21.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

21.2 一元二次方程的解法（特殊的一元二次方程的解法（直接开平方法）） 题型一、直接开平方法解方程的简单运用 1．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，即可解答． 【详解】解： ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 2．方程的实数解为 ． 【答案】 ； 【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出，舍去负值后进一步开平方即可． 【详解】解：移项后可得： 或（舍） 故答案为： ． 【点睛】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将方程逐步转化为(n为偶数，a为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，注意解题过程中不符合条件的值舍去即可． 3．方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 这个式子先移项，变成，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 直接开平方，得 ， ； ，； 故答案为：，． 4．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二二次方程，先把方程化简成，再直接开平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 5．解方程 【答案】，． 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程．移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 整理得， 开方得， 解得，． 6．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ∴， ∴． 7．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据直接开方法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，． 题型二、直接开平方解含双括号的一元二次方程 8．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 9．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得：． 题型三、能够直接开平方法的方程特征 10．已知方程的解是有理数，那么对于下列实数m不能取的数是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】分别将各项的值代入，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：A、当时，，解得，方程的解为有理数，故本选项不符合题意； B、当时，，解得，方程的解为有理数，故本选项不符合题意； C、当时，，解得，方程的解为有理数，故本选项不符合题意； D、当时，，解得，方程的解不是有理数，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 11．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 【详解】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 12．关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了方程有根的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据题意，得，自主选择一个该范围内的数即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故答案为：2（答案不唯一）． 13．已知一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解出这个方程． 【答案】取时， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键掌握开平方法解方程，先选择的值，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：根据一元二次方程可知，当时可用直接开平方法， ∴， 则，即， ， 解得：． 题型四、方程中的含参问题 14．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0． 15．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（    ） A． B．2 C． D．以上选项都不对 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键． 16．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∵， ∴ 故选：D ． 17．关于x的方程有一根是，则关于y的方程的解是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的根，以及一元二次方程的解法．把代入就可以得到一个关于a的方程，从而求出a的值，代入得出关于y的方程，解方程就可求出y的值． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：， 把代入得， ， 解得． 故选C． 18．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数． 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴， 解得：， ， 代入得：， 解得， 故选：B． 19．已知方程的一个实数根为，则另一个实数根为 ． 【答案】 【分析】把代入原方程，求解 再把的值代入原方程解方程即可得到答案． 【详解】解：把代入原方程： 所以：方程的另一根为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 题型一、几何问题 20．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【答案】A 【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可． 【详解】解：解方程，得． 当腰长为4，底边长为2时，其周长为； 当腰长为2，底边长为4时，因为，所以此时不能构成三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 21．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 题型二、换元法（整体思想） 22．已知是实数，且满足，那么的值是 ． 【答案】 【分析】由方程的特点，设，原方程可化为，解方程即可. 【详解】设，原方程可化为， 整理得：， 解得：或， 当时，，无解， 的值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，换元法是借助引用辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法，这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观. 23．已知实数，满足方程，则 A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1 【答案】A 【分析】两边同时开平方后移项得到答案 ． 【详解】=±2，，可得两个根，舍去-3，得答案3． 【点睛】本题考查了方程的解法以及根的取舍，熟悉掌握是解题的关键． 24．若实数a、b满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】利用平方根的含义求解再利用非负数的性质可得答案． 【详解】解：， 或， 又 故答案为： 【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键． 25．已知方程，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型三、完全平方与直接开平方的综合运用 26．若二次三项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，完全平方式，根据完全平方式的结构可知，当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．的根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程左边正好是一个完全平方式，利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型四、新定义问题 28．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 29．对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 30．定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的正数解为 ． 【答案】或 【分析】根据，可得，然后分种情况讨论：①当时，解得；②当时，解得或 舍；③当时，解得或舍；④当时，方程无解；然后即可得到正数解． 【详解】解：， ， ①当时，， 则， ∴； ②当时，， 则 ∴或舍； ③当时， 则， ∴或舍； ④当时，方程无解； ∴方程的正数解为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 31．“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 1．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 2．某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当时，当时，然后分别求解判断即可． 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 3．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 故萱萱：的正确． 故选：D． 4．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 5．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解 ． 【答案】和 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为， ∴关于y的一元二次方程可得， 解得和． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 6．【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】（1）；（2）；（3）盆景的盆数为盆，花卉的盆数为盆 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元二次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给花卉盆数的表示方法，用表示出第个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律，列出一元二次方程，即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：；…， ∴第个图案中盆景的盆数为盆． ∴第6个图案中盆景的盆数为盆 故答案为：7； （2）∵第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为，…， 所以第个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为盆，盆； 7．对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 一元二次方程的解法（特殊的一元二次方程的解法（直接开平方法）） 题型一、直接开平方法解方程的简单运用 1．方程的解是 ． 2．方程的实数解为 ． 3．方程的根为 ． 4．方程的解是 ． 5．解方程 6．解方程：． 7．解方程： 题型二、直接开平方解含双括号的一元二次方程 8．解方程：． 9．解方程： 题型三、能够直接开平方法的方程特征 10．已知方程的解是有理数，那么对于下列实数m不能取的数是（    ） A．1 B．4 C． D． 11．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）． 13．已知一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解出这个方程． 题型四、方程中的含参问题 14．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 15．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（    ） A． B．2 C． D．以上选项都不对 16．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 17．关于x的方程有一根是，则关于y的方程的解是（　） A． B． C． D． 18．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 19．已知方程的一个实数根为，则另一个实数根为 ． 题型一、几何问题 20．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 21．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 题型二、换元法（整体思想） 22．已知是实数，且满足，那么的值是 ． 23．已知实数，满足方程，则 A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1 24．若实数a、b满足，则的值为 ． 25．已知方程，则 ． 题型三、完全平方与直接开平方的综合运用 26．若二次三项式是一个完全平方式，则 ． 27．的根为 ． 题型四、新定义问题 28．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 29．对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 30．定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的正数解为 ． 31．“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 1．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 3．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 4．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 5．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解 ． 6．【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 7．对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$