第8章 平面解析几何-(Word练习)【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 【课程标准】　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 教|材|回|顾 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是________． 2．斜率公式 (1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α. (2)坐标式：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1(其中a≠0，b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0) 平面内所有直线都适用 微|点|延|伸 1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)的一个方向向量为a＝(－B，A)，或a＝(B，－A)． 小|题|快|练 1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　) A．x＋y＝1 B．x－y＝1 C．y＝1 D．x＝1 3．过点(1,2)且方向向量的坐标为(－1,2)的直线的方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y－3＝0 4．(人A选一P67T7改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________． 5．(人A选一P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________． 类型一 直线的倾斜角与斜率自练自悟 1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D．∪ 3. (多选题)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1 C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1 4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________________． 1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的． 2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在． 类型二 求直线的方程 【例1】　(1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为________． (2)过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程为________． (3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且一个方向向量为ν＝(－3,2)的直线方程为________． 直线方程的求法 1．直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程． 2．待定系数法：设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)，进而根据已知条件求解． 3．涉及截距问题，还要考虑截距为0这一特殊情况． 【训练】　(1)已知过点M(2,1)的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则直线l的方程为(　　) A．2x－y－3＝0 B．2x＋y＋5＝0 C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝0 (2)(多选题)若直线l过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 类型三 直线方程的应用 考向❶：过定点问题 【例2】　直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点(　　) A．(3,1) B．(0,1) C．(0,0) D．(2,1) 解含参数的直线恒过定点问题的策略 1．任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 2．含有一个参数的二元一次方程，若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 考向❷：最值(范围)问题 【例3】　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 1．求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值． 2．求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ 1.直线(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0恒过定点(　　) A．(1,1) B．(1，－1) C．(－1,1) D．(－1，－1) 2．(2025·临沂模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A． B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪ D． 3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 第二节　直线的交点坐标与距离公式 【课程标准】　1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 教|材|回|顾 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔______.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2________. 与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)． (2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________． 2．两直线相交 (1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． (2)相交⇔方程组有________，交点坐标就是方程组的解． (3)平行⇔方程组________． (4)重合⇔方程组有________． 3．三种距离公式 (1)点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝______________. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝________________. (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝__________. [微点清]　求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 4．对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标为P′__________. (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′. 微|点|延|伸 1．对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0： (1)“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”； (2)“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”． 2．与直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)垂直或平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0(n≠C)． 小|题|快|练 1．过点A(2,3)且与直线l：2x－4y＋7＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y＋4＝0 B．x－2y－4＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－8＝0 2．若直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．1 B．0 C．2 D．－1或0 3．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B． C． D． 4．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标为________． 5．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为________. 类型一 两条直线的平行与垂直自练自悟 1.已知p：直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0平行，q：a＝1，则p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是(　　) A．3或－3 B．3或4 C．－3或－1 D．－1或4 3．(多选题)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝ 1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 类型二 两条直线的交点问题 【例1】　已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　) A． B．∪(－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D． 求过两条直线交点的直线方程的方法 1．列方程组解出交点，根据条件求出直线方程． 2．采用过交点的直线系方程求解． 【训练1】　经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线的方程是(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0 类型三 距离问题 【例2】　(1)已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B． C． D． (2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 (3)已知点P(2，－1)，则过点P且与原点的距离为2的直线l的方程为________． 1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式． 2．运用两平行直线间的距离公式d＝的前提是两直线方程中的x，y的系数对应相等． 【训练2】　(1)直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(3，1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是(　　) A．5 B．4 C． D．3 (2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________. 类型四 对称问题 【例3】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点所连线段的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解． 【训练3】　(1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为__________________． (2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 第三节　圆的方程 【课程标准】　1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 教|材|回|顾 1．圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到________的距离等于________的点的集合 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 充要条件：__________ 圆心坐标：____________ 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (2)|MC|＝r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (3)|MC|<r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2. 微|点|延|伸 1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 2．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标． 小|题|快|练 1．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 2．(人A选一P85T1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 3．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4 4．(人A选一P85T3改编)已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是______________________． 5．已知P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________． 类型一 求圆的方程 【例1】　(1)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　　) A．x2＋y2－4x－2y＋7＝0 B．x2＋y2－8x－2y－9＝0 C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0 D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0 (2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程． 求圆的方程的常用方法 1．直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． 2．待定系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； (2)选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【训练1】　(1)(2025·辽宁大连模拟)过点(－1,1)和(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10 (2)(2025·山东泰安检测)在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·＝4，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 类型二 与圆有关的最值问题 考向❶：借助几何性质求最值 【例2】　已知M(－1,2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 将求解的式子进行变形，赋予其一定的几何意义解题，比如本题利用对称性求解．也可以从斜率、距离等几何意义出发求解． 考向❷：借助函数法求最值 【例3】　(1)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________． (2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________． 建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❶ ❷ 1.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　) A．6 B．25 C．26 D．36 2．已知A(2,0)，B(4,0)，若直线y＝k(x－1)上存在一点M，使得·＝0，则实数k的取值范围为(　　) A． B．∪ C． D．∪ 3．(2024·山东聊城一模)已知P是圆C：x2＋y2＝1外的动点，过点P作圆C的两条切线，设两切点分别为A，B，当·的值最小时，点P到圆心C的距离为(　　) A． B． C． D．2 类型三 与圆有关的轨迹问题 【例4】　已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程． 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． 2．定义法：根据圆、直线等定义列方程． 3．相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【训练2】　如图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程． 8　阿波罗尼斯圆 【链接教材】　 　(人教A版选择性必修第一册第97页例6)得到的圆即是著名数学家阿波罗尼斯提出的一种圆的方程，我们称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 1．阿波罗尼斯圆的定义 若点A，B为两定点，动点M满足|MA|＝λ|MB|，则λ＝1时，动点M的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点M的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆． 如图，设A(－m,0)，B(m,0)．当λ>0，且λ≠1时，可得阿波罗尼斯圆的方程为2＋y2＝，是以点P为圆心，为半径的圆． 2．阿波罗尼斯圆性质 (1)已知平面上两定点A，B，则所有满足＝λ，(λ>0且λ≠1)的动点M的轨迹是一个以定比为＝λ(λ>0且λ≠1)内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．若以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则圆的半径为·|AB|，圆心为. (2)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任意一点P和坐标轴上任意两点A，B，求形如λ|PA|±|PB|(|PA|±λ|PB|)的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线计算最值． 【应用体验】　 1．已知两点A(－2,0)，B(1,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的面积为(　　) A．π B．4π C．9π D．16π 2．已知在△ABC中，|AB|＝3，|CA|＝2|CB|，则△ABC面积的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知圆C是以线段MN为直径的圆，且M(2，2)，N(6，－2)，点P为圆C上的动点，若点A(2,0)，点B(1,1)，则2|PA|－|PB|的最大值为(　　) A． B．4＋ C．8＋5 D． 9　与圆有关的轨迹方程问题 一、教材题组·加固练■ 人教A版选择性必修第一册 1 2 3 4 5 P89·8题 P87·例5 P89·9题 P97·例6 P89·10题 【选题说明】本组五个小题从不同角度给出圆的轨迹方程．题1为定义圆，题2为圆的伴生圆，题3、4为比例圆(阿氏圆)，题5为圆的参数方程．高考试题可能会以其中之一或其拓展为知识情境进行命题. 【题1】　长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【题2】　已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程． 【题3】　已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【题4】　已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，试探究点M的轨迹． 【题5】　在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x，y) 满足其中θ为参数，r>0.证明：点P的轨迹是圆心为(a，b)，半径为r的圆． 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　点A为圆x2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5 【变式2】　已知直线l：＋＝1，θ∈，l与坐标轴的交点分别为A，B，则线段AB的中点C的轨迹与坐标轴围成图形的面积为(　　) A． B． C． D． 【变式3】　已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为________． 三、链接高考·体验练■ 1．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ 　B．4 C．1＋3 　D．7 2．(高考预测题) (多选题)已知线段AB＝2，其端点A，B分别在x轴和y轴上滑动， OP⊥AB，垂足为P，点P的轨迹为如图所示的四叶玫瑰线，则下列结论正确的是(　　) A．(S△OAB)max＝1 B．|OP|max＝1 C．四叶玫瑰线围成的面积小于π D．(S△OAP)max＝ 3．(经典高考题)已知平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则△PAB面积的最大值为________． 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 【课程标准】　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ____0 Δ____0 Δ____0 几何观点 d____r d____r d____r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 ________________ 外切 ________________ 相交 ________________ 内切 ________________ 内含 ________________ 微|点|延|伸 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， (1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程． (2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程． 小|题|快|练 1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 2．(人A选一P93T3改编)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B．2 C． D．2 3．(人A选一P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(　　) A．外切 B．相交 C．外离 D．内切 4．若圆x2＋y2＋6x＝0与圆x2＋y2－2my＋m2－16＝0外离，则实数m的取值范围是________． 5．(人A选一P96例5改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________. 　　 类型一 直线与圆位置关系的判断 自练自悟 1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 2．(2025·济南质量检测)已知直线l经过点(2,4)，则“直线l的斜率为－1”是“直线l与圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝2相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M是直线y＝kx＋3上任意一点，且∠AMB<90°，则实数k的取值范围是________． 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1．几何法：利用d与r的关系判断． 2．代数法：联立方程之后利用Δ判断. 类型二 圆的切线问题 【例1】　已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 1．几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. 2．代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 【训练1】　(2025·重庆模拟)已知P(x0，y0)是直线l：x－y＋4＝0上一点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，|AB|＝(　　) A． B． C． D．4 类型三 圆的弦长问题 【例2】　(1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 (2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 弦长的两种求法 1．代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． 2．几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 【训练2】　(多选题)(2025·山东青岛模拟)已知直线l：x－my＋3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，则下列结论成立的是(　　) A．直线l：x－my＋3＝0过定点(－3,0) B．当直线l与圆C相交时，直线l：x－my＋3＝0被圆所截的弦长最大值为4 C．当直线l与圆C相切时，实数m＝2 D．当实数m的值为3时，直线l与圆C相交，且所得弦长为 类型四 圆与圆的位置关系 【例3】　(1)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (ⅰ)求证：圆C1和圆C2相交； (ⅱ)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【训练3】　(1)(多选题)已知圆C：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0与圆D：x2＋y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－2 (2)(2025·长沙适应性考试)已知A(4,1)，B(2，2)，C(0,3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则实数r的取值范围是________. 1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 2．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 4．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． 6．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 第五节　椭圆 【课程标准】　1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1．椭圆的定义 (1)文字形式 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的一半称为半焦距． (2)代数式形式 点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，其中|F1F2|＝2c<2a. [微点清]　2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a<|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 ________________ ________________ 对称性 ________________ 顶点 ________________ ________________ 离心率 0<e＝<1 [微点清]　椭圆方程的两种设法：Ax2＋By2＝1或＋＝1(A>0，B>0，A≠B)表示椭圆．离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近1时，c越接近a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平． 3．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆位置关系的判断 联立消去y，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.该一元二次方程的根的判别式为Δ. Δ>0⇔直线与椭圆有______公共点⇔相交； Δ＝0⇔直线与椭圆有______公共点⇔相切； Δ<0⇔直线与椭圆______公共点⇔相离． (2)椭圆的弦长 设AB为椭圆的一条弦，所在直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 微|点|延|伸 　椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|.当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ. 小|题|快|练 1．(人B选一P139例3改编)若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　) A．3 B．2＋ C．2 D．＋1 2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 3．已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为________________． 4．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. 5．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为________． 第1课时　椭圆及其简单几何性质 类型一 椭圆的定义及应用 【例1】　(1)已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________________． (2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 1．椭圆的定义的应用 求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等． 【训练1】　(多选题)已知椭圆C：3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则(　　) A．C的离心率为 B．△PF1F2的周长为12 C．|PF1|的最小值为3 D．|PF1|·|PF2|的最大值为16 类型二 椭圆的标准方程 【例2】　(1)(2025·石家庄质量检测)已知曲线C：＋＝1(m≠0)，则“m∈(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2024·山东联考)动点M(x，y)到定点F(－4，0)的距离与M到定直线l：x＝－的距离的比等于，则动点M的轨迹方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为____________________． 根据条件求椭圆方程的主要方法 1．定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． 2．待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，用待定系数法不必考虑焦点位置，求出m，n的值即可． 【训练2】　(2025·河南质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 类型三 椭圆的几何性质 考向❶：离心率问题 【例3】　(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为________． (2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，圆x2＋y2＝a2－b2与E的一个交点为P，直线PF2与E的另一个交点为Q，tan∠F1QF2＝，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 求椭圆的离心率的方法 1．直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． 2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． 考向❷：最值或范围问题 【例4】　(1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 (2)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，若A，B是椭圆上两动点，且直线AB垂直于x轴，则△ABF周长的最大值为________． 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． 2．利用函数，尤其是二次函数． 3．利用不等式，尤其是基本不等式． 特别注意：在求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系． 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(2025·成都联考)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B(A在第一象限)两点．由A向x轴作垂线，垂足为C，连接BC并延长交椭圆于点D．若△ABD为直角三角形，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别是________，________. 10　与椭圆有关的轨迹方程问题 一、教材题组·加固练■ 人教A版选择性必修第一册 1 2 3 4 P108·例2 P115·9题 P108·例3 P113·例6 【选题说明】本组四个小题从不同角度给出椭圆的轨迹方程．题1、2可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．题3、4分别给出椭圆的另两种定义方式．高考试题可能会以其中之一或其拓展为知识情境进行命题. 【题1】　如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)． 【题2】　如图，DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且＝.当点P在圆x2＋y2＝4 上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【题3】　如图，设A，B两点的坐标分别为(－5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程． 【题4】　动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　已知M为圆P：(x＋2)2＋y2＝36上的一个动点，定点Q(2,0)，线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N，则点N的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【变式2】　在椭圆＋y2＝1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．M是DP延长线上的一点，且|DM|＝2|DP|.当点P在椭圆上运动时，点M的轨迹方程为________． 【变式3】　设椭圆＋＝1(a>b>0)上关于原点对称的两点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，若kPA·kPB＝－，则e＝________. 三、链接高考·体验练■ 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) 2．(经典高考题)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线． 第2课时　直线与椭圆的位置关系 类型一 直线与椭圆的位置关系 【例1】　已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m，0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点N. (1)求m的值； (2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围． 利用判别式判断直线与椭圆的位置关系的步骤 注意　对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故一定为一元二次方程． 【训练1】　(1)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(m＋2)x－(m＋4)y＋2－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 (2)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－3,3] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－3]∪[3，＋∞) 类型二 弦长问题 【例2】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 【规范解答】　(1)由题意，得解得 思维点1：利用待定系数法将方程组表达出来． 所以椭圆的离心率e＝＝＝. (2)由(1)知椭圆C的方程为＋＝1. 当直线l的斜率不存在时， 思维点2：分类讨论，讨论斜率不存在的特殊情况． 直线l的方程为x＝3，B，|PB|＝3，点A到直线PB的距离为3，此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足条件， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y－＝k(x－3)， 思维点3：讨论直线l斜率存在的情况． 联立直线l与椭圆C的方程，得消去y可得(4k2＋3)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0. 设点B(x0，y0)，则 所以|PB|＝|x0－3|＝·＝. 又点A到直线l的距离d＝， 思维点4：求解△APB底边PB长度及高的表达式． 所以△ABP的面积 S＝··＝9， 思维点5：构造△APB的面积，列出方程． 解得k＝或k＝. 所以直线l的方程为y＝x或y＝x－3， 即x－2y＝0或3x－2y－6＝0. 本题以直线与椭圆位置关系为载体，考查求直线方程，体现了综合性．通过将面积问题转化为距离问题，考查学生分析、推理和表达的逻辑思维能力．通过联立直线与椭圆的方程将几何条件代数化，考查学生函数与方程思想、转化与化归思想．通过方程(组)的求解，考查学生的运算求解能力． 【训练2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． 类型三 中点弦问题 【例3】　(2025·福建福州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离是3. (1)求椭圆C的方程． (2)是否存在过点Q的直线交椭圆C于A，B两点，使得Q为线段AB的中点？若存在，求该直线的方程；若不存在，请说明理由． 中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点的坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了弦中点和直线的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率，但要注意进行检验． 2．判别式法：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 【训练3】　(2025·南京、盐城调研)已知直线l与椭圆＋＝1在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于点M，N，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 2．(2023·全国甲卷)已知椭圆＋＝1，F1，F2为其两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A． B． C． D． 3．(2022·新课标Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________． 4．(2022·新课标Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________． 5．(2022·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(－2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|＝2时，求k的值． 第六节　双曲线 【课程标准】　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)；2.了解双曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想. 教|材|回|顾 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的______________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：________，对称中心：______ 顶点 ________________ ________________ 渐近线 y＝________ y＝________ 离心率 e＝______，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝______；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝____________(c＞a＞0，c＞b＞0) 微|点|延|伸 1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 4．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. 5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 小|题|快|练 1．(人A选一P120例1改编)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1(x≥4) C．－＝1 D．－＝1(x≥3) 2．(人A选一P121T3改编)已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．(－1,5) B．(5，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(－1,5)∪(5，＋∞) 3．点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． 4．(人A选一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________． 5．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，过点(a,0)，(0，b)的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率为________． 第1课时　双曲线及其简单几何性质 类型一 双曲线的定义及应用 【例1】　(1)(2025·安徽模拟)已知F1，F2是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则“||PF1|－|PF2||的值为定值m，且m<|F1F2|”是“点P的轨迹是双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线方程为y＝±2x，P是C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为4，则C的焦距为(　　) A． B．2 C．2 D．4 1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． 2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 【训练1】　(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________. 类型二 双曲线的标准方程 【例2】　(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)(多选题)设A，B两点的坐标分别为(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数k(k≠0)，则下列结论正确的是(　　) A．k>0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点) B．－1<k<0时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点) C．k<－1时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点) D．k<0时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) 求双曲线的标准方程的方法 1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. 2．待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，或mx2－ny2＝1(m·n>0)． 【训练2】　(1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1 C．－＝1 D．－x2＝1 (2) (2025·甘肃模拟)如图，点F1，F2是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，同时也是双曲线C2：－＝1的左、右顶点，过点F1的直线交双曲线C1的左、右两支分别于A，B两点，交双曲线C2的右支于点M(与点F2不重合)，且△BF1F2与△ABF2的周长之差为6，则双曲线C1的方程为________. 类型三 双曲线的简单几何性质 考向❶：渐近线问题 【例3】　(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AF1F2的面积为bc，则双曲线C的渐近线方程为______________． (2)(2025·T8联考)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，α，β分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足α＝β，则双曲线C的焦距为________． 求双曲线渐近线方程的方法 1．求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程． 2．求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程． 3．令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程． 考向❷：离心率问题 【例4】　(1)若双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线的方程为y＝－x，则其离心率为(　　) A． B．2 C． D． (2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　) A． B． C．(1,2) D．(2，＋∞) 求双曲线离心率或其取值范围的方法 1．直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解． 2．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线的斜率为2，则m＝(　　) A．－4　　　 B．4　　　 C．－　　　 D． 2．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 圆锥曲线统一定义及推广 一、统一定义 　由人教A版选择性必修第一册第113页例6及第125页例5可以归纳出圆锥曲线的统一定义(也称第二定义)：平面内到定点F的距离与到定直线l(F∉l)的距离之比为常数e(e>0)的动点的轨迹是圆锥曲线．其中，定点F为圆锥曲线的焦点，常数e是圆锥曲线的离心率，定直线l为圆锥曲线的准线． 当0<e<1时，曲线是椭圆； 当e>1时，曲线是双曲线； 当e＝1时，曲线是抛物线． 【例1】　在平面直角坐标系中，若方程＝m|x－2y＋3|表示的曲线为椭圆，求m的取值范围． 二、统一定义的推广 【例2】　(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷) 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2,0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则(　　) A．a＝－2 B．点(2，0)在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤ 【应用体验】　 1．已知双曲线x2－＝1的右支上一点P，到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2∶1，则点P的坐标是________． 2．(多选题)中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点F1(－a,0)，F2(a，0)距离之积等于a2(a>0)的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当a＝2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的是(　　) A．曲线C关于原点对称 B．曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的P有且只有一个 C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞) 第2课时　直线与双曲线的位置关系 类型一 直线与双曲线的位置关系 【例1】　(多选题)(2024·广东茂名二模)已知双曲线C：4x2－y2＝1，直线l：y＝kx＋1(k>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若k＝2，则l与C仅有一个公共点 B．若k＝2，则l与C仅有一个公共点 C．若l与C有两个公共点，则2<k<2 D．若l与C没有公共点，则k>2 解决直线与双曲线的位置关系相关的问题，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷． 【训练1】　(1)已知双曲线－＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线的左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为(　　) A． B．∪ C． D．∪ (2)已知直线l过双曲线C：－＝1的左焦点，且与C交于A，B两点，当|AB|＝8时，这样的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 类型二 中点弦问题 【例2】　已知点A，B在双曲线x2－y2＝4上，线段AB的中点M(3,1)，则|AB|＝(　　) A． B．2 C． D．2 解决中点弦问题的两种方法 1．根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． 2．点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 【训练2】　已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且线段AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 类型三 直线与双曲线的综合问题 【例3】　在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1的面积为12. (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 当涉及有关弦长问题时，通常有以下两种处理方法 1．距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 2．弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·|y1－y2|. 【训练3】　已知双曲线C的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(2，)． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，已知直线l：y＝2x＋m交l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求△AOB的面积． 1．(2024·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 3．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1,1) B．(－1,2) C．(1,3) D．(－1，－4) 4．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 5．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 6．(2024·北京高考)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________． 第七节　抛物线 【课程标准】　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)；2.理解数形结合的思想；3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用. 教|材|回|顾 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． [微点清]　当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 ________ 对称轴 ______ ______ 焦点 ________ ________ ________ ________ 准线 ______ ______ ______ ______ 离心率 e＝1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ [微点清]　四种不同抛物线方程的共同点：①原点都在抛物线上；②焦点都在坐标轴上；③准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝. 微|点|延|伸 1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦． 小|题|快|练 1．(人A选一P133T2改编)抛物线x2＝y的准线方程为(　　) A．y＝－ B．x＝－ C．y＝ D．x＝ 2．(人A选一P133T3改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________． 5．已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2,4)，则该抛物线的方程为________________. 类型一 抛物线的定义及标准方程 【例1】　(1)已知抛物线C：x2＝y上点M的纵坐标为1，则M到C的焦点的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 (2)(2024·天津高考)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________． “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． 【训练1】　(1)(2025·郑州模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M是C上一点，N是l与x轴的交点，若|MN|＝4，|MF|＝4，则p＝(　　) A． B．2 C．2 D．4 (2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________. 类型二 抛物线的几何性质 【例2】　(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以线段MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 【训练2】　(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则(　　) A．p＝4 B．|MF|≥|OF| C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 类型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】　(1)(2025·江西南昌一模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为(　　) A．x－y－3＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y－2＝0 (2)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点．若|AF|·|BF|＝20，则p＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 1．切线问题可借助于方程组的解唯一，利用判别式确定，也可以借助导数的几何意义求解，如本例(1)． 2．有关弦的问题可借助于一元二次方程根与系数的关系及弦长公式求解． 【训练3】　(1)(2025·广东联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)过点P(－1，－2)的两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为________． 活用抛物线焦点弦的4个性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 性质1：x1·x2＝. 性质2：y1·y2＝－p2. 性质3：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)． 性质4：＋＝为定值． 【典例】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝(　　) A．4 B． C．5 D．6 【应用体验】　 1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． 2.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段|AB|的长为(　　) A．5 B．6 C． D． 3．(多选题)(2025·海南调研)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．＋＝1 　 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| 　 D．F为AD的中点 11　圆锥曲线问题的求解方法 一、教材典题·学方法■ 【题源】　(人教A版选择性必修第一册P107·例1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程. 解题路径 看问题 求标准方程(属于轨迹方程问题) 想方法 (1)待定系数法：已知曲线类型用此法；(2)定义法；(3)代入法(相关点法)；(4)直译法(直接法)；(5)参数法 看条件 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，且经过点.设点P为 想定义 则有点P到两焦点的距离之和为2a，想坐标，则有点P的坐标满足椭圆的标准方程 定措施 措施一：根据椭圆的定义建立一个方程，再结合c＝2，a2＝b2＋c2，求出a，b的值． 措施二：根据点P的坐标满足椭圆的方程建立一个方程，再结合c＝2，a2＝b2＋c2，求出a，b的值 尝试解答： 二、链接高考·体验练■ 【真题1】　(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2　　　B．2　　　C．3　　　D．3 解题路径 看问题 求|AB|(属于求值问题) 想方法 整体思想：寻找等量关系，建立关于|AB|的方程求解；各个击破：求出A点的坐标，再根据两点间距离公式求|AB| 看条件 由点A在C：y2＝4x上，想定义，可得点A到焦点F的距离与到准线的距离相等；想坐标，点A的坐标满足抛物线C的方程；由|AF|＝|BF|及点B，F的坐标可建立关于A点坐标的方程 定措施 措施一：设出A点的坐标，利用点A在C上建立一个方程，再根据|AF|＝|BF|建立一个方程，联立求出A点的坐标，最后利用两点间距离公式求出|AB|. 措施二：设出A点的坐标，利用抛物线的定义及|AF|＝|BF|建立一个方程，求出A点的坐标，再利用两点间距离公式求出|AB| 尝试解答： 【真题2】　(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________. 【真题3】　(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A．　　B．　　C．　　D． 第八节　圆锥曲线的综合应用 【课程标准】　圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题以及证明、探索性问题．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力有较高要求，难度较大. 第1课时　求值、证明问题 类型一 求值问题 【例1】　(2024·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 求值问题一般是根据已知条件列出方程求解，但有时要结合直线与圆锥曲线的位置关系，利用根与系数的关系，设而不求，减少运算量． 【训练1】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右顶点分别为A，B，下焦点为F，若S△ABF＝. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的斜率为－k，求k值． 类型二 证明问题 【例2】　(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴． (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴． 圆锥曲线中的常见证明问题 1．位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． 2．数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明． 【训练2】　如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM. 类型三 探究性问题 【例3】　(2024·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 本题第(1)问，利用三角形面积求椭圆方程，较为简单；第(2)问，以向量的数量积为背景，考查直线与椭圆的位置关系，对学生的运算求解能力要求较高．学生在平时备考中要加强计算能力的训练，熟练掌握解析几何基本题型的解题思路． 【训练3】　(2024·湖南二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为(2,0)，离心率为，P是直线x＝4上任一点，过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1＋k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 第2课时　最值、范围问题 类型一 最值问题 考向❶：几何法求最值 【例1】　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(1，2)． (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2且k1＋k2＝3，求点M到直线AB距离的最大值． 利用几何法求解最值问题，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，解题时常用到两点间线段最短、点到直线的垂线段最短等结论． 【训练1】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且直线AM的斜率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点N为椭圆C上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 考向❷：函数法求最值 【例2】　已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值． 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单调性法等． 【训练2】　已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点． (1)求椭圆M的方程； (2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值． 类型二 范围问题 【例3】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈，求|AB|的取值范围． 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 1．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． 2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． 3．利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． 4．利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【训练3】　(2025·陕西西安模拟)已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点． (1)当直线l的斜率是时，＝4，求抛物线G的方程； (2)对(1)中的抛物线G，当直线l的斜率变化时，设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围． 第3课时　定点、定值问题 类型一 定点问题 【例1】　(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 求定点问题的解题策略 1．求解直线或曲线过定点问题的基本思路：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 【训练1】　(2025·湖北黄冈质检)如图，已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆M上异于A，B的动点，满足kPA·kPB＝－，当P为M的上顶点时，△ABP的面积为2. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线AP交直线l：x＝4于C点，直线CB交椭圆M于Q点，求证：直线PQ过定点． 类型二 定线问题 【例2】　(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程． 【训练2】　(2025·吉林长春质检)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为－1的直线l与抛物线E交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l′，交抛物线E于C，D两点，直线AC与BD的交点是否恒在一条直线上？若是，求出该直线的方程；否则，说明理由． 类型三 定值问题 【例3】　(2025·广东佛山联考)已知P是圆C：(x＋2)2＋y2＝12上一动点，定点M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨迹为C′. (1)求C′的方程； (2)若直线l与曲线C′恰有一个公共点，且l与直线l1：y＝x，l2：y＝－x分别交于A，B两点，△OAB的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 求代数式为定值，依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． 【训练3】　已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，|MD|＝4. (1)求p的值； (2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P，Q两点，且∠PGQ＝，证明：点F到直线PQ与到直线l1的距离之比为定值． 新定义 4.以圆锥曲线为载体的新定义问题 类型一 定义新概念 【例1】　加斯帕尔·蒙日(图①)是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图②)．则椭圆C：＋＝1的蒙日圆的半径为____________． 蒙日圆是一种重要的圆．本题也可直接运用二级结论求解．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意不同两点A，B作圆的切线，如果切线垂直且相交于P，则动点P的轨迹为圆x2＋y2＝a2＋b2. 类型二 定义新性质 【例2】　(2025·杭州模拟)已知动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝49和圆C2：(x－1)2＋y2＝1都内切，记动圆圆心M的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，则曲线上一点(x0，y0)处的切线方程为：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0.试运用该性质解决以下问题：点P为直线x＝9上一点(P不在x轴上)，过点P作Γ的两条切线PA1，PA2，切点分别为A1，A2. (ⅰ)证明：A1A2⊥PC2； (ⅱ)点A1关于x轴的对称点为A′1，直线A′1A2交x轴于点N，直线PC2交曲线Γ于G，H两点．记△GC2N，△HC2N的面积分别为S1，S2，求S1－S2的取值范围． (1)利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程． (2)利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程. 类型三 定义新运算 【例3】　(2024·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n＝2,3，…)：过Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点．记Pn的坐标为(xn，yn)． (1)若k＝，求x2，y2； (2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列； (3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积．证明：对任意正整数n，Sn＝Sn＋1. 【规范解答】　将点P1(5,4)的坐标代入C的方程，得52－42＝m，解得m＝9， 所以C：x2－y2＝9. (1)过点P1(5,4)且斜率k＝的直线方程为 y＝(x－5)＋4， 与C的方程联立，消去y化简可得 x2－2x－15＝0，即(x－5)(x＋3)＝0， 所以点Q1的横坐标为－3，将x＝－3代入直线方程，得y＝0， 因此Q1(－3,0)，从而P2(3,0)，即x2＝3，y2＝0. (2)由题意，Pn(xn，yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋1)，Qn(－xn＋1，yn＋1)． 设过点Pn(xn，yn)且斜率为k的直线为ln： y＝k(x－xn)＋yn， 将ln的方程与C的方程联立，消去y化简可得 (1－k2)x2＋(2k2xn－2kyn)x－(kxn－yn)2－9＝0， 由根与系数的关系，得 －xn＋1＋xn＝－， 所以xn＋1＝＋xn＝. 又Qn(－xn＋1，yn＋1)在直线ln上， 所以yn＋1＝k(－xn＋1－xn)＋yn＝－kxn＋1－kxn＋yn. 从而xn＋1－yn＋1＝xn＋1＋kxn＋1＋kxn－yn＝(1＋k)xn＋1＋kxn－yn＝(1＋k)·＋kxn－yn＝·(xn－yn)， 易知xn－yn≠0，所以数列{xn－yn}是公比为的等比数列． (3)由(2)知，数列{xn－yn}是首项为x1－y1＝5－4＝1，公比为的等比数列． 令t＝，由0<k<1可知t>1， 则xn－yn＝tn－1， 又x－y＝9，所以xn＋yn＝＝， 可得xn＝，yn＝. 所以Pn，Pn＋1，Pn＋2. 所以直线PnPn＋1的方程为x－xn＝(y－yn)，即(9＋t2n－1)x－(9－t2n－1)y－9tn－1(1＋t)＝0. 易知点Pn＋2到直线PnPn＋1的距离d＝ ＝. 又|PnPn＋1|＝ ＝， 则Sn＝·|PnPn＋1|·d＝＝，即Sn为定值，所以Sn＝Sn＋1. 本题分层设问，环环相扣，三问都可以通过基本方法简化计算过程；第(2)问利用固定斜率的直线与双曲线交点的性质可以迅速得出结论；第(3)问证明面积相等，运算量超大，需具有很强的运算能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$