数学几何模型研究大讲堂 专题十三 “双垂直”模型 2025-2026学年人教版数学八年级上册

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十三：双垂直模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接.形成“双垂直”模型. 1.； 2.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双垂直模型”求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查. 直角三角形两锐角互余 PART 2——模型思路. 这是一种容易在三角形章节中出现的模型，如果同学们第一次遇到且考察结论2，那么对于大多数同学来说很难，其实不管是哪个结论，都考察了直角三角形两锐角互余的知识点，只不过结论3很多同学想不到其辅助线的做法.该模型应当与本模型专辑章节中的“燕尾”“8字”“A字”“风筝”“双角平分线”一并学习. 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 “双垂直”模型 延长顶点与高线交点的线段，根据三角形高交于一点，那么延长的线段必然也垂直于对边. 证明过程： 由题意得：，. ∴. ∴（结论1）. ∵. ∴. 延长交于点. ∵， ∴ ∵. ∴. ∵. ∴（结论2）. PART 3——模型练习. 1.（2025·山东青岛校级期末）如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（       ）. A.100° B.120° C.150° D.160° 2.（2024·山东淄博校级期末模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边的高，点O是两条高的交点，则∠A与∠1＋∠2的大小关系是(    ) A．∠A＞∠1＋∠2 B．∠A=∠1＋∠2 C．∠A＜∠1＋∠2 D．无法确定 3. （2025·黑龙江佳木斯校级阶段）如图，，是的两条高，， 度． 4.（2023·重庆八中定时）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则（ ）. A. B. C. D. 5.（2023·安徽宿州校级期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 6.（2025·安徽合肥校级期中）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 7. （2023·河南新乡期末） 如图，在中，和分别是的边，上的高，，相交于点，已知．    (1)若，求的度数； (2)若，，，求的长． 8.（2024·湖北黄石月考）在中，，是的垂心，且不与、重合，则的大小等于 ． 9. （2024·重庆江津校级定时）已知，、是的高，直线、相交所成的角中有一个为，则 . 10.（2024·重庆大渡口校级入学）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 11.（2023·河南周口期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，． (1) 求的度数． (2) 若，求的长． 12.（2024·重庆八中定时）如图，在中，与均为的高线，若，则=_____. 13.（原创）如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则 ；将沿翻折得到，若，则 ． 14.（2023·辽宁阜新校级期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．    15.（2023·辽宁阜新校级期中）如图，在中，，，若边上的高，    (1)求边上的高的长． (2)在括号里注明理由： ，( )． ( )． (3) 若，则______________． PART 4——模型变式. 【变式1】（2023·河北保定月考）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023·河南漯河校级月考改编）如图，在中，分别是边上的高，则图中与相等的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2023·四川巴中一模）如图，在中，、分别为、边上的高，，、相交于点，下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①③④ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【变式4】（2025·河北石家庄期末改编）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 ° 【变式5】（2024·湖北随州校级模拟节选）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点，    如图1，若，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十三：双垂直模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接.形成“双垂直”模型. 1.； 2.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双垂直模型”求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查. 直角三角形两锐角互余 PART 2——模型思路. 这是一种容易在三角形章节中出现的模型，如果同学们第一次遇到且考察结论2，那么对于大多数同学来说很难，其实不管是哪个结论，都考察了直角三角形两锐角互余的知识点，只不过结论3很多同学想不到其辅助线的做法.该模型应当与本模型专辑章节中的“燕尾”“8字”“A字”“风筝”“双角平分线”一并学习. 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 “双垂直”模型 延长顶点与高线交点的线段，根据三角形高交于一点，那么延长的线段必然也垂直于对边. 证明过程： 由题意得：，. ∴. ∴（结论1）. ∵. ∴. 延长交于点. ∵， ∴ ∵. ∴. ∵. ∴（结论2）. PART 5——模型解析. 1.（2025·山东青岛校级期末）如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（       ）. A.100° B.120° C.150° D.160° 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是.根据等边三角形的性质以及三角形的高得到，，然后根据四边形的内角和是360°解出的度数，根据对顶角相等即可得出的度数. 【详解】解：∵为等边三角形，、分别是、边上的高. ∴. ∵在四边形中，，， ∴， ∵对顶角相等. ∴. 故选：B. 2.（2024·山东淄博校级期末模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边的高，点O是两条高的交点，则∠A与∠1＋∠2的大小关系是(    ) A．∠A＞∠1＋∠2 B．∠A=∠1＋∠2 C．∠A＜∠1＋∠2 D．无法确定 【答案】B 【详解】试题解析：∵CD是AB边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠OEC=∠ADC= 又∴△ACD和△OCE中，∠ACD=∠OCE， ∴∠A=∠EOC 又∵∠EOC=∠1+∠2， ∴∠A=∠1+∠2. 故选B. 3. （2025·黑龙江佳木斯校级阶段）如图，，是的两条高，， 度． 【答案】 【分析】此题考查直角三角形两锐角互余，三角形外角与内角的关系，解题关键在于掌握各性质定义．根据的高可得，由可求得，然后利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵，是的两条高， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为． 4.（2023·重庆八中定时）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， 故答案为：B． 5.（2023·安徽宿州校级期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可． 【详解】∵，∴，∴．故选B． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出是解题关键． 6.（2025·安徽合肥校级期中）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义． （1）利用三角形内角和定理分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵和是的两条高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：由三角形的面积公式， 得， 即， ∴． 7. （2023·河南新乡期末） 如图，在中，和分别是的边，上的高，，相交于点，已知．    (1)若，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据三角形的高的定义得出，根据全等三角形的性质得出，那么是等腰直角三角形，，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）连接，利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵和分别是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，，， ∴．    ∵是的边上的高， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，求出是解第（1）小题的关键；利用面积法是解第（2）小题的关键． 8. （2024·湖北黄石月考）在中，，是的垂心，且不与、重合，则的大小等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形垂心的定义，直角三角形的特征；①当锐角三角形时，由三角形垂心的定义及直角三角形锐角互余得，从而可得，即可求解；②当钝角三角形时，同理①即可求解；掌握直角三角形的特征，理解三角形垂心的定义“三角形的三边高线的交点叫三角形的垂心．”，能根据三角形的分类进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当锐角三角形时， ，是的垂心， ， ， ； ②如图，当钝角三角形时， ，是的垂心， ， ， ． 故答案为：或． 9.（2024·重庆江津校级定时）已知，、是的高，直线、相交所成的角中有一个为，则 . 【答案】或 【分析】本题是一道考查三角形的高与四边形内角之和的题，对于初中数学来说，掌握相关的性质是解题的关键，这样可以提高解题的速度和准确率. 根据题意可知，要分锐角三角形和钝角三角形考虑，结合四边形内角和求解. 【详解】解：是钝角三角形时，如图所示：    直线、相交所成的角中， ， 因为、是的高， ， ， ， ； 是锐角三角形时，如图所示：    因为、是的高， ， ， ． 故答案为或. 10.（2024·重庆大渡口校级入学）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，解题的关键是延长交于点F，利用三角形的三条高交于一点解决问题解决问题． 【详解】解：延长交于点F， 在中，三边的高交于一点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 在中，三内角之和为， ∴， 故答案为：． 11.（2023·河南周口期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，． (1) 求的度数． (2) 若，求的长． 【答案】(1) 134°； (2). 【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理即可得到答案； （2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，，. ∴. 【点睛】本题考察三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键. 12.（2024·重庆八中定时）如图，在中，与均为的高线，若，则=_____. 【答案】49° 【分析】延长交于点，利用直角三角形两锐角互余导角求解. 【详解】延长交于点. ∵， ∴ ∵. ∴. ∵. ∴. ∴. 故填：49°. 13.（原创）如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则 ；将沿翻折得到，若，则 ． 【答案】 ； 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，延长，交于点，易得，进而求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，折叠的性质，得到，三线合一，推出，证明四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可． 【详解】解：延长，交于点，过作， ∵与均为的高线，交于点F， ∴为的高线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 14.（2023·辽宁阜新校级期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．   【答案】 【分析】延长交于点F，利用直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂心定义计算即可． 【详解】延长交于点F，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂心定义，熟练掌握直角三角形的锐角互余是解题的关键． 15.（2023·辽宁阜新校级期中）如图，在中，，，若边上的高，    (1)求边上的高的长． (2)在括号里注明理由： ，( )． ( )． (3) 若，则______________． 【答案】(1) (2)直角三角形两锐角互余；同角的余角相等 (3) 【分析】（1）利用等面积法列出方程并求解即可； （2）利用直角三角形两锐角互余和同角的余角相等整理过程即可得解； （3）由三角形三条高所在的直线交于一点，可知，从而得到，继而得解． 【详解】（1）解：∵在中，边上的高是，边上的高是， ∴， 又∵，，边上的高， ∴， ∴ （2） ，(直角三角形两锐角互余)． (同角的余角相等)． 故答案为：直角三角形两锐角互余；同角的余角相等； （3）延长到点，点在上， 由三角形三条高所在的直线交于一点，即点O是的垂心，可知：，即， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查三角形的高，等面积法，三角形三条高所在的直线交于一点，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握等面积法求高和三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 【变式1】（2023·河北保定月考）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等量代换、三角形的高的性质、三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】∵，都是的高， ∴．∴． A、当时，可得，该选项不符合题意； B、当时，可得，该选项不符合题意； C、根据题意可知，该选项符合题意； D、当时，可得，该选项不符合题意．故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的高的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的高的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2】（2023·河南漯河校级月考改编）如图，在中，分别是边上的高，则图中与相等的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由分别是边上的高，可得，从而得出，最后得出． 【详解】解：∵分别是边上的高，∴， ∴，∴，∴与相等的角有1个， 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两个锐角互余． 【变式3】（2023·四川巴中一模）如图，在中，、分别为、边上的高，，、相交于点，下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ） A． ①③④ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【答案】B 【分析】证明△BDF≌△ADC（ASA），由全等三角形的性质得出BF=AC，FD=CD，故可判断①④正确，由三角形的面积公式可得出②正确，由等腰三角形的性质可判断③错误．则可得出答案． 【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高， ∴∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角， ∴∠DAC=∠FBD， 又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD=BD， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴BF=AC，故①符合题意， ∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高， ∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边， ∴S△ABF：S△AFC=BD：CD， 故②符合题意； ∵EA≠EC， ∴FA≠FC， ∴∠FAE≠∠FCE， 故③不符合题意， ∵△BDF≌△ADC， ∴FD=CD， ∴∠DCF=∠CFD=45°， ∴故④符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式4】（2025·河北石家庄期末改编）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 ° 【答案】50 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【变式5】（2024·湖北随州校级模拟节选）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点，    如图1，若，求证：. 【答案】见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由得出，推出，最后根据直角三角形的性质即可得证. 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ∴， 故在中，， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $$