8.2《提公因式法》提公因式为多项式的因式分解 课件 2024--2025学年北京版七年级数学下册

——提公因式为多项式的因式分解 8.2 提公因式法 记住:提公因式时，公因式也可以是多项式 回顾旧知 下列各式中的公因式是什么？ 1、a(x+y)+b(x+y) 2、x(a+3)-y(a+3) 3、6m(p-3)+5n(p-3) 4、7x(m-n)-2y(m-n) 5、x(a+b)-y(a+b)+z(a+b) 6、2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1) 7、2x(3a-b)-y(b-3a) 2m(x+1) (3a-b) 情景引入 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立： (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2; (3) (a-b)3 =___(b-a)3; (4) (a-b)4 =___(b-a)4; (5) (a+b)5 =___(b+a)5; (6) (a+b)6 =___(b+a)6； (7) (a+b) =___(-b-a); (8) (a+b)2 =___(-a-b)2. - + - + + + - + 由此可知规律： (1)a-b 与b-a 互为相反数. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数） (2)a+b 与 -a-b互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数） (3) a+b与b+a互为相同数, (a+b)n = (b+a)n (n是整数） 导入新知 注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号. 钱 新课导入 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法的依据是乘法分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的逆运用.即 m(a+b+c) ma+mb+mc 乘法分配律 提公因式法 2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数. 导入新知 思考： （1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？ （2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？ 最大公约数 相同的字母 最低次幂 观察:下列多项式中,各项有相同的因式吗? 思考1:多项式也能成为公因式吗?为什么? 1.a(x-y)-b(x-y) 2.2b(a+c)+3(a+c)2 3.2a(x-3)+2b(x-3) x-y a+c 2(x-3) 可以;只要是各项都含有的,相同的因式,都可以成为公因式. 思考2:如何确定多项式形式的公因式? 1.定系数;2.定式子(包括字母);3.定指数. 探究新知 找出下列各式的公因式: a(x-3)+2b(x-3) y(x+1)+y2(x+1)2 1 系数:最大公约数 x-3 相同的式子 指数:相同式子的最低次幂 1 1 1 系数: 相同的式子: 相同式子的最低次幂: 所以,公因式是x-3. 1 1 y(x+1) 1 所以,公因式是y(x+1). 思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式. 思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？ (1) a(x - y) - b( x - y) (2) a(b + c) - 3(b + c) (3) a(x - 3) + 2b( x - 3) (4) y(x + 1) + y2( x + 1)2 解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3) = (x - 3)(a + 2b). 例1 把下列各式分解因式： (1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 . = y(x + 1)(1 + xy + y). 提公因式为多项式的因式分解 (2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 P P P(a + 2b) P P yP(1 + P) 典例精析 1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 归纳总结 1. x(a + b) + y(a + b) 2. 3a(x - y) - (x - y) 3. 6(p + q)2 - 12(q + p) = (a + b)(x + y) = (x - y)(3a - 1) = 6(p + q)(p + q - 2) 练一练 例2 把下列各式因式分解： (1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b) 解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)2[(m－n)－2] ＝6(m－n)2(m－n－2) 两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： (2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数. 如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a). (1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等. 如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a. 归纳总结 由此可知规律： (1) a - b 与 -a + b 互为相反数. (a - b)n = (b - a)n (n是偶数) (a - b)n = -(b - a)n (n是奇数) (2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等. (a±b)n = (±b + a)n (n是整数) a + b 与 -a - b 互为相反数. (-a - b)n = (a + b)n (n是偶数) (-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数) 小试牛刀 1.直接写出下列多项式的公因式: (1)2a(a+b-c)-4b(a+b-c); (2)2(a-b)2+x(a-b)3; (3)2y(x-y)2-4(x-y)3+3x(x-y); (4)3x2y-6y2z+9zy3; (5)2m2n(m-n)+4m2(m-n)-6n(m-n)m2. 2(a+b-c) x-y 2m2(m-n) (a-b)2 3y 解:(1)a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b) 解:(2)原式=y(x+1)·1+y(x+1)·y(x+1) =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(1+xy+y) (1)a(x-3)+2b(x-3) (2)y(x+1)+y2(x+1)2 提公因式法两大步: ①找出公因式; ②除以公因式,找到剩余部分. 公因式:x-3 剩余部分:a,2b 公因式:y(x+1) 剩余部分:1,y(x+1) 注意:长相雷同莫漏1. 典例解析 把下列各式分解因式: 1.公因式既可以是单项式的形式,也可以是多项式的形式. 2.整体思想运用:将括号内的式子,当做一个特殊的字母. 小结归纳 pa+pb+pc 3.恒等性:分解前有多少项,分解后就有多少项,并且式子两边的大小不变. a(x-3)+2b(x-3) (x-3)(a+2b) (1)a(x-y)+b(y-x) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 解:(1)a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)+b·(-1)(x-y) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) 解：（2）6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3-2·6(m-n)2 =6(m-n)3-2·6(m-n)2 =6(m-n)2[(m-n)-2] =6(m-n)2(m-n-2) 探究新知 例2把下列各式因式分解: 互为相反数的式子如何提取公因式: 含有互为相反数的因式时,先将互为相反数的因式统一成相同的因式. 在下列各式等号右边的括号前填入"+"或"-"号,使等式成立: (1) (b-a) =___ (a-b); (5) (b-a)2 =___(a-b)2; (2) (b-a)3 =___(a-b)3; (6) (b-a)4 =___(a-b)4; (3) (b+a) =___(a+b); (7) (b+a)2 =___(a+b)2； (4) (b+a)3 =__(-a-b)3; (8) (b+a)4 =___(-a-b)4. - - + - + + + + 探究新知 由此可知规律: (1)b-a与a-b互为相反数. (2)-a-b与a+b互为相反数. (b-a)n =(a-b)n (n为偶数) (b-a)n =-(a-b)n (n为奇数) (3)a+b与b+a互为相同数. (-a-b)n=(a+b)n (n为偶数) (-a-b)n=-(a+b)n (n为奇数) (a+b)n=(b+a)n 小结归纳 随堂练习 1.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( ). A. x2-y2 B. x2+2x C. x2+2y2 D. x2-xy+y2 B 2. 多项式 -9x2y+3xy2-6xyz 各项的公因式是( ). A. -3xy B. 3yz C. 3xz D. -3x A 3. 因式分解 a(a-b)3 + 2a2(b-a)2 - 2ab(b-a)2. 解：原式 = a(a-b)3 + 2a2(a-b)2 - 2ab(a-b)2 = a(a-b)2 [(a-b) + 2a - 2b] = a(a-b)2(3a-3b) = 3a(a-b)3 4.已知 x、y 都是正整数，且x(x-y) - y(y-x)=12，求 x、y. 解：∵ x(x-y) - y(y-x) =12 ∴ (x-y)(x+y) =12 ∵ x、y是正整数 ∴ 12分解成1×12，2×6，3×4 又∵ x-y与x+y奇偶性相同，且x-y < x+y x-y = 2 x+y = 6 ∴ x = 4 y = 2 ∴ 5. 已知 a-b=5，ab=6，求代数式a2b-ab2+4ab的值. 解：a2b - ab2 + 4ab = ab(a-b+4). 将 a-b = 5，ab = 6代入计算， 则原式 = 6×(5+4)=54. 因式 分解 多项式形式提公因式法 确定公因式的方法:三定,即定系数;定式子;定指数. 特殊情况: 若多项式各项中,含有互为相反数的因式,可将互为相反数的因式先统一成相同的因式. 分两大步:1.确定公因式;2.找到剩余部分,将多项式化为乘积形式. 课堂总结 $$