第二章 平面解析几何（单元测试·基础卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 2．若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 4．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与：相切，另一条渐近线与交与A，B两点，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 11．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 13．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 14．设是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，若的面积的最大值为2，则所有符合要求的椭圆中，的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 16．（15分）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 17．（15分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 18．（17分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 2．若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 方法二：由题意，知椭圆长轴在轴上，则下面的分母数值大于下面的分母数值， 则排除C，D；选项B中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A正确. 故选：A． 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 4．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的斜率分别为，由可知，， 由题意可知，，所以，所以． 因为过点，所以由直线的点斜式方程可知的方程为， 即． 故选：C. 6．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与：相切，另一条渐近线与交与A，B两点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题意， 在中， ，即， ∵， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为， 在中，， 设E到直线与的距离分别为，，易得， 若与相切，则， ∴此时直线与相离，不符合题意； 若与相切，则， ∵， ∴，    故选：B. 7．设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意得，Γ的准线方程为，过且倾斜角为的直线方程为，所以，得， 设，，，则，， 故，， 所以，， 故，， ，故． 故选：D.    8．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 【答案】AC 【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 11．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】如图，由题意可知，抛物线的焦点为，准线为， 显然直线AB的斜率可以不存在，但不为0，此时直线AB与抛物线必相交于两点， 设直线设，，联立方程 消去可得，可得． 对于A，直线，令，可得， 即，所以轴，A正确； 对于B，由A项同理可得则轴，则， 可得，所以，B正确； 对于C，由上述分析可知，由梯形中位线可知， 以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即圆心到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线恒相切，C错误； 对于D，因为， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立，此时直线与轴垂直，故面积的最小值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为. 故答案为： 13．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令，解得，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 14．设是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，若的面积的最大值为2，则所有符合要求的椭圆中，的最小值是 ． 【答案】4 【详解】 如图所示，为右焦点，设，， 由是过椭圆中心的弦，则与互相平分， 故四边形为平行四边形； 则， 又，故当时，的面积的最大值为； 又，则； 而，当且仅当时，等号成立; 此时，所以的最小值是4. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【详解】（1）当时，满足， 4分 解得. 所以实数的值为. 6分 （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 8分 令，得，令，得， 10分 所以，解得. 所以实数的值为. 13分 16．（15分）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）设动点， 因为，则， 3分 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. 6分 （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 8分 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 12分 则，解得或， 所以直线的方程为或. 15分 17．（15分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 2分 ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 5分 故抛物线的方程为． 7分 （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 10分 方程的判别式， 设，，则，， 12分 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 15分 18．（17分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 【详解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 2分 将代入，得，得， 故双曲线的方程为， 4分 所以，故离心率． 6分 （2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． 9分 （3）联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 12分 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 15分 又点在圆上，所以，所以． 17分 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 【详解】（1）由题意，解得， 4分 所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为； 6分 （2） 由题意知斜率存在，设， 联立与得，，化简得， 8分 由韦达定理得，， 所以， 11分 而直线，从而， 因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称， 根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称， 所以，而， 13分 所以，显然，所以， 所以直线的方程为， 15分 联立与，得， 即， 化简得，即， 因为，所以， 所以. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 2．若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 4．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与：相切，另一条渐近线与交与A，B两点，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 11．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 13．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 14．设是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，若的面积的最大值为2，则所有符合要求的椭圆中，的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 16．（15分）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 17．（15分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 18．（17分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D C B D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14．4 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）当时，满足， 4分 解得. 所以实数的值为. 6分 （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 8分 令，得，令，得， 10分 所以，解得. 所以实数的值为. 13分 16．【详解】（1）设动点， 因为，则， 3分 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. 6分 （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 8分 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 12分 则，解得或， 所以直线的方程为或. 15分 17．【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 2分 ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 5分 故抛物线的方程为． 7分 （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 10分 方程的判别式， 设，，则，， 12分 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 15分 18．【详解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 2分 将代入，得，得， 故双曲线的方程为， 4分 所以，故离心率． 6分 （2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． 9分 （3）联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 12分 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 15分 又点在圆上，所以，所以． 17分 19．【详解】（1）由题意，解得， 4分 所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为； 6分 （2） 由题意知斜率存在，设， 联立与得，，化简得， 8分 由韦达定理得，， 所以， 11分 而直线，从而， 因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称， 根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称， 所以，而， 13分 所以，显然，所以， 所以直线的方程为， 15分 联立与，得， 即， 化简得，即， 因为，所以， 所以. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$