8.1《因式分解》 学习课件 2024--2025学年北京版七年级数学下册

8.1因式分解 问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21. 问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7. 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？ 可以. 知识回顾 问题：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ 方法二：m(a+b+c) 方法一：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 ? m a m b m c x x x 1 x 1 1 1 方法一：x2+2x+1 方法二： (x+1)2 (x+1)2 = x2+2x+1 整式乘法 ? 计算下面图形的面积和 把一个多项式转化成 的形式，这种变形叫做因式分解. 几个整式的积 因式分解也可以称为分解因式 概念认知 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫把这个多项式因式分解,也称为分解因式. 定义: 多项式 几个整式的积 想一想 因式分解与整式乘法有什么联系与区别？ 多项式 几个整式的积 几个整式的积 多项式 ——称为整式乘法 ——称为因式分解 分解因式与整式乘法是互逆过程 你准备用什么方法检验？ （1） 解：∵ ∴因式分解正确 （2） 解：∵ ∴因式分解不正确 分解因式与整式乘法是互逆过程 例题1：检验下列因式分解是否正确 （3） 解：∵ ∴因式分解正确 （4） 解：∵ ∴因式分解正确 例题1：检验下列因式分解是否正确 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ 辨一辨 （01） 不是 （02） 是 （03） 是 （04） 不是 不是 是 （05） （06） 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止. 小结 完成下列题目： 3x(x-1)=_______ m(a+b-1)=_______ (m+4)(m-4)=________ (y-3)2= 根据左空，解决下列问题： 3x2-3x=( )( ) ma+mb-m=( )( ) m2-16=( )( ) y2-6y+9=( )2 整式乘法 分解因式 整式乘法与因式分解有什么关系？ 整式积的形式 多项式 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 互逆运算 想一想 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c E. 2a3b=a2•2ab F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9 √ × × × × × 总结：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式. 跟踪训练 × 随堂练习 下列变形从左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ 整式乘法 因式分解 右边不是乘积形式 因式分解 √ × √ 1. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗? 解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1) = 2024×2025， ∴ 20242 + 2024 能被 2025 整除. 练一练 2. 若多项式 x4 + mx3 + nx -16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， 则 x4+mx3+nx - 16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b = -16，b - 3a + 2 = 0，a - 3= m，2a-3b=n， 解得 a = -2，b = -8，m = -5，n = 20. ∴mn = -5×20 = -100． 练一练 3. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值. 解：甲分解因式看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15． 练一练 4.20082+2008 能被 2009 整除吗？ 解：∵2 0082+2 008=2 008×(2 008+1) =2 008×2 009； ∴ 2 0082+2 008 能被 2 009 整除. 5.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，求ab-ac的值. 解： ab-ac=a(b-c)， 当 a=3.14，b=2.386，c=1.386 时， 原式=3.14×(2.386-1.386) =3.14. 练一练 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式， 叫做因式分解，也可称为___________. 其中，每个整式叫做这个多项式的_______. 与多项式乘法运算的关系 的变形过程. 因式分解是把一个多项式化为几个整式的_____，整式乘法是把几个整式的______化为一个_________. 积 分解因式 因式 互逆 多项式 乘积 乘积 课堂小结 整式乘法--积化和差 分解因式--和差化积 $$