第一章 空间向量与立体几何（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 教学目标 1． 理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. 2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 3．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 4．理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义. 5．理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 6．会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 7．理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 8．理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 9．会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 教学重难点 1.重点 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 2.难点 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 知识点01 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （二）空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【即学即练】 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 知识点02 共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，这些向量叫做共线向量或平行向量 注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 平行于 的向量叫做共面向量 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 用途 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.直线l的方向向量 如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa. 定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 2．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 知识点03 空间向量的数量积运算与性质 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 3. 空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔ ； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 【即学即练】 1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 知识点04 空间向量基本定理应用 1、证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)直线平行和点共线都可以转化为 ；点线共面可以转化为 ． 2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【即学即练】 1．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 2．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 知识点05 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标运算法则 设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． (3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 2．空间向量相关结论的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (3)|a|＝＝. (4)cos〈a，b〉＝＝. 3．空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)． (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)P1P2＝||＝. (3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 【即学即练】 1．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 2．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 知识点06 空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 线面平行 l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 线线垂直 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1 （1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 【即学即练】 1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 2．如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 知识点07 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为 （＝(a·u)u.）， 则PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝＝ 注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 【即学即练】 1．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 知识点08 空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ （1） 两异面直线所成角的范围是 （2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ (1)线面角的范围为. (2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ (1)两个平面的夹角的范围是 (2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 【即学即练】 1．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型01 空间向量的线性运算 【典例1】如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【典例2】在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【变式1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 【变式3】在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    题型02 空间共线向量定理 【典例1】在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式1】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【变式3】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 题型03 空间共面向量定理 【典例1】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例2】已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【变式1】已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 题型04 空间向量的数量积及其性质的应用 【典例1】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 1.利用空间向量的数量积求两向量的夹角：本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2.利用空间向量的数量积求线段的长度：空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3.利用空间向量的数量积证垂直：立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【变式1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【变式2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【变式3】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 题型05 空间向量在立体几何平行、垂直问题中的应用 【典例1】如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【典例2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【变式1】如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【变式3】如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 题型06 空间角的计算 【典例1】如图，在正方体中，点在上，且，点在上，且．    (1)求证：； (2)求证：，； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【典例2】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 异面直线所成的角：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 线面角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 二面角：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或， 【变式1】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式2】如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【变式3】如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 题型07 空间距离的计算 【典例1】如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【典例2】如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式1】如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【变式2】如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 【变式3】在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 题型08 空间向量与立体几何的综合问题 【典例1】如图，正四棱台中，，，，是的中点，在直线上各取一个点，，使得M，P，Q三点共线，则线段的长度为（    ）    A．3 B． C． D．4 【典例2】如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【变式1】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在直三棱柱中，，，，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．    (1)求直线的单位方向向量，并求点到直线的距离； (2)求平面的法向量，并求点到平面的距离． 【变式3】如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 1．在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则 A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 5．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 10．如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 (1)试用向量表示向量; (2)若，且， 求证: 平面. 11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 12．如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 13．如图，四边形为正方形，平面，，，．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面平面说明理由． 14．如图，已知在直三棱柱中，，，，．    (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．求：    (1)与平面所成角的正弦值； (2)平面与平面夹角的余弦值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 教学目标 1． 理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. 2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 3．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 4．理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义. 5．理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 6．会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 7．理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 8．理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 9．会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 教学重难点 1.重点 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 2.难点 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 知识点01 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （二）空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【即学即练】 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 2．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 知识点02 共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 用途 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.直线l的方向向量 如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa. 定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【详解】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 2．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 知识点03 空间向量的数量积运算与性质 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 3. 空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 【即学即练】 1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 2．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 知识点04 空间向量基本定理应用 1、证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【即学即练】 1．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 知识点05 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标运算法则 设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． (3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 2．空间向量相关结论的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (3)|a|＝＝. (4)cos〈a，b〉＝＝. 3．空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)． (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)P1P2＝||＝. (3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 【即学即练】 1．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 2．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】已知，，，根据向量坐标运算可得，. 根据向量数量积坐标运算：可得. 根据向量模长公式：可得，. 根据向量夹角公式可得. 因为. 根据平行四边形面积公式，可得. 则邻边的平行四边形的面积为. 故选：B. 知识点06 空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 线面平行 l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 线线垂直 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1 （1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 【即学即练】 1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 2．如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【答案】D 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由中位线性质可得，显然，所以, 即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面， 易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，可得， 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令，可得； 所以 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，可得，； 所以， 显然，即，所以平面平面，即B正确； 对于C，取的中点为，连接，如下图所示： 当为的中点时，可得，且， 又且，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 又平面，平面，即平面； 所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确； 对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示： 可得，即， 设，则； 此时，即不成立； 所以不存在点，使得，即D错误. 故选：D 知识点07 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为 （＝(a·u)u.）， 则PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝＝ 注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 【即学即练】 1．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 2．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.    故选：D 知识点08 空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ （1） 两异面直线所成角的范围是 （2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ (1)线面角的范围为. (2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ (1)两个平面的夹角的范围是 (2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 【即学即练】 1．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 题型01 空间向量的线性运算 【典例1】如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B 【典例2】在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   因为E为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【变式1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C.    【变式2】如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 【答案】（1）（3） 【详解】解：（1）是线段的中点，，正确； （2）取的中点，连接，．则，因此不正确； （3），因此正确； （4）、分别是线段、的中点，，与平面不平行， 不存在实数，，使得． 综上可得：只有（1）（3）正确． 故答案为：（1）（3）． 【变式3】在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    【答案】/0.75 【详解】如图所示：    连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 题型02 空间共线向量定理 【典例1】在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 【典例2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式1】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式2】设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 【变式3】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 【答案】1 【详解】，又， 所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以， 所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 题型03 空间共面向量定理 【典例1】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【典例2】已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【变式1】已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：B. 【变式2】已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 【变式3】在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面，∴，解得. 故答案为：. 题型04 空间向量的数量积及其性质的应用 【典例1】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 【典例2】在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 1.利用空间向量的数量积求两向量的夹角：本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2.利用空间向量的数量积求线段的长度：空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3.利用空间向量的数量积证垂直：立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【变式1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【详解】    设，，，则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 【变式2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 【变式3】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 【答案】 【详解】设点在直线上的投影分别为， 因为，则， 由的面积可得， 则，， 且为边的中点，可得，， 由二面角的平面角为，可得， 因为 ， 即，所以空间中线段的长为. 故答案为：. 题型05 空间向量在立体几何平行、垂直问题中的应用 【典例1】如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 【典例2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式1】如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，. ，，，，， ，，由平面，知为平面的一个法向量. 又，且不在平面，平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【变式3】如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 题型06 空间角的计算 【典例1】如图，在正方体中，点在上，且，点在上，且．    (1)求证：； (2)求证：，； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设正方体的棱长为3，以，，分别为轴、轴、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则由题意可得，，，， 所以，， 所以，即． （2）由（1）得，，，， 所以，， 所以， ， 所以，． （3）由（1）（2）得，， 所以， ，， 设与所成角为， 则． 【典例2】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 异面直线所成的角：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 线面角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 二面角：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或， 【变式1】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 【变式2】如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 于是，， ，， 而和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以平面ACF. （2）设点存在，，， ， 设平面法向量为，则， 取，得， 设与平面所成角为，， 由，解得， 即为中点，坐标为， ，设面AFM法向量， 则，取，得， 设平面AFM与平面的夹角为，则， 所以平面AFM与平面夹角的余弦值. 【变式3】如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 题型07 空间距离的计算 【典例1】如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. （2）由于，平面，平面，故平面， 因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等. ，，，， 设平面的法向量为，则，且， 令，则. 又，故到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 【典例2】如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式1】如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 【变式2】如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，，，是的中点， 所以，两边平方，得， 即，得， 所以.    又平面，所以，，两两垂直., 如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 所以，， 所以， 所以. （2）由题意，知平面的一个法向量是. 易得，. 设平面的法向量是，则即 令，得，所以平面的一个法向量是， 所以， 由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）因为点N，Q分别是直线，上的动点， 设，，则，所以. 设，，则，所以， 所以 所以当，时，取得最小值，为. 【变式3】在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 题型08 空间向量与立体几何的综合问题 【典例1】如图，正四棱台中，，，，是的中点，在直线上各取一个点，，使得M，P，Q三点共线，则线段的长度为（    ）    A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】连接交于点，连接交于点，连接，由正四棱台的结构特征， 两两垂直，故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为在正四棱台中，，，，所以，， 所以，，，，，， 因为是的中点，所以，设，， 所以， ． 要使三点共线，则共线，即存在，使得， 则解得 所以，， 所以， 所以．    故选：C. 【典例2】如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D. 【变式1】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故选：A. 【变式2】如图，在直三棱柱中，，，，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．    (1)求直线的单位方向向量，并求点到直线的距离； (2)求平面的法向量，并求点到平面的距离． 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）易知，，，， 所以直线的单位方向向量或． 又，所以， 因此点到直线的距离为． （2）设平面的一个法向量， 又，则由，得， 解得 故， 所以点到平面的距离为． 【变式3】如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 1．在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，. 故选：D. 2．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 3．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过分别作，的高，垂足分别为，， 因为平面平面，， 且平面平面，所以平面， 因为平面，平面， 所以，，又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则由题意可知，，，， 故，，故， 故选：C 4．如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，设， 即， 所以，解得，， 此时不能构成基底. B选项，，此时不能构成基底. C选项，设， 即， ，此方程组无解，故此时能构成基底. D选项，，此时不能构成基底. 故选：C 6．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 7．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意得，，， 当与的夹角为钝角时， ，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数，使， 于是得解得，. 所以与不共线时，， 所以的取值范围为． 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件． 故选: 8．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 9．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 10．如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 (1)试用向量表示向量; (2)若，且， 求证: 平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）为中点， ， ， ； （2）且， 为等边三角形且， 平面， 平面， 平面， ， ， 为重心， 同理可证， 平面， 平面. 11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，，则． 12．如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 令正方体的棱长为2，则，，，，，． 证法1：，，因为，所以，又平面，平面，所以平面． 证法2：设平面的一个法向量，，，根据，可得，令，则，，即， 因为，又平面，平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量，，，根据，可得，取，则，所以，则，所以平面平面． 13．如图，四边形为正方形，平面，，，．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面平面说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【详解】（1）因为平面，平面，且四边形为正方形， 所以两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取可得平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. （2）依题意，可设，，则，． 设平面的一个法向量为， 则， 取取可得平面的一个法向量， 若平面平面，则， 解得，即， 所以在棱上存在一点，满足时，平面平面． 14．如图，已知在直三棱柱中，，，，．    (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【答案】(1)存在 (2)存在，理由见解析 【详解】（1）因为，，，所以，故， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 假设在上存在点满足条件．    设，， 因为，所以，解得， 即在上存在点使得，此时点与点重合． （2）假设在上存在点，使得平面． 设，，． 设平面的一个法向量， 则有，得，取，可得， 由，解得， 所以在上存在点，使得平面，这时为的中点． 15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．求：    (1)与平面所成角的正弦值； (2)平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，．   ，，， 设平面的一个法向量，则有， 取，得，设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）设平面的一个法向量为， 则有， 取，得，， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $$