、棱、面 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)六，8，12 (2) (3) 【分析】（1）由n棱柱有条棱，有个顶点，有个面求解可得； （2）棱柱的所有棱长和=6个侧棱长+12个底边长； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 本题考查了n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，侧面积，棱长，熟练掌握基本内涵是解题的关键． 【详解】（1）解：∵此直棱柱有18条棱， ∴由知，此棱柱是六棱柱；这个六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12． （2）解：∵一条侧棱长为，底面各边长都为， ∴棱柱的所有棱长和； 故答案为：． （3）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)5，9，6 (2)6，12，8 (3)7，15，10 (4)，， 【分析】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． （1）结合图形及四棱柱的特点即可求解； （2）结合图形及五棱柱的特点即可求解； （3）结合图形及六棱柱的特点即可求解； （4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，总结即可． 【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； 故答案为：5，9，6； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； 故答案为：6，12，8； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； 故答案为：7，15，10； （4）n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，． 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 题型2 计算平面图形旋转后所得立体图形的体积 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体， （1）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． （2）根据（1）直接求解即可． 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． 故答案为：小红 （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）∵长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，，， ∴为圆柱体的高，为圆柱体底面圆的半径， ∴． 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【答案】(1)圆柱； (2)． 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握知识点的应用解题的关键． （）根据面动成体即可解答； （）设图形的体积分别为、，然后分别求得图形的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以长方形的边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：设图形的体积分别为、， 则， ， ∴， 即立体图形比立体图形的体积大． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，边长，边长，，高长，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，能根据已知条件求出旋转后的圆锥的底面半径和高是解此题的关键． 绕着边旋转，得到一个底面圆半径为3，高为4的圆锥；绕着边旋转，得一个底面圆半径半径为4，高为3的圆锥； 绕着边旋转， 得到两个底面相同的圆锥，底面圆半径都为，高分别为和． 【详解】解：三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是 三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是； 三角形绕边所在直线旋转一周，所得几何体是底面相同的一个正立，一个倒立的圆锥组合体，所以体积是． 答：所得几何体的体积为或或． 题型3 计算平面图形旋转后所得立体图形的最大体积 8．（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）如图，以直角三角形的直角边所在直线为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（结果保留π） 【答案】圆锥， 【分析】本题考查了点、线、面、体，要分两种情况进行计算，根据圆锥的特征，以及圆锥的体积公式，进行计算即可解答． 【详解】解：以直角三角形的直角边所在直线为轴把它旋转一周，得到的几何体是圆锥， 分两种情况： 当以边所在直线旋转一周，得到的圆锥的体积：； 当以边所在直线旋转一周，得到的圆锥的体积：； 综上所述：它的体积最大是． 9．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． (1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】(1)圆柱体，面动成体 (2)方案一得到的圆柱的体积大 【分析】本题考查点，线，面，体，圆柱体积计算，解题的关键是掌握长方形旋转可得圆柱体． （1）根据面动成体解答即可； （2）先分别求出所得几何体的体积再比较大小即可． 【详解】（1）解：长方形旋转可以得到圆柱， 上述操作能形成的几何体是圆柱，说明的事实是：面动成体． 故答案为：圆柱体，面动成体 （2）解：方案一：， 方案二：， ， 方案一构造的圆柱体的体积大． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）有一张直角三角形纸片，它的两条直角边分别为和 ，将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥体（如图①、图②）．试猜想哪个圆锥体的体积大，并通过计算证明你的猜想．（注：，共中为圆锥的体积，为圆锥的底面半径，为圆锥的高） 【答案】绕边长为a的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大，见解析 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转、圆锥的体积计算，正确的计算出圆锥的体积并比较它们的大小是解题的关键． 分别计算出绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的体积；绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的体积，然后再比较它们的大小即可得出结论． 【详解】解：绕边长为的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大，理由如下： 绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的底面半径为，高为， 则该圆锥的体积为：， 绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的底面半径为，高为， 则该圆锥的体积为：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故绕边长为的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大． 11．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小即可. 【详解】解：图3中圆锥的体积更大． 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴， ∴图③中圆锥的体积更大． 题型4 常见立体图形的相关计算 12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查了棱柱的特征，侧棱，侧面积： （1）直接根据五棱柱的特征，即可求解． （2）根据侧面是长方形，侧面长方形的长为，宽为． 【详解】（1）根据题意，这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． （2）侧面长方形的长为，宽为． ． 所以，这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 13．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）有一个硬纸做成的礼品盒（结果保留） (1)做这样一个礼品盒至少要硬纸多少平方厘米？ (2)这个礼品盒的体积是多少？ 【答案】(1)做这样一个礼品盒至少要硬纸平方厘米 (2)这个礼品盒的体积是立方厘米 【分析】本题考查了几何体的表面积和圆柱体的体积，解题的关键是掌握几何体的表面积和圆柱体的体积计算公式． （1）根据几何体的表面积计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （平方厘米）； 答：做这样一个礼品盒至少要硬纸平方厘米． （2）； 答：这个礼品盒的体积是立方厘米． 14．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）小明利用星期天制作了一个底面边长都为，侧棱长为的五棱柱形的无盖笔筒． (1)这个五棱柱笔筒的外部共有多少个面？多少条棱？ (2)制作这个笔筒的侧面至少需要多少平方厘米的材料？ 【答案】(1)6个；15条 (2) 【分析】本题考查了棱柱的特征，侧棱，侧面积，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键， （1）直接根据五棱柱的特征，即可求解． （2）根据侧面是矩形，底面每条边长相等且等于，侧棱为，即可求解． 【详解】（1）根据题意，得这个五棱柱笔筒的外部共有6个面，15条棱． （2）由题意得：此五棱柱每个侧面为长方形，侧棱为16厘米，底面边长为4厘米，有5个侧面， ∴， 答：制作此笔筒的侧面需要的材料． 15．（22-23六年级·上海·假期作业）淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 【答案】(1)100米；30米 (2)5416.5平方米 (3)803.84升 【分析】（1）根据实际距离等于图上距离除以比例尺，进行换算即可； （2）养殖园的长等于圆柱的高，养殖园的宽等于圆柱底面直径，塑料薄膜面积等于圆柱底面积和侧面积的和除以2，据此列式解答； （3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长等于圆柱底面周长，底面直径乘以2等于圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径加底面周长等于33.12分米，列出方程求出底面直径，再根据圆柱体积等于底面积乘以高，求出容积即可． 【详解】（1）解；， ， 答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米； （2）解： （平方米） 答：需要5416.5平方米的塑料薄膜； （3）解：解：设底面直径是x分米， （立方分米） （升） 答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升． 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式． 题型5 与展开图相关的计算题 16．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， 先求出，即可知折叠为长方体的长、宽、高分别为，再根据长方体的表面积和体积公式得出答案． 【详解】解：由，，可得， 长方体的表面积：， 体积：． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) (4) 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的表面积计算公式求解即可； （4）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：几何体的展开图共有6个面， 且各面都是长方形， ∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形， 最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体， 截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴截面形状可能是①②③④． （3）解：， ∴表面积是． （4）解：， ∴体积是． 18．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)18 (2) (3)101.25元 【分析】（1）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为6分米，得到，根据题意，得展开图中的长度为，代入解答即可； （2）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为分米，得到，解得，继而得到，宽，高，计算体积即可； （3）根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为，结合的长度为45分米，得到，确定长，宽，高，根据表面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：根据，不妨设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为6分米， ∴， 解得， 根据题意，得展开图中的长度为， 故（分米）， 故答案为：18． （2）解：根据，设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为分米， ∴ ， 解得， ∴宽为，高为， ∴长方体的体积为：（立方分米）． （3）解：根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为， ∵的长度为45分米， ∴， 解得， ∴ 长为，宽为，高为， 故长方体的表面积为： （平分分米）， 故整个包装盒外表面涂色的费用是：（元）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． 19．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 20．（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①画图见解析；②这个纸盒的体积为． 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）解：制作一个无盖的正方体纸盒， 展开图有5个面，选项B不符合题意； 再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意； 故选C； （2）解：正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫” 故答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②当小正方形的边长为为时， 纸盒的底面积为 纸盒的体积为 答：这个纸盒的体积为． 21．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形 经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D) (2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是 ． (3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)这个无盖长方体纸盒的底面积为144 cm2，容积为576 cm3 【分析】本题主要考查了正方体的展开和折叠， 对于（1），根据正方体的折叠逐项判断； 对于（2），将正方体折叠可得各面相对的字，进而得出答案； 对于（3），画出示意图，再根据面积和体积计算公式计算即可． 【详解】（1）要围成一个无盖正方体纸盒，说明展开图有5个面，选项A不能制作成无盖正方体纸盒；选项B有4个面，不符合题意；选项D有6个面，不符合题意，只有选项C中的图形符合题意． 故选：C． （2）将正方体折叠可知“小”字对“环”字，“保”字与“卫”字． 故答案为：卫； （3）正方形四个角各剪去一个小正方形后，如图所示． 因为剪去的小正方形的边长为4cm， 所以无盖长方体纸盒的底面积为，容积为． 答：这个无盖长方体纸盒的底面积为144 cm2，容积为576 cm3． 题型6 画三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 22．（2025七年级上·广东·专题练习）用个棱长分米的正方体拼成一个几何体，按图的方式摆放在桌面上． (1)这个几何体覆盖桌面的面积是（ ）平方分米． (2)在这个几何体上又添加了两个棱长分米的正方体，得到一个新的几何体．从新几何体的前面看到的图形如图，从上面看到的图形和原来一样．在方格纸上画出从新几何体的上面和左面看到的图形． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正确识图是解题的关键． （）画出从上面看到的图形，再求出面积即可； （）由题意可知，添加的两个正方体一个放在左边第一列第一排，另外一个放在右边第一列正方体上，据此画出图形即可； 【详解】（1） 解：从上面看立体图形是， ∵正方体每个面的面积是（平方分米， ∴几何体覆盖桌面的面积是平方分米， 故答案为：； （2）解：画图如下： 23．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图所示的几何体，由五个大小相同的小正方体搭成． (1)分别画出从正面，左面和上面看到的该几何体的形状图； (2)当去掉一个小正方体_______时，剩余部分从左面看形状没有改变（填写图中小正方体的序号）． 【答案】(1)图见解析 (2)② 【分析】本题考查从不同方形看几何体： （1）分别画出从前面，左面和上面看到的图形即可； （2）根据从左面看的形状不变，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）由图可知：去掉①或③时，从左面看的形状都会发生改变，去掉②时，形状不变， 故答案为：②． 题型7 根据已知视图，确定几何体含小正方体个数 1）根据主视图，从左到右数出每列中的小正方形个数，在俯视图从左到右对应的列中的每个小正方形内填入相应的数字； 2）根据左视图，从左到右数出每列中的小正方形个数，在俯视图从上到下对应的行中的每个小正方形内也填入相应的数字； 3）取每个位置两个数字的最小值，再将所有最小值相加就得到组成几何体的小正方体的个数. 24．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由若干个相同的小正方体搭建而成的几何体从三个方向看到的图形，请你在从上面看到的图形中写出对应位置小正方体的个数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的知识，解决本类题目不但有丰富的数学知识，而且还应有一定的空间想象能力．由上面看可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看和从左面看可得第二层和第三层小木块的个数，依此将得到的正方体的个数在图上标出来即可； 【详解】解：∵从上面看有5个正方形， ∴最底层有5个正方体小木块， 由从正面看和从左面看可得第二层有2个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块， 如图所示： ． 25．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画从正面和从左面看到的几何体的形状图．根据题意利用空间想象能力观察得到本题答案即可． 【详解】解：∵从正面看有3列，最左边一列有4个正方形，中间一列有2个正方形，最左边一列有2个正方形，从左面看有3列，最左边一列有2个正方形，中间一列 有4个正方形，最右边一列有1个正方形， ∴从正面和从左面看到的这个几何体的形状图，如图所示： 26．（24-25六年级上·山东泰安·期末）如图是由几个小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方体中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的从正面，从左面看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查不同方向看几何体．由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，4；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3．据此可画出图形．由从上面看的形状图及小正方形内的数字，可知从正面看的列数与从上面看的列数相同，且每列小正方形数目为从上面的形状图中该列小正方形数字中的最大数字．从左边看的列数与从上面看的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看的中相应行中正方形数字中的最大数字． 【详解】解：如图所示： ． 27．（24-25六年级上·山东泰安·期末）一个几何体由10个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)当时，的值为_____； (2)当时，请在网格中画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】此题考查从不同方向看几何体，求几何体的表面积． （1）由，解答即可； （2）由已知条件可知，正面看有3列，每列小正方形数目分别是2，3，3，从左面看，有2列，每列小正方形数目分别是3，3画出图形即可； （3）根据几何体的表面积解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：3； （2）当时，， 如图所示： 题型8 由俯视图、左视图(或主视图)确定小正方体最多的个数 1）若已知左视图和俯视图，将左视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应行的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 2）若已知主视图和俯视图，将主视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应列的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 28．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）用若干个形状大小相同的小正方体搭成一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，问：搭成这样的几何体，最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 【答案】最少需要9个小正方体？最多需要13个小正方体． 【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从正面看和从上面看得到的图形在从上面看的图形上标上所有位置小正方体的个数，进行计算即可得答案． 【详解】解：个数最少时：如图（图不唯一）； ； 个数最多时：如图： ； 答：最少需要9个小正方体，最多需要13个小正方体． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）易错题  从正面和上面看到的用大小相同的小立方块搭成的几何体的形状图如图所示． (1)这样的几何体有多少种？ (2)它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ (3)分别画出需要小立方块最少和最多时，从左面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)3种 (2)最多8个，最少7个 (3)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）根据从正面和上面看到的形状求解即可； （2）根据第2列小立方块的个数即可求解； （3）根据从左面看的情况分别画出需要小立方块最少和最多时的情况即可． 【详解】（1）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个；故这样的几何体有3种； （2）解：它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； （3）解：如图所示： 30．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)要保持从正面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本体主要考查了从不同方向看几何体． （1）直接利用图中所标数字进而得出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； （2）直接利用从正面和左面看到的这个几何体的形状图得出最多的排列方式． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如下：     （2）  解：如果保持从正面看到的和从左面看到的形状图不变，则需最多在右上角加1个小立方块，在左上角和右上角的中间最多加2个小立方块，则最多加3个小立方块． 31．（24-25七年级上·重庆·期末）【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【答案】(1)①③④ (2)作图见解析：（答案不唯一） (3)3，7，8，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形，掌握正方体的表面展开图的模型以空间想象力是解题的关键． （1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解； （2）根据正方体的展开图每个面都有对面即可解答； （3）根据从正面看和上面看得到的图形，分析第2列小正方体的个数解答，根据左视图的定义即可画出最少和最多的情况即可． 【详解】（1）解：图①有5个面，可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，图②经折叠后有两个面重复，因此折叠不能围成无盖正方体形纸盒；图③④有5个面，均可以折叠为无盖的正方体纸盒， ∴经过折叠能围成无盖正方体纸盒的有：①③④； 故答案为：①③④． （2）解：如图所示：（答案不唯一） （3）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个； 故这样的几何体有3种； 它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； 如图所示∶ ， 故答案为：3，7，8． 32．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个，画图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一）． （2）解：如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 题型9 三视图的相关计算问题 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 33．（24-25七年级上·全国·期中）如图是由棱长为的块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个不同方向看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并且从正面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加_________块小立方块，此时该几何体的表面积为_________． 【答案】(1)作图见解析 (2)； 【分析】本题考查从不同方向观察简单组合体并画出图形， （1）先从三个不同方向观察几何体，然后画出相应的图形即可； （2）在从上面看的图形上相应位置备注出相应摆放的数目即可，然后再计算出该几何体的表面积即可； 解题的关键是掌握从不同方向（从正面，从上面，从左面）观察几何体，能看到的部分的轮廓线画成实线，不能看到的部分的轮廓线画成虚线． 【详解】（1）解：作图如下： （2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， ∴最多可以再添加块小正方体， ∵如图是由棱长为的块小立方块组成的简单几何体 ∴， 此时该几何体的表面积为． 故答案为：；． 34．（24-25七年级上·全国·期末）用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的图形如图所示．这样的几何体只有一种吗？ (1)它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)求用最多的小正方体搭成几何体的表面积． 【答案】(1)14个，10个 (2)42 【分析】本题考查由三视图判断几何体，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意． （1）从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． （2）根据用最多的小正方体搭成几何体时的个数，列出搭成几何体的表面积是再计算即可． 【详解】（1）解：根据主视图和俯视图可得这个几何体共3层， 第一层最多7个小正方体，第二层最多5个小正方体，第三层最多2个小正方体，最多需要14个小正方体， 第一层最少7个小正方体，第二层最少2个小正方体，第三层最少1个小正方体，最少需要10个小正方体； （2）解：用最多的小正方体搭成几何体的表面积是． 35．（24-25六年级上·山东烟台·期中）综合与实践： 如图是由几个完全相同的边长为1的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．    (1)请在方格纸中分别画出从正面和左面所观察到的几何体的形状； (2)这个组合几何体的表面积为______个平方单位；（包括底面积） (3)若保持从上面看到的这个几何体形状不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则搭成这样的几何体中表面积最大的是______个平方单位．（包括底面积） 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)26 【分析】（1）主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，3；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1； （2）上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而可得出表面积． （3）要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，画出俯视图，计算表面积即可． 此题考查了简单几何体的三视图及几何体的表面积的计算，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，在计算表面积时容易出错，要一个面一个面的进行查找，避免遗漏． 【详解】（1）解：    （2）根据从三个方向看的形状图， 这个几何体的表面积为， 故答案为：24． （3）要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，此时俯视图为∶    这样上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形； 左面共有5个小正方形，右面共有5个正方形； 前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 表面积为∶ 故答案为：26． 36．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，在一个平整的地面上，有一个由若干个相同的棱长为的小正方体搭成的一个几何体． (1)这个几何体由 个小正方体组成； (2)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体的形状图； (3)如果向这个几何体露出的表面喷上黄色的油漆（不含和地面接触的面），请计算需要喷漆的面积一共是多少． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3)需要喷漆的面积一共是 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的表面积，利用空间想象力解决问题是关键． （1）根据几何体即可得到答案； （2）由已知图形可知，从正面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1；从左面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1；从上面看3列，每列小正方形的数量为3、2、1，据此画出形状图即可； （3）由几何体可知，露出的面数有30个，即可求出这个几何体喷漆的面积． 【详解】（1）解：由图形可知，该几何体下层有6个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体， ， 即这个几何体由10个小正方体组成， 故答案为：10； （2）解：如图所示： ； （3）解：由几何体可知，露出的面数有个，且小正方体的棱长为， 则这个几何体喷漆的面积为． 题型10 与截面相关的计算问题 37．（24-25六年级上·山东烟台·期中）三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 【答案】(1)长方形，8 (2)10 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出截面的形状为长方形；由题意得出，再根据长方形面积公式计算即可得解； （2）由题意可得，，再列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：截面的形状为长方形； ∵在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱， ∴， ∴截面的面积为； （2）解：由题意可得：，， ∴四边形的周长． 38．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，长方形的长为，宽为． (1)把长方形绕边所在的直线旋转一周，请写出旋转后的几何体． (2)若用平面沿方向去截所得的几何体，求截面的最大面积． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查的是截一个几何体，点、线、面、体，掌握图形的空间结构是解题关键． （1）长方形绕直线旋转一周得到一个圆柱体； （2）沿线段的方向截所得的几何体其中轴截面最大． 【详解】（1）解：根据题意可知，把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱； （2）解：圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：． 39．（2024七年级·全国·竞赛）有一种铁制的正方体模胚来制造一零件，模胚上下和左右的正中间各有一个圆柱体形的空间（空间用来铸零件），给你以下工具：直尺、三角板、记号笔，水，一个能装下模胚的长方体容器，想办法尽可能快和准确的测出零件体积？ 【答案】见解析 【分析】本题考查求不规则几何体的体积，找出等量关系是正确解决本题的关键． 用水的体积加正方体的体积再减去模胚放入水中完全浸没时的体积即可． 【详解】首先用直尺测出正方体的边长，求出正方体的体积 ，长方体容器内倒入足量的水，用直尺测出容器的底面积和水的高度，求出水的体积 ，将模胚放入水中完全浸没，用直尺测出水的高度，求出体积 ，零件的体积． 40．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的截面，根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变即可进行解答． 【详解】解：由图可知，这个多面体的面数是7，即． 又因为正方体有12条棱，被截去了3条棱，截面为三角形， 所以增加了3条棱，故棱数不变，即． 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $