专题06 与三角形有关的线段（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题06与三角形有关的线段 目录 1 类型一、利用三边关系求参数范围 1 类型二、利用三边关系取舍值（易错） 2 类型三、利用三边关系求最值 3 类型四、三角形最长边与周长的关系 4 类型五、面积法，知高求底/知底求高 4 类型六、面积法，整体求值 5 类型七、依据高的位置，分类讨论求面积 6 类型八、依据高的位置，分类讨论求角度 6 类型九、中线的性质与应用 7 类型十、重心性质与应用 9 类型十一、三角形的角平分线性质的应用 10 类型十二、三角形高、中线、角平分线的综合 11 类型十三、面积转化与面积法（面积法求值） 12 类型十四、面积转化与面积法（转化思想求面积） 13 15 类型一、利用三边关系求参数范围 判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形. 【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 1．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，平行四边形中，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）中，，，若边的长为偶数，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知三角形三边的长分别为，，，且为整数，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在中，，且，． (1)求a的取值范围； (2)若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 类型二、利用三边关系取舍值（易错） 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知等腰三角形有两边长为和，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 7．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是（    ） A．3 B．8 C．3或8 D．13 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 9．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若其周长为，一边长是另一条边的倍，求三角形的三条边长． 类型三、利用三边关系求最值 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 11．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，已知三角形的任一条中位线都平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P、Q分别是AB、的中点，PQ的最小值等于 ． 12．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知等边，点D为平面内任意一点，且，，则的最大值是 ． 13．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 15．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值． 类型四、三角形最长边与周长的关系 16．若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x的取值范围为 ． 17．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）长为2的一根绳子，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边的取值范围是 ． 18．（21-22八年级上·浙江金华·期末）△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 cm． 类型五、面积法，知高求底/知底求高 19．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 20．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 21．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 22．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，若在三角形内有一点到各边的距离相等，则的长为 ． 类型六、面积法，整体求值 24．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ． 25．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是 ．    26．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，，点D沿自点C向点B运动（点D与点C，B不重合），作于点E，的延长线于点F，在点D的运动过程中，的值逐渐 （填“增大”，“减小”取“不变”）．    27．（22-23七年级下·江苏泰州·周测）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且， ，，垂足分别为点E．F．若，则的值 ．    28．（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 类型七、依据高的位置，分类讨论求面积 29．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在中，，，边上的高为，则的面积是 ．   30．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）是中边上的高，已知 则的面积等于 ． 类型八、依据高的位置，分类讨论求角度 31．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则 的度数为 ． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 33．（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 34．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为 ． 35．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是 ． 类型九、中线的性质与应用 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 36．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∵，∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 37．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 38．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 39．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 类型十、重心性质与应用 40．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 41．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 类型十一、三角形的角平分线性质的应用 三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 42．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 43．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点O．过点O作交于点D，点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 45．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在中，点分别是上一点，和的角平分线交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 类型十二、三角形高、中线、角平分线的综合 46．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 47．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 类型十三、面积转化与面积法（面积法求值） 48．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 49．（24-25七年级下·上海静安·阶段练习）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 50．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 51．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 类型十四、面积转化与面积法（转化思想求面积） 52．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 53．（24-25七年级上·重庆·开学考试）已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 54．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 55．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点． 问题1：如图1：是的中线，求证： 问题2：如图2：，求证： 问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积： （1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线： ①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线． （2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线： ①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线． 下面就请你完成小孙和小悟的证明． 问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！ （保留作图痕迹并写出作图方法） 56．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 57．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 58．（22-23七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学教材七年级下册81页的部分内容： 因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形． 换句话说：三角形的任何两边的和大于第三边． 【问题背景】如图①，在中，若，则折线的长度（线段与的长度和）可能是______．    A．9    B．10    C．11 【问题变形】如图②，点D为内部的一点，分别连接、，设折线的长度为m．求证：． 以下是小明的部分证明过程，请你将其补全． 证：如图②，延长交于点E．    在中，．（       ） ∴． 在中，． ∴． ∴． 在△ADB中，______． ∴． 【结论总结】通过对“三角形的任何两边的和大于第三边”的反复使用，我们可以分析出折线长度的取值范围． 【结论应用】如图③，点D、E为等边三角形内部的两点，分别连接、、，设折线的长度（线段、与的长度和）为m．若，则m的取值范围是______．    【拓展提升】如图④，在等边三角形网格中，所有等边三角形的边长为1，设图中阴影部分图形的周长为m，则m的取值范围是______．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06与三角形有关的线段 目录 1 类型一、利用三边关系求参数范围 1 类型二、利用三边关系取舍值（易错） 5 类型三、利用三边关系求最值 7 类型四、三角形最长边与周长的关系 11 类型五、面积法，知高求底/知底求高 13 类型六、面积法，整体求值 17 类型七、依据高的位置，分类讨论求面积 20 类型八、依据高的位置，分类讨论求角度 22 类型九、中线的性质与应用 27 类型十、重心性质与应用 33 类型十一、三角形的角平分线性质的应用 37 类型十二、三角形高、中线、角平分线的综合 43 类型十三、面积转化与面积法（面积法求值） 46 类型十四、面积转化与面积法（转化思想求面积） 50 56 类型一、利用三边关系求参数范围 判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形. 【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 1．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，平行四边形中，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，掌握平行四边形的性质以及三角形的三边关系是解题的关键．根据平行四边形的性质求得，再根据三角形三边关系即可求得的范围． 【详解】解：记交于点O，如图， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）中，，，若边的长为偶数，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知三角形三边的长分别为，，，且为整数，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边，求出的取值范围后即可得解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 选项，，符合的取值范围，选项符合题意； 选项，，则不能取，选项不符合题意； 选项，，则不能取，选项不符合题意； 选项，，则不能取，选项不符合题意． 故选：． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围，即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在中，，且，． (1)求a的取值范围； (2)若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)44 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的定义，解不等式组，掌握这些知识是关键． （1）由三角形三边的关系列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． 【详解】（1）解：由题意知： 解得：； （2）解：∵是等腰三角形，两边长为8，18所以第三边为8或18， 又，， ∴第三边只能为18． 此时周长为． 类型二、利用三边关系取舍值（易错） 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知等腰三角形有两边长为和，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形周长，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论，求出符合条件的等腰三角形三边长度，继而求出周长． 【详解】解：∵等腰三角形有两边长为和， ①当为腰长时，即三边为，，， ∵， ∴可以构成三角形，此时周长为：， ②当为腰长时，即三边为，，， ∵，不符合构成三角形条件， ∴此种情况舍去， 故选：B． 7．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是（    ） A．3 B．8 C．3或8 D．13 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，能灵活应用分类思想是解决问题的关键．因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论，根据三角形周长可求得底边． 【详解】解：当3是腰长时，底边为， 此时，不能组成三角形； 当3是底边时，腰长为， 此时3，8，8三边能够组成三角形． 所以等腰三角形的底边是3． 故选：A． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为，能构成三角形， 综上，， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若其周长为，一边长是另一条边的倍，求三角形的三条边长． 【答案】(1)或； (2)三角形的三边长分别是． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识；（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 【详解】（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形另外两个角的度数为或； （2）解：设一边长为，则另一边为； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 类型三、利用三边关系求最值 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 11．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，已知三角形的任一条中位线都平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P、Q分别是AB、的中点，PQ的最小值等于 ． 【答案】 【分析】取AC的中点M，的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，先求出BC=3，PN=5，再利用平移的性质及三角形三边的关系得出结果． 【详解】解：取AC的中点M，的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN， ∵将ΔABC平移5个单位长度得到， ∴=BC=3，PN=5， ∵点P、Q分别是的中点， ∴NQ是的中位线，NQ= =， ∴5-≤PQ≤5+即≤PQ≤， ∴PQ的最小值等于． 故答案为． 【点睛】本题考查了平移的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 12．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知等边，点D为平面内任意一点，且，，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【答案】5 【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x； 因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x， 因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x， 因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长， S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高， ∴6＞高＞3， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 15．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19，最小值为13 【分析】（1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为， 当时，的周长为最小，即为． 类型四、三角形最长边与周长的关系 16．若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x的取值范围为 ． 【答案】7＜x＜9． 【分析】根据已知条件可以得到三角形的第三边的长，再根据三角形的三边关系以及x为△ABC中的最长边可以得到关于x的不等式组，解出不等式组即可． 【详解】∵△ABC的周长为18，其中一条边长为4，这个三角形的最大边长为x， ∴第三边的长为：18-4-x=14-x， ∴x＞4且x＞14-x， ∴x＞7， 根据三角形的三边关系，得： x＜14-x+4， 解得：x＜9； ∴7＜x＜9， 故答案为7＜x＜9． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要能够根据三角形的三边关系分析得到关于x的不等式． 17．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）长为2的一根绳子，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边的取值范围是 ． 【答案】一个三角形的最长边 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系的应用，解一元一次不等式，围成的两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可得出结论． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴围成的两个全等三角形的周长也相同， ∴这两个全等三角形的周长都为1， 设其中一个三角形的三边长分别为，且c为最长边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴一个三角形的最长边， 故答案为：一个三角形的最长边． 18．（21-22八年级上·浙江金华·期末）△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 cm． 【答案】3 【分析】设腰长为x，则底边为10-2x，根据三角形三边关系定理可得10-2x-x＜x＜10-2x+x，解不等式组即可． 【详解】解：设腰长为x，则底边为7-2x． ∵7-2x-x＜x＜7-2x+x， ∴1.75＜x＜3.5， ∵三边长均为整数， ∴x可取的值为2或3， 故各边的长为2，2，3或3，3，1． ∴该三角形最长边的长为3cm． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边． 类型五、面积法，知高求底/知底求高 19．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 20．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 22．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵中，为中线， ∴， ∵于于， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，若在三角形内有一点到各边的距离相等，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握勾股定理，直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算；二是等于三个小三角形的面积和，这也是列方程的依据． 连接．设，根据的面积的两种表示办法列出方程，即可求得的长． 【详解】解：连接．设， ∵中，， ∴， 则 ， ∵， ∴， 解得． ∴． 故答案为：2． 类型六、面积法，整体求值 24．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 古答案为：4． 25．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高和三角形的面积，运用等面积法是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解∵过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，，点D沿自点C向点B运动（点D与点C，B不重合），作于点E，的延长线于点F，在点D的运动过程中，的值逐渐 （填“增大”，“减小”取“不变”）．    【答案】增大 【分析】根据点沿自点C向点B运动时，的面积不变，但是会减小，由面积公式可得的值逐渐增大． 【详解】解：由得： ∵的面积不变，但是点沿自点C向点B运动时，会减小， ∴的值逐渐增大， 故答案为：增大． 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 27．（22-23七年级下·江苏泰州·周测）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且， ，，垂足分别为点E．F．若，则的值 ．    【答案】5 【分析】根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握用等面积法求解线段的方法和步骤． 28．（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 【答案】 【分析】可连接，由图得，，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， 于，于，，的面积为， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 类型七、依据高的位置，分类讨论求面积 29．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在中，，，边上的高为，则的面积是 ． 【答案】126或66 【分析】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况： ①为锐角， ②为钝角，利用勾股定理求出、，即可求出的长进而求得的面积． 【详解】解：分两种情况: ①为锐角时，如图，为边上的高，    在中， ， 在中， ， ， 的面积为：； ②当为钝角时，如图：    在中， ， 在中， ， ， 的面积为：； 故答案为：126或66． 30．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）是中边上的高，已知 则的面积等于 ． 【答案】15或5/5或15 【分析】本题考查了三角形面积的计算，分在三角形的内部和在三角形的外部两种情况，进行计算即可． 【详解】解：如图1，    ， 是的高，， ， ； 如图2，    ， 是的高，， ， ， 综上所述，或5， 故答案为：15或5． 类型八、依据高的位置，分类讨论求角度 31．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则 的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上， 的度数为或， 故答案为：或． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 【详解】解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 33．（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 34．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高，然后根据三角形的形状分情况讨论，画出图形即可解答． 【详解】解：当是等腰锐角三角形时，如图： 由题意可得，，，， ， ∴，， ， ， ，即底角度数为； 当是等腰钝角三角形时，由于三角形的高是线段，钝角三角形的高不相交，没有交点，不符合题意； 当是等腰直角三角形时，两腰上的高是对应直角边，夹角为，不合题意； 综上所述：底角的度数为； 故答案为：． 35．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角，解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理． 类型九、中线的性质与应用 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 36．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积； （1）根据即可求解； （2）取中点E，连接，则，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，则，从而均分了四边形． 【详解】解：（1）∵点D是边上的中点， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）取中点E，连接，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，取中点E，连接， 则， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 37．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 38．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了高线的性质，角平分线的性质以及中线的性质，需熟练掌握三角形的内角和，得到是解决本题的关键． （1）根据，分别是的高由此可得垂直，即可得直角，再根据等量代换求解即可． （2）先由角平分线的性质求出，再根据三角形内角和即可求解． （3）根据中线的性质，由面积的关系可得，再根据面积可得由此可得． 【详解】（1）证明：∵，分别是的高， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，分别是的角平分线， ∴，， ∴ ， ∴ ． （3）证明：∵D是的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 类型十、重心性质与应用 40．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）①由三角形重心的性质可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在的重心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 41．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 类型十一、三角形的角平分线性质的应用 三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 42．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 43．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了外角的性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，延长交于，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，延长交于，记的夹角为，由分别是和的角平分线，可得，，即，，由题意知，，，则 ，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 如图2，延长交于，记的夹角为， ∵分别是和的角平分线， ∴，，即，， 由题意知，，， ∴，即． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点O．过点O作交于点D，点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义，得根据平行线的性质，得，进行角的等量代换，得，即可作答． （2）与（1）过程同理，得再由等角对等边，得最后进行边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵和的平分线相交于点O． ∴ ∵交于点D，交于点E． ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：∵和的平分线相交于点O． ∴ ∵交于点D，交于点E． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 45．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在中，点分别是上一点，和的角平分线交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，三角形的角平分线，解题的关键是： （1）根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； （3）根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴； （2）∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，同理：， ∴． 类型十二、三角形高、中线、角平分线的综合 46．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）解：是中点， ∴， 与的周长差为， 或 或， ， 或． 47．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 类型十三、面积转化与面积法（面积法求值） 48．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 49．（24-25七年级下·上海静安·阶段练习）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 50．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到平行线间的距离处处相等，得到，根据等式的性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴平行线间的距离处处相等，得到， ， ． 故选：C． 51．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质与判定，由题意得，，由勾股定理可得，则可推出，据此可得，证明，则． 【详解】解：由题意得，， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型十四、面积转化与面积法（转化思想求面积） 52．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 【答案】任务1：4；任务2：2；任务3：理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、平行线间的距离，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键． 任务1：先求出三角形的面积为4，再根据三角形和三角形的面积相等即可得； 任务2：先画出图形，根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为4，再根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，由此即可得； 任务3：先根据素材1可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得三角形的面积与三角形的面积相等，再根据三角形的中线可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得四边形的面积与三角形的面积相等，由此即可得． 【详解】解：任务1：∵三角形的面积为，三角形的面积为， ∴三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴三角形的面积为4， 故答案为：4． 任务2：由题意，画出图形如下： ∵在三角形中，是的中点，三角形的面积为8， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， ∵是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， 故答案为：2． 任务3：如图，连接，交于点， ∵， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积， 即三角形的面积三角形的面积， ∵在三角形中，点是的中点， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， 即四边形的面积三角形的面积， ∴直线平分三角形的面积． 53．（24-25七年级上·重庆·开学考试）已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查平行线间的距离，与三角形的高有关的计算，根据同高三角形的面积比等于底边比求出，根据，四边形的面积，得到与四边形的面积之差为，进行求解即可． 【详解】解：∵梯形的面积是36，，是上一点， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， 四边形的面积， ∴与四边形的面积之差为， ∵， ∴， ∴与四边形的面积之差为． 54．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 55．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点． 问题1：如图1：是的中线，求证： 问题2：如图2：，求证： 问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积： （1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线： ①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线． （2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线： ①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线． 下面就请你完成小孙和小悟的证明． 问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！ （保留作图痕迹并写出作图方法） 【答案】【问题1】见解析；【问题2】见解析；【问题3】见解析；【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． 【分析】【问题1】过点A作于点P，根据等底同高解答，即可； 【问题2】分别过点A，D作，垂足分别点K，L，根据等高同底解答，即可； 【问题3】（1）根据，可得，从而得到，再由M为中点，可得平分的面积，即可； （2）根据O为中点，可得平分的面积，平分的面积，从而得到，再由，可得，从而得到，即可； 【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． 【详解】【问题1】证明：如图，过点A作于点P， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； 【问题2】 证明：如图，分别过点A，D作，垂足分别点K，L， ∴， ∵， ∴， ∴； 【问题3】 （1）∵， ∴ ∴，即， ∵M为中点， ∴平分的面积，即平分四边形的面积． （2）∵O为中点， ∴平分的面积，平分的面积， ∴折线A－O－C平分四边形的面积， 即， ∵， ∴， ∴，即 ∴平分四边形的面积； 【问题4】 解：①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 即线平分五边形． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，根据等底同高或等高同底证得两个三角形的面积线等是解题的关键． 56．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和已知即可得出，由内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）设，由三角形外角的性质可得，进而表示出．根据角平分线和角的和差关系转化即可得出； （3）过点作，连接，，，利用平行线和等底等高三角形面积相等求出，再利用三角形面积比求出边长或高之比，从而得出，由此即可解题. 本题考查了平行线判定、三角形外角的性质和角平分线定义、三角形的中线性质，平行线间的距离相等等知识点，解题关键是通过平行线进行三角形等积变换. 【详解】（1）解：∵恰好是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）设， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ （3）过点作，连接，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵是的中线，即， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，v ∴， ∴ 57．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 58．（22-23七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学教材七年级下册81页的部分内容： 因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形． 换句话说：三角形的任何两边的和大于第三边． 【问题背景】如图①，在中，若，则折线的长度（线段与的长度和）可能是______．    A．9    B．10    C．11 【问题变形】如图②，点D为内部的一点，分别连接、，设折线的长度为m．求证：． 以下是小明的部分证明过程，请你将其补全． 证：如图②，延长交于点E．    在中，．（       ） ∴． 在中，． ∴． ∴． 在△ADB中，______． ∴． 【结论总结】通过对“三角形的任何两边的和大于第三边”的反复使用，我们可以分析出折线长度的取值范围． 【结论应用】如图③，点D、E为等边三角形内部的两点，分别连接、、，设折线的长度（线段、与的长度和）为m．若，则m的取值范围是______．    【拓展提升】如图④，在等边三角形网格中，所有等边三角形的边长为1，设图中阴影部分图形的周长为m，则m的取值范围是______．    【答案】问题背景：C；问题变形：三角形的任意两边之和大于第三边；；；；结论应用：；拓展提升：． 【分析】问题背景：根据三角形的任意两边之和大于第三边可得答案； 问题变形：根据三角形的任意两边之和大于第三边，逐一填写即可； 结论应用：如图，延长，延长交于，证明，由两点之间线段最短可得：，，从而可得结论； 拓展提升：根据问题变形结合本问图形，作出合适的辅助线，再利用问题变形的结论即可得到答案． 【详解】问题背景：∵，而， ∴， ∴折线的长度（线段与的长度和）可能是11， 故选C 问题变形：证：如图②，延长交于点E．    在中，．（三角形的任意两边之和大于第三边） ∴． 在中，． ∴． ∴． 在中，． ∴． 结论应用：如图，延长，延长交于，    ∵等边三角形，， ∴， 由两点之间线段最短可得：， 由问题变形的结论可得：， ∵， ∴， ∴； 拓展提升：如图，标注图形如下，    ∵等边三角形的边长为1， ∴， ，，，，， 由问题变形的结论可得：， 且， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的任意两边之和大于第三边的灵活运用，等边三角形的性质，熟记性质并熟练的运用推导的结论解决问题是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$