专题1.2 从立体图形到平面图形（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.2 从立体图形到平面图形 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 2 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 2 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 3 知识点梳理04：几何体的截面 4 知识点梳理05：从三个方向看几何体 4 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 5 优选题型 考点讲练 6 考点1：从不同方向看几何体 6 考点2：几何体展开图的认识 7 考点3：由展开图计算几何体的表面积 9 考点4：由展开图计算几何体的体积 12 考点5：正方体几种展开图的识别 14 考点6：正方体相对两面上的字 17 考点7：含图案的正方体的展开图 18 考点8：求展开图上两点折叠后的距离 19 考点9：补一个面使图形围成正方体 20 考点10：截一个几何体 22 考点11：平面图形形状的识别 25 考点12：用七巧板拼图形 26 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 35 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到 11 种不同的展开图 . 类型  图示  口诀  数量 一四一型 中间四方连，两侧各一个  6 种 二三一型(或一三二型)  中间三方连，两 侧 各 有 两个、一个 3 种 二二二型  中间二方连，两侧各两个  1 种 三三型 两排各三个，中间成一“日”  1 种 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 . 几种常见棱柱的展开图： 名称  三棱柱  长方体 五棱柱  六棱柱 立体图形 展开图 (举例) 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 1. 圆柱的表面展开图  由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高 . 侧面展开图如图 ①所示，表面展开图如图 ②所示. 2. 圆锥的表面展开图  由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 . 侧面展开图如图①所示，表面展开图如图 ②所示. 特别解读 几何体与其表面展开图的联系： (1)一个几何体可以有多种表面展开图，如正方体，根据剪开的方式不同其表面展开图也不同； (2) 不是所有几何体都可以展开，如球就不能展开 . 知识点梳理04：几何体的截面 正方体的几种截面形状 圆柱的几种截面形状 圆锥的几种截面形状 三棱柱的几种截面形状 球的截面 形状 截面  用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 . 知识点梳理05：从三个方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看 . 2. 常见的几何体从不同方向看到的形状图 从不同方向看 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 从不同方向看  特点  图例 从正面看 能 看 到 几 何体的长和高 看到的图形有上、下两 层， 排 成 左、 中、右三列，如右图所示 从左面看 能 看 到 几 何体的高和宽 看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示 从上面看 能 看 到 几 何体的长和宽 看到的图形有三列、两行，如右图所示 哎 考点1：从不同方向看几何体 【典例精讲】（24-25七年级上·广东深圳·期末）鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了简单组合体的三视图，从不同方向观察几何体是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【规范解答】 解：从上面看，可得如图形： 故选：B 【变式训练】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看形状图； (2)想不改变从三个方向看的形状图，在几何体上最多可以添加___________个相同的正方体． 【答案】(1)见解析； (2)1． 【思路引导】本题主要考查从不同方向看几何体，分别是从正面、左面和上面看，所得到的图形， （1）根据从不同方向看几何体画出图形即可． （2）根据题目条件解决问题即可． 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示： 想不改变从三个方向看的形状图，在几何体上最多可以添加1个相同的正方体． 故答案为：1． 考点2：几何体展开图的认识 【典例精讲】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【思路引导】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【规范解答】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【变式训练】（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 【答案】(1)见解析 (2)F、N (3)12 【思路引导】本题考查了平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算． （1）根据长方体展开图判断； （2）将展开图折叠成长方体，看与A重合的点即可； （3）由题意可知，此长方体的长、宽、高可分别看作、和，将数据代入长方体的体积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：拼图存在问题，多了，如图： （2）解：修正后所折叠而成的长方体中，所有与点A重合的点：F、N； 故答案为：F、N； （3）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为、、 ， ∴体积为：． 故答案为：12． 考点3：由展开图计算几何体的表面积 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【规范解答】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用按照图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 【变式训练】（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1)12，432 (2) 【思路引导】本题考查几何图形，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【规范解答】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为： ； 故答案为：； （2）解：， 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：3． 长方体纸盒的表面积为． 考点4：由展开图计算几何体的体积 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）；（）“大”； （） 【思路引导】（）根据题意画出图形即可； （）根据正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形进行解答即可求解； （）根据长方体体积公式计算即可； 本题考查了正方体的展开图，长方体的体积，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（）画图如下： （）∵正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形， ∴“卫”和“大”相对， 故答案为：“大”； （）纸盒的容积． 答：纸盒的容积为． 【变式训练】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 【答案】(1)①，②C (2) (3)见解析，当时， 【思路引导】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握长方体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）①根据长方体的体积计算方法进行计算即可；②由表格中对应值的变化关系得出结论； （2）由表格中对应值的变化关系得出结论． （3）利用“夹逼法”分别计算当计算体积V的值，进而得出结论． 【规范解答】（1）① 故答案为： ②根据表格中数据的对应值的变化关系可知，随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是先增大后减小， 故答案为：C （2）表格中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当（x为整数）时，纸盒的容积最大，为 故答案为： （3）由题意得： 当时， 当时， 当时， 当时， 所以，当时， 考点5：正方体几种展开图的识别 【典例精讲】（24-25七年级上·河北保定·期中）图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整； (2)如果正方体纸盒的棱长是2分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12平方分米 【思路引导】本题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键． （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【规范解答】（1）解：涂色部分补充如图： （2）解：（平方分米）， 答：涂色部分的面积为12平方分米． 【变式训练】（24-25七年级上·江西吉安·期中）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为_______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；②；③ (3) 【思路引导】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【规范解答】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， 故答案为：； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：； ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， 故答案为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， 故答案为：； 【考点剖析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 考点6：正方体相对两面上的字 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（   ）． A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握正方体展开图的特征． 观察题中所给的图形，结合正方体展开图的特征解答即可． 【规范解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“我”与面“梦”相对，面“梦”与面“中”相对，面“的”与面“国”相对． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相反数的意义求解即可． 【规范解答】解：依题意可知，x与是相对面，y与x是相对面，与2是相对面， 相对的表面上所标的数的和都相等， ，， 解得，， ． 故答案为：． 考点7：含图案的正方体的展开图 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【规范解答】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【思路引导】此题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键， （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2） （平方分米）． 考点8：求展开图上两点折叠后的距离 【典例精讲】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【规范解答】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    【变式训练】（22-23七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【规范解答】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 考点9：补一个面使图形围成正方体 【典例精讲】（22-23七年级上·山西阳泉·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题： 观察判断： 小明共剪开了___________条棱； 动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形： 解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【答案】观察判断：8；动手操作：见解析；解决问题：这个长方体纸盒的体积为：． 【思路引导】观察判断：根据图形回答即可； 动手操作：根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； 解决问题：设高为，则正方形边长为，根据棱长的和是列出方程，据此可求出长、宽、高，因而求出长方体纸盒的体积． 【规范解答】解：观察判断： 小明总共剪开了8条棱； 故答案为：8； 动手操作：如图，有四种情况： ； 解决问题：因为长方体纸盒的底面是一个正方形， 所以设高为，则正方形边长为． 因为长方体纸盒所有棱长的和是， 所以， 解得， 所以这个长方体纸盒的体积为：． 【考点剖析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【变式训练】（20-21七年级上·陕西西安·阶段练习）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 【答案】3 【思路引导】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【规范解答】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【考点剖析】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 考点10：截一个几何体 【典例精讲】（24-25六年级上·山东青岛·期末）如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)72立方厘米 【思路引导】本题考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③④； （3）解：， 答：体积是72． 【变式训练】（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 【答案】(1)三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可） (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积，截一个几何体，简单几何体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）正方体有6个面，截面共有4种情形； （2）从不同方向观察即可画出图形； （3）将正方体从上到下依次标号，则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，即可确定有7个面可以涂色． 【规范解答】（1）解：如果用一个平面去截正方体，则截面有可能三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）， 故答案为：三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）； （2）解：从正面看和从左侧看的图形如图所示： （3）解：将正方体从上到下依次标号，如图： 则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，类似于下图正面所对蓝色区域： ∴1号方块涂色面积为． 考点11：平面图形形状的识别 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【思路引导】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【规范解答】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 【变式训练】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 【答案】55 【思路引导】本题考查的是几何图形的拼接，理解题意，得到新的长方形的长与宽即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得：新的长方形的长为：，宽为； 如图， 或 ∴最大面积为， 故答案是：55； 考点12：用七巧板拼图形 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【思路引导】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【规范解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【思路引导】由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【规范解答】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：16． 1．（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【规范解答】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子， 他先用 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图（实线部分）， 经折叠后发现还少一个面． 请你在图中的拼接图形上再接一个正方形， 使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 【答案】见解析 【思路引导】根据正方体的展开图中每个面都有对面，可得答案． 【规范解答】解：如图： 【考点剖析】本题考查了作图，利用正方体的展开图中每个面都有对面作出第二层右边的小正方形的对面是解题关键． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【规范解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 4．（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 ． 【答案】月 【思路引导】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【规范解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”． 故答案为：月． 【考点剖析】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键． 5．（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(   ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥 【答案】B 【思路引导】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥． 【规范解答】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键． 基础夯实 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（正方体的应用）一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数的和为18，小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这面的数是（     ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查了正方体的相对面上的字，根据正方体共有6个面，结合小张和小李看到的面上的数字和列式求解即可． 【规范解答】4个侧面和2个顶面的和为 4个侧面的和应该是 顶面的数是： 底面的数是：． 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（正方体展开图）下列展开图中，（     ）不能围成正方体． A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体的展开图，利用正方体及其表面展开图的特点解题即可． 【规范解答】解：下列展开图中，不能围成正方体的是： ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图正方体展开图的六个面写着习近平总书记的六字金句“祖国必须统一”，把展开图折叠成正方体后，有“必”字的面相对的那个面上的字是（   ） A．祖 B．国 C．统 D．一 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形即可得解． 【规范解答】解：依题意，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴有“必”字的面相对的那个面上的字是统， 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用一个平面去截一个圆柱，得到的截面有哪些形状？ （至少写三种）． 【答案】长方形，圆，椭圆（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了截一个几何体，结合圆柱的特点，考虑从不同角度和方向截取是解此题的关键． 【规范解答】解：当截面与圆柱竖切时，得到的截面的形状可能是长方形； 平面截圆柱，横切就是圆形． 当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状可能是椭圆． 故答案为∶长方形，圆，椭圆（答案不唯一）． 5．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握长方体的表面展开图的特点是解题关键．先根据长方体的表面展开图求出原长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【规范解答】解：由图可知，原长方体的宽为，长为，高为， 则原长方体的体积是， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【答案】64 【思路引导】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．根据长方体的展开图求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可得． 【规范解答】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，下图是从正面看和从上面看的图形，则组成这个图形最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 【答案】 9 13 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，根据不同方向看的图形确定小正方体的个数是解题的关键．结合从正面看和从上面看的图形，分析并画出组成这个图形需要小正方体最少和最多的情况，即可得出答案． 【规范解答】解：当组成这个图形需要小正方体最少时，从上面看的图形如下（正方形内的数字表示小正方体实际的层数）： 此时小正方体个数为（个）； 当组成这个图形需要小正方体最多时，从上面看的图形如下（正方形内的数字表示小正方体实际的层数）： 此时小正方体个数为（个）； ∴综上所述，组成这个图形最少需要9个小正方体，最多需要13个小正方体． 故答案为：9；13． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ (1) (2) (3) 【答案】(1)左面的图形可能是右面B图形的展开图； (2)左面的图形可能是右面C图形的展开图； (3)左面的图形可能是右面A图形的展开图 【思路引导】本题考查了学生的空间想象能力．根据展开图中四个面上的图案结合各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可． 【规范解答】（1）解：五角星中间星对的是竖线，排除A；正方形中的三条线在几何体中是平行的，排除C；故左面的图形可能是右面B图形的展开图； （2）解：黄色小正方形的三个顶点相对的是三个黄色三角形的底边，排除A；黄色正方形在几何体中是相对的且只有一个和黄色小正方形相邻，排除B；故左面的图形可能是右面C图形的展开图； （3）解：空白正方形有两个是相对的，排除B；蓝色的小正方形与蓝色的条状相差2个小正方形，排除C；故左面的图形可能是右面A图形的展开图． 9．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了画从正面和从左面看到的几何体的形状图．根据题意利用空间想象能力观察得到本题答案即可． 【规范解答】解：∵从正面看有3列，最左边一列有4个正方形，中间一列有2个正方形，最左边一列有2个正方形，从左面看有3列，最左边一列有2个正方形，中间一列 有4个正方形，最右边一列有1个正方形， ∴从正面和从左面看到的这个几何体的形状图，如图所示： 10．（2025七年级上·广东·专题练习）用个棱长分米的正方体拼成一个几何体，按图的方式摆放在桌面上． (1)这个几何体覆盖桌面的面积是（ ）平方分米． (2)在这个几何体上又添加了两个棱长分米的正方体，得到一个新的几何体．从新几何体的前面看到的图形如图，从上面看到的图形和原来一样．在方格纸上画出从新几何体的上面和左面看到的图形． 【答案】(1) (2)画图见解析 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，正确识图是解题的关键． （）画出从上面看到的图形，再求出面积即可； （）由题意可知，添加的两个正方体一个放在左边第一列第一排，另外一个放在右边第一列正方体上，据此画出图形即可； 【规范解答】（1） 解：从上面看立体图形是， ∵正方体每个面的面积是（平方分米， ∴几何体覆盖桌面的面积是平方分米， 故答案为：； （2）解：画图如下： 培优拔高 11．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（综合运用）下面说法中，正确的是（     ）． A．男生比女生多，则女生比男生少 B．把一个长方形按的比放大，放大后的图形面积是原来的16倍 C．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的3倍 D．用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积一定减少 【答案】B 【思路引导】对每个选项分别进行分析，根据相关数学知识判断各选项的正确性．本题主要考查了分数的应用、图形的放大、圆柱与圆锥的体积关系以及正方体的表面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【规范解答】解：设女生人数为人，因为男生比女生多，所以男生人数为人． 则女生比男生少，所以A选项错误． 设原长方形的长为，宽为，则原面积为． 按放大后，长为，宽为，放大后的面积为． ，所以放大后的图形面积是原来的倍，B选项正确． 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，圆柱体积是圆锥体积的倍． 则削去部分的体积是圆柱体积的，是圆锥体积的倍，不是倍，所以C选项错误． 用个小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每个顶点处的小正方体都露出个面． 任意拿走一个小正方体后，会同时露出与原来相同的个面，所以表面积不变，D选项错误． 故选：B． 12．（24-25七年级上·天津·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义，利用左视图，俯视图，写出小正方体的个数，可得结论． 【规范解答】 A．从左面看到的形状图形有2层，下层有2个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； B． 从左面看到的形状图形有2层，下层有2个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； C． 从左面看到的形状图形有2层，下层有2个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； D．从左面看到的形状图形有2层，下层有2个，而上层正方形靠左边，与已知不符合，故本选项符合题意； 故选：D． 13．（2025·河南·模拟预测）如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方体的平面展开图，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐一减掉验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知，去掉小正方形①，如图： ∴可折成一个小正方体，故①不符合题意； 去掉小正方形②，如图： ∴可折成一个小正方体，故②不符合题意； 去掉小正方形③，如图： ∴可折成一个小正方体，故③不符合题意； 去掉小正方形④，如图： ∴不能折成一个小正方体，故④符合题意； 故选：D． 14． （2025七年级上·全国·专题练习）将图甲围成图乙的正方体，则在面 中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【答案】④ 【思路引导】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【规范解答】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 【答案】32 【思路引导】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的特点是解题关键．先求出大等腰直角三角形板的边长为4，再求出大正方形的面积，由此即可得． 【规范解答】解：∵七巧板中的那块小正方形的面积为4， ∴七巧板中的那块小正方形的边长为2， ∴七巧板中的那块大等腰直角三角形的边长为， ∴图中利用七巧板拼成的大正方形的面积为， ∴拼出的“灵蛇开运”图的面积是32， 故答案为：32． 16．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、七巧板问题的求解等知识与方法，正确地找出组成图中阴影部的图形与图中的对应图形是解题的关键． 由题意可知四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，则，所以，求得，而平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，所以，因为图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， 、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积， ， ∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成， ， 故答案为： 17．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；1 (2)， 【思路引导】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【规范解答】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的侧面积为：； 该几何体的体积． 18．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个，画图见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一）． （2）解：如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 19．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________． A．        B． C．        D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 3 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用． 【答案】(1) (2)C (3)见解析 【思路引导】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴． （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故选：C． （3）解：①只选型号Ⅰ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅰ卡纸可以制作这样的礼品盒2个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 则需要的费用为：（元）； ②只选型号Ⅱ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅱ卡纸可以制作这样的礼品盒3个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 则需要的费用为：（元）； ③用1张型号Ⅰ卡纸，3张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ④用2张型号Ⅰ卡纸，2张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ⑤用4张型号Ⅰ卡纸，1张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）． 20．（24-25七年级上·北京东城·期末）新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 【答案】(1)B (2)①2，3；②1，1，2，23 【思路引导】（1）根据几何体的展开图即可求解； （2）①分别在型号Ⅱ的卡纸上画出最多的心愿语盒A和心愿语盒B的展开图即可得出答案； ②由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作6个心愿语盒B，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，即可求解． 【规范解答】（1）解：心愿语盒B的底面和对应的顶面都是由两个长方形拼合成，只有展开图2有长方形， ∴展开图2可以围成心愿语盒B， 故答案为：B； （2）解：①如图，一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出2个心愿语盒A的展开图，或3个心愿语盒B的展开图； 故答案为：2，3； ②如图，型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每张卡纸可制作不到6个心愿语盒A，则每个心愿语盒A成本大于， 由①得型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， ∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸1张，型号Ⅰ卡纸1张，则（个），此时总成本最低， ∴所用卡纸总费用为：（元）． ∴我的方案是：型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张，所选卡纸的总成本是23元． 故答案为：1，1，2，23． 【考点剖析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 从立体图形到平面图形 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 2 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 2 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 3 知识点梳理04：几何体的截面 4 知识点梳理05：从三个方向看几何体 4 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 5 优选题型 考点讲练 6 考点1：从不同方向看几何体 6 考点2：几何体展开图的认识 7 考点3：由展开图计算几何体的表面积 8 考点4：由展开图计算几何体的体积 10 考点5：正方体几种展开图的识别 11 考点6：正方体相对两面上的字 13 考点7：含图案的正方体的展开图 13 考点8：求展开图上两点折叠后的距离 14 考点9：补一个面使图形围成正方体 14 考点10：截一个几何体 15 考点11：平面图形形状的识别 16 考点12：用七巧板拼图形 17 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 21 知识点梳理01：正方体的展开与折叠 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到 11 种不同的展开图 . 类型  图示  口诀  数量 一四一型 中间四方连，两侧各一个  6 种 二三一型(或一三二型)  中间三方连，两 侧 各 有 两个、一个 3 种 二二二型  中间二方连，两侧各两个  1 种 三三型 两排各三个，中间成一“日”  1 种 知识点梳理02：棱柱的展开与折叠 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 . 几种常见棱柱的展开图： 名称  三棱柱  长方体 五棱柱  六棱柱 立体图形 展开图 (举例) 知识点梳理03：圆柱、圆锥的展开与折叠 1. 圆柱的表面展开图  由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高 . 侧面展开图如图 ①所示，表面展开图如图 ②所示. 2. 圆锥的表面展开图  由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 . 侧面展开图如图①所示，表面展开图如图 ②所示. 特别解读 几何体与其表面展开图的联系： (1)一个几何体可以有多种表面展开图，如正方体，根据剪开的方式不同其表面展开图也不同； (2) 不是所有几何体都可以展开，如球就不能展开 . 知识点梳理04：几何体的截面 正方体的几种截面形状 圆柱的几种截面形状 圆锥的几种截面形状 三棱柱的几种截面形状 球的截面 形状 截面  用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 . 知识点梳理05：从三个方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看 . 2. 常见的几何体从不同方向看到的形状图 从不同方向看 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 知识点梳理06：画从三个方向看到的几何体的形状图 从不同方向看  特点  图例 从正面看 能 看 到 几 何体的长和高 看到的图形有上、下两 层， 排 成 左、 中、右三列，如右图所示 从左面看 能 看 到 几 何体的高和宽 看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示 从上面看 能 看 到 几 何体的长和宽 看到的图形有三列、两行，如右图所示 哎 考点1：从不同方向看几何体 【典例精讲】（24-25七年级上·广东深圳·期末）鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看形状图； (2)想不改变从三个方向看的形状图，在几何体上最多可以添加___________个相同的正方体． 考点2：几何体展开图的认识 【典例精讲】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【变式训练】（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 考点3：由展开图计算几何体的表面积 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【变式训练】（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 考点4：由展开图计算几何体的体积 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【变式训练】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 考点5：正方体几种展开图的识别 【典例精讲】（24-25七年级上·河北保定·期中）图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整； (2)如果正方体纸盒的棱长是2分米，求涂色部分的面积． 【变式训练】（24-25七年级上·江西吉安·期中）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为_______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 考点6：正方体相对两面上的字 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（   ）． A．我 B．中 C．国 D．梦 【变式训练】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 考点7：含图案的正方体的展开图 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 考点8：求展开图上两点折叠后的距离 【典例精讲】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【变式训练】（22-23七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点9：补一个面使图形围成正方体 【典例精讲】（22-23七年级上·山西阳泉·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题： 观察判断： 小明共剪开了___________条棱； 动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形： 解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【变式训练】（20-21七年级上·陕西西安·阶段练习）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 考点10：截一个几何体 【典例精讲】（24-25六年级上·山东青岛·期末）如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【变式训练】（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 考点11：平面图形形状的识别 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【变式训练】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 考点12：用七巧板拼图形 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【变式训练】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 1．（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 2．（2023·浙江杭州·中考真题）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子， 他先用 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图（实线部分）， 经折叠后发现还少一个面． 请你在图中的拼接图形上再接一个正方形， 使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 4．（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 ． 5．（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(   ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥 基础夯实 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（正方体的应用）一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数的和为18，小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这面的数是（     ）． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（正方体展开图）下列展开图中，（     ）不能围成正方体． A．B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图正方体展开图的六个面写着习近平总书记的六字金句“祖国必须统一”，把展开图折叠成正方体后，有“必”字的面相对的那个面上的字是（   ） A．祖 B．国 C．统 D．一 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用一个平面去截一个圆柱，得到的截面有哪些形状？ （至少写三种）． 5．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 ． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，下图是从正面看和从上面看的图形，则组成这个图形最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ (1) (2) (3) 9．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 10．（2025七年级上·广东·专题练习）用个棱长分米的正方体拼成一个几何体，按图的方式摆放在桌面上． (1)这个几何体覆盖桌面的面积是（ ）平方分米． (2)在这个几何体上又添加了两个棱长分米的正方体，得到一个新的几何体．从新几何体的前面看到的图形如图，从上面看到的图形和原来一样．在方格纸上画出从新几何体的上面和左面看到的图形． 培优拔高 11．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（综合运用）下面说法中，正确的是（     ）． A．男生比女生多，则女生比男生少 B．把一个长方形按的比放大，放大后的图形面积是原来的16倍 C．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的3倍 D．用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积一定减少 12．（24-25七年级上·天津·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形不可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南·模拟预测）如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 14． （2025七年级上·全国·专题练习）将图甲围成图乙的正方体，则在面 中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 16．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 17．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 18．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 19．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________． A．        B． C．        D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 3 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用． 20．（24-25七年级上·北京东城·期末）新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$