第1章 集合、常用逻辑用语与不等式-(Word练习)【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习讲义覆盖集合、常用逻辑用语、不等式性质、基本不等式、二次函数与一元二次方程不等式等核心考点，按“概念-性质-运算-应用”逻辑构建知识体系。通过教材回顾梳理基础，微点延伸突破易错，小题快练夯实基础，类型讲解提炼方法，真题演练提升能力，形成系统性复习链条。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“考向分类+题组分层”教学法，如二次函数性质讲解中通过分类讨论对称轴与区间位置关系培养逻辑推理能力，基本不等式应用中设计实际问题建模活动提升数学表达能力。设置三级练习配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控节奏提供路径，助力学生构建解题思维体系。

核心微讲 第一节　集合 【课程标准】　1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义；3.理解并会求并集、交集、补集，能用Venn图表示集合的关系与运算. 教|材|回|顾 1．集合与元素 元素的特性 ________、________、________ 元素与集 合的关系 若a属于集合A，记作________； 若b不属于集合A，记作________ 集合的表示法 ________、________、________ 2.常见的数集 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3.集合间的基本关系 文字语言 记法 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 ________或________ 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A ________或________ 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，集合B的任何一个元素也都是集合A的元素 __________________⇔A＝B 空集是任何集合的________，任何非空集合的________ 4.集合的基本运算 语言表示 图形表示 符号语言 并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合的运算性质 交集 A∩B＝______，A∩A＝A，A∩∅＝______，A⊆B⇔A∩B＝______ 并集 A∪B＝________，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝______，A∪∅＝______，A⊆B⇔A∪B＝______ 补集 ∁U(∁UA)＝______，∁U∅＝______，∁UU＝∅，A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝______ 微|点|延|伸 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 3．德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 4．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 小|题|快|练 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} 2．(人A必一P35复习参考题1 T8改编)若集合M＝{(x，y)|y＝1}，集合N＝{(x，y)|x＝0}，则M∩N＝(　　) A．{0,1} B．{(0,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)，(1,0)} 3．(人A必一P9习题1.2 T1改编)下列结论正确的是(　　) A．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{x|x＝t2＋1，t∈R} B．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R} C．∅＝{0} D．集合{a，b}的真子集为{a}，{b} 4．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤9}，若集合B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________. 5．(人B必一P9练习B T4改编)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________. 类型一 集合的含义及表示自练自悟 1.(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 2．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．集合A＝{x|2x2－3x－2<0}，若a∈A，a＋1∉A，则a的取值范围是(　　) A． B． C．[1,2) D．(1,2) 4．若{a2,0，－1}＝{a，b,0}，则ab的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．±1 与集合中元素有关问题的求解步骤 1．确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集． 2．看这些元素满足什么限制条件． 3．根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 类型二 集合间的基本关系 【例1】　(1)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 判断两集合关系的常用方法 1．化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系． 2．数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断． 易错提醒　当B为A的子集时，易漏掉B＝∅的情况而致误． 【训练】　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A． B．∪(0,1) C． D．(－∞，－1)∪[0，＋∞) 类型三 集合的基本运算 考向❶：集合的基本运算 【例2】　(1)(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} (2)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　) A．∅ B．M C．N D．R 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 考向❷：利用集合运算求参数 【例3】　已知集合A＝{x，若A∩N*＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{1} B．(－∞，1) C．[1,2] D．(－∞，2] 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1．与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． 2．若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❶ ❷ 新定义问题 1.已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．(－3,0) B．(－1,0) C．(0,1) D．(2,3) 2．(多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知全集为U，集合A，B，C均为U的子集．若A∩B＝∅，A∩C≠∅，B∩C≠∅，则下列说法一定正确的是(　　) A．A⊆∁U(B∩C) B．C⊆∁U(A∪B) C．A∪B∪C＝U D．A∩B∩C＝∅ 3．(2024·九省联考)已知集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 4．(加强练)(多选题)设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系为(　　) A．B＝∁RA B．B＝∁R(A∩B) C．A＝∁RB D．A＝∁R(A∩B) 第二节　常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词(全称量词)对全称量词命题(存在量词命题)进行否定. 教|材|回|顾 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的_______条件，q是p的_______条件 p是q的____________条件 p⇒q且qp p是q的____________条件 pq且q⇒p p是q的________条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ______________ ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ______________ 微|点|延|伸 1．会区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同． 2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 4．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假． 小|题|快|练 1．(人A必一P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 3．(苏教必一P46“探究拓展”素材发掘命题)《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”则“有之必然”表述的数学关系一定是(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．不能确定 4．(人A必一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是______________． 5．(人B必一P38T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 类型一 充分条件、必要条件的判定自练自悟 1.“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数z1和z2，则“z1>z2”是“z1－z2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．－1<x<0或x>1 　　B．x>－1 C．x<－1或0<x<1 　　D．x>1 充分、必要条件的三种判定方法 1．定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． 2．集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． 3．等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 类型二 充分条件与必要条件的应用 【例1】　(2025·沈阳模拟)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|(x－m－1)(x－2m＋1)<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A．[－3,2] B．[－1,3] C． D． 由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 【训练】　(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2025·河南联考)设p：0<ln(x－2)≤ln 3，q：(x－2m)(x－2m－3)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 类型三 全称量词与存在量词 考向❶：含有量词的命题的否定 【例2】　(1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：_________________. 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． 2．否定结论：对原命题的结论进行否定． 考向❷：求参数的取值范围 【例3】　(1)命题“∀x∈(1,2)，log2x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥0 B．a≥2 C．a≥1 D．a≤4 (2)若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法 1．巧用三个转化 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题； (2)存在量词命题可转化为存在性问题； (3)全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题． 2．准确计算 通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围． 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(多选题)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 2．已知命题p：对于任意x∈[1,2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0.若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________． 第三节　等式性质与不等式性质 【课程标准】　1.梳理等式的性质，理解不等式的概念；2.会比较两个数(式)的大小；3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 教|材|回|顾 1．两个实数比较大小的方法 作差法(a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么_____________________________； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么________； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么________． 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔________； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒________； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒______________； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒________； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 微|点|延|伸 　不等式的两类常用性质 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a>b>0,0<c<d⇒>； (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数的性质 <，>(b－m>0)； (2)假分数的性质 >，<(b－m>0)． 小|题|快|练 1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 2．(人A必一P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 3．如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2 4．已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________． 5．(人A必一P43T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________． 类型一 比较数(式)的大小 【例1】　(1)(2025·石家庄调研)已知a＝e，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 比较大小的常用方法 1．作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． 2．作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． 3．构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【训练1】　(1)已知P＝a2＋b2＋＋c2，Q＝2a＋2b，则(　　) A．P≤Q B．P＝Q C．P≥Q D．P，Q的大小无法确定 (2)若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 类型二 不等式的基本性质 【例2】　(1)(2025·北京朝阳区模拟)若a>0>b，则(　　) A．a3>b3 B．|a|>|b| C．< D．ln(a－b)>0 (2)(多选题)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　) A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 解决此类题目常用的三种方法 1．直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件． 2．利用特殊值排除法． 3．利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 【训练2】　(1)若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列说法正确的是(　　) A．ac2<bc2 B．< C．> D．a2>ab>b2 (2)(多选题)若<<0，则(　　) A．|a|<|b| B．ac<bc C．>0 D．0<<1 类型三 不等式性质的应用 【例3】　(1)已知6<a<60,15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 (2)某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一个比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为________． 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 【训练3】　(1)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________． (2)已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 第四节　基本不等式 【课程标准】　1.了解基本不等式的证明过程；2.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 教|材|回|顾 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：_________________________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立． (3)其中，________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥________(a，b∈R)． (2)＋≥________(ab>0)． (3)ab≤________(a，b∈R)． (4)≥________(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值________________________________________________________________________． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________________________________________________________________________． [微点清]　①利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． ②利用基本不等式求最值简记：积定和最小，和定积最大． 小|题|快|练 1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 2．(人A必一P48习题2.2 T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A． B． C． D．1 4．已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________． 5．某地地震期间，一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地距离400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计)，那么这批物资全部到达灾区最少需要________h. 类型一 基本不等式求最值 考向❶：配凑法 【例1】　(1)当x>1时，x＋的最小值为______． (2)已知0<x<，则x的最大值为________． , 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，先配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式求解． 考向❷：常值代换法 【例2】　(1)若＋＝1，则4a2＋b2的最小值为(　　) A．16 B．8 C．20 D．12 (2)(2025·邯郸模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．4 C． D．9 常值代换法求最值的基本步骤 1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2．把确定的定值(常数)变形为1； 3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； 4．利用基本不等式求解最值． 考向❸：换元法 【例3】　已知x>，求函数y＝的最小值． 本例是通过换元转化为y＝Ax＋＋C的形式，凑出积为常数的形式，进而求最值． 考向❹：消元法 【例4】　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式，最后利用基本不等式求最值． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ ❹ 1.若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 2．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B． C．5 D．9 3．(2025·山西太原模拟)已知x>1，则y＝的最大值为________． 4．设a>0，b>0，且5ab＋b2＝1，则a＋b的最小值为________． 类型二 基本不等式的实际应用 【例5】　(2025·福建厦门模拟)港珠澳大桥通车后，经常往返于港、珠、澳三地的刘先生采用自驾方式出行．刘先生在某段时间内共加油两次，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 利用基本不等式解决实际问题的策略 1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 【训练】　古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若以斜边BC为直径的半圆弧的长为2π，则△ABC周长的最大值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 2．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 3．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 4．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数 【课程标准】　1.掌握二次函数的图象与性质；2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 教|材|回|顾 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝________________. (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0) y＝ax2＋bx ＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 ______ 值域 对称轴 x＝________ 顶点坐标 ____________________________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是____函数；在上是____函数 在上是____函数；在上是____函数 微|点|延|伸 1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f. (2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}． 2．当二次函数的图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数的图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小． 小|题|快|练 1．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为(　　) A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　) 3．函数f(x)＝x2－2x＋4，x∈[0,3]，则函数f(x)的最大值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝________. 5．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________． 类型一 二次函数的解析式 【例1】　已知二次函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且f(0)＝0，顶点的纵坐标为1，求f(x)的解析式． 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【训练1】　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为__________________. 类型二 二次函数的图象 【例2】　(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 【训练2】　(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　) (2)(多选题)已知函数f(x)＝4ax2＋2bx＋c(a≠0)满足f＝0，且f(0)>0，f(1)>0，则下列不等式一定正确的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．f(－1)>0 类型三 二次函数的性质 【例3】　已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 【训练3】　已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值． 第2课时　一元二次不等式的解法 【课程标准】　1.会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.会求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 教|材|回|顾 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式解集 a<b a＝b a>b (x－a)(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} __________ __________ (x－a)(x－b)<0 {x|a<x<b} __________ __________ 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 微|点|延|伸 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 小|题|快|练 1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2} 2．(人B必一P85复习题B组T8改编)设x∈R，则“>0”是“|x－1|<4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x，则a＋b＝________. 4．一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 5．(人A必一P55练习T2改编)如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形土地上进行绿化，计划四周种植花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间种植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________． 类型一 一元二次不等式的解法自练自悟 1.不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　) A． B．(－∞，－1)∪ C． D．∪(1，＋∞) 2．不等式<1的解集为________． 3．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集为________________． 4．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式(a>0)；②确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根；③结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边能因式分解，则可直接写出不等式的解集. 类型二 三个“二次”的关系 【例1】　(1)不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a>0的解集为(　　) A．{x B．{x C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} (2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________． 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 【训练1】　(1)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1,2)，则不等式>0的解集为(　　) A．(－4,2)∪(3，＋∞) B．(－3,2)∪(4，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2,4) D．(－∞，－4)∪(2,3) (2)(多选题)(2025·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A．a2－b2≤4 B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 类型三 一元二次不等式恒成立问题 【例2】　(1)已知mx2＋2mx＋1>0恒成立，求m的取值范围． (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． (3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围． 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)； (2)转化为函数值域问题，即f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a，b])，f(x)≤0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a，b])． 【训练2】　(1)已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．[1，＋∞) C．(－∞，－1) D．[－1,2) (2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C． D． 微专题强化一 一元二次方程根的分布 专|题|梳|理 　解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． ①二次函数图象的开口方向．②对应一元二次方程根的判别式．③二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系．④二次函数在所给区间端点处函数值的正负．具体如下： 1．一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2. (1)两个正根： (2)两个负根： (3)一正根一负根：x1x2＝<0. 2．一元二次方程的根的非零分布——k分布 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2.k为常数．则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干情况： (1)⇔af(k)<0. (2)⇔ (3)⇔ (4)⇔f(k1)·f(k2)<0(f(k1)或f(k2)为0的情况另算)． (5)⇔或 典|型|例|题 【例1】　m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4满足下列条件： (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且一个零点小于－1，另一个零点大于－1； (3)有两个零点且均比－1大． 【例2】　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围． 【训练】　关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在(－2,0)内，另一个根在(0,4)内； (4)一个根小于2，一个根大于4； (5)两个根都在(0,2)内． 学科网（北京）股份有限公司 $$