专题11 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题11 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【变式1-1】若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数幂相等，且底数分别为和，需保证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想． 根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式1-2】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式1-3】已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 例2．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式2-1】若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 【变式2-3】若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据不含某项建立方程求解即可. 【详解】解：原式， 的展开式中不含x的二次项和一次项， ， 解得． 【变式3-1】已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 【变式3-2】多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6． (1)试确定m和n的值； (2)利用（1）的结果，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）两多项式相乘后，利用多项式乘多项式法则计算，由乘积中的展开式中，不含项，且常数项是，确定出m和n的值； （2）原式化简后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ∵不含项，且常数项是， ∴， 解得：； （2）解： ， 当时，原式． 【变式3-3】定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：， ∴ 解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 【变式5-1】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)大长方形面积：；阴影部分的面积： (3)5 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，代入，即可求解． 【详解】（1）解：大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 阴影部分的面积： ； （3）当时， 由（2）得， ∴． 【变式5-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)165 (3)15 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，将，，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【变式5-3】有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，得，由此可得出阴影部分的周长； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的周长； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：． ， ∴， ∴， ． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析； (2)3； (3)或． 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 一、单选题 1．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 2．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或7 【答案】D 【分析】本题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．据此解答即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴， 则m的值为：或7． 故选：D． 3．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】 解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 5．在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为， 故选：D． 二、填空题 6．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 7．若关于的多项式的计算结果中不含有项，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含有项，即含有项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的多项式的计算结果中不含有项， ∴， ∴， 故答案为：2． 8．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：； ； 加上的单项式可以是、中任意一个． 故答案为：． 9．对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式的应用，由题意可得，由此计算即可得解，熟练掌握运算法则，理解题意是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 解得：或， 即的值为， 故答案为：． 10．我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值． 本题考查完全平方公式的应用，实数的非负性应用，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解： ， 由（、是整式，为常数）为“完全式”， 故， 解得， 当时， 故， 解得， 故， 故答案为：． 三、解答题 11．（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得的一次项系数为，常数项为，列式求解得到和的值，即可求得的值． 【详解】解：（1） ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 12．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 13．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 14．定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 15．【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若，求m，n的值； (2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； (3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查整式计算，解一元一次方程． （1）根据题意列式对应系数相等即可得到结果； （2）根据题意列式即可得到结果； （3）先求出的值，再求出即可． 【详解】（1）解：，． ， ，， ，； （2）解：， ∵的结果中不含一次项， ，解得：， 由得：， ； （3）解：， ， ， ∴． 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)阴影部分的面积为 (3)该命题为假命题，理由见解析 【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，数字规律的计算，掌握以上知识的计算法则是关键． （1）根据材料提示内容即可求解； （2）根据图形面积，结合材料提示方法求解即可； （3）根据题意若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，结合材料提示，平方差公式的计算判定即可求解． 【详解】（1）解：， ∴根据“智慧数”的定义，除1外的所有奇数是“智慧数”， 故答案为：是； （2）解：方法一： ∵ ， ∴阴影部分的面积为． 方法二： ∵ ， ∴阴影部分的面积为． （3）解：方法一： 该命题为假命题，理由如下： ∵若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得， ∴， ∵、是两个正整数， ∴、同为偶数或同为奇数， ∴是4的倍数或奇数， 又∵不是4的倍数，也不是奇数， ∴不是“智慧数”， ∴该命题为假命题． 方法二：（举反例） 该命题为假命题，理由如下： ∵当时，，且， 又∵若6是“智慧数，则必有两个正整数、，使得， ∴， ∵、是两个正整数， ∴、同为偶数或同为奇数， 又∵、都是奇数乘偶数， ∴6不是“智慧数”， ∴该命题为假命题． ∵当时，，而6不是智慧数， ∴该命题为假命题． 17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①，；②． 【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解； ②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）①根据题意得，，， ∴， ； ②， ， ， ， ． 18．对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：________；________：________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论； (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值． 【答案】(1)2，3，5 (2) (3)120 (4)1 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （4）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ， ∴，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式1-3】已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 例2．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-1】若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【变式2-3】若对任意都成立，则 ． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【变式3-1】已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【变式3-2】多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6． (1)试确定m和n的值； (2)利用（1）的结果，求的值． 【变式3-3】定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【变式5-1】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 【变式5-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【变式5-3】有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 一、单选题 1．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 2．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或7 3．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 5．在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 二、填空题 6．，则 ． 7．若关于的多项式的计算结果中不含有项，则 ． 8．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有 个． 9．对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为 ． 10．我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为 ． 三、解答题 11．（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 12．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 13．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 14．定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 15．【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若，求m，n的值； (2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； (3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 18．对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：________；________：________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论； (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$