专题03 确定圆的条件七类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题03 确定圆的条件（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断确定圆的条件 1 题型二、确定圆心(尺规作图)（常考题） 3 题型三、求能确定的圆的个数 6 题型四、画圆(尺规作图)（重点） 8 题型五、反证法证明中的假设 12 题型六、用反证法证明命题 13 题型七、正多边形与圆的综合（难点） 15 题型八、求正多边形的中心角 18 题型九、已知正多边形的中心角求边数 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断确定圆的条件 1．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 2．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 5．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 题型二、确定圆心(尺规作图) 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 8．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 9．如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    10．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 题型三、求能确定的圆的个数 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 12．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 15．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 题型四、画圆(尺规作图) 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，请利用尺规作图法作出的外接圆．（保留痕迹，不写作法） 17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 18．如图，已知，做，使它过点、、（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 20．（1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，则外接圆的面积为 ．（结果保留） 题型五、反证法证明中的假设 21．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（    ） A． B．点在外 C． D．点在上或点在内 22．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 24．用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设 ． 25．用反证法证明命题“如果，，那么”时，第一步应假设 ． 题型六、用反证法证明命题 26．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 27．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 28．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 29．如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 30．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 题型七、正多边形与圆的综合 31．如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 32．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（   ） A．2mm B． C． D．4mm 33．如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为__________ ． 34．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    题型八、求正多边形的中心角 35．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．      36．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度． 37．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则 度． 38．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可） 题型九、已知正多边形的中心角求边数 39．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 40．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．8 B．12 C．3 D．6 41．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）． A． B． C． D． 42．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n= . 1．（2025·上海闵行·二模）如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ． 3．（2025·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 7．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 8．（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】 （1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则 ； （2）如图2，将边长为1的的正方形网格如图所示放置在直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ； 【探索】 （3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，与交于E，则 ； （4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在中，恰好经过格点A、B、C，的半径为 ． 9．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 10．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 确定圆的条件（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断确定圆的条件 1 题型二、确定圆心(尺规作图)（常考题） 3 题型三、求能确定的圆的个数 6 题型四、画圆(尺规作图)（重点） 8 题型五、反证法证明中的假设 12 题型六、用反证法证明命题 13 题型七、正多边形与圆的综合（难点） 15 题型八、求正多边形的中心角 18 题型九、已知正多边形的中心角求边数 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断确定圆的条件 1．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【解析】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 3．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【解析】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 5．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 【答案】2 【解析】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 题型二、确定圆心(尺规作图) 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】解：圆心O如图． 8．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 9．如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    【答案】见解析 【解析】解：如图所示，    连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，得到两个交点，连接两交点得到线段的垂直平分线，交圆弧于点，交于点， 同理，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接， ∴即为所求． 10．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【解析】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 题型三、求能确定的圆的个数 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【解析】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 12．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 13．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【解析】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 15．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【解析】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 题型四、画圆(尺规作图) 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，请利用尺规作图法作出的外接圆．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图，即为所求作的图形， ∵在中，， ∴为外接圆的直径． ∵作的垂直平分线，交于点， ∴点为中点，即外接圆的圆心． ∵以为圆心，为半径作圆， ∴即为的外接圆． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 【答案】答案见详解 【解析】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求， 18．如图，已知，做，使它过点、、（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见解析 【解析】解：如图所示，即为所求 19．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 【答案】(1)图见解析 (2)的半径为 【解析】（1）解：如图，为所作； ∵为的弦，垂直平分， ∴必过圆心， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴E点是切点， ∴是的弦， ∴、的垂直平分线的交点就是圆心，长就是半径， 因此即为所求； （2）解： ∵四边形是正方形， ，， ∵垂直平分， ，且， 四边形为矩形， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 20．（1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，则外接圆的面积为 ．（结果保留） 【答案】（1）图见解析（2） 【解析】解：（1）如图，即为所求； （2）连接，则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为：． 故答案为： 题型五、反证法证明中的假设 21．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（    ） A． B．点在外 C． D．点在上或点在内 【答案】D 【解析】原命题结论为“点在外”，其否定应为“点不在外”． 根据圆的基本性质，点与圆的位置关系仅有三种：当时在圆外，时在圆上，时在圆内． 因此，“点不在圆外”等价于“点在圆上或圆内”． 选项中对应此否定的为选项D，故首先应假设D成立． 故选：D． 22．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 第一步应是假设， 故选：A． 23．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 【答案】C 【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于， 故选：C． 24．用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设 ． 【答案】不在同一直线上的三点不能确定一个圆 【解析】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设不在同一直线上的三点不能确定一个圆； 故答案为：不在同一直线上的三点不能确定一个圆 25．用反证法证明命题“如果，，那么”时，第一步应假设 ． 【答案】 【解析】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 题型六、用反证法证明命题 26．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 27．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 故选：B． 28．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【解析】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 29．如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【解析】证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． 30．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 【答案】③①②⑤④ 【解析】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④ 题型七、正多边形与圆的综合 31．如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 32．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（   ） A．2mm B． C． D．4mm 【答案】D 【解析】连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 33．如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 【答案】 【解析】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H， ， 是的切线， ， 多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点O作于点M， ， ， 的半径长为， 故答案为：． 34．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    【答案】 【解析】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，   在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 题型八、求正多边形的中心角 35．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．    【答案】10 【解析】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10．    36．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度． 【答案】12 【解析】连接AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°， 故答案为：12． 37．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则 度． 【答案】80 【解析】解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°， ∴． 故答案为：80 38．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可） 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可） 【解析】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角， ， 角可以为或或或或， 故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）． 题型九、已知正多边形的中心角求边数 39．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】18 【解析】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 40．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．8 B．12 C．3 D．6 【答案】B 【解析】解：，解得． 这个正多边形的边数为12． 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 41．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为． 考点：正多边形的中心角定义及求法． 42．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n= . 【答案】15. 【解析】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边， ∴∠AOC=360°÷6=60°， ∵BC是⊙O的内接正十边形的一边， ∴∠BOC=360°÷10=36°， ∴∠AOB=60°-36°=24°， 即360°÷n=24°，∴n=15， 故答案为15. 1．（2025·上海闵行·二模）如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 【答案】A 【解析】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ． 【答案】 /度 / 【解析】解：如图，设相交于点， 在中，，， 绕点沿顺时针方向旋转后得到， ，，， ，， ， ， ， ； 设到的距离为， ，以为底边，当最大时，面积的最大， ， 四点共圆， ， 为此圆直径， 当垂直且通过圆心时，的值最大， 此时， 面积的最大值为； 故答案为：，． 3．（2025·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接， 正五边形内接于， ， 的长， 故选：A． 4．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【解析】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【解析】解：由题意得，该正多边形的中心角为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：12． 7．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形． 由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 8．（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】 （1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则 ； （2）如图2，将边长为1的的正方形网格如图所示放置在直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ； 【探索】 （3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，与交于E，则 ； （4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在中，恰好经过格点A、B、C，的半径为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】解：（1）如图1，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与交于点C， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据圆的性质，得圆心一定在线段得垂直平分线上， ∵ ∴， 设圆心的坐标为， ∵ ∴， 解得， 故圆心的坐标为， 故答案为：． （3）如图，∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故 故答案为：． （4）设圆的圆心为点O，则点O一定在的垂直平分线上， 与的交点为D， 根据题意，得，，， 设圆的半径为r，， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 9．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【解析】解：由题意，作图如下，即为所求； 10．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）； 【解析】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆； （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$