专题05 直线与圆的位置关系十三类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题05 直线与圆的位置关系 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断直线和圆的位置关系 1 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 2 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 3 题型四、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 4 题型五、求直线平移到与圆相切时运动的距离 5 题型六、切线的应用 6 题型七、有关切线的概念辨析 8 题型八、判断或补全使直线为切线的条件 8 题型九、证明某直线是圆的切线（常考题） 10 题型十、切线的性质定理 11 题型十一、应用切线长定理求解（重点） 13 题型十二、应用切线长定理求证 14 题型十三、过圆外一点作圆的切线 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 2．的半径是，圆心O到直线a的距离为，直线a与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 3．已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 5．如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 9．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 10．如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 13．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 14．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ． 题型四、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 16．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 17．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    18．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 19．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 20．如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 题型五、求直线平移到与圆相切时运动的距离 21．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 22．如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ． 24．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 25．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 题型六、切线的应用 26．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 28．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 29．小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ． 30．某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？    题型七、有关切线的概念辨析 31．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 32．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 33．下列四个选项中的表述，一定正确的是（    ） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 34．下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 35．（18-19九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 题型八、判断或补全使直线为切线的条件 36．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 37．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 38．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 39．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 40．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 题型九、证明某直线是圆的切线 41．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点A作垂直交其延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 42．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知，求的面积． 43．如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 44．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M、的半径为10，求的长． 45．如图，以的一边为直径作与边的交点恰好为的中点，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值． 题型十、切线的性质定理 46．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 47．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 48．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ． 49． 将尺规作图与圆相结合 如图，已知，点O为射线上一点，以为半径画圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中所作图形的条件下，点E为射线上一点，连接，若与相切于点，求证：． 50．如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数． 题型十一、应用切线长定理求解 51．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 52．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（   ） A．， B．0， C．， D．0， 53．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 54．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 55．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 题型十二、应用切线长定理求证 56．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 57．已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 58．如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点． (1)求证：； (2)连接交于点．若的半径为，求的长． 59．如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 60．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 题型十三、过圆外一点作圆的切线 61．数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 62．在学习完《直线与圆的位置关系》，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线PQ，使PQ与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接OP，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）： ②作直线AB交OP于点C： ③以点C为圆心，CO为半径作，交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）； ④连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明PQ是切线的理由； (3)若⊙O半径为5，，求OD的长． 63．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高； (2)在图②中作出的中位线； (3)在图③中作出的切线． 64．已知：点是外一点． (1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 65．如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 1．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 2．（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 4．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 8．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 9．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 10．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与圆的位置关系 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断直线和圆的位置关系 1 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 3 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 6 题型四、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 8 题型五、求直线平移到与圆相切时运动的距离 12 题型六、切线的应用 17 题型七、有关切线的概念辨析 21 题型八、判断或补全使直线为切线的条件 23 题型九、证明某直线是圆的切线（常考题） 28 题型十、切线的性质定理 35 题型十一、应用切线长定理求解（重点） 39 题型十二、应用切线长定理求证 42 题型十三、过圆外一点作圆的切线 48 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 2．的半径是，圆心O到直线a的距离为，直线a与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解析】解：的半径是，圆心O到直线a的距离为，且， ∴直线a与⊙O的位置关系是相离． 故选：C． 3．已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【解析】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【解析】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 5．如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 【答案】 1 【解析】解：（1）当时， ∵，即， ∴直线与圆相离， 又 则， （2）将时的直线向下平移， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，， 故答案为：1，． 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 7．四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【解析】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 9．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【解析】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 10．如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点 【解析】解：作于点N，如图， ∵， ∴， ∴当时，与射线OA只有一个公共点； 当时，与射线OA没有公共点； 当时，与射线OA有两个公共点； 当时，与射线OA只有一个公共点． ∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点． 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 12．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 13．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 14．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 15．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵与直线a至多只有一个公共点， ∴与直线a相离或相切， ∵的半径为4， ∴． 故答案为： 题型四、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 16．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【解析】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 17．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【解析】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【解析】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 19．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【解析】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 20．如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 【答案】 【解析】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 题型五、求直线平移到与圆相切时运动的距离 21．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【解析】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 22．如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，如图， 过的直线是的切线， 垂直于切线， 延长交于，则， 在矩形中，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 的最大面积， 故选：C． 23．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ． 【答案】9 【解析】解：设直线的解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 、， ， 线段的中点坐标为， 以为斜边在右上方作，点， 点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动， ∵以为斜边在右上方作． ∴点C在第一象限， ，， 设直线，， 整理得：， 求的最大值，就是求的最大值， 直线与轴的交点坐标为， 当直线与圆相切时，取到最大值，此时t取得最大值，如图所示，过点B作， ∵直线的解析式为， ∴ ∵直线与圆相切 ∴ ∵ ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ，， ， 解得， 的最大值是9． 故答案为：9． 24．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【解析】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 25．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 题型六、切线的应用 26．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 27．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【解析】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 28．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【解析】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 29．小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，表示圆形城堡，连接， 由题意可知，切于点D，切于点C，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，∴城堡的外围周长． 故答案为：． 30．某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？    【答案】 【解析】解：如图，在上截取，则在过，且与地面平行的直线上，    当过，，的与相切时，最大， 过作，则， ， ， 栅栏应摆放在距的位置． 题型七、有关切线的概念辨析 31．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【解析】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 32．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 【答案】D 【解析】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； B、∵∠B﹣∠C＝∠A， ∴∠B＝∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； C、∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； D、∵⊙A与AC的交点是AC中点， ∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°， ∴不能判定BC是⊙A切线； 故选：D． 33．下列四个选项中的表述，一定正确的是（    ） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线， 故A，B，D选项不正确，C选项正确， 故选：C． 34．下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 【答案】D 【解析】解：A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误； C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，原命题正确． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的切线的定义和切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 35．（18-19九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【解析】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 题型八、判断或补全使直线为切线的条件 36．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【解析】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 37．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 38．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【解析】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 39．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【解析】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 40．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【解析】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 题型九、证明某直线是圆的切线 41．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点A作垂直交其延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作于F， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 42．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知，求的面积． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2) 【解析】（1）解：直线与相切． 理由如下：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴的面积． 43．如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)． 【解析】（1）证明：如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点作与， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为； （3）解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 44．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M、的半径为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．如图，以的一边为直径作与边的交点恰好为的中点，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接，如图， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ， ， ， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ， ∵点为的中点，即垂直平分， ，， ， ． 题型十、切线的性质定理 46．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】C 【解析】解：当时，， 当时，， ， 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， ，， 在中， ， 如图，设与直线轴相切于点，连接，， ，， 设， ． ， ， 解得， ． 故选：C． 47．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 则． 故选：B． 48．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ． 【答案】42 【解析】解：如图，连接，， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：42． 49． 将尺规作图与圆相结合 如图，已知，点O为射线上一点，以为半径画圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中所作图形的条件下，点E为射线上一点，连接，若与相切于点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【解析】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ， 是的切线， ， ． 50．如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数． 【答案】 【解析】解：连接，   为的切线， ， ， 又， ， ， ∴． 题型十一、应用切线长定理求解 51．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【解析】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 52．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（   ） A．， B．0， C．， D．0， 【答案】D 【解析】解：如图，连接． ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 53．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【解析】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 54．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 【答案】 【解析】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 55．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 【答案】/24厘米 【解析】解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案为：． 题型十二、应用切线长定理求证 56．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 57．已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【解析】（1）解：连接交于点Q． 分别与相切， ∴，， 则垂直平分，即， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． 设， 则，， ∴． 设， 则，， ∴， ∴， ∴ ∴． 58．如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点． (1)求证：； (2)连接交于点．若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：为的切线， ． ． ． ， ． （2）解：如图，连接． 由（1）可得， 是的直径． 是的切线， ． ． ， ． ， ． ． ． 在中，， ． 在中， 由（1）可得，， 为的中点． 为的中点， ． ， ． ． ． ． 在中，， ． 59．如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30度 【解析】（1）证明：、分别切圆于、， ，． 又， ， ，即点是的中点． （2）点是的中点 ， 垂直平分，连接，则， 由（1）得， 是等边三角形， 是圆的切线， ， 60．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见解析 【解析】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 题型十三、过圆外一点作圆的切线 61．数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角为直角 【解析】（1）解：如图，直线即为所求的切线． （2）解：由作图知是的内接三角形，且是的直径， 则，即， 是的半径， 是的切线， 故作图的依据是：直径所对的圆周角为直角． 62．在学习完《直线与圆的位置关系》，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线PQ，使PQ与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接OP，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）： ②作直线AB交OP于点C： ③以点C为圆心，CO为半径作，交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）； ④连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明PQ是切线的理由； (3)若⊙O半径为5，，求OD的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）解：画图：如图所示． ； （2）证明：由题意，得：为的直径， ∴． ∴． ∵为的半径， ∴直线为的切线； （3）解：连接OD． ∵，， 在中，． 由作图可知：为的垂直平分线， ∴． 设．， 在中，， ∴． 解得． 即：． 63．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高； (2)在图②中作出的中位线； (3)在图③中作出的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解析】（1）解：如图，是边上的高； （2）解：如图，是的中位线； （3）解：如图，是⊙O的切线 64．已知：点是外一点． (1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或． 【解析】（1）解：如图即为所求作； （2）解：如图，连接、， 四边形内接于，， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 综上可知，的度数为或． 65．如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【解析】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，如图： 设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 1．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 2．（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 【答案】 75 15 【解析】解：∵等腰中，， ∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为． 故答案为，． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 【答案】 【解析】解：设， 则， ∵， ∴， ∴，且， 故点的运动轨迹为以4为半径的， 在中，令，则，即， 令，则，即， 则， 当的图象与只有1个交点时， 即与的图象相切， 此时， 如图，则，即， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【解析】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解∶如图， 即为所求， 6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明；如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M， 设，则， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【解析】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 8．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【解析】（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 9．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 10．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【解析】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$