第十一讲 二元一次方程组及解法 培优课件-2025-2026学年湘教版数学七年级上册

第十一讲 二元一次方程组及解法 1 2 重点分析： 1.组成二元一次方程的条件有四个：（1）方程.（2）含有两个未知 数.（3）方程的两边都是整式.（4）含未知数的项的次数都是1次. 2.二元一次方程组的概念：有两个一次方程，并且含有两个未知数 的方程组.注意未知数的个数总共是两个，也就是说组成方程组的方程 中也可以有一元方程. 3 3.代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）将其中一个方程变形 为由一个未知数表示另一个未知数的代数式形式.（2）用这个代数式代 替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知 数的值.（3）把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值. （4）写出方程组的解. 4 4.加减消元法解二元一次方程组的步骤：（1）将其中一个未知数 的系数化成相同或互为相反数.（2）通过加减消去这个未知数，得到一 个一元一次方程.（3）解这个一元一次方程得一个未知数的值.（4）将 求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程求出另一个未知数的 值.（5）写出方程组的解. 5 难点分析： 1.一个二元一次方程一般有无数组解，确定二元一次方程的解的方 法：先将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再给这个 未知数赋值，代入求出另一个未知数对应的值. 2.二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的各个方程，方程组 中某一个方程的解不一定是方程组的解. 3.代入消元法和加减消元法解方程组各有特点，要结合方程组的特征 灵活选择. 6 已知方程是关于的二元一次方程，则 的值为___. 1 思路点拨 根据二元一次方程的定义得出 ,求出m 的值即可. 解题过程 方程是关于 的二元一次 方程，，解得 故答案为：1. 7 方法归纳 本题主要考查对二元一次方程的定义的理解和掌握，能根据 二元一次方程的定义得出和 是解答本题的关键. 易错误区 本题中，未知数的系数 这一条件容易遗漏. 8 解下列方程（组）： （1） 思路点拨 根据二元一次方程组的解法即可求解，可以选择加减消元法， 也可以将第2个方程变形用代入消元法. 9 解题过程 ②得 ③， ① - ③得 将代入①得 方程组的解为 10 （2） 思路点拨 根据非负数的性质以及二元一次方程组的解法即可求出答案. 解题过程 由题意可知 ①得 ③， ③ ②得 将代入①得 原方程的解为 11 方法归纳 本题考查二元一次方程组的解法，掌握用加减法或代入法解 二元一次方程组的一般步骤并能熟练运用是解题的关键. 易错误区 方程组中有两个未知数，要区分清楚，方程组的解同时包含 两个未知数，不是独立的. 12 已知关于的方程组和 的解相同， 求 的值. 思路点拨 根据已知的两个方程组的解相同得到关于 的方程组，求出 的值,再将的值代入含的两个方程中,得到关于 的二元一次 方程组,求出 的值,代入所求代数式进行计算即可. 13 解题过程 关于的方程组和 的解 相同， 这两个方程组的解也是方程组的解，解得 把代入方程组 得解得 14 方法归纳 本题比较复杂，解题的关键是根据两方程组有相同的解得到 关于的方程组，求出的值，再将的值代入含 的方程组求 出 的值. 易错误区 两个方程组同解，是指这一组解同时满足四个方程，解题时 注意及时检验，避免错解. 15 已知关于的方程组给出下列结论：① 是方程组的解；②无论取何值， 的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④满足方程组的非 负整数解有4组.其中正确的是________. ②③④ 16 思路点拨 ①将代入方程组，经过验证,两个方程中 的值不相同; ②解方程组得可知的值不为0;③由②得,当 时代入验证即可;④由②可知 ,该方程的非负整数 解即为原方程组的非负整数解. 解题过程 ①将代入方程组解得 由于两个方程求得的不同， 不是方程组的解.故①不正确. ②解原方程组得 的值不可能互为相反数.故②正确. 18 ③当时，由②得 ，符合题意.故③正确. ④由②可知， 为非负整数， 或或或 故④正确. 故答案为：②③④. 19 方法归纳 本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解与方 程组的关系，熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键. 易错误区 本题是含字母系数的二元一次方程组，只要将字母 看成常 数即可将方程组的解用字母 表示出来，这里将未知数与字母系数区别 出来非常重要，而不同的 的取值又可以得到不同的解，还要注意解的 变化规律和范围. 20 阅读下列材料，然后解答后面的问题. 我们知道方程 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需 要求出其正整数解. 例：由，得 为正整数 ， 为正整数，为正整数 为3的倍数. 当时， ，符合条件. 的正整数解为 问题： 21 （1）请你写出方程 的一组正整数解：_ _________________. 或 解题过程 方程的正整数解是或 （只要写出其中的一 组即可）. 22 （2）若为自然数，则满足条件的 值有( ) . C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解题过程 若为自然数，则或 的值为3，4，5或8. 故选C. 23 （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本 与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 解题过程 设购买单价为3元的笔记本本，单价为5元的钢笔 支. 根据题意得，其中 均为正整数. 为正整数， 24 为正整数，即 为5的倍数. 当时，；当时， 有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支； 购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支. 25 思路点拨 根据题意可知,求方程的正整数解,先把方程做适当的变形,再 列举正整数代入求解. 方法归纳 解应用题的关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求 解.本题中要注意笔记本和钢笔的本数和支数不可能出现小数、负数和0， 这也就是说要求的是正整数. 易错误区 在变形后的方程中，把其中一个数代入求正整数解时，要先 估计出数的大致范围，以减少代入的次数. 26 阅读材料，善于思考的小军在解方程组 时，采用 了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，得，即 ③， 把方程①代入③，得 把代入①，得方程组的解为 请你解决以下问题： 27 （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 思路点拨 方程组中第二个方程变形后,将第一个方程代入求出 的值,进 而求出 的值,得到方程组的解. 解题过程 由②变形，得 ，即 ③， 把①代入③，得 把代入①，得方程组的解为 28 （2）已知满足方程组求与 的值. 思路点拨 将方程组第一个方程变形表示出 ,第二个方程变形后 代入即可求出的值，进而可求出 的值. 解题过程 由①得 . 由②得，即 ，得 29 （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解. 思路点拨 确定符合的所有整数解,然后对 进行验证， 从而求解. 30 解题过程 由（2）可得 ， 当均为整数时，或或或 当时， ； 当时， ； 当时， （舍去）； 当时， （舍去）， 在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为和 31 方法归纳 本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的 方法有：代入消元法与加减消元法.解决问题的关键在于整体代换. 易错误区 注意要认真阅读材料，理解整体代换的意义和思路，特别是 （2）中要将和 分别看成整体求解. 32 1.下列方程：①；②；③；④ ； ⑤ .其中属于二元一次方程的个数有( ) . B A.0 B.1 C.2 D.3 33 2.若是方程的一组解，则 的值为 ( ) . A A.5 B.4 C.- 3 D.无法确定 3.二元一次方程 的正整数解有( ) . C A.0组 B.1组 C.2组 D.无数组 4.已知，用含的代数式表示 的结果是( ) . A A. B. C. D. 34 5.已知方程组的解满足方程，则 ____. 6.对于有理数，定义运算“◆”： 例 如：4◆3， 若满足方程组 则 ____. 60 7.三个有理数按从小到大排列为 ，把其中每两个数作和得到 三个数分别是14，17，33，则 ____. 15 35 8.解下列方程组： （1） [答案] 36 （2） [答案] 37 （3） [答案] 38 9.如图是按一定规律排列的方程组和它们的解的对应关系图，若方程组 自左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组方程组 （第9题） 39 （1）将方程组1的解填入图中. [答案] （2）请依据方程组和对应的解的变化规律，将方程组 和它的解直接 填入图中. [答案] 40 （3）若方程组的解是求 的值，并判断该方程 组是否符合（2）中的规律. [答案] 由题意得，解得 ， 该方程组为 它不符合（2）中的规律. 41 10.已知关于的二元一次方程组的解与 的值互 为相反数，试求 的值和方程组的解. 42 [答案] 方程组② ①得 . 将 代入②得 . 与的值互为相反数， 原方程组的解为 11.已知关于的二元一次方程，当 取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一组公共解，则这 组公共解是( ) . A A. B. C. D. 44 12.对定义一种新运算，规定：（其中 是非 零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如： （1） _________（用含 的代数式表示）. （2）若，则 ___， ___. 2 1 45 13.阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于 的系数及常数项的数值较大， 如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易 出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ② - ①得 ③. ③得 ④. ① - ④得，从而得 原方程组的解是 46 （1）请运用上述方法解方程组 【答案】（1）对于方程组利用题中介绍的 方法，②-①得3x+3y=3，所以x+y=1③.③×2022得2022x+2022y=2022④. ①-④得y=2，从而得x=-1.所以原方程组的解是 （2）请直接写出方程组 的解是_ _________. 47 （3）猜测关于的方程组 的解， 并加以验证. [答案] 猜测关于的方程组 的解为 验证如下：将 代入①得左边 右边，代入②得左边 右边，方程①②均成立. 原方程组的 解是 48 14.已知和是关于的方程 的解，若 ，求 的值. [答案] 和是关于的方程 的解， ① ②得 又可得方程组解得 49 1.【南通】已知满足方程组则 的值为( ) . A A.2 B.4 C.-2 D.-4 2.【朝阳】若关于的二元一次方程组的解是 则 的值为( ) . D A.4 B.2 C.1 D.0 50 3.【眉山】已知关于的方程组的解满足 ， 则 的值为___. 2 4.【滨州】若关于的二元一次方程组的解是 则关于的二元一次方程组 的解是 _ _________. 51 5.对于任意有理数，定义关于“ ”的一种运算如下： ，例如： （1）求 的值. [答案] （2）若，且，求 的值. [答案] ，且 ， 两式相加可得 . 52 1.现有球迷150人欲同时租用 三种型号的客车去观看足球赛，其中 三种型号的客车载客量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必 须载满，其中 型客车最多租2辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方 案有( ) . B A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 53 2.已知关于的方程组的解是则关于 的方程 组 的解为_ _________. 3.方程 的整数解的组数是___. 2 4.已知关于的二元一次方程组 的解是正整数，求整数 的值. [答案] ① ②得，解得 . 是正整数， 是整数， 或8，解得或 当时，不是正整数， 或 -4. 55 5.用表示自然数 的各位数字之和，如 等，试问：是否存在这样的自然数 ， 使得 ？请说明理由. 56 [答案] 存在 或2003.理由如下： . 可设或 ， 其中，且 为整数. ①若 ， 则，即 ， 则 ； 57 ②若 ，则 ，即 ， 则 或2003. 58 $$