第3章 一元函数的导数及其应用-(Word练习)【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数专题，涵盖概念运算、几何意义、单调性、极值最值及综合应用等核心考点，按“基础回顾-题型突破-教考衔接”逻辑架构知识体系，通过教材回扣、微点延伸、典例精析、真题演练等环节，帮助学生构建导数问题的解题框架。 讲义采用分层教学与微专题深化策略，如通过隐零点三步曲、极值点偏移对称化构造等方法培养学生数学思维，设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习，结合高考真题链接与即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第一节　导数的概念及运算 【课程标准】　1.了解导数概念的实际背景；2.体会极限思想；3.理解导数的几何意义；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数. 教|材|回|顾 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个__________，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个__________叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝_________________. (2)导函数 当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . (3)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处切线的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)． 2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝______________； (2)[f(x)g(x)]′＝__________________； (3)′＝__________________________(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数为y′x＝__________. 微|点|延|伸 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 小|题|快|练 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(sin 2x)′＝2cos 2x C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝ 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 3．(人A选二P82习题5.2T11改编)已知函数f(x)＝ax2－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝3x平行，则该切线的方程为(　　) A．x－3y＋5＝0 B．3x－y－1＝0 C．3x－y＋1＝0 D．x－3y＋1＝0 4．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为________． 5．(人A选二P70习题5.1T7改编)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是________． 类型一 导数的运算自练自悟 1.(多选题)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1－ B．(e2x)′＝e2x C．(log2x)′＝ D．′＝ 2．已知函数f(x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，则f′(0)＝(　　) A．315 B．314 C．－314 D．－315 3．吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝L时，气球的瞬时膨胀率(气球半径关于气球体积的瞬时变化率)为(　　) A．dm/L B．dm/L C．3 L/dm D．4π L/dm 4．(2025·江苏常州模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为________． 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． 3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 类型二 导数的几何意义 考向❶：求切线方程 【例1】　(1)(学考衔接：人A选二P82探究与发现)牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为(　　) A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 (2)过点(－1,0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程__________． 求切线方程的策略 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等，切点在切线上，切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 考向❷：求切点坐标 【例2】　设a∈R，函数f(x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________． 利用导数几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标时，关键是设出切点坐标，然后通过导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解． 考向❸：求参数的取值范围 【例3】　(2025·湖北省十一校联考)若直线y＝2x为曲线y＝eax＋b的一条切线，则ab的取值范围是________． 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ 加强练 1.(2025·湖北联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程为(　　) A．y＝x－4 B．y＝x C．y＝－2x D．y＝－2x＋2 2．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3) 3．函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 4．(2025·山西联考)过点(2,0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 类型三 两曲线的公切线 【例4】　(2025·福建适应性考试)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则(　　) A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【训练】　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 1　曲线的切线方程 一、教材题组·加固练■ 人教A版选择性必修第二册 1 2 3 4 5 P81·7题 P81·4题(2) P81·5题 P82·11题 P104·13题 【选题说明】考题多源自于教材例题或习题，可通过变换条件、变换设问等命制出新颖的高考试题，考查切点的坐标、切线的斜率、公切线相关知识. 【题1】　设函数f(x)＝1－ex的图象与x轴相交于点P，求该曲线在点P处的切线方程． 【题2】　已知函数y＝xln x，求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程． 【题3】　求曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程． 【题4】　设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． 【题5】　已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值． 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　已知函数f(x)＝x＋ex，则这个函数图象过点P(0,0)处的切线方程为________． 【变式2】　已知函数f(x)＝1－ex，若函数的图象在点P处的切线方程为y＝－ex＋1，则切点P的坐标为________． 【变式3】　已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为________． 【变式4】　已知过点A(a,0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝________. 【变式5】　已知函数f(x)＝x2－2，g(x)＝3ln x－ax，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数a＝________. 三、链接高考·体验练■ 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 2．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 3．(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 4．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. 第二节　导数与函数的单调性 【课程标准】　1.结合实例，借助几何图形直观地了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 教|材|回|顾 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上__________________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上__________________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是________________ 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的________； 第2步，求出导数f′(x)的________； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 微|点|延|伸 　用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 1．f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件． 2．f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件． 3．若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件． 小|题|快|练 1．(人A选二P86例2改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在区间(1,3)上，f(x)单调递减 C．在区间(4,5)上，f(x)单调递增 D．在区间(3,5)上，f(x)单调递增 2．(人A选二P97习题5.3T1(2)改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性为(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 3．函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 4．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是________． 5．若函数f(x)＝ln x－，则不等式f(1－x)>f(2x－1)的解集为________． 类型一 原函数与导函数的图象之间的关系 【例1】　设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象可能是(　　) 解决此类导函数图象与原函数图象关系问题的关键点有两个：一是抓住原函数的单调递增区间对应的导函数函数值为正、原函数的单调递减区间对应的导函数函数值为负；二是抓住原函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映导函数图象在相应点处的变化情况． 【训练1】　已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　　) 类型二 讨论函数单调区间 【例2】　(1)函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B． C．(－∞，－1) D． (2)已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论． 2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 【训练2】　(1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________． (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a>0)，讨论f(x)的单调性． 类型三 函数单调性的应用 考向❶：比较大小 【例3】　(多选题)(2025·深圳模拟)若0<x1<x2<1，则(　　) A．ex2－ex1>ln B．ex2－ex1<ln C．x2ex1>x1ex2 D．x2ex1<x1ex2 比较大小关键是根据已知条件的形式特点构造函数，确定函数的单调性，在同一单调区间内比较大小． 考向❷：解不等式 【例4】　已知定义域为R的函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f′(x)<2x，f(2)＝3，则不等式f(x)>x2－1的解集是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 与比较大小相同，关键也是构造函数，利用单调性解不等式． 考向❸：求参数取值范围 【例5】　(2025·湖南模拟)已知函数f(x)＝cos x＋aln x在区间上单调递增，则a的最小值为(　　) A． B． C． D．π 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1．函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． 2．函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．a<b<c D．c<a<b 2．(2025·陕西西安联考)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)x2，若满足f(log3m)－e－<0，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C．(0,3) D．(3，＋∞) 3．已知函数f(x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 2．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 3．(2022·新课标Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 4．(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________． 第三节　导数与函数的极值、最值 【课程标准】　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 教|材|回|顾 1．函数的极值 (1)极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极值点、极值 极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________； ②将函数y＝f(x)的各极值与____________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 微|点|延|伸 1．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)． 2．有极值的函数一定不是单调函数． 3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 4．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 5．若函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 6．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 小|题|快|练 1．(人A选二P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示， 则函数f(x)极值点的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．函数f(x)＝的极大值为(　　) A．－e B． C．1 D．0 3．(人B选三P100T3改编)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是________________． 5．(苏教选一P230T7改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 类型一 求函数的极值 【例1】　(2024·九省联考)已知曲线y＝f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a； (2)求f(x)的单调区间和极值． 求函数极值关键是划分单调区间，用方程f′(x)＝0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格． 由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少． 【训练1】　(多选题)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　) A．a＝－1 B．f(x)的单调递增区间为(－2,1) C．f(x)的极小值为1 D．f(x)的极大值为5e－3 类型二 已知函数极值求参数 【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 【训练2】　(1)已知函数f(x)＝ln x＋1－2a－x＋有两个不同的极值点x1，x2，则a的取值范围为________． (2)函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是________. 类型三 函数的最值 【例3】　(1)函数f(x)＝xcos x－sin x在区间[－π，0]上的最大值为(　　) A．1 B．π C． D． (2)已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． ①讨论f(x)的单调性； ②求f(x)在上的最大值g(a)． 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 【训练3】　已知函数f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________． 2　三次函数的图象与性质 一、教材题组·加固练■ 人教A版选择性必修第二册 1 2 3 4 P87·例3 P91·例5 P93·例6 P104·9题 【选题说明】本组题中的4个小题均以三次函数为载体，考查三次函数的单调性、极值、最值问题，以及含有参数问题的解法．可以通过改编条件或设问，将教材问题变换为高考试题. 【题1】　求函数f(x)＝x3－x2－2x＋1的单调区间． 【题2】　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值． 【题3】　求函数f(x)＝x3－4x＋4在区间[0,3]上的最大值与最小值． 【题4】　已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值． 【知识链接】　三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a、b、c、d∈R，且a≠0)的图象性质： (1)性质一：定义域为R. (2)性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． (3)性质三：单调性和图象：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，其判别式Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac). a>0 a<0 图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 (4)三次函数的对称中心为，无对称轴. 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－2,4)，则b＋c＝(　　) A．－27 B．－16 C．16 D．27 【变式2】　(多选题)设函数f(x)＝x2(x－3)，则(　　) A．x＝2是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．f(x)的图象关于(1，－2)中心对称 D．当x<0时，f(2－x)<f(x)－4 【变式3】　已知函数f(x)＝x3－x2＋6ax，若f(x)在(－1，＋∞)上既有极大值，又有最小值，且最小值为3a－，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 三、链接高考·体验练■ 1．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 2．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a>1时，f(x)有三个零点 B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 微专题强化四 导数中的函数构造问题 专|题|梳|理 　构造法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过构造的函数利用函数单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．主要考查幂、指数、对数函数的性质、导数运算及应用等，试题形式灵活多样，思维量大，对观察能力、代数式的变形能力要求比较高． 函数构造问题主要包括三大类： 1．构造具体函数 依据题设中目标特征适当变形，将其化为结构相同的式子，然后同构函数，利用函数单调性求解． 2．构造抽象函数 本种题目主要是抽象函数f(x)与x(或xn)、ex(或enx)、sin x(或cos x)的组合函数问题，通过构造f(x)与x(或xn)、ex(或enx)、sin x(或cos x)的和、差、积、商的组合函数，利用构造函数的单调性解决问题． 3．指、对同构 (1)积型：对于不等式aea≤bln b有三种同构方式． (2)商型：对于不等式<有三种同构方式． (3)和差型：对于不等式ea±a>b±ln b有两种同构方式． 有时要对式子进行变形，甚至放缩才能进行同构．例如：aeax>ln x，两边同乘以x，得axeax>xln x，再进行同构：ln eax·eax>xln x或axeax>ln x·eln x，构造函数f(x)＝xln x或f(x)＝xex. 典|型|例|题 类型一 构造具体函数 【例1】　已知a＝＋ln，b＝1＋，c＝＋ln 2，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b 根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质从而解决问题． 【训练1】　(2025·山东济宁模拟)若实数a，b，c∈[0,1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 类型二 构造抽象函数 【例2】　(1)已知定义在R上的连续函数为f(x)，其导函数为f′(x)，当x≠0时，xf′(x)－f(x)<0恒成立．设a＝2f，b＝f()，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(1)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3e的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 隐函数构造问题常见的两类情况 1．g(x)f′(x)±g′(x)f(x)型：此类问题中，往往需要构造y＝g(x)·f(x)或y＝(g(x)≠0)型的函数，常见的如：含xf′(x)±nf(x)需要构造xn·f(x)或，含f′(x)·sin x±f(x)·cos x需要构造f(x)·sin x或，含f′(x)·ln x±f(x)需要构造f(x)·ln x或. 2．f′(x)±kf(x)型：此类问题往往是省略了ekx结构，一般需要构造y＝ekx·f(x)或y＝型的函数． 【训练2】　已知函数y＝f(x)对任意的x∈(0，π)，满足f′(x)sin x>f(x)cos x，则下列不等式成立的是(　　) A．f<f B．f>f C．f>f D．f<f 类型三 指对同构 考向❶：积型同构 【例3】　设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＋1＋b<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea＋1 C．ab<e D．b<ea＋1 本题要进行变形，不能直接同构．不同的变形可以有不同的同构方式，可以按aea<ln 的左边同构，也可以按右边同构． 【训练3】　设m>0，对任意实数x≥e，不等式x2ln x－me≥0恒成立，则m的最大值是________． 考向❷：商型同构 【例4】　若关于x的不等式－>0对∀x∈(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 商型同构即构造函数y＝的形式，如：，，，等及变形形式． 【训练4】　已知函数f(x)＝(ex－1)ln(x＋1)(x>0)，求证：f(x)>x2. 类型三 和(差)型同构 【例5】　对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln(ax)恒成立，则a的最大值是________． 本题通过变形变为y＝ex＋x的形式． 【训练5】　(2025·河南洛阳模拟)已知a>1，b>1，且满足a2－3b>2ln a－ln 4b，则(　　) A．a2>2b B．a2<2b C．a2>b2 D．a2<b2 第四节　导数的综合应用 第1课时　导数与不等式证明 【课程标准】　导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. 类型一 作差构造法证明不等式 【例1】　(2025·大连一模)已知函数f(x)＝xln x＋ax＋1(a∈R)． (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (2)当x>1时，证明：exln x>e(x－1)． 1．若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明h(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)． 2．必要时要对原式进行变形，才能构造差函数，否则计算量可能很大，甚至无法进行不等式的证明．如本例第(2)要先变形，再构造差函数． 【训练1】　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. 类型二 放缩法证明不等式 【例2】　已知函数f(x)＝ex. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>－2时，求证：f(x)>ln(x＋2)． 放缩法证明不等式 在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法证明不等式，常用的放缩技巧有：(1)ex≥x＋1；(2)ex－1≥x；(3)ln x≤x－1；(4)ln(x＋1)≤x；(5)x>0时，sin x<x等． 【训练2】　已知函数f(x)＝ax－sin x. (1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围； (2)求证：当x>0时，ex>2sin x. 类型三 转化为两个函数的最值证明不等式 【例3】　已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立． 要证的不等式中既含有指数又含有对数，若直接用作差或作商的方式构造函数求导后不易处理，我们就可以在合理地分拆和转化后，按照需要构造函数，如本题，把证明x(ln x＋1)>－分拆为两个函数f(x)＝xln x＋x和G(x)＝－，使指数与对数分开，仅含指数或对数，再利用导数求出所构造函数的最值来证不等式成立． 【训练3】　已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 第2课时　导数与不等式恒成立 【课程标准】　恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大. 类型一 分离参数法 【例1】　已知函数f(x)＝ln x＋＋2x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若关于x的不等式f(x)－2≥x＋恒成立，求实数m的取值范围． 利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数的取值范围的基本步骤： 1．将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． 2．求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． 3．解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 【训练1】　已知函数f(x)＝，若f(x)≤x－1对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 类型二 分类讨论法 【例2】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. (1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2，求b的取值范围． 【规范解答】　(1)f(x)的定义域为(0,2)，若b＝0， 则f(x)＝ln＋ax，f′(x)＝·＋a＝＋a， 当x∈(0,2)时，x(2－x)∈(0,1]，f′(x)min＝2＋a≥0，则a≥－2， 思维点1：求a的最小值，利用f ′(x)min≥0求解． 故a的最小值为－2. (2)证明：f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 思维点2：由ln及(x－1)3猜测对称中心横坐标为1，由f(2－x)＋f(x)＝2a证明． 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． (3)由题知f(1)＝a＝－2， 此时f(x)＝ln－2x＋b(x－1)3， f′(x)＝·－2＋3b(x－1)2 ＝－2＋3b(x－1)2 ＝(x－1)2. 思维点3：辨析f ′(x)的符号． 记g(x)＝＋3b，x∈(0,2)， 思维点4：简化f ′(x)的符号判断，构造新函数． 易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，g(1)＝2＋3b， 当b≥－时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,2)上单调递增， 思维点5：b≥－时，判断f(x)的单调性． 又f(1)＝－2，故符合题意． 当b<－时，g(1)<0，g(x)＝＋3b＝， 令g(x)＝0，得x＝1±， 因为b<－，所以∈(0,1)，故1＋∈(1,2)，1－∈(0,1)， 思维点6：b<－时，判断f(x)的单调区间． 所以当x∈时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)在上单调递减， 故f<f(1)＝－2，不符合题意． 综上，b的取值范围为. 本题考查函数与导数知识，深入考查逻辑推理能力、运算求解能力以及数形结合思想．其中第(2)问考查函数图象的对称性这一几何性质的代数表示．源于人教A版必修第一册P87第13题的拓广结论：f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔y＝f(x)关于点(a，b)成中心对称．第(3)问的设问方式相对新颖，需要学生利用导数工具研究函数的单调性，进而解决问题． 【训练2】　(2025·昆明一模)已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当x≥1时，f(x)≤a(x－1)，求a的取值范围． 第3课时　导数与函数的零点 【课程标准】　函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题. 类型一 数形结合法讨论函数零点 【例1】　已知函数f(x)＝ax－ln x－2. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法 1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． 2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置． 3．数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现． 【训练1】　(2025·厦门模拟)设函数f(x)＝ln x－ax2－bx(a，b∈R)． (1)当a＝2，b＝1时，求函数f(x)的单调区间． (2)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围． 类型二 利用函数性质研究函数零点 【例2】　已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围． 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数的单调性确定函数图象与x轴的交点个数，或者通过两个相关函数图象的交点个数确定参数需满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． 【训练2】　已知函数f(x)＝xex－kx2，k∈R. (1)当k＝0时，求函数f(x)在[－2,2]上的值域； (2)若函数f(x)在(0，＋∞)上仅有两个零点，求实数k的取值范围． 微专题强化五 隐零点与双变量问题 专|题|梳|理 1．隐零点问题 如果f′(x)是超越形式(对字母进行有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式)，并且f′(x)的零点存在但无法求出，这时可采用虚设零点法，逐步分析出零点所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的关系推演出所要求的结果．通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式转化为普通式，有效破解求解或推理中的难点． 2．双变量问题 双变量问题的解决分为两类： (1)换元法(或消元法)：将双变量问题转化为单变量问题，利用构造的新函数的性质解决； (2)极值点偏移问题：极值点偏移一般通过对称构造法、比(差)值换元法等进行处理． 典|型|例|题 类型一 隐零点问题 【例1】　(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝4x2＋(8－a)x－aln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝2时，证明：f(x)>4x2－2ex＋6x＋4. 零点问题求解三步曲 1．用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． 2．以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． 3．将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时1中的零点范围还可以适当缩小． 【训练1】　已知函数f(x)＝x2＋ln x－x(a≠0)． (1)当a＝时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值. 类型二 双变量问题 考向❶：双变量恒成立问题(换元法) 【例2】　已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|. 将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式，或者要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性可证得不等式． 【训练2】　已知函数f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x. (1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值； (2)若对任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围． 考向❷：极值点偏移问题 【例3】　已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 极值点偏移问题的解法 1．(对称化构造函数法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f，通过研究F(x)的单调性证明不等式成立． 2．(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【训练3】　(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$