8.2 提公因式法 提公因式为单项式的因式分解 学习课件 2024--2025学年北京版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“提公因式法（单项式）”核心知识点，通过回顾因式分解与整式乘法的关系搭建旧知支架，结合情景引入观察多项式相同因式，帮助学生自然衔接新知，构建完整知识脉络。 其亮点在于以“定系数、定字母、定指数”三步法明确公因式确定方法，通过易错案例（如公因式提尽、漏项补1、提负号变号）培养抽象能力与推理意识，例题练习规范数学表达。学生能夯实基础，教师可高效突破重难点，提升教学效果。

8.2提公因式法 —— 提公因式为单项式的因式分解 1.能准确地找出各项的公因式；（重点） 2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点） 学习目标 每一项中均有因式 z 回顾旧知 一、因式分解 ： 像这样：ma+mb+mc=m（a+b+c）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解 二、因式分解与整式乘法的关系： （1）式：m（a+b+c）=ma+mb+mc是整式乘法. （2）式：ma+mb+mc=m（a+b+c）是因式分解. 三、多项式 z2+yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什了么？ z2的因式是 z 和 z yz的 因式是 y 和 z 新课推进 多项式 ab + ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2 + x 呢？多项式 mb2 + nb – b 呢？ 我们把多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 多项式 ab + ac的各项都含有相同的因式 a. 3x2 + x各项都含 x；mb2 + nb – b 各项都含 b. 情景引入 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ pa+pb+pc x2＋x 相同因式p 相同因式x 多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式. pa+ pb +pc = p ( a+b+c ) 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以根据乘法分配律的逆用，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. （1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？ 议一议 2x2 （2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？ 2x2 + 6x3 = 2x2(1+3x) 注意 公因式可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式. 一个多项式各项的公因式由两部分组成：系数部分和字母部分. 随堂演练 找出下列各多项式的公因式. ac+ bc a 2 - a 3 30mb2 + 5nb 3x+6 a2b–2ab2 +ab 7(a–3)–b(a–3) -6 x 2 y-8 xy 2 c 5b 3 ab （a-3） a2 -2xy 注意：各项都有“-”则当作公因式“-1” 怎样将多项式因式分解呢？ ①ax + ay ②2x–6xy ③8m–2n ④6a²b + 4ab 像这样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法. 因式分解的依据是什么？ 乘法分配律的逆运用 ①ax + ay ②2x–6xy ③8m–2n ④6a²b + 4ab 例题讲解： 解：原式= a(x+y) 解：原式= 2x(1–3y) 解：原式= 2(4m–n) 解：原式= 2ab(3a+2) 有空位用“1”占位 公因式要提尽 1. 在下列括号内填写适当的多项式： （1）3x3-2x2+x= x( ) （2）-30x3y2+48x2yz = -6x2y ( ) 3x2-2x+1 5xy-8z 随堂演练 2. 把下列多项式因式分解： （1）3xy-5y2+y；　 （2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2. （3）4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z 3. 答案：y(3x-5y+1) 答案：-2m2n2(3m+2n-5) 答案：4x2yz2(x-2z2+3x2yz) 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 要点归纳 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 相同字母的最低次幂. 1.观察下列多项式的结构有什么共同特点？ 探究新知 知识点 1 公因式 多项式的各项都含有相同的因式. 多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式. 结论 因式分解：12x2y+18xy2. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2. 注意：公因式要提尽. 正确解：原式=6xy(2x+3y). 问题1：小明的解法有误吗？ 提公因式 易错分析 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 因式分解：3x2 - 6xy+x. 正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1). 问题2：小亮的解法有误吗？ 提公因式 易错分析 提出负号时括号里的项没变号. 错误 因式分解： - x2+xy-xz. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z). 问题3：小华的解法有误吗？ 提公因式 易错分析 方法总结 提公因式注意事项： 1、公因式，要提尽。 2、莫漏项（某项与公因式相同） 3、提负号，要变号。 2.如何确定多项式的公因式？ 探究新知 系数的 最大公因数 相同字母 字母的 最小指数 练习 下列说法正确的是( ). A. 多项式mx2-mx+2各项的公因式是m B. 多项式7a3+14b各项没有公因式 C. 各项的公因式是x2 D. 多项式10x2y3-5y3+15xy2各项公因式是5y2 D 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例 将下列各式分解因式： （1） 3x+x3 解：原式 = x · 3 + x · x2 = x(3 + x2) （2）7x3 - 21x2 解：原式 = 7x2 · x - 7x2 · 3 = 7x2(x-3) （3） 8a3b2 -12ab3c + ab 解：原式 = ab · 8a2b - ab · 12b2c + ab · 1 = ab(8a2b - 12b2c + 1) （4） – 24x3 –12x2 +28x 解：原式= - (24x3 + 12x2 - 28x) = - (4x · 6x2 + 4x · 3x - 4x · 7) = - 4x( 6x2 + 3x - 7) 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“－”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号. 确定公因式的方法 公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.（当系数是整数时） 1.定系数： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 相同字母的指数取各项中字母的最低次幂. 2.定字母： 3.定指数： 在多项式中，若某一项是公因式，则提公因式后应在括号内多因式的相应位置写上“1”，千万不要漏掉“1”. 3ax2 - 6ax - 3a = 3a(x2-2x-1) 随堂练习 将下列各式分解因式： （1） ma + mb； （2） 5y3 + 20y2； （3） 4m3 - 6m2； （4） a2b – 5ab+9b； （5） -a2 +ab - ac； （6） -2x3 +4x2 – 6x. 解：（1）ma + mb = m(a+b)； （2） 5y3 + 20y2 = 5y2(y+4)； （3） 4m3 - 6m2 = 2m2(2m-3)； （4） a2b – 5ab+9b = b(a2-5a+9)； （5） -a2 +ab – ac = -a(a-b+c)； （6） -2x3 +4x2 – 6x = -2x(x2-2x+3). 提公因式法 （单项式） 确定公因式的方法 注意 定系数，定字母，定指数 课堂小结 一找； 二提； 三分解. 提公因式法的步骤 提公因式法与单项式乘多项式是互逆的恒等变形 1、因式分解要彻底； 2、不要漏项； 3、提取“-”号要变号. $$