第5章 平面向量与复数-(Word练习)【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习讲义围绕平面向量、复数、数列等高考核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑架构梳理知识体系，通过教材回顾夯实基础，微点延伸突破难点，类型题精讲方法，真题演练强化实战，形成系统复习链条，助力学生构建知识网络。 资料采用分层教学策略，基础题巩固概念，综合题提升能力，高考题对接考情。创新设置“微点清”易错提醒和“练后悟通”总结环节，如向量共线定理教学先引导推理再实践应用，培养学生数学思维和运算能力，帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第一节　平面向量的概念及线性运算 【课程标准】　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；2.理解向量的几何表示和基本要素；3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，并理解其几何意义；4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义；5.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 教|材|回|顾 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小称为向量的________(或称______)． (2)零向量：长度为______的向量，记作______． (3)单位向量：长度等于__________________的向量． (4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________． (5)相等向量：长度相等且方向________的向量． (6)相反向量：长度相等且方向________的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝________； 结合律： (a＋b)＋c＝ ________ 减法 几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝________； 当λ>0 时，λa 的方向与a的方向________； 当λ<0 时，λa 的方向与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝______ λ(μa)＝______； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝________ 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________． 微|点|延|伸 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 ＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．若平行四边形ABCD满足|＋|＝|－|，则该平行四边形为矩形． 5．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，O，B，C三点不共线，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 6．向量三角不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 小|题|快|练 1．(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A．若a与b都是单位向量，则a＝b B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 2．(多选题)(人A必二P10T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＋＝ C．＋－＝0 D．－－＝ 3．如图所示，向量a－b＝(　　) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 4．(人A必二P14例6改编)在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且＝a，＝b，用a，b表示＝________. 类型一 平面向量的概念自练自悟 1.(多选题)下列命题正确的有(　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 2．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　) A． B． C． D． 3．下列命题正确的是(　　) A．|a|＝|b|⇒a＝b B．|a|>|b|⇒a>b C．a∥b⇒a＝b D．|a|＝0⇒a＝0 4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，为＝成立的充分条件是(　　) A．a＝3b B．a∥b C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b| 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性． 2．只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等. 类型二 平面向量的线性运算 【例1】　(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n (2)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 平面向量线性运算的解题策略 1．向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． 2．求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值． 【训练】　(1)在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足＝，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a－b C．a－b D．a－b (2)M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B．1 C． D． 类型三 共线定理及其应用 考向❶：向量共线的判断 【例2】　设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且∥，求实数k的值． 利用共线向量定理解题的策略 1．a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． 2．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线． 考向❷：三点共线问题 【例3】　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 【例4】　(利用例3结论解决下面问题)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若AD＝λ，＝μ，则＋＝________. 利用向量共线定理解题的策略 1．a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． 2．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 3．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件为m＋n＝1. 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.设两个向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________． 2. 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 【课程标准】　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线、垂直的条件. 教|材|回|顾 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________.若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝____________，a－b＝__________，λa＝____________，|a|＝____________. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__________________，||＝________________. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔____________. [微点清]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 微|点|延|伸 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 小|题|快|练 1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ 2．(人B必二P154例6改编)如图，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A．c＝b－a B．c＝a－b C．c＝2a－b D．c＝2b－a 3．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A．(3,1) B．(1，－1) C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1) 4．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________. 5．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 类型一 平面向量基本定理的应用 【例1】　(1)如图，C，D是以AB为直径的半圆的两个三等分点，E为线段CD的中点，F为BE的中点，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b (2)在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足＝2＝4，＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. 平面向量基本定理的应用技巧 1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 【训练1】　(1)(2025·鹰潭一模)在△ABC中，D为线段BC上一点，且＝3，＝m＋n，则m－n＝(　　) A．2 B． C．－ D．－2 (2) 如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[0,4] 类型二 平面向量线性运算的坐标表示 自练自悟 1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A． B． C． D． 2．设O(0,0)，A(0,3)，B(6,0)，＝－2，则||＝(　　) A． B．2 C．2 D． 3．在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．2 4．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 1．利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解． 2．向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 类型三 平面向量共线的坐标表示 【例2】　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ D． (2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________. 1．两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 【训练2】　(1)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan＝________. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为(　　) A．3 B． C． D．3 4　平面几何中的向量方法(系数问题) 一、教材典题·研解法■ 【题源】　(人教A版必修第二册P40·3题)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，求m＋n的值． 解题路径 路径1 选择交点O，利用两次共线 路径2 选择交点N，利用两次共线 路径3 利用坐标法：建立直角坐标系 路径4 几何作图法：作辅助线 尝试解答： 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　在△ABC中，点O是BC上的一点，若＝λ(λ≠0)，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，则m，n，λ三者的关系为________． 【变式2】　如图，在△ABC中，＝λ，＝μ，直线AM交BN于点Q，＝，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λμ＝ C．(λ－1)(2μ－3)＝1 D．(2λ－3)(μ－1)＝1 【变式3】　如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n>0)，则＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C． D．5 【变式4】　如图，在△ABC中，点O是线段BC上的点，且满足||＝3||，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N，且＝m，＝n，其中m>0且n>0，若＋的最小值为3，则正数t的值为(　　) A．2 B．3 C． D． 三、链接高考·体验练■ 1．(经典高考题)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且有AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________． 2．(经典高考题)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是________． 第三节　平面向量的数量积 【课程标准】　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 教|材|回|顾 1．平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则________就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe. 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 4．平面几何中的向量方法 三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 微|点|延|伸 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．数量积不满足乘法结合律，即一般情况下，(a·b)c≠a(b·c)． 3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝. 4．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0)． 小|题|快|练 1．已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a＝(　　) A．12 B．4 C．3 D．1 2．(人A必二P24T18改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 4．(人A必二P23T11改编)已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 5．已知向量a＝(－2，λ)，b＝(1,1)，且a⊥b，则λ＝________，向量a－b在向量b上的投影向量为________． 第1课时　平面向量的数量积 类型一 平面向量数量积的运算 考向❶：数量积的计算 【例1】　(1)已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a－2b|＝3，则a·(a－b)＝(　　) A．8 B．9 C．14 D．23 (2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B． 3 C．2 D． 5 求非零向量a，b的数量积的3种方法 1．定义法：若向量的模与夹角已知或能求，可直接根据数量积的定义求得． 2．分解法：若两个向量的模、夹角未知或不易直接求得，可选择一个基底(模和夹角已知或能求)，将两个向量用这个基底分解表示，然后结合数量积的运算律展开求解． 3．坐标法：若问题所涉及的平面图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，写出有关点的坐标，得到向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则进行求解． 考向❷：投影向量 【例2】　(1)已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量是________． (2)(2025·郑州质量检测)已知a＝(－3,4)，b＝(2,2)，则向量a在向量b上的投影向量为________． 求投影向量的方法 1．利用公式：向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos〈a，b〉·. 2．利用公式的两种变形：·＝b. 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(2025·湖北十一校联考)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a·(a＋b)＝(　　) A．a2 B．b2 C．(a＋b)2 D．(a－b)2 2．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　) A． B． C．－ D． 类型二 平面向量数量积的性质应用 考向❶：向量的模 【例3】　(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 利用数量积求解长度(模)问题的处理方法 1．a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. 2．|a±b|＝＝. 3．若a＝(x，y)，则|a|＝. 考向❷：夹角问题 【例4】　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a＝(2t,2)，b＝(－t－2，－5)，若向量a与向量a＋b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为(　　) A．(－3,1) B．(－3，－1)∪(－1,1) C．(－1,3) D．∪ 求平面向量的夹角的方法 1．定义法：利用向量数量积的定义得，cos〈a，b〉＝，其中两向量的夹角〈a，b〉的取值范围为[0，π]． 2．坐标法：若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝. 考向❸：垂直问题 【例5】　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 1．当向量a与b是坐标形式，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，若要证明a⊥b，则只需证明a·b＝0，即证明x1x2＋y1y2＝0. 2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且要知道不共线的向量的模与夹角，进行运算证明a·b＝0. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷❸ ❸ 1.在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2DA，点E满足＝2.若AB＝AC＝6，·＝6，则||＝(　　) A． B．2 C．12 D．11 2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，若(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D．π 3．(2025·广东佛山一模)对于任意非零向量a，b，c，若向量a，b在向量c上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是(　　) A．(a－b)∥c B．(a＋b)∥c C．(a－b)⊥c D．(a＋b)⊥c 　　　　　　　　　　　　　 1．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝1＋是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 2．(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 4．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点， CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________． 5　平面向量的平行、垂直问题 　　　 　　　　　 　　　　　 　　　 一、教材题组·加固练■ 人教A版必修第二册 1 2 3 4 5 P36·9题 P16·例8 P36·10题 P60·8题 P21·例13 【选题说明】本组题以平面向量的平行、垂直为载体，考查平面向量相关运算，突出考查转化与化归思想、方程思想．通过改变条件或变换设问，可以将教材问题变换为高考试题. 【题1】　已知|a|＝3，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标． 【题2】　已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，求实数t的值． 【题3】　已知a＝(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标． 【题4】　已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？ 【题5】　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？ 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　已知向量a＝(1,3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5,7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　　) A．2 B． C．3 D． 【变式2】　若非零向量a，b满足|a|＝3|b|，(2a＋3b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 【变式3】　设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 【变式4】　已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 【变式5】　已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，1)，c＝(m，n)，满足(a＋2b)⊥c，请写出一个符合题意的向量c的坐标________． 三、链接高考·体验练■ 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 3．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 第2课时　平面向量数量积的应用 类型一 平面向量在平面几何中的应用 【例1】　如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是BC的中点，＝，设AM与BN相交于点P，则cos∠MPN＝________. 向量研究平面几何问题的解法 (1)基向量法：适当选取一个基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． (2)坐标法：若把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 【训练1】　在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A．3 B．3 C．3 D．6 类型二 平面向量在物理中的应用 【例2】　若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求： (1)F3的大小； (2)F3与F1夹角的大小． 用向量方法解决物理问题的步骤 【训练2】　一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为正东3 km/h.一艘小货船准备从河流南岸码头P处出发，航行到河流对岸对应点Q(PQ与河流的方向垂直)的正西方向并且与点Q相距250 m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为(　　) A．3 km/h B．6 km/h C．7 km/h D．3 km/h 类型三 最值(范围)问题 【例3】　(1)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的正弦值的最大值为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为(　　) A．　　B．1＋　　C．　　D．2 向量求最值(范围)的常用方法 1．利用基本不等式求最值(范围)． 2．建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． 3．数形结合，应用图形的几何性质求最值． 【训练3】　已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上(包含端点)，若·＝2，则与夹角的余弦值的最大值是________． 第四节　复数 【课程标准】　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 教|材|回|顾 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中的a与b分别叫做复数z的__________与________(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的 分类 a＋bi为实数⇔________ a＋bi为虚数⇔________ a＋bi为纯虚数⇔____________ (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi ______________(a，b∈R)． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝______________； z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________； ＝＝______________(c＋di≠0)． (2)几何意义： 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝__________，＝__________. 微|点|延|伸 1．in(n∈N)的周期性 ①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； ②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 2．复数模的性质 ①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1|·|z2|；③＝(z2≠0)；④|zn|＝|z|n. 3．复数模的几何意义 |z－z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 4．实系数一元二次方程虚根成对：若实系数一元二次方程有虚根，则两根互为共轭复数． 小|题|快|练 1．若复数z＝，则|z|＝(　　) A． B． C． D． 2．(人A必二P95T1(3)改编)已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知i是虚数单位，若|1＋ai|＝5，则实数a＝(　　) A．2 B．2 C．－2 D．±2 4．已知复数z满足z(1－i)＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为________． 5．(2024·上海高考)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 复数的概念 【例1】　(1)已知z是虚数，z2＋2z是实数，则z的(　　) A．实部为1 B．实部为－1 C．虚部为1 D．虚部为－1 (2)(2025·湖南联考)已知复数z＝(a＋bi)i(a，b∈R，i为虚数单位)的共轭复数为，则为纯虚数的充分必要条件为(　　) A．a2＋b2≠0 B．ab＝0 C．a＝0，b≠0 D．a≠0，b＝0 解决复数概念问题的方法及注意事项 1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 【训练1】　(1)(多选题)下面是关于复数z＝－1－i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　) A．|z|＝2 　　 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i 　　 D．z的虚部为－1 (2)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 类型二 复数的几何意义 【例2】　(1)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　) A．(1，－2) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－1，－2) (2)(2025·广东模拟)已知复数z满足|z－1|＝|z＋i|(i为虚数单位)，在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为(　　) A． B． C． D．2 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【训练2】　(多选题)在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是(　　) A．|z1|＝|z2|＝1 B．z1·z2＝|z1|2 C．向量对应的复数是1 D．||＝|z1－z2| 类型三 复数的运算 【例3】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (2)(多选题)(2024·九省联考)已知复数z，w均不为0，则(　　) A．z2＝|z|2 B．＝ C．＝－ D．＝ 1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． 2．复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 【训练3】　(1)已知复数z是方程x2－2x＋2＝0的一个根，则||＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则(　　) A．z1＝±z2 B．z＝z C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3| A．0 B．1 C． D．2 2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 3．(2024·北京高考)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 4．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 6．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 7．(2022·新课标Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 第一节　数列的概念与简单表示法 【课程标准】　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 教|材|回|顾 1．数列的有关概念 (1)数列的定义 按照________排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的________． (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数________ 无穷数列 项数________ 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋1____an 其中n∈N* 递减数列 an＋1____an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 周期数列 对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an (3)数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是____________、____________和____________． 2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示， 学科网（北京）股份有限公司 $$