专题06 弧长及扇形面积的计算八类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题06 弧长及扇形面积的计算 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求弧长 1 题型二、求扇形半径 2 题型三、求圆心角 2 题型四、求某点的弧形运动路径长度 3 题型五、求扇形面积（重点） 4 题型六、求图形旋转后扫过的面积 5 题型七、求弓形面积（常考点） 6 题型八、求其他不规则图形的面积（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求弧长 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 4．已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为 ． 5．半径为的圆中，圆心角所对的弧长是 ． 题型二、求扇形半径 6．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 7．在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 9．如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 10．若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 题型三、求圆心角 11．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 12．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 13．若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 14．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 15．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 题型四、求某点的弧形运动路径长度 16．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为 ． 18．如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点所走路径的长度为 ． 19．如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 20．桔槔俗称“吊杆”“称杆”．如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2，这是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．设点A从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，） (1)求此时水桶B所经过的路径长； (2)求此时水桶B上升的高度． 题型五、求扇形面积 21．（24-25九年级上·广东茂名·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 22．（24-25九年级上·福建福州·期末）半径为2的圆中，圆心角所对的扇形的面积为 ． 23．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 24．（24-25九年级上·广东广州·期末）山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图 ① 是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计  图如图 ② 所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若 ，，则阴影部分的面积为 （结果用含π 的代数式表示） 25．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点A，B，C是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为 ． 题型六、求图形旋转后扫过的面积 26．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 29．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 30．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 题型七、求弓形面积 31．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 32．如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 33．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 34．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是 ． 35．图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 题型八、求其他不规则图形的面积 36．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 37．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 38．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 39．如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若，，则阴影部分的面积为 ． 1．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 2．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·中考真题）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度． 5．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 8．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 9．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 10．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 弧长及扇形面积的计算 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求弧长 1 题型二、求扇形半径 2 题型三、求圆心角 4 题型四、求某点的弧形运动路径长度 6 题型五、求扇形面积（重点） 9 题型六、求图形旋转后扫过的面积 11 题型七、求弓形面积（常考点） 14 题型八、求其他不规则图形的面积（难点） 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求弧长 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：扇形的弧长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是圆的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为 故选：A． 3．如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为， 的长为， 故选：A． 4．已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为 ． 【答案】 【解析】解：弧长为． 故答案为：． 5．半径为的圆中，圆心角所对的弧长是 ． 【答案】 【解析】解：半径为的圆中，圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 题型二、求扇形半径 6．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 7．在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 【答案】6 【解析】解：根据题意得到，， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的半径为， 故答案为：6 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【解析】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 9．如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【解析】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 10．若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】 【解析】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 题型三、求圆心角 11．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是， 故选：B． 12．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设旋转的角度为， 根据题意得，， 解得， 所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为． 故选：D． 13．若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设圆心角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：D． 14．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】 【解析】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 15．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型四、求某点的弧形运动路径长度 16．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 17．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为 ． 【答案】 【解析】解：由题意，， ∴点A经过的路径长度为， 故答案为：． 18．如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点所走路径的长度为 ． 【答案】 【解析】解：第一次是以B为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次走过的路径是． 第三次是以A为旋转中心，长为半径旋转， 此次走过的路径是． ∴点从起始位置翻滚一周后所经过的长度 ． 故答案为：． 19．如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，连接，设交于点， ∵点关于的对称点是点， ∴垂直平分， ∴，， 当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示， ∴， ∴， ∴点的路径长为， 故答案为： ． 20．桔槔俗称“吊杆”“称杆”．如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2，这是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．设点A从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，） (1)求此时水桶B所经过的路径长； (2)求此时水桶B上升的高度． 【答案】(1)1.7米 (2)1.6米 【解析】（1）解：∵米，， ∴米， ∴水桶B所经过的路径为圆心角度数为54.5度，半径为1.8米的弧长， ∴（米）． （2）解：如图，过点O作，过点B作于点C，过点作于点D． ∵，，， ∴，， ∴，． ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度约为1.6米． 题型五、求扇形面积 21．（24-25九年级上·广东茂名·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【解析】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为. 故答案为：． 22．（24-25九年级上·福建福州·期末）半径为2的圆中，圆心角所对的扇形的面积为 ． 【答案】 【解析】解：， ∴的圆心角所对的扇形的面积为． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 24．（24-25九年级上·广东广州·期末）山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图 ① 是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计  图如图 ② 所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若 ，，则阴影部分的面积为 （结果用含π 的代数式表示） 【答案】 【解析】解：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点A，B，C是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：∵点，，是上的点， ∴ ∵的半径为 ∴阴影部分（扇形）的面积 故答案为：． 题型六、求图形旋转后扫过的面积 26．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 27．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 28．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 29．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【解析】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 30．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【答案】 【解析】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 题型七、求弓形面积 31．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 32．如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 33．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 34．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是 ． 【答案】 【解析】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故答案为：． 35．图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：如图，标记圆心及点，连接，． 根据题意，知． 设弓形的面积为， 则 故答案为：． 题型八、求其他不规则图形的面积 36．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意可知，则， 设，， ， ，即， ， 故选：D． 37．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示，连接，三点共线    ∵四边形是正方形，点分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴弓形弓形， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 38．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【解析】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，设与交于点G 在矩形中， ， ∵， ∴， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：连接，， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 1．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【解析】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 2．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·吉林长春·中考真题）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度． 【答案】 【解析】解：设扇形的圆心角度数为，半径为， 由题意得， 解得：， 故答案为：． 5．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 8．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：如图，连接， 在中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的长； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【解析】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 10．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【解析】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$