专题04 勾股定理常考几何模型专训（9大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（9大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理中的旋转模型 题型九 勾股定理中的模型综合 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）一只蚂蚁沿着如图所示的路线从圆柱高的端点A到达．若圆柱底面周长为12，高为9，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 5．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点爬到点，再从点爬回到点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是 ． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 8．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 9．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 12．（24-25八年级下·全国·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 15．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 16．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 17．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 20．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 22．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 23．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 24．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）铁路上、两点相距25km，为良村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上修建一个土特产收购站． （1）在图中，若，则战应修建在离站多少千米处． （2）在图中，若值最小，则点应建在哪里，请求出这个最小值． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 25．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 27．（2025·河南周口·三模）如图所示，已知 中，，点分别在线段上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，的长为 ． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，是边上的高，，，，E为上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 29．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 30．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 31．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 32．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 33．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处， (1)求证：； (2)求重叠部分的面积． 34．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 35．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 37．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 38．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 39．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点D落在对角线处，若，，求的长． 40．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)若，为等边三角形，直接写出的长． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 41．（24-25七年级下·山东烟台·期末）【图形定义】 若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边交点为勾股顶点，如图，在中，，为边上的高，，则为勾股高三角形． 【性质探究】 为勾股高三角形， ，即， 又为的高， 在中，根据勾股定理得：， ，即． 【概念理解】 （1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； 【性质运用】 （2）如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高，，若，请求出线段的长； 【拓展提升】 （3）如图，等腰为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，，为边上的高，过点作边的平行线与边交于点若，请求出线段的长． 42．（2025·山东青岛·一模）【图形定义】若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．如图1，在中，，则为勾股高三角形． 【性质探究】为勾股高三角形 ，即① 又为的高 ，② 由①②可得，即 【性质应用】 (1)等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，则线段的长度为___________． (3)如图3，等腰为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作边的平行线与边交于点．若，则线段的长度为___________． 43．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个三角形一边的平方与另一边上高的平方之和等于第三边的平方，则称这个三角形为“牵手三角形”，这条边与第三边的交点称为“牵手顶点”．例如图1，在中，是边上的高，若，则为“牵手三角形”，点为“牵手顶点”． (1)等边三角形______“牵手三角形”（填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”，，是边上的高．在不添加其他线段和字母的情况下，找出图中一组相等的线段，并说明理由； (3)运用（2）中的结论解决下列问题： ①已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”且是边上的高．若，则的长是______； ②如图3，为“牵手三角形”，其中为“牵手顶点”，是边上的高，，若．求证：为等腰三角形． 44．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）项目化学习 【项目主题】 探究斜三角形的三边数量关系； 【项目内容】 学习了勾股定理后，同学们知道了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方．数学兴趣小组在此基础上对钝角三角形和锐角三角形的三边数量关系产生浓厚兴趣，准备展开探究； 【项目任务】 任务一：（1）如图1，是钝角三角形，且是钝角，、、的对边分别是a、b、c，试比较与的大小； 兴趣小组的思路是：如图2，过点C作的垂线并截取，连接，，通过构造得到；从而将问题转化为比较图中线段和的大小，体现转化的数学思想，再从角的大小关系不难得出，最后可得到结论______；（填“=”“<”或“>”） 任务二：（2）如图3，是锐角三角形，且是最大角，、、的对边分别是a、b、c，猜想______（填“=”“<”或“>”），并说明理由； 任务三：（3）①三边长分别为4、5、7的三角形是______；（填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”） ②已知锐角三角形的两边长分别为3和5，则第三条边长m的取值范围是______．（请直接写出结果） 45．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 46．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 47．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 48．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 49．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （   ）           A． B． C． D．3 51．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 52．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 53．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 54．（24-25八年级上·吉林·期末）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 55．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 56．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 【经典例题八 勾股定理中的旋转模型】 57．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 58．（23-24八年级下·辽宁·阶段练习）如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为 ． 59．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，，点为直线上一点，，将绕点按逆时针方向旋转一周，当时，请直接写出的长 . 60．（2025·河南新乡·模拟预测）已知和为两个全等的等腰直角三角形，，D为的中点，以点D为旋转中心，旋转，交于点J，分别交于G，H两点．    (1)如图1，当时，写出除和全等外的其他全等三角形： ． (2)如图2，当点E恰好落在边上时，连接，求的度数． (3)旋转过程中，当所在的直线与边垂直时，请直接写出的值． 61．（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们用一副三角板进行操作探究性活动．如图1，在中，，，在中，，，是的中点，交于点． 初步分析： （1）善思小组的同学发现，请你证明这一结论． 深入探究： （2）乐学小组的同学将绕点按顺时针方向旋转，使经过点，得到图2，求旋转角的度数． （3）将图2中的沿射线方向平移得到，如图3，此时恰好经过点．若，，请直接写出平移的距离． 62．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）【问题提出】如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； （2）【问题探究】如图2，和是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，和△ADE都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 63．（24-25八年级下·山东滨州·期中）【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________．    64．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 【经典例题九 勾股定理中的模型综合】 65．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图1，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G，交于点H． (1)求证：； (2)当点D是的中点时，求的值； (3)如图2，连接，若，，求的长． 66．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 67．（24-25八年级上·四川眉山·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究： (1)如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角，，连结、．若，，，则线段的长为　　　； (3)如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则求的面积． 68．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，的周长是20，是中线． (1)如图1，若的周长比的周长大2，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，若的周长是16，长为偶数，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（9大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理中的旋转模型 题型九 勾股定理中的模型综合 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径．根据题意，长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长可得底面圆的直径，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，蜜蜂沿如图所示方向飞行路程最短， ∴长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程， ∵圆柱的底面周长是，圆柱高为， ∴底面圆的直径为，， 根据勾股定理得， ∴蜜蜂飞行的最短路程为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故选：D． 4．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）一只蚂蚁沿着如图所示的路线从圆柱高的端点A到达．若圆柱底面周长为12，高为9，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理的应用—最短路径问题，将几何体展开、利用勾股定理进行求解是解题的关键．先将圆柱体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆柱底面圆的周长为12，高为9， ∴将侧面展开为一长为12，宽为9的矩形， 如图，则：， ∴，即：蚂蚁爬行的最短距离为15． 故答案为：15． 5．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点爬到点，再从点爬回到点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】 【分析】本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，沿剪开，展开圆柱的侧面，则这只蚂蚁爬行的最小长度为，由勾股定理求出的长，即可求解，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图： 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意知，，， 由勾股定理，得， ， ∴这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示： ∵圆柱的底面周长为， ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是， 故答案为：． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 8．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 9．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结， 则，． 在中，． 故选C． 10．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ∴， 在中中， ∴它运动的最短路程． 故选：B． 11．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，， ∴； ∵， ∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是， 故选：C． 12．（24-25八年级下·全国·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，分三种情况进行讨论，分别计算的长度，进而比较即可求解． 【详解】解：展开前面和右面，如图： ； 展开左面和上面，如图： ； 展开上面和前面，如图： ； ∵， ∴， ∴需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径 故答案为：5． 15．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 自至在长方体表面的连线距离最短是． 16．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 17．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 18．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】10 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：10． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 22．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2）①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 【答案】（1）米；（2）见解析，米 【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 24．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）铁路上、两点相距25km，为良村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上修建一个土特产收购站． （1）在图中，若，则战应修建在离站多少千米处． （2）在图中，若值最小，则点应建在哪里，请求出这个最小值． 【答案】（1）10km．（2）AE=15，E应建在距A15千米处． 【分析】（1）关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据题意构造直角三角形D′FC，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设AE=xkm， ∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2， 由勾股定理，得152+x2=102+（25-x）2，x=10． 故：E点应建在距A站10千米处． （2）作D点关于AB的对称点D′，连接D′C，再作D′F⊥BC于点F，此时DE+EC最短， ∵DA=15km，CB=10km，A、B两点相距25km， ∴FC=25km，D′F=25km， 根据题意得， ∴BE=10km ∴AE=15km， ∴E应建在距A15千米处． 【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．以及考查了轴对对称求最短路径以及勾股定理，得出E点位置进而构造直角三角形是解题关键． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 25．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点N，过点B作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点N，过点B作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最大值， 根据垂线段最短， ∴时，取得最大值， ∴， 故选：A． 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 27．（2025·河南周口·三模）如图所示，已知 中，，点分别在线段上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识，分类讨论是关键． 根据题意得到，，分类讨论：当时，设，则，，，即；当时，设，则，，即；由此解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， 当时，是直角三角形， 设，则，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴； 当时，是直角三角形， 同理，设，则， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，是边上的高，，，，E为上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理； 连接，由折叠的性质可得，设，由勾股定理得到，求出，得到，再由三角形面积公式即可求出． 【详解】解：连接， 将沿过点E的直线折叠，点A与点B重合，是折痕， 垂直平分， ， 设，则， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，由翻折得，，分三种情况：①当点在边上，且（即）时；②当点在的延长线上，且（即）时；③当点在的延长线上，且（即）时，分别根据勾股定理求出的长，再求出的长即可 【详解】解：由翻折得，，分三种情况： ①当点在边上，且（即）时， ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上，且（即）时，同理得， ， ； ③当点在的延长线上，且（即）时， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， ， ，此时点不在边上，不符合题意，舍去， 综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，． 故答案为：，． 30．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：，， 设，则， 由折叠知， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 31．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 33．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处， (1)求证：； (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键， （1）根据长方形的性质和折叠的性质可证明，则可证明，得到； （2）设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：由题意得，， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴． 34．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 35．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 36．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 37．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 38．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当时，如图：   ， 长方形沿折叠，使点落在点处， ， ， ∴， 当时，如图：    在中，，， ， 长方形沿折叠，使点落在点处， ，，， 点、、共线，即点在上，， 设，则，， 在中，， 即：， 解得， ∴， ∴， 故答案为：或． 39．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点D落在对角线处，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以， 所以     由折叠的性质得：，， ， 所以，     设，则， 在中， ，即， 解得：，即． 40．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)若，为等边三角形，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据折叠的性质可得，，易证得； （2）设，则，由勾股定理可推出，再根据全等的性质可得，即可求得的面积； （3）根据折叠的性质可得，，根据为等边三角形，可得，由的直角三角形的性质可得，，在中，由勾股定理可得的长． 【详解】（1）证明：由折叠可知，，，， ∴，， 在和中， ∴， （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， （3）解：由折叠可知，，， ∵为等边三角形， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得： ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 41．（24-25七年级下·山东烟台·期末）【图形定义】 若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边交点为勾股顶点，如图，在中，，为边上的高，，则为勾股高三角形． 【性质探究】 为勾股高三角形， ，即， 又为的高， 在中，根据勾股定理得：， ，即． 【概念理解】 （1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； 【性质运用】 （2）如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高，，若，请求出线段的长； 【拓展提升】 （3）如图，等腰为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，，为边上的高，过点作边的平行线与边交于点若，请求出线段的长． 【答案】（1）是 （2）线段的长为 （3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股高三角形的定义即可判断； （2）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （3）过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】（1）等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为：是； （2）为勾股高三角形，， 由其性质可知：， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， ， 线段的长为； （3）过点A作，垂足为点， ， 等腰为勾股高三角形，， 只能满足，由其性质可知：， 为边上的高， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 42．（2025·山东青岛·一模）【图形定义】若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．如图1，在中，，则为勾股高三角形． 【性质探究】为勾股高三角形 ，即① 又为的高 ，② 由①②可得，即 【性质应用】 (1)等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，则线段的长度为___________． (3)如图3，等腰为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作边的平行线与边交于点．若，则线段的长度为___________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先画图，再分别表示，，因为，结合勾股高三角形，即可作答． （2）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形如图所示： 依题意，， 即是边上的高， 设， ∴， ∵， 即满足三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴ 由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； 故答案为：； （3）解：如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 在中，， 则 ； 又， ，， ， ， ， ， 而， ∵， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 43．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个三角形一边的平方与另一边上高的平方之和等于第三边的平方，则称这个三角形为“牵手三角形”，这条边与第三边的交点称为“牵手顶点”．例如图1，在中，是边上的高，若，则为“牵手三角形”，点为“牵手顶点”． (1)等边三角形______“牵手三角形”（填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”，，是边上的高．在不添加其他线段和字母的情况下，找出图中一组相等的线段，并说明理由； (3)运用（2）中的结论解决下列问题： ①已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”且是边上的高．若，则的长是______； ②如图3，为“牵手三角形”，其中为“牵手顶点”，是边上的高，，若．求证：为等腰三角形． 【答案】(1)不是 (2)，理由见解析 (3)①8；②见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的性质： （1）直接根据“牵手三角形”的定义，即可求解； （2）根据“牵手三角形”的定义，可得，在中，再由勾股定理可得，即可解答； （3）①由（2）得：，在中，再由勾股定理可得，即可求解；②证明，可得，，从而得到，再由，可得，延长交于点F，证明，可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵等边三角形的三边相等， ∴等边三角形一边的平方与另一边上高的平方之和大于第三边的平方， ∴等边三角形不是“牵手三角形”； 故答案为：不是 （2）解：，理由如下： ∵为“牵手三角形”，是边上的高， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：①如图， 由（2）得：， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8 ②证明：由（2）得：， ∵， ∴和、均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 如图，延长交于点F， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 44．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）项目化学习 【项目主题】 探究斜三角形的三边数量关系； 【项目内容】 学习了勾股定理后，同学们知道了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方．数学兴趣小组在此基础上对钝角三角形和锐角三角形的三边数量关系产生浓厚兴趣，准备展开探究； 【项目任务】 任务一：（1）如图1，是钝角三角形，且是钝角，、、的对边分别是a、b、c，试比较与的大小； 兴趣小组的思路是：如图2，过点C作的垂线并截取，连接，，通过构造得到；从而将问题转化为比较图中线段和的大小，体现转化的数学思想，再从角的大小关系不难得出，最后可得到结论______；（填“=”“<”或“>”） 任务二：（2）如图3，是锐角三角形，且是最大角，、、的对边分别是a、b、c，猜想______（填“=”“<”或“>”），并说明理由； 任务三：（3）①三边长分别为4、5、7的三角形是______；（填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”） ②已知锐角三角形的两边长分别为3和5，则第三条边长m的取值范围是______．（请直接写出结果） 【答案】（1）<；（2）>，见解析；（3）①钝角三角形；② 【分析】本题主要考查三角形的三边数量关系，进一步判断三角形的形状， 任务一：根据题干已知即可得到答案； 任务二：过点A作的垂线并截取，连接，在中，，则，结合等腰三角形的性质得，继而得，利用即即可判定； 任务三：根据，则为钝角三角形；当锐角三角形的两短边长分别为3和5，求得第三边；当锐角三角形的短边长为3，长边长为5，求得第三边，即可知第三条边长m的取值范围． 【详解】解：任务一：<； 任务二：>， 理由如下：过点A作的垂线并截取，连接，如图3， 在中，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，即 即； 任务三：∵ ∴为钝角三角形， 当锐角三角形的两短边长分别为3和5，则第三边小于； 当锐角三角形的短边长为3，长边长为5，则第三边大于； 则第三条边长m的取值范围是， 故答案为：． 45．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图②，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形． 本题考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． 【详解】（1）解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形， （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （3）解：如图②，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． 46．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 47．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 48．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 49．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是构造图形，作于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据两点之间线段最短，求出结果即可． 【详解】解：构图如下，其中于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，， 则四边形是矩形，，， 由勾股定理可知：， ， ∵， ∴的最小值为， 在中，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是． 故选A． 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （   ）           A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，学会利用轴对称的性质构造辅助线并证明全等三角形是解题的关键．作交于，连接、、，由可得是等边三角形，再通过全等的判定方法得到，进而把周长转化为的周长，再利用两点之间线段最短算得周长的最小值，即可得出结论． 【详解】解：如图， 作交于，连接、、， 等边， ， 又， ， 是等边三角形， ． 等边，是上中线， 垂直平分，， 又点在上， ． 等边， ， ， ， ， ，周长周长， 周长周长， 当最小时，周长有最小值， 连接，， 是上中线， 又等边， ， 在中，， ， ， ， 的最小值为， 周长最小值为． 故选：B． 51．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 52．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上取一点，使，连接，过点B作于点H，可推出的最小值为的长，再根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴点与点E关于直线对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 53．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 54．（24-25八年级上·吉林·期末）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；，；；知识运用：点应建在离点千米处，才能使它到、两个城市的距离相等；知识迁移：代数式的最小值为． 【分析】本题考查勾股定理，轴对称-最短路径的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，轴对称-最短路径的几何意义，进行解答，即可． 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积，表示出梯形、四边形、的面积，即可； 知识运用：连接，作的垂直平分线交于点，，设，根据勾股定理，可得；，解出，即可； 知识迁移：根据轴对称-最短路径，进行解答，即可． 【详解】解：小试牛刀：连接，设和的交点为点， ∵， ∴，，， ∴， 由图可得，；； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；，；； 知识运用：连接，作的垂直平分线交于点， ∴， ∵千米，千米，且千米， ∴设， ∴， ∴；， ∴， 解得：， ∴点应建在离点千米处，才能使它到、两个城市的距离相等； 知识迁移：如图，先作出点关于的对称点，连接，过点作的延长线于点， 设，，，， ∴，，， ∴，， ∴代数式的最小值为， ∴， ∴代数式的最小值为． 55．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 【答案】(1)①，；② (2)20 (3) 【分析】本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由勾股定理计算即可得解；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （2）设，，，，则，由勾股定理可得，，从而得出，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，则，，，，从而得出，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得：， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图1， 则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为，即的最小值为； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为20，即的最小值为20． （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下： 则，，，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ， 的最小值为， 的最小值为． 56．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1）10（2）17（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，利用勾股定理求出，然后同（1）求解即可； （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，得，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为17， （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图， 由对称性知，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为． 【经典例题八 勾股定理中的旋转模型】 57．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质．首先连接，利用证明，根据全等三角形的性质可知，，根据勾股定理可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，，为的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 58．（23-24八年级下·辽宁·阶段练习）如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理； ①当在线段上方，点在线段上时，首先求出，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可；②当在线段下方，点在线段的延长线上时，由①知，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：①如图1，当在线段上方，点在线段上时， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴； ②如图2，当在线段下方，点在线段的延长线上时， 由①知， 在中，根据勾股定理得：， ∴； 故答案为：或． 59．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，，点为直线上一点，，将绕点按逆时针方向旋转一周，当时，请直接写出的长 . 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，分两种情况讨论，结合图形，灵活应用各性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，过点作交于点，延长交于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 又∵是等边三角形，, ∴ ， ∴， ∴， ②如图：，过点作交于点， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴, ∴， 又∵, ∴, ∵是等边三角形， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 又∵, ∴, 又∴,, ∴, ∴． 故答案为：或 60．（2025·河南新乡·模拟预测）已知和为两个全等的等腰直角三角形，，D为的中点，以点D为旋转中心，旋转，交于点J，分别交于G，H两点．    (1)如图1，当时，写出除和全等外的其他全等三角形： ． (2)如图2，当点E恰好落在边上时，连接，求的度数． (3)旋转过程中，当所在的直线与边垂直时，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到点四点共线，根据全等三角形的判定与性质即可得出答案； （2）分别过点作于点，交的延长线于点，证明 ，得到，设，则，进一步得到为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）分两种情况：①当点在上方时，②当点在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）解：分别过点作于点，交的延长线于点，如图：    ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 设，则， ∵，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：①当点在上方时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ②当点在下方时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 综上，的值为或． 61．（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们用一副三角板进行操作探究性活动．如图1，在中，，，在中，，，是的中点，交于点． 初步分析： （1）善思小组的同学发现，请你证明这一结论． 深入探究： （2）乐学小组的同学将绕点按顺时针方向旋转，使经过点，得到图2，求旋转角的度数． （3）将图2中的沿射线方向平移得到，如图3，此时恰好经过点．若，，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接，由题意可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得证； （2）由直角三角形的性质可得，，证明为等边三角形，得出，即可得解； （3）由直角三角形的性质可得，，由（2）可得，作交于，作于，由平移的性质可得，，，，证明四边形为平行四边形，，得出，从而可得，设，则，，结合，求出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，连接， ， ∵，是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ∵在中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（2）可得， 如图，作交于，作于， ， 由平移的性质可得，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、平移的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 62．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）【问题提出】如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； （2）【问题探究】如图2，和是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，和△ADE都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析，见解析；（2）；（3）4 【分析】（1）①由和都是等边三角形，可得，，，即可证，故； ②由是等边三角形，可得，，又，可得，有，从而； （2）证明，可得，根据，有，故，即得的度数为； （3）过点A作，且，连接，，证明，得，由，，知，即得，从而，可得． 【详解】（1）证明：①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴； （2）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 63．（24-25八年级下·山东滨州·期中）【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________．    【答案】（1）且；（2）①，理由见解析， 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明，再结合，列式，即可求解； （2）①先根据点为斜边中点，得，再利用证明，得到即可解答； ②先说明，再在中，即可求解； 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接，    ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②，过程如下： ∵， ∴； ∵， ∴； 在中，， 即． 故答案为：． 64．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明得出，设与交于点，得出，再由勾股定理即可得证； （2）连接，证明得出，求出，再由勾股定理即可得证； （3）①过作于点，求出，得出，证明，求出，，再由计算即可得解；②过作于，同理，得出，求出得到，从而得出，由计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， 设与交于点， ， ， 在中，； （2）证明：如图1，连接， ， ∴，即， ，． ， ， ，， ， ， ． 在中，， ． 在中，， ， ； （3）解：①如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ． ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． ， ． ， ； ②过作于， 同理， ， ， ， ， ， ． 【经典例题九 勾股定理中的模型综合】 65．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图1，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G，交于点H． (1)求证：； (2)当点D是的中点时，求的值； (3)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，证明垂直平分，得出，证明，根据等腰三角形判定得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点I，先根据角度关系求出，得出，，设，则，，根据，求出，再根据直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点E作于点I，如图所示： 则， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 66．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明即可得证； （2）先确定，再根据， 得到，根据题意，得， 结合解答即可； （3）连接，过点C作于点F，证明，得，确定，设，则，，根据勾股定理，解答，解方程即可． 此题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，过点C作于点F， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵， ∴． 67．（24-25八年级上·四川眉山·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究： (1)如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角，，连结、．若，，，则线段的长为　　　； (3)如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是： （1）利用证明，即可得出结论； （2）类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求解即可； （3）以为边，在的左上方作等边，类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求出，过A作于H，利用含的直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，以为边，在的左上方作等边， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 过A作于H， 则， ∴， 故答案为：． 68．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，的周长是20，是中线． (1)如图1，若的周长比的周长大2，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，若的周长是16，长为偶数，求的周长． 【答案】(1)8 (2) (3)18 【分析】（1）由题意得出，，则可得出答案； （2）证明为等边三角形，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案； （3）设，则，由三角形三边关系求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长比的周长大2， ， ， 的周长是20，， ， ， ． （2）解：，， ， 为等边三角形， ， 是的中线， ， ， 的周长是20， ， ， ； （3）解：设，则， ， 的周长是16， ， ， ， 长为偶数， ， ，， 的周长是20， ， 的周长． 【点睛】此题考查了三角形的中线与周长，三角形三边关系，勾股定理，等边三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$