第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布-(Word练习)【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

第一节　两个计数原理 【课程标准】　1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能解决简单的实际问题. 教|材|回|顾 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． 3．分类加法和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 微|点|延|伸 　分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终． 1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类． 2．分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”． 小|题|快|练 1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层的走法种数为(　　) A．6 B．23 C．42 D．44 2．将3张不同的门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为(　　) A．720 B．240 C．120 D．60 3. 由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条，其中顺带也能把“炮”吃掉的路线有(　　) A．10条 B．8条 C．6条 D．4条 4．(2025·山东模拟)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成________个三位数． 5．将5名志愿者中的4人安排在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有________种． 类型一 分类加法计数原理自练自悟 1.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有(　　) A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 2．现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有(　　) A．3种 B．6种 C．7种 D．8种 3．椭圆＋＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为(　　) A．10 B．12 C．20 D．35 4．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________． 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置． 1．根据题目特点恰当选择一个分类标准． 2．分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复． 3．分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 类型二 分步乘法计数原理 【例1】　(多选题)(2024·合肥调研)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．共有43种不同的安排方法 B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 1．利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． 2．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 【训练】　(1)(2025·江苏徐州适应性测试)灯笼又统称为灯彩，我国灯笼主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式共有(　　) A．34种 B．43种 C．3×2×1种 D．4×3×2种 (2)某生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中选出4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 类型三 两个计数原理的综合应用 考向❶：数字问题 【例2】　用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答)． 数字问题注意 1．数字可不可以重复； 2．特殊数字的占位限制，比如0不能排首位． 考向❷：涂色问题 【例3】　给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染1种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案的种数为________． 涂色问题一般综合利用两个计数原理求解，但也有两种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析． 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(2024·上海高考)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为________． 2. 给如图所示的5个区域涂色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)． 第二节　排列与组合 【课程标准】　1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. 教|材|回|顾 1．两个概念 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [微点清]　元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 2．两个公式 (1)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.规定0！＝________.(这里m，n∈N*，并且m≤n) (2)组合数公式 C＝＝＝.规定C＝________.(这里m，n∈N*，并且m≤n) [微点清]　①排列数与组合数之间的联系为CA＝A(n，m∈N*，m≤n)．②两种形式分别为连乘积形式和阶乘形式，前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证． 3．排列数与组合数的性质 (1)C＝；(2)C＝C；(3)C＝C＋C；(4)A＝nA. 微|点|延|伸 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 小|题|快|练 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．3×4×5＝A B．C＋C＝C C．若C＝C，则x＝3 D．C＋C＋C＋C＝64 2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 4．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有________种． 5．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种． 类型一 排列问题 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲既不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)全体排成一排，女生必须站在一起； (6)全体排成一排，男生互不相邻． (7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定． 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 【训练1】　(多选题)(2025·石家庄质检)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　) A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法有72种 D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 类型二 组合问题 【例2】　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某个活动，依下列条件各有多少种选择？ (1)只有一名女生当选； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)男生甲和女生乙当选； (5)最多有两名女生当选． 组合问题常有以下两类题型 1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 2．“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与遗漏，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【训练2】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C种 B．C·C种 C．C·C种 D．C·C种 (2)(2024·重庆二诊)有男、女教师各1人，男、女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有(　　) A．10种 B．12种 C．15种 D．20种 类型三 排列与组合的综合应用 考向❶：先选后排问题 【例3】　某班班会准备从含甲、乙的7人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，且若甲、乙都发言，则他们发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有(　　) A．720种 B．520种 C．360种 D．600种 求解此类问题一般采用先选后排的方法，选人时需分两种情况，即甲、乙只有一人发言或甲、乙都发言．若甲、乙都发言，将选出的4人进行排列时，需将甲、乙插空． 考向❷：分组分配问题 【例4】　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本． 解决分组、分配问题的策略 1．对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． 2．对于部分均分，若有m组元素个数相等，且地位相同，则分组时应除以A. 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(2024·厦门质检)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有(　　) A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 2．(2025·邯郸模拟)某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有(　　) A．21种 B．30种 C．42种 D．60种 1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． 2．(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 3．(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B． 60种 C．120种 D． 240种 5．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 第三节　二项式定理 【课程标准】　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教|材|回|顾 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝______________________________. (2)通项：Tk＋1＝__________，它表示展开式的第k＋1项． (3)二项式系数：________. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即________ 增减性 当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为________；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为________ 3.各二项式系数的和 (1)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝________. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________. 微|点|延|伸 1．二项展开式形式具有的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2．二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 小|题|快|练 1．(人A选三P31T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．C B．－C C．C D．－C 2．若6展开式中的常数项为60，则常数a的值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．6 3．(人A选三P34习题6.3T1)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．74 B．121 C．－74 D．－121 4.9的展开式中含x3的项为________． 5．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________． 类型一 求展开式中的特定项 考向❶：形如“(a＋b)n(n∈N*)”的展开式问题自练自悟 1．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 2．若(1＋x)6的展开式中共有n个有理项，则n的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2024·天津高考)在6的展开式中，常数项为________． 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 1．利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)． 2．根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r. 3．把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1. 考向❷：形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式问题 【例1】　(1)已知(ax＋1)(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 (2)(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 考向❸：三项式问题 【例2】　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 求三项展开式中某些指定的项的方法 1．两项看成一项，利用二项式定理展开． 2．因式分解，转化为两个二项式再求解． 3．看作多个因式的乘积，用组合的知识解答． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❷ ❸ ❸ 1.(2025·东北模拟)(x－y)5的展开式中x3y2的系数为(　　) A．55 B．－70 C．30 D．－25 2．在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为(　　) A．－674 B．－675 C．－1 080 D．1 485 3．(＋3y－5)6的展开式中，x2y2的系数为(　　) A．－135 B．－75 C．75 D．135 类型二 二项式系数与项的系数和问题 【例3】　(1)若n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是(　　) A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 (2)(多选题)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是(　　) A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 023 B．展开式中所有奇次项的系数的和为 C．展开式中所有偶次项的系数的和为 D．＋＋＋…＋＝－1 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 【训练】　(1)(多选题)已知2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则(　　) A．n＝4 B．展开式中所有项的系数和为1 C．展开式中二项式系数和为24 D．展开式中不含常数项 (2)(2025·江苏联考)若(1＋x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023 ，则a0＋a2＋a4＋…＋a2 022被5除的余数是________． 第四节　随机事件、古典概型 【课程标准】　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会随机事件的并、交运算；4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式；5.理解古典概型及其概率计算公式. 教|材|回|顾 1．有限样本空间与随机事件 (1)样本点：随机试验的每个可能的基本结果． (2)样本空间：全体样本点的集合，一般用Ω表示． (3)有限样本空间：样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}． (4)随机事件(事件)：样本空间Ω的子集． (5)基本事件：只包含一个样本点的事件． 2．事件的关系和运算 事件的关系 或运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A或A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立事件 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω且 A∩B＝∅ 3.概率与频率 (1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的________．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计________． 4．概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝________，P(∅)＝________. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________. 性质5　如果A⊆B，那么P(A)________P(B)． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝____________. 5．古典概型 (1)古典概型的特点 (2)古典概型的概率公式 P(A)＝. 微|点|延|伸 1．互斥事件与对立事件的关系 互斥与对立都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之中必有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广 ，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．古典概型 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的试验才是古典概型． 小|题|快|练 1．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　) A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 2．根据统计，某篮球运动员在1 000次投篮中，命中的次数为560，则该运动员(　　) A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中 C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中 3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________． 4．从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士去进修，护士甲恰被选中的概率为________． 5．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为________． 类型一 随机事件与样本空间自练自悟 1.袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次． (1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； (2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间． 2．同时掷两颗质地均匀的骰子一次． (1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？ 确定样本空间的方法 1．必须明确事件发生的条件． 2．根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏. 类型二 事件的关系与运算自练自悟 3.(多选题)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件： A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”， C＝“至少有一个奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”． 下列结论正确的有(　　) A．A＝B B．B⊆C C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω 4．从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； (2)“至少有1件次品”和“全是次品”． 1．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件． 2．准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 类型三 概率的性质应用 【例1】　(多选题)已知随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，则(　　) A．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝ B．若B⊆A，则P(AB)＝ C．若B⊆A，则P(A＋B)＝ D．若事件A，B互斥，则P(＋)＝ 注意以下几条性质的应用 1．若A⊆B，则P(AB)＝P(A)，P(A∪B)＝P(B)． 2．P(＋)＝P()＝1－P(AB)，本题D选项可用此法判断． 【训练1】　(1)如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中圆面Ⅰ、圆环Ⅱ、圆环Ⅲ的概率分别为0.35，0.30,0.25，则射手命中圆环Ⅱ或圆环Ⅲ的概率为________，未命中靶的概率为________． (2)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔丝熔断的概率为0.85，乙熔丝熔断的概率为0.74，甲、乙两根熔丝同时熔断的概率为0.63，则该情况下至少有一根熔丝熔断的概率为________. 类型四 古典概型 【例2】　(1)(2024·湖南联考)将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其被放入的小球编号相同的概率是(　　) A． B． C． D． (2)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为(　　) A． B． C． D． 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【训练2】　(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 第五节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 【课程标准】　1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 教|材|回|顾 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)条件概率的定义 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝________. (3)概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． (4)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设B和互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称上面的公式为全概率公式． 4．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 微|点|延|伸 1．公式P(AB)＝P(A)P(B)不可以推广到多个事件．当事件A1，A2，…，An两两独立时，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立，只有事件A1，A2，…，An相互独立时公式才成立． 2．事件的拆分：若A1，A2，…，An彼此互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn. 3．乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)>0，P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 小|题|快|练 1．(人A必二P253习题10.2T4改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为(　　) A． B． C． D．1 2．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下： 购买A种 医用外科口罩 购买B种 医用外科口罩 购买C种 医用外科口罩 甲  0.2 0.4 乙 0.3  0.3 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为(　　) A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32 3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 4．已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|)＝0.3，则P(A)＝(　　) A． B． C． D． 类型一 相互独立事件的概率 考向❶：事件独立性的判断 【例1】　(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 判断事件相互独立性的方法 1．利用定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立． 2．利用对“独立性”的理解，若事件A的发生与否不影响事件B的发生与否，则两事件相互独立． 考向❷：求相互独立事件的概率 【例2】　(1)(2024·安徽合肥二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为(　　) A． B． C． D． (2)甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现10∶10平的情况，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为(　　) A． B． C． D． 独立事件概率的求法 解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立，只有相互独立才能运用乘法公式． 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(2025·广东湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M＝“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝“甲、乙两人均未选择B选项”，则(　　) A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 类型二 条件概率 【例3】　(1)(2025·福建质检)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法不正确的为(　　) A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6 C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12 D．若A⊆B，则P(A|B)＝0.3 (2)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪， 70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 (3)(2024·郑州二模)在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立．测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为(　　) A． B． C． D． 求条件概率的常用方法 1．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝； 2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n(A)，再求在事件A发生的条件下事件B包含的样本点个数n(AB)，得P(B|A)＝. 【训练1】　(1)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝“两次的点数之和为4”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． (2)某竞赛节目中，两人答同一题目时，甲答对的概率为0.5，乙答对的概率为0.8，且甲、乙两人解答是否正确相互独立．若两人至少有1人答对，则甲答对的概率为________. 类型三 全概率公式的应用 【例4】　(1)(2025·长沙模拟)已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是(　　) A． B． C． D． (2)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(　　) A． B． C． D． 利用全概率公式解题的思路 1．按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)． 2．求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． 3．代入全概率公式计算． 【训练2】　(1)已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球、一个黄球；黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小质地相同)．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为(　　) A． B． C． D． (2)某学校有A，B两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，那么他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲选择了A餐厅，则第n天选择A餐厅的概率Pn为________． 1．(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如：若依次收到1,0,1，则译码为1)．则下列结论正确的为(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 2．(2024·天津高考)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 3．(2022·新课标Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． 12　递推关系在概率问题中的应用 (马尔科夫链) 一、教材题组·加固练■ 人教A版选择性必修第三册 1 2 P81·3题 P91·10题 【选题说明】　从教材中的这两道题可以看出，以马尔科夫链为背景的全概率公式问题可以通过简单事件表示复杂事件来解决． 第❶步：理清初始事件的概率p1(或p0)； 第❷步：利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n＋1步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)； 第❸步：利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn . 【题1】　如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． (1)质点回到原点； (2)质点位于4的位置． 【题2】　甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率． 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　某同学从两个笔筒中抽取使用的笔，蓝色笔筒里有6支蓝笔，4支黑笔，黑色笔筒里有6支黑笔，4支蓝笔．第一次从黑笔筒中取出一支笔并放回，随后从与上次取出的笔颜色相同的笔筒中再取出一支笔，依次类推．记第n次取出黑笔的概率为Pn，Pn＝________. 【变式2】　甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2. (1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望； (2)求四局比赛后，比赛结束的概率； (3)若Pi(i＝0,1，…，6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1.证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2,3,4,5)为等比数列． 三、链接高考·体验练■ 　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． 第六节　离散型随机变量及其分布列与数字特征 【课程标准】　1.理解离散型随机变量的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解离散型随机变量的均值与方差的概念，能计算离散型随机变量的均值与方差，并能解决一些实际问题. 教|材|回|顾 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi________0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝________. 4．离散型随机变量的均值与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)＝______________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的________． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的________，记为σ(X)．它们都可以度量随机变量取值与其均值的________． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝________. (2)D(aX＋b)＝________(a，b为常数)． (3)D(X)＝pi－(E(X))2. 微|点|延|伸 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)E(X2)． 小|题|快|练 1．(多选题)(北师大选一P197T3改编)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 2．(苏教选二P146T7)设随机变量X的可能取值为1,2，…，n，并且取1,2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n不能确定 3．若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)＝0.5，则a，b的值分别是(　　) X －1 0 1 2 P 0.3 a b 0.2 A．0.1,0.4 B．0.4,0,1 C．0.3,0.2 D．0.2,0.3 4．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________. 5．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________. 类型一 离散型随机变量分布列、均值、方差的性质自练自悟 1.(多选题)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 2．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)＝(　　) X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<X<3.5)＝ B．E(3X＋2)＝7 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6 1．离散型随机变量分布列的性质应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 2．离散型随机变量均值、方差的性质应用 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y). 类型二 求离散型随机变量的均值与方差 【例1】　(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1．理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值． 2．求ξ取每个值的概率． 3．写出ξ的分布列． 4．由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 【训练1】　(2025·济南模拟)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数． (1)求在X>0的条件下，X＝的概率； (2)求X的分布列、数学期望及方差． 类型三 决策问题 【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【规范解答】　(1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 思维点1：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率． 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 思维点2：计算乙至少得5分的概率，从而计算甲、乙所在队不少于5分的概率． 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)(ⅰ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2)． 思维点3：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2)． 思维点4：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)(p＋q－pq)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙． 思维点5：作差法比较大小． 故应该由甲参加第一阶段比赛． ( ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3)． 思维点6：计算甲参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)． 思维点7：计算乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0,3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)． 思维点8：作差法比较大小． 故应该由甲参加第一阶段比赛． 本题以相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列为工具，考查分类讨论思想和推理论证能力，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培养． 【训练2】　某公司计划在2025年年初将1 000万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，大约在哪一年年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 第七节　二项分布、超几何分布、正态分布 【课程标准】　1.理解n重伯努利试验的模型及二项分布、超几何分布的意义，并能解决一些实际问题；2.借助直方图认识正态曲线的特点及曲线的意义，能用正态分布解决一些实际问题. 教|材|回|顾 1．二项分布 (1)n重伯努利试验 ①我们把__________________的试验叫做伯努利试验． ②我们将一个伯努利试验______________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有两个共同特征：同一个伯努利试验重复做n次；__________________. (2)二项分布 ①一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从__________，记作__________． ②(X＝k)＝pk(1－p)n－k＝[p＋(1－p)]n＝________. (3)二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝________，D(X)＝________. 2．超几何分布 (1)超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． (2)超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的__________，而是抽取的n件产品的___________，猜想E＝p，即E(X)＝_________＝__________. 3．正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)，则称随机变量X服从__________，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线________对称． ②曲线在________处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________. 微|点|延|伸 　二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 小|题|快|练 1．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是(　　) A． B． C． D． 2．某党支部有10名党员，7男3女，为迎接建党100周年，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则P(X<2)＝(　　) A． B． C． D．1 3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是(　　) A．32 B．16 C．8 D．20 4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取1件．设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝________. 5．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 二项分布 考向❶：n重伯努利试验 【例1】　(1)某人射击一次击中目标的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·四川攀枝花模拟)甲、乙两位同学进行围棋比赛，采取五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为(　　) A． B． C． D． n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.计算时，要先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率． 【训练1】　(2024·保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________． 考向❷：二项分布 【例2】　某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作． (1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E(X)； (2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ 二项分布的解题模型 1．根据题意设出随机变量． 2．分析随机变量服从二项分布． 3．找到参数n，p. 4．写出二项分布的概率表达式． 5．求解相关概率． 【训练2】　某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 类型二 超几何分布 【例3】　下表为某班学生理科综合能力测试成绩(百分制)的频率分布表，已知在[80,90)分数段内的学生人数为21. 分数段 [65， 70) [70， 75) [75， 80) [80， 85) [85， 90) [90， 95) [95， 100] 频率 0.1 0.15 0.2 0.2 0.15 0.1 m (1)求测试成绩在[95,100]分数段内的人数； (2)现欲从[95,100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求[95,100]分数段内男生的人数； (3)若在[65,70)分数段内的女生为4人，现欲从[65,70)分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为参加培优小组的3名学生中男生的人数．求ξ的分布列及期望E(ξ)． 求超几何分布的分布列的步骤 【训练3】　(2025·银川模拟)某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下： 班号 1 2 3 4 人数 30 40 20 10 该年级在报名的同学中按分层随机抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立． (1)求各班参加竞赛的人数； (2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望． 类型三 正态分布 【例4】　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0.447 B．0.628 C．0.954 D．0.977 (2)(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下μ＝0与σ＝1才同时成立． 【训练4】　(2025·开封质量检测)在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N(78,16)．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是(　　) (附：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5) A．94 B．86 C．82 D．78 微专题强化十 概率与统计的综合问题 专|题|梳|理 概率与统计解答题，主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等，既有基础的简单应用，也有与各类知识交汇的综合题、决策题．如概率与统计和统计案例交汇、概率与数列、函数、不等式等的交汇．此类问题对阅读理解能力要求较高，考查数学建模和数学运算的核心素养． 典|型|例|题 类型一 概率与统计的交汇问题 【例1】　(2024·青岛模拟)2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言．为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男、女生各50人作为样本．设事件A＝“了解人工智能”，B＝“学生为男生”，据统计P(A|)＝，P(B|A)＝. (1)根据已知条件，填写下列2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，是否认为该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？ 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 女生 合计 (2)①现从所抽取的女生中利用分层随机抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率； ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人赠送科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差． 参考公式：χ2＝.常用的小概率值和对应的临界值如表： α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件． 【训练1】　(2025·昆明一模)某企业为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 研发资金的投入额 xi/千万元 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 yi/千万元 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)若年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这3个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：iyi＝2 976，i＝42，＝32 800. 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－. 类型二 概率与函数的交汇问题 【例2】　某活动中心举行两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望； (2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)，求p为何值时，f(p)取得最大值． 通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题： 1．准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键． 2．注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制． 【训练2】　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值． 类型三 概率与数列的交汇问题 【例3】　学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天中午选择了米饭套餐，则第2天中午选择米饭套餐的概率为；若他前1天中午选择了面食套餐，则第2天中午选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2时，Pn≤. 从问题与解答过程可以看出，这就是概率中典型的数列问题，解决这类题的步骤如下： 1．理清初始事件的概率p1(或p0)． 2．利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n＋1步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)． 3．利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn. 【训练3】　(2025·广东湛江一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1,2,3，…，25)． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望； (2)证明：数列{Pn－Pn－1}(n＝2,3，…，24)为等比数列． 附录：　　高考必记公式与结论 基本 不等式 (1)≥≥≥(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号． (2)4ab≤(a＋b)2≤2(a2＋b2)，即ab≤2≤，当且仅当a＝b时取等号． (3)＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号，＋≤－2(ab<0)，当且仅当a＝－b时取等号 函数的 单调性 已知f(x)的定义域为M，x1，x2∈M，则 (1)增函数：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)是增函数． (2)减函数：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)是减函数 函数的 奇偶性 已知f(x)的定义域关于原点对称，则 (1)偶函数：f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． (2)奇函数：f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数 函数的 对称性、 周期性 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a轴对称(当a＝0时，f(x)是偶函数)； f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝轴对称． (2)f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(x)的图象关于点(a,0)中心对称(当a＝0时，f(x)是奇函数)； f(a－x)＝－f(b＋x)⇔f(x)的图象关于点中心对称；f(a－x)＋f(b＋x)＝2c⇔f(x)的图象关于点中心对称． (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，f(x)的周期T＝|b－a|. (4)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，f(x)的周期T＝2|a|； 若f(x＋a)＝±，则f(x)为周期函数，f(x)的周期T＝2|a|； 若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b轴对称，则f(x)是周期函数，周期T＝2|b－a|； 若f(x)的图象关于点(a,0)，(b,0)中心对称，则f(x)是周期函数，周期T＝2|b－a|； 若f(x)的图象关于直线x＝a轴对称，且关于点(b,0)中心对称，则f(x)是周期函数，周期T＝4|b－a| 对数 (1)对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①积的对数：loga(MN)＝logaM＋logaN；②商的对数：loga＝logaM－logaN； ③幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)换底公式：logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0) 基本初等 函数的 导数公式 (1)c′＝0(c为常数)． (2)(xα)′＝αxα－1(α∈R，且α≠0)． (3)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x. (4)(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)． (5)(ln x)′＝(x>0)，(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1) 导数运 算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． (4)′＝－(g(x)≠0)． (5)复合函数的求导法则：[f(g(x))]′＝f′(g(x))g′(x) 同角三角 函数的诱 导公式、和 差角公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝； sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)； cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β 二倍角 和辅助 角公式 (1)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2； ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2； ③sin2α＝； ④cos2α＝. (2)辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝·sin(x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)确定 解三角形 (1)正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C， 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. (3)三角形面积公式：S＝bcsin A＝acsin B＝absin C 平面向量 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝，|b|＝；|a＋b|＝＝. (3)平行：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (4)垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)夹角：cos θ＝＝. (6)a在b上的投影向量为|a|cos θ· 等差数列 设等差数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，公差为d，则 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝nd＋(a1－d)(一次函数)． (2)若m＋n＝r＋s，则am＋an＝ar＋as. (3)若Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列． (4)＝n＋是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列． (5)Sn＝＝＝…＝na1＋d＝an2＋bn(a，b为常数)． (6)若所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶． ①若项数为偶数2m(m∈N*)，则S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝； ②若项数为奇数2m－1(m∈N*)，则S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. (7)若am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n＝0. (8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n) 等比数列 设等比数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，公比为q，则 (1)an＝a1qn－1＝amqn－m＝A·qn(q≠0)． (2)若m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as.反之，不一定成立． (3)a1a2a3…am，am＋1…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列． (4)①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝na1. (5)Sm＋n＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm. (6)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列(Sk≠0)． (7)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，则＝q. (8)在等比数列中，只有同号的两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数 多面体和 旋转体的 面积和体 积公式 设c为底面周长，c′，c0分别是正棱台上、下底面的周长，h为高，h′为斜高，l为母线长，r为圆柱、圆锥底面圆的半径，r′，r0分别为圆台上、下底面圆的半径，R为球的半径． (1)直棱柱：S侧＝ch，V＝S底h. (2)圆柱：S圆柱侧＝2πrl，V＝S底h＝πr2h. (3)正棱锥：S侧＝ch′，V＝S底h. (4)圆锥：S圆锥侧＝πrl，V＝S底h＝πr2h. (5)正棱台：S侧＝(c0＋c′)h′，V＝(S上底＋S下底＋)h. (6)圆台：S圆台侧＝π(r0＋r′)l，V＝(S上底＋S下底＋)h＝π(r＋r0r′＋r′2)h. (7)球：S表＝4πR2，V＝πR3 距离公式 和弦长公式 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. (4)直线与圆相交所得的弦长|AB|＝2 平均数、 标准差、 方差、用 最小二乘 法求经验 回归方程 (1)平均数：数据x1，x2，…，xn的平均数是(x1＋x2＋…＋xn)，记作. (2)标准差：s＝； 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (3)用最小二乘法求经验回归方程＝x＋，＝＝，＝－ 概率 (1)古典概型 P(A)＝＝. (2)条件概率 ①条件概率：P(B|A)＝，P(A)>0； ②乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(A)>0； ③全概率公式：P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，其中A1，A2，…，An两两互斥，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，B⊆Ω. 计数原理 (1)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)，A＝n！. (2)组合数公式：C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)，C＝C＝1，C＝C. (3)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)； 二项展开式的通项：Tr＋1＝Can－rbr； 各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n 三种常 见分布 (1)二项分布 若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.其中E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件(X＝k)发生的概率为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 其中E(X)＝. (3)正态分布 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 学科网（北京）股份有限公司 $$