8.2提公因式法 学习课件 2024--2025学年北京版七年级数学下册

8.2 提公因式法 1.理解公因式的概念，并会找出多项式的公因式。 2.会用提公因式法分解因式。 3.主动参与到探索过程中去，培养全面观察问题、分析问题、逆向思维的能力。 学习目标 (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 1.运用前面所学的知识填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 2.根据等式的性质填空： m a+b+c x+1 x-1 a+b 这些式子有什么共同点？ 都是多项式化为几个整式的积的形式 整式乘法 (x+2)(x-2)=x2-4 x2-4=(x+2)(x-2) 因式分解 x2-2xy+y2=（x-y)2 （x-y)2=x2-2xy+y2 2x(x2+3y)=2x3+6xy 2x3+6xy=2x(x2+3y) 整式乘法 多项式形式 多项式形式 整式乘法 （计算、化简） （因式分解） 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做因式分解。（也叫做把这个多项式分解因式。） 因式分解的定义： 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式，而不是单项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 ma+mb+mc 多项式中的每一项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式m 因式分解之基本方法—提公因式法 这个多项式有什么特点？ 例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是3x 指数：相同字母的最低次幂 1 共学探究 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ， 不是的，请说明为什么？ ③⑥ ①am+bm+c=m(a+b)+c ②24x2y=3x ·8xy ③x2-1=(x+1)(x-1) ④(2x+1)2=4x2+4x+1 ⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 ⑤x2+x=x2(1+ ) 共学探究 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 提公因式法 pa+pb+pc 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x 相同因式p 相同因式x 多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式. 提公因式法 (a+b+c) pa+ pb +pc = p 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 定公因式 找3x 4y2– 6x3yz的公因式. 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 3 x 4 y2 – 6 x3 y z 系数：最大公约数为3 字母：相同的字母x 指数：相同字母的最低次数为3 字母：相同的字母y 指数：相同字母的最低次数为1 所以公因式是3x3y 共学探究 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个， 即取字母的最低次数. 正确找出多项式的公因式的步骤： (3) 8a3b2 + 12ab3c； 把下列各式分解因式 (4) 2a(b+c) - 3(b+c). (1) 3a2-9ab； (2) -5a2 + 25a； 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1) 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 把3x2 - 6xy+x分解因式. 小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号 错误 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 小华的解法有误吗？ 课堂检测 2、下列式子从左到右变形是属于因式分解的是(　　) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 1、下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　) A．a2＋1＝a(a＋ ) B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y) 课堂检测 3、下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是(　　) A．6a2b＝3a2•2b B．x2－3x－4＝x(x－3)－4 C．ab2－2ab＝ab(b－2) D．(2－a)(2＋a)＝4－a2 4、下式各式从左到右的变形中，哪些是因式分解？ ①x2－x＝x(x－1)； ②a(a－b)＝a2－ab； ③a2－2a＋1＝a(a－2)＋1； ④x2－4x＋4＝(x－2)2. 课堂检测 5、若一个多项式分解因式的结果为(a＋2)(a－3)，则这个多项式为________． 6、已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为(　　) A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2 C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6 课堂检测 7、将下列多项式分解因式： 注意事项 1.因式分解是整式乘法的逆变形, 2.因式分解的对象应是多项式, 3.因式分解的结果一定是积的形式, 4.结果中的每一个因式都必须是整式, 5.要分解到再也不能分解为止,不能含有中括号， 7.分解因式后每个多项式因式各项系数都应是整数， 8.因式分解最后如果是同底数幂，要写成幂的形式。 9.确定公因式的方法：一找系数的最大公约数， 二找相同的字母，三找相同字母的最低指数， 6.多项式的首项系数是负数，要先把各项放在前面带有负号的括号内 10.提公因式法的步骤：一找（公因式），二提（公因式）， 三写（把多项式写成公因式与另一个多项式的乘积 $$