专题01 圆的对称性九类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题01 圆的对称性（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求值（常考题） 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 2 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 3 题型四、垂径定理的推论 4 题型五、垂径定理的实际应用 5 题型六、圆心角概念辨析及简单运算 6 题型七、利用弧、弦、圆心角的关系求解（重点） 7 题型八、利用弧、弦、圆心角的关系求证 8 题型九、求圆弧的度数 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求值 1．如图，在中，、为的两条弦，，，垂足为、，连接，若，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的弦，半径，， 则弦的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，的半径为，于点，，则弦 （ ） A． B． C． D． 4．如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 5．的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 6．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 7．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 8．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 9．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 10．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 12．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 13．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 题型四、垂径定理的推论 15．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 16．如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 17．如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 题型五、垂径定理的实际应用 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 21．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 22．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 23．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 题型六、圆心角概念辨析及简单运算 25．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   26．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等 B．同圆中，所有半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相同的弧是等弧 27．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 28．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 题型七、利用弧、弦、圆心角的关系求解 29．如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 31．如图，在中，点是的中点，，则等于 ． 32．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 33．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 题型八、利用弧、弦、圆心角的关系求证 34．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 35．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 36．如图，在中，，于，于．求证：． 37．如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果，那么 ， ． （2）如果，那么 ， ． （3）如果，那么 ， ． 38．如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 题型九、求圆弧的度数 39．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 41．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 42．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 43．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，直径于点，为上一点，交于点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西榆林·三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 5．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 7．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 8．（2020·青海·中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 9．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 10．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆的对称性（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求值（常考题） 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 8 题型四、垂径定理的推论 11 题型五、垂径定理的实际应用 13 题型六、圆心角概念辨析及简单运算 17 题型七、利用弧、弦、圆心角的关系求解（重点） 19 题型八、利用弧、弦、圆心角的关系求证 22 题型九、求圆弧的度数 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求值 1．如图，在中，、为的两条弦，，，垂足为、，连接，若，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴，，，即A选项、B选项说法正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∴，即C选项说法正确， 不能确定的度数，故D选项说法错误． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的弦，半径，， 则弦的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过作于C． 则， ∵ ， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，的半径为，于点，，则弦 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接，则：， ∵于点，， ∴； 故选C． 4．如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【解析】解：过P点作于H点，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】解：①在圆心的同侧，如图①，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； ②在圆心的异侧，如图②，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； 综上，和的距离是或． 故选：C． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 6．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【解析】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 7．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【解析】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 8．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【解析】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 9．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【解析】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 10．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【解析】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 12．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 13．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【解析】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 题型四、垂径定理的推论 15．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 16．如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 17．如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 18．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 19．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 题型五、垂径定理的实际应用 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 【答案】B 【解析】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 21．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为， 由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示： 由垂径定理可知，且， 设的半径为， 在中，，，，，由勾股定理可得， 解得， 故选：B． 22．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 23．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，， ， ， ， 故选：A 24．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接 ， 设 ，即 解得： 故选：B． 题型六、圆心角概念辨析及简单运算 25．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 26．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等 B．同圆中，所有半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相同的弧是等弧 【答案】D 【解析】A、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A不符合题意． B、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B不符合题意． C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C不符合题意． D、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，正确判断每个选项是否符合圆的基本性质是解答本题的关键． 27．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：过作于，由题意得， ， ∴， ∵， ， ， ∴， 故选：C． 28．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解析】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 题型七、利用弧、弦、圆心角的关系求解 29．如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 30．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 31．如图，在中，点是的中点，，则等于 ． 【答案】/50度 【解析】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴， 故答案为：． 32．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 33．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【答案】 【解析】解：， ， ， ， ． 题型八、利用弧、弦、圆心角的关系求证 34．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 35．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【解析】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 36．如图，在中，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴平分， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 37．如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果，那么 ， ． （2）如果，那么 ， ． （3）如果，那么 ， ． 【答案】 【解析】解：（1）如果，那么，； 故答案为：，； （2）如果，那么，； 故答案为：，； （3）如果，那么，． 故答案为：，． 38．如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 题型九、求圆弧的度数 39．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 40．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 41．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 42．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【解析】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 43．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【解析】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，直径于点，为上一点，交于点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过B作于点F，连接， ∵， ∴由垂径定理可知， ∵为直径， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 如图：延长交于点D，连接， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 4．（2025·陕西榆林·三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 【答案】C 【解析】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接， 由题意得：，，， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：，（舍去）， 即米． 故选：C． 5．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 【答案】2 【解析】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 7．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2020·青海·中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】7或1． 【解析】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，    过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm， 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE═4cm， 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm． 故答案为：7或1． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 9．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 【答案】 【解析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$