第04讲 二次根式的运算 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第04讲 二次根式的运算 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．二次根式的乘除法 2．同类二次根式 3．二次根式的加减法 4．二次根式的混合运算 5．二次根式的化简求值 6．二次根式的应用 题型巩固 一、同类二次根式 二、二次根式的乘法 三、二次根式的除法 四、二次根式的乘除混合运算 五、二次根式的加减运算 六、二次根式的混合运算 七、比较二次根式的大小 八、分母有理化 九、已知字母的值，化简求值 十、已知条件式，化简求值 十一、二次根式的应用 十二、实数的混合运算 十三、新定义下的实数运算 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（10） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点3．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点5．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型巩固 题型一、同类二次根式 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 【详解】解：A：，与是同类二次根式； B：，与不是同类二次根式； C：，与不是同类二次根式； D：，与不是同类二次根式． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式，根据同类二次根式及最简二次根式的定义可得，解得的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， 解得：， 当时，二次根式有意义， 故； 故答案为：1． 题型二、二次根式的乘法 3．（23-24八年级上·上海·期末）的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 5．（2024八年级上·上海·专题练习）计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ． 你有什么发现？请与同学交流． 【答案】（1），；（2），；（3），；发现： 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则依次进行计算即可得；熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2），； 故答案为：，； （3），； 故答案为：，； 发现：． 题型三、二次根式的除法 6．式子的值是（    ） A．9b B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解. 【详解】=. 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟练运用二次根式的除法法则是解决问题的关键. 7．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 8．（22-23八年级上·上海·阶段练习）化简：（其中）． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】将除法转化为乘法，再利用二次根式的乘除法则计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则，从而正确化简算式． 题型四、二次根式的乘除混合运算 9．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】分别根据二次根式的加减乘除运算法则，直接求解各选项即可． 【详解】解：A．，无法计算，故选项A错误， B. ，故选项B错误， C. ，故选项C正确， D. ，故选D错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 10．（23-24八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 题型五、二次根式的加减运算 12．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果. 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，化简后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 14．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 题型六、二次根式的混合运算 15．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 16．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据平分差公式进行运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 17．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型七、比较二次根式的大小 18．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法． 【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方： 由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得． 故选：B． 19．比较大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】首先分别求出、的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系． 【详解】解：解： ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 20．阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八、分母有理化 21．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 22．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）分母有理化： 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相等．找出分母的有理化因式是解本题的关键．找出分母的一个有理化因式为，然后分子分母同时乘以，分母利用平方差公式计算，分子利用乘法分配律计算，约分后即可得到最后结果． 【详解】解：． 题型九、已知字母的值，化简求值 24．若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将代数式化为完全平方式，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 25．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用平方差公式分别计算出、的值，代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 题型十、已知条件式，化简求值 27．化简（y＜0）的结果是（　　） A．y B．y C．﹣y D．﹣y 【答案】D 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据二次根式的概念求出x的符号,根据二次根式的性质化简即可. 【详解】由二次根式的概念可知, ,又, , 化简的结果是, 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,掌握二次根式的性质是解题的关键,注意二次根式的被开方数是非负数. 28．已知求的值= . 【答案】26 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】先把两等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，则可计算出a＋b＝34，再根据完全平方公式变形得到＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760， ∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760， ∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160， ∴a＋b＝＝34， ∴＝＝ 故填：26. 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及整式的运算法则. 29．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 【答案】或 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据题意，得，然后根据x，y都是有理数，判断出与也是有理数，据此推出，求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y都是有理数， ∴与也是有理数，且都为0， ∴ 即， 解得或， ∴或． ∴的值为或． 【点睛】本题考查了实数的计算，以及有理数的含义与应用，解题的关键是判断出与都是有理数． 题型十一、二次根式的应用 30．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 31．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为、、，三角形的面积为S，则．已知在中，，，，那么的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，，，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴； 故答案为． 32．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 题型十二、实数的混合运算 33．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】实数的混合运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先根据整式的运算法则化简，再把，代入计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， 当，， 原式． 34．计算: (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的运算，涉及到了平方差公式和二次根式的混合运算，解题关键是掌握运算法则与方法． （1）先化简二次根式与计算乘方和去绝对值，再计算即可； （2）先计算二次根式的除法和平方差，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） 题型十三、新定义下的实数运算 35．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， ， 故选：A． 分层强化 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】直接根据二次根式的除法计算法则求解即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除计算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘除计算法则． 2．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 3．下列计算中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质分别进行判断即可； 【详解】不能合并，故A不正确； ，故B不正确； ，故C不正确； ，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 5．下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 6．如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 【答案】A 【分析】先进行分式化简，再把m2+m代入即可. 【详解】解：（1） ＝m2+m， ∵m2+m0， ∴m2+m， ∴原式， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】 ． 故答案为：2． 8．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，掌握运算法则是解题的关键． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练计算是解题的关键，先利用二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用二次根式的乘法法则及化简的法则进行运算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 11．假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．根据题意得：，将，代入即可得到的值． 【详解】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 12．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ． 故答案为： 14．比较大小： 【答案】 【分析】先得到，，即可作答． 【详解】∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式大小的比较，掌握二次根式大小的比较方法是解答本题的关键． 15．把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】16cm 【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为， 根据题意得： x＝－2， 则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2， 宽分别为：2和4－x＝6－， ∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）． 故答案为：16cm． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键． 16．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故答案为：1． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，利用积的乘方和平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 18．计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 19．计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算小括号内的分式加法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20．当时，化简代数式，并求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简代数式是解题关键． 首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 21．已知，，求代数式的值． 【答案】2015 【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案． 【详解】解：∵x， y， ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键． 22．解不等式： < 【答案】 【详解】试题分析：根据不等式的性质解. 试题解析： 23．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】(1)落到地面的时间为； (2)这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； （2）由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害． 24．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式的运算 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．二次根式的乘除法 2．同类二次根式 3．二次根式的加减法 4．二次根式的混合运算 5．二次根式的化简求值 6．二次根式的应用 题型巩固 一、同类二次根式 二、二次根式的乘法 三、二次根式的除法 四、二次根式的乘除混合运算 五、二次根式的加减运算 六、二次根式的混合运算 七、比较二次根式的大小 八、分母有理化 九、已知字母的值，化简求值 十、已知条件式，化简求值 十一、二次根式的应用 十二、实数的混合运算 十三、新定义下的实数运算 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（10） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点3．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点5．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型巩固 题型一、同类二次根式 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式与可以合并，则 ． 题型二、二次根式的乘法 3．（23-24八年级上·上海·期末）的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 5．（2024八年级上·上海·专题练习）计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ． 你有什么发现？请与同学交流． 题型三、二次根式的除法 6．式子的值是（    ） A．9b B． C． D． 7．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 8．（22-23八年级上·上海·阶段练习）化简：（其中）． 题型四、二次根式的乘除混合运算 9．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·上海·单元测试）计算： ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 题型五、二次根式的加减运算 12．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 14．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 题型六、二次根式的混合运算 15．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知，，那么 ． 17．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 题型七、比较二次根式的大小 18．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 19．比较大小： ． 20．阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 题型八、分母有理化 21．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）分母有理化： 题型九、已知字母的值，化简求值 24．若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 25．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 26．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：，，求代数式的值． 题型十、已知条件式，化简求值 27．化简（y＜0）的结果是（　　） A．y B．y C．﹣y D．﹣y 28．已知求的值= . 29．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 题型十一、二次根式的应用 30．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为、、，三角形的面积为S，则．已知在中，，，，那么的面积为 ． 32．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 题型十二、实数的混合运算 33．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 34．计算: (1)． (2) 题型十三、新定义下的实数运算 35．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 分层强化 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 6．如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 二、填空题 7．计算： ． 8．计算： ． 9．计算： ． 10．计算的结果是 ． 11．假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 12．化简的结果是 ． 13．若，则 ． 14．比较大小： 15．把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 16．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算 19．计算：先化简，再求值：，其中． 20．当时，化简代数式，并求代数式的值． 21．已知，，求代数式的值． 22．解不等式： < 23．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 24．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$