第三章 圆锥曲线的方程（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 教学目标 1、经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程. 2、掌握椭圆的简单几何性质． 3、通过椭圆与方程的学习，了解椭圆、双曲线及抛物线的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 4、了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程. 5、了解双曲线及抛物线的几何图形及简单几何性质． 教学重难点 1.重点 掌握与圆锥曲线相关的轨迹问题。 2.难点 解决圆锥曲线的综合问题。 知识点01 椭圆的定义 1、文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． 2、代数式形式：集合 ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． 【即学即练】 1．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 2．已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 知识点02 椭圆的方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.） 【即学即练】 1．已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设是底角为，腰长为3的等腰三角形，得 所以，代入椭圆得，可得， 由，则，可得，即. 故选：C 2．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B． 知识点03 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 【即学即练】 1．椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【答案】C 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：C 2．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 知识点04 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 【即学即练】 1．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 知识点05 双曲线的方程及简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【即学即练】 1．已知方程 则下列说法中不正确的是 （ ） A．当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 B．当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C．当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 D．方程C可表示圆 【答案】D 【详解】对于A，方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得，故A正确; 对于B，方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，故B正确； 对于C，当方程表示双曲线时，则，解得， 则由B可知，，即焦距为， 当方程表示椭圆时，由A可知，，即焦距为，故C正确； 对于D，当方程表示圆时，则，无解，故D错误. 故选：D. 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，，则下列判断中不正确的是（    ） A． B． C．双曲线的离心率等于 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】A 【详解】如图，由，可得为的中点，又为的中点，得， ，，故A错误，B正确．    设．，， 从而，得，， 则渐近线方程为，故C，D正确． 故选：A． 知识点06 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 【即学即练】 1．设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 2．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由双曲线，则，由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 知识点07 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设， 由，，所以，所以或， 所以或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：A 2．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 知识点08 抛物线的方程及简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 【即学即练】 1．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【详解】因为，所以，其准线方程为， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 2．如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设：，：，，，， 联立得， 所以，即，，， 联立得， ，，， 所以，则， 故，． 又，所以，解得， 则，， 故， 点N到直线AB的距离， 故． 故选：A 知识点09 抛物线的弦长问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【即学即练】 1．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 2．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C. 题型01 圆锥曲线的定义 【典例1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 【典例2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 1.应用椭圆的定义，可以得到结论： （1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用. 3.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 4.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 5.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 6．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 7．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 8．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 9.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用． 10.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 【变式1】已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得动点到的距离与到直线的距离相等， 所以动点的轨迹方程是以为焦点的抛物线，即， 过作垂直于准线，垂足为，如下图所示：    易知，所以， 当三点共线时，取得最小值，即为点到准线的距离； 所以的最小值为6. 故选：D 【变式2】曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为曲线上的点到的距离与到的距离相等， 所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线， 所以的方程为. （2）设，直线的方程为， 联立得， 所以. 所以， 解得， 所以直线的方程为. 【变式3】已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； (2)过且斜率为1的直线交的轨迹于两点，为坐标原点，为椭圆上一点，满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆上的圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线与半径交于点，所以， 所以 由椭圆定义可知，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆 ， 求动点的轨迹方程为    （2）设， 过且斜率为1的直线的方程为 代入整理得 设，因为点都在椭圆上 代入得 ① 代入①式整理得 （当且仅当时，等号成立） 的最大值为. 题型02 圆锥曲线的标准方程 【典例1】已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为(　　) A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1 【答案】D 【详解】由题意得直线与x轴、y轴分别交于点， 因此， 所以． 又, 于是, 从而, 故椭圆方程为. 故选D． 【典例2】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 求标准方程的一般方法： （1）待定系数法（2）定义法（3）几何性质法 【变式1】已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，解得． 故的值为. （2）由（1）可得，则直线的斜率， 则直线的方程为， 与椭圆联立，得． 因为直线与椭圆相切，所以，化简得．① 因为点在椭圆T上，所以．② 由①②解得，， 所以椭圆T的标准方程为. 【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 题型03 圆锥曲线的几何性质 【典例1】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 又，可得． 故选：B． 解法二：设，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 又因为，得， 故选：B． 【典例2】已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意有， 解法1：，同理，． 又，进而得，所以，又， 所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 解法2：由角平分线的性质可知，点到直线和的距离相等． 因为，， 所以，解得，所以， 又，所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用. 2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长等． (2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处． (3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 4．已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 5．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图． 6．求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向； (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． 【变式1】曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积大于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】对于①，点关于直线的对称点为，由，则，故①正确； 对于②，由点关于点的对称点为，且，则，故②正确； 对于③，圆的面积为，曲线，易知， 当时，，由，，则， 易知圆与曲线都是关于原点成中心对称， 当时，曲线上的点都在圆外， 当时，曲线与圆存在公共点， 所以曲线围成的图形的面积必定大于，故③正确； 对于④，圆上的每一个点到原点的距离为， 当时，由，则，由，，则； 当时，由，则， 综上当时，曲线上的点在圆外， 当或时，由，则曲线与圆有公共点为，故④正确. 故选：D. 【变式2】已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，焦点为F，A，B为抛物线上两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由准线方程为，可知焦点在轴正半轴上， 设抛物线的标准方程为， 则，， 所以抛物线的标准方程为． （2）设，，线段的中点记为， 由， 结合抛物线的焦半径公式得， 即，所以， 即线段AB的中点到x轴的距离为4. 【变式3】已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 【答案】(1)，． (2) (3) 【详解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 将代入，得，得， 故双曲线的方程为，所以，故离心率． （2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． （3）联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 又点在圆上，所以，所以． 题型04 圆锥曲线的离心率问题 【典例1】已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 【典例2】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 1、求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题. 2、在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，，|a|等非负性求解． 3、求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 4、双曲线离心率有关问题的解题策略：双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1. 【变式1】已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】 由题意可得，．因为E是的中点，所以， 经过第一象限的渐近线方程为，所以，所以．故选：D. 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，，则，，， 由与共线有，即有， 因为的内心为，内切圆半径为， 所以， 即， 所以，又， 所以，又，所以点在右支上， 所以， 所以，所以，所以， 又在双曲线上，所以得，所以， 故选：C. 【变式3】设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意抛物线的焦点坐标是，所以， 又椭圆离心率是，则，所以， 椭圆方程化为标准方程为，焦点在轴， 所以，从而， 椭圆方程为， 故选：C． 题型05 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 1、直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 2、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 【变式1】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为点，在椭圆上， 所以， 因为直线，的斜率之积为，所以， 可得，化简得， 则 . 故选：A. 题型06 圆锥曲线中的弦长问题 【典例1】若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 【典例2】已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 且圆的半径为， 可得双曲线的一条渐近线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D. 一、直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 二、直线被双曲线截得的弦长公式 1、弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 （为直线斜率） 2、 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 三、直线被抛物线截得的弦长公式 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式1】已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 【变式2】已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去得， 则，解得， 可得， 则 ，解得， 所以直线方程为. （3）设，当轴时，直线， 由，得，则； 当与轴不垂直时，设直线的方程为，即， 依题意，，则， 联立，得， 则， ， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立； 当时，直线，由， 得，则； 综上所述，， 则的面积， 所以面积的最大值. 【变式3】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 题型07 圆锥曲线中的中点弦问题 【典例1】椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（    ） A．1 B． C．－1 D． 【答案】C 【详解】设弦的两端点为，，则， 因为，所以点在椭圆内， 将，代入椭圆得 两式相减得， 即， 即， 即， 即， 所以弦所在的直线的斜率为. 故选：C． 【典例2】直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，点是线段的中点，则，， A、B两点代入椭圆方程作差，得， 所以，由题意知，直线的斜率存在，所以， 得. 故选：A. 1、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　 2、双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 【变式1】过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 两式相减得 又，，则， 则，. 故选：A 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题设，因为点在椭圆上，所以， 即， 所以，， 所以椭圆C的方程为：． （2）证明：设点的坐标为， 当直线的斜率都存在时， 令为，代入， 整理得：，且， 所以，则， 故． 由，即， 故为，代入， 所以，有， 则，故． 当时， 所以，则为， 整理得，所以过定点． 当时，，，过点， 当时，，，过点， 当一条直线斜率不存在时，对应，，故即为x轴，也过点； 综上，直线过定点． 【变式3】已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程； （3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程． 【答案】（1）；（2），；（3）（）． 【详解】（1）由题知，曲线满足椭圆的定义，且，，则， 曲线的方程为， （2）设直线方程为，，， 联立，化简得， 由韦达定理知，， 则弦长， 解得，故直线的方程为，； （3）设，则由（2）知，，， 则的轨迹方程为，且该轨迹应在椭圆内部，即. 题型08 圆锥曲线中的面积问题 【典例1】已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r， 因为与相内切，则． 设，连接，则， ，又， 所以，， 所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 由，得，又，所以． 显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为． 故选：D 【典例2】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点，直线过定点， 因为，，所以，所以. 故选：B. 【变式1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设圆I的半径为r，由，得， 化简可得，即，得，即C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 【变式3】已知为坐标原点，为圆上的动点，过点作直线垂直轴于点，点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，则，由，可得，即， ． （2）将曲线与直线联立得 消去得． 直线与曲线交于A，B两点，设， ． 又． 点到直线的距离， ， ， ， 当且仅当，即时取等号． 三角形面积的最大值为． 题型09 圆锥曲线中的最值问题 【典例1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【典例2】已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 求最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围．　　　　 【变式1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 【变式2】（1）设P是抛物线上的一个动点. ①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值； ②若，求的最小值. （2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离. 【答案】（1）①；②4；（2）， 【详解】（1）①抛物线焦点为，准线方程为，    ∵点P到准线的距离等于P到点的距离. ∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小. 显然P是的连线与抛物线的交点，最小值为. ②同理与P点到准线的距离相等.如图：    过B作准线于Q点，交抛物线于点. ∵， ∴. ∴的最小值为4. （2）由题意设抛物线上任一点P的坐标为， 则， 因为，所以当时，. 故距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是. 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2． 所以， 又，所以解得，所以椭圆的方程为. （2）由（1）椭圆的方程为.    由题意，因为，所以设， 则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得， 消去并整理得，，当时，， 所以解得，即， 所以， 所以. （3）    设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时， 由椭圆定义有， 所以， 等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点， 综上所述，的最小值为. 题型10 圆锥曲线中的向量问题 【典例1】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 【典例2】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 【答案】(1)． (2)或． 【详解】（1）由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． （2） 由题意，设直线的方程为，设点坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点与垂直的直线方程为， 由，设交点坐标为，可得，， 因为，所以 法一：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 法二：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 【变式1】设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； (3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）依题意，在椭圆中，， 由离心率，得，解得， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知，，设，由，得， 解得，由点在椭圆上，得，解得， 所以. （3）由线段的中垂线的斜率为2，得直线的斜率为，由，得， 直线过线段的中点，直线的方程为，即， 显然直线过椭圆内点，则直线与椭圆恒有两不同交点，设， 由消得， ，，由，得， 而，则有， 即， 即，解得， 所以存在这样的椭圆，使得，. 【变式2】已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的焦点为，， 对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得， 又有， 椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为， 由，整理得：， 由， ，， ，， ， 要使为定值，则， 即，即， 解得：或舍， 故． 【变式3】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线的斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 题型11 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】如图，已知椭圆，不经过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线，的距离相等，求证：直线过定点．    【答案】证明见解析 【详解】联立得， 设，，则，， 由题意得直线，的倾斜角互补，即， 所以， 即 ，解得， 所以直线的方程为， 故直线恒过定点． 【变式1】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式2】已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 题型12 圆锥曲线中的定值问题 【典例1】如图，已知椭圆，，是椭圆上的两个动点，，直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．    【答案】证明见解析 【详解】因为，点在椭圆上，直线，的斜率都存在， 设直线，的方程分别为，， ，． 联立，得， 解得，同理得． 所以， ， . 即直线的斜率为定值． 【变式1】已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点，定值为1 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 【变式2】已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 (3)16 【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 【变式3】在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，总存在一个点， 满足关系式 ，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. (1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆 变换为椭圆； (2)已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换 得到的曲线是 ，且与轴有两个交点 (在的左侧)，过点且斜率为 的直线与在轴右侧有两个交点. （i）求的取值范围； （ii） 若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i） ；（ii）证明见解析 【详解】（1）将伸缩变换 代入 ， 得到 ，则 ， ， 故所求的伸缩变换为 ； （2）因为经过平面直角坐标系的伸缩变换： 得到的曲线为 ， 故可得的方程为，即， （i） 与轴的两个交点 的坐标分别是， 因为直线过点，斜率为，所以直线的方程为，代入 ， 消去并整理得 ，设， 则， ， 因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且 ， 解得或 ， 所以的取值范围是 ； （ii） 证明：由①知 或 ，所以 ， ， ， 所以， 为定值. 题型13 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. （2）假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. （3）证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 【变式1】已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，.所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，，所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，，所以直线的方程为， 直线的方程为，所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知，所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 【变式2】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意：，解得，所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 【变式3】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 题型14 圆锥曲线中的探索性问题 【典例1】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 【典例2】已知椭圆的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为6． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；，定值为 【详解】（1）由题意得，， 又，解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）存在，理由如下： ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆的方程， 可得．设，， 则，． 设，则 若为定值，则，解得， 此时，点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 代入，得 不妨令，． 若，则，，． 综上所述，在轴上存在点，使得为定值，且定值为． 【变式1】已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【详解】（1）设，则，作差得， 又线段的中点坐标为，则， 所以，可得， 所以，即；经检验成立 （2）假设存在定点，使得， 设，焦点，若时，， 所以，化简得， 又，则，整理得对恒成立， 所以，可得， 当，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 【变式2】已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【详解】（1）因为点在线段的垂直平分线上，所以， 又是圆的半径，所以， 所以点的轨迹是椭圆，方程为． （2）设，．联立 得，则，， 由得． ， 化简得， 即，解得或． 当时，直线过点，舍去． 当时，满足，此时直线，且过定点， 又因为点在以为直径的圆上，所以点在直线上， 所以存在定点满足条件． 【变式3】已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． (1)求和的方程； (2)过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；． (2)存在，. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，所以， 所以方程：． 又因为椭圆的右焦点， 所以，所以方程：． （2）解：假设存在这样的， 设直线的方程为：， ． ， ，， ， 设， ， ，， ， 为定值． ，任意的实数恒成立 ，得到， 当时，为定值．    1．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，， 联立方程：，整理得：，， ，. ， 得或（舍）.故直线， 当时，点，点到直线的距离为； 当时，直线，又直线，消去整理得：， 即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆）， 点到直线的距离的最大值为， 综合可知点到直线的距离的最大值为8. 故选：C. 2．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得，故所求为. 故选：D. 3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，在等腰中，，底边上的高为， 所以． 又由椭圆的定义可知，，因此， 可得，即，所以或（舍去）， 故选：C． 4．若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，整理得，则． 故选：C． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    6．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    解法1：设直线与椭圆的切点为，则切线的方程为． 因为点在直线上，所以， 又因为，即，故，所以． 因为，所以， 所以，所以． 故选：B． 解法2：设直线的方程为， 由得，故，即， 又，所以，因为，所以，所以． 故选：B 解法三：设过点的直线方程为：，其中， 由，得 由，得 由题意取，则过点的直线方程为： 令，得，所以 在中，， 所以为直角三角形，即 故选：B． 7．已知抛物线，若抛物线上存在两点，关于直线对称，如图，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1：设，，的中点为， 显然在上，设直线的方程为． 由得， 即，故， 所以，即． 点在抛物线内部，故，即； 解法2：设，，的中点为， 显然在上，设直线的方程为． 由得，， 从而，所以， 所以，故． 因为点在直线上，所以， 又因为，所以． 故选：B． 8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B 9．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 (1)求双曲线的方程； (2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为． （2）（i）令，解得，所以的值可以是， （ii）当时，过点的斜率为的直线的方程为， 联立双曲线方程与直线方程得，化简得， 因为直线与双曲线只有一个交点， 所以，解得； 综上所述，的值为或. 10．已知抛物线，的方程分别为，． (1)求抛物线和抛物线的公切线的方程； (2)过点（，为常数）作一条斜率为的直线，与抛物线交于，两点，当弦的中点恰好为点时，求与之间的关系． 【答案】(1) (2)与互为倒数． 【详解】（1）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为． 联立消去并整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，整理得． 同理，联立消得， 由直线与抛物线相切可知，，化简得． 联立所以 即直线的方程为． （2）解法1：设，，由题意知直线的方程为， 即．联立 消去得． 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合条件，则． 所以，． 因为的中点恰好为，所以，化简． 故与互为倒数． 解法2：由题意知直线的斜率不为0，若， 则直线与抛物线只有一个交点，故． 设，，由得， 则，即． 故与互为倒数． 11．已知是椭圆上一点，动直线过定点，交椭圆于，两点（，两点均异于点）． (1)求； (2)记的面积为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，，则， 设直线，其中． 由得， ， 变形得， 所以，即． （2）如图，    设，则 ， 其中为与直线平行且与椭圆相切的两条平行直线之间的距离． 由得直线的方程为即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去可得． 由即，解得， 此时两条平行直线的方程为，则， 所以． 12．已知椭圆的离心率为，依次连接两个短轴端点和两个焦点，组成的四边形周长为8. (1)求椭圆的方程． (2)已知点，过点作直线交椭圆于两点，轴上是否存在一点（与点不重合），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意得，则，因为，所以， 因为，所以椭圆的方程为． （2）存在； 当直线的斜率不存在时，，，设． 因为，所以，从而或， 解得（舍去）或，所以． 当直线的斜率存在时，根据题意时，直线与椭圆无交点，不符合题意. 设，，取点关于轴的对称点， 要使，此时三点共线．设 设，代入椭圆方程得， 则，． ， 因为，所以，即点符合题意． 综上所述存在，使得.    13．已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 14．设抛物线与椭圆相交于，两点，在点处分别作抛物线的切线和椭圆的切线，且与互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)若切线与轴交于点，与抛物线交于点，同时切线与椭圆交于点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，，则，， 因为，所以，得． （2）    设，，， 将代入得，所以， 由（1）得，所以，解得， 从而得椭圆方程为． 而，从而， 所以的方程为， 将与联立，得， 设， 即，， 进而得； ，即，即， 将与联立，得，， 进而得． 因为， 所以． 15．已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为， 由题意可得：，解得，所以椭圆. （2）①因为，则直线，， 联立方程，消去y得， 则， 可得， 则，， 即线段AB的中点为， 所以直线，即， 若直线l过点，则，整理得， 对于，则，即无解， 由，解得. ②由①可知：直线， 令，可得，即直线l与PN的交点坐标为， 令，可得，即直线l与QM的交点坐标为， 由题意可得：，解得， 可得， ， 则，可得， 令，则，可得， 因为在内单调递增，且，可得， 则，可得， 即，可得.所以的取值范围. 2 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程 教学目标 1、经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程. 2、掌握椭圆的简单几何性质． 3、通过椭圆与方程的学习，了解椭圆、双曲线及抛物线的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 4、了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程. 5、了解双曲线及抛物线的几何图形及简单几何性质． 教学重难点 1.重点 掌握与圆锥曲线相关的轨迹问题。 2.难点 解决圆锥曲线的综合问题。 知识点01 椭圆的定义 1、文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． 2、代数式形式：集合 ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． 【即学即练】 1．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 知识点02 椭圆的方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 顶点 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴 ，对称中心 离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.） 【即学即练】 1．已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 知识点03 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义： . (2)余弦定理： (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） (4)焦点三角形的周长为 ． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 【即学即练】 1．椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 2．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 知识点04 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 【即学即练】 1．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 知识点05 双曲线的方程及简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 焦距 范围 ，y∈ ，x∈ 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【即学即练】 1．已知方程 则下列说法中不正确的是 （ ） A．当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 B．当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C．当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 D．方程C可表示圆 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，，则下列判断中不正确的是（    ） A． B． C．双曲线的离心率等于 D．双曲线的渐近线方程为 知识点06 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理： . (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 【即学即练】 1．设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 2．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点07 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 知识点08 抛物线的方程及简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 开口方向 向右 向左 向上 向下 【即学即练】 1．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 2．如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 知识点09 抛物线的弦长问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【即学即练】 1．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 题型01 圆锥曲线的定义 【典例1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 1.应用椭圆的定义，可以得到结论： （1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用. 3.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 4.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 5.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 6．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 7．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 8．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 9.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用． 10.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 【变式1】已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【变式3】已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； (2)过且斜率为1的直线交的轨迹于两点，为坐标原点，为椭圆上一点，满足，求的最大值. 题型02 圆锥曲线的标准方程 【典例1】已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为(　　) A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1 【典例2】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 求标准方程的一般方法： （1）待定系数法（2）定义法（3）几何性质法 【变式1】已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 题型03 圆锥曲线的几何性质 【典例1】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【典例2】已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用. 2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长等． (2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处． (3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 4．已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 5．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图． 6．求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向； (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． 【变式1】曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积大于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，焦点为F，A，B为抛物线上两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【变式3】已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 题型04 圆锥曲线的离心率问题 【典例1】已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【典例2】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1、求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题. 2、在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，，|a|等非负性求解． 3、求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 4、双曲线离心率有关问题的解题策略：双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1. 【变式1】已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型05 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1、直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 2、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 【变式1】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 题型06 圆锥曲线中的弦长问题 【典例1】若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【典例2】已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 一、直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 二、直线被双曲线截得的弦长公式 1、弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 （为直线斜率） 2、 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 三、直线被抛物线截得的弦长公式 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式1】已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【变式3】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 题型07 圆锥曲线中的中点弦问题 【典例1】椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（    ） A．1 B． C．－1 D． 【典例2】直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（    ） A． B． C． D． 1、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　 2、双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 【变式1】过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点． 【变式3】已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程； （3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程． 题型08 圆锥曲线中的面积问题 【典例1】已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【典例2】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【变式3】已知为坐标原点，为圆上的动点，过点作直线垂直轴于点，点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值． 题型09 圆锥曲线中的最值问题 【典例1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【典例2】已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 求最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围．　　　　 【变式1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（1）设P是抛物线上的一个动点. ①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值； ②若，求的最小值. （2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离. 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 题型10 圆锥曲线中的向量问题 【典例1】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【典例2】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 【变式1】设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； (3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 【变式2】已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【变式3】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 题型11 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】如图，已知椭圆，不经过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线，的距离相等，求证：直线过定点．    【变式1】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式2】已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 题型12 圆锥曲线中的定值问题 【典例1】如图，已知椭圆，，是椭圆上的两个动点，，直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．    【变式1】已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 【变式3】在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，总存在一个点， 满足关系式 ，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. (1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆 变换为椭圆； (2)已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换 得到的曲线是 ，且与轴有两个交点 (在的左侧)，过点且斜率为 的直线与在轴右侧有两个交点. （i）求的取值范围； （ii） 若直线的斜率分别为，证明：为定值. 题型13 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【变式1】已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【变式2】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【变式3】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 题型14 圆锥曲线中的探索性问题 【典例1】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【典例2】已知椭圆的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为6． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． (1)求和的方程； (2)过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（    ） A．9 B． C．8 D． 2．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，若抛物线上存在两点，关于直线对称，如图，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 9．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 (1)求双曲线的方程； (2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 10．已知抛物线，的方程分别为，． (1)求抛物线和抛物线的公切线的方程； (2)过点（，为常数）作一条斜率为的直线，与抛物线交于，两点，当弦的中点恰好为点时，求与之间的关系． 11．已知是椭圆上一点，动直线过定点，交椭圆于，两点（，两点均异于点）． (1)求； (2)记的面积为，求证：． 12．已知椭圆的离心率为，依次连接两个短轴端点和两个焦点，组成的四边形周长为8. (1)求椭圆的方程． (2)已知点，过点作直线交椭圆于两点，轴上是否存在一点（与点不重合），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．设抛物线与椭圆相交于，两点，在点处分别作抛物线的切线和椭圆的切线，且与互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)若切线与轴交于点，与抛物线交于点，同时切线与椭圆交于点，求． 15．已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$