专题13 几何图形的旋转综合的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

专题13 几何图形的旋转综合的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段绕某点旋转综合问题 类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 类型三、等边三角形绕点旋转综合问题 类型四、平行四边形的旋转综合问题 类型五、矩形的旋转综合问题 类型六、正方形的旋转综合问题 压轴专练 类型一、线段绕某点旋转综合问题 知识点：1. 线段旋转的基本性质：旋转前后线段长度不变，对应端点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，线段所在直线的夹角与旋转角相关。2. 三角形及圆的关联知识：旋转形成的等腰三角形（对应点与中心构成）、定长线段旋转的轨迹为圆（以旋转中心为圆心）。 解题技巧：1. 定位端点对应点：通过作等长线段、构造旋转角，确定线段两端点的对应位置，利用全等或相似转化关系。2. 动态问题转化：涉及线段旋转的动态变化时，以旋转中心为定点，分析端点轨迹（圆），结合几何图形性质（如直径所对圆周角为直角）求解极值或位置关系。 例1．在等边三角形中，点D为边上的一点，连接． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：； 【变式1-1】在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． (1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 知识点：1. 等腰直角三角形性质与旋转性质的结合：两直角边相等、直角为90°，旋转后对应边、角不变，形成新的等腰直角三角形或全等三角形。2. 特殊角度与线段关系：旋转角常为90°或45°，可推导线段垂直、相等关系，如旋转后对应直角边垂直且相等。 解题技巧：1. 锁定旋转核心：以等腰直角顶点或斜边中点为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角等”构造全等（如SAS）。2. 转化线段关系：遇复杂图形，通过旋转将分散的边、角集中到直角三角形中，利用勾股定理或线段垂直关系求解。 例2．已知和是两个全等的等腰直角三角形，． (1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证： ①； ②； (2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】已知：和都是等腰直角三角形，． (1)如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 类型三、等边三角形绕点旋转综合问题 知识点：1. 等边三角形性质与旋转的融合：三边相等、三角均为60°，旋转后对应边、角不变，易形成新等边三角形或全等三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转角常为60°或120°，可推导线段相等、夹角为60°或120°，如旋转后对应边夹角等于旋转角。 解题技巧：1. 聚焦旋转中心：以顶点或中心为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角60°”构造全等（如SAS）或相似。2. 转化分散条件：通过旋转将分散线段集中，利用60°角构造等边三角形，或结合30°-60°直角三角形边角关系求解。 例3．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【变式3-1】（1）问题发现 如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空： ①线段与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________． （2）拓展探究 当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明． （3）问题解决 已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积． 类型四、平行四边形的旋转综合问题 知识点：1. 平行四边形性质与旋转的结合：对边平行且相等、对角线互相平分，旋转后对应边保持平行（或夹角等于旋转角），对应角相等，易形成全等图形。2. 旋转产生的特殊关系：以对角线交点为中心旋转180°可与原图形重合，旋转其他角度时，对应顶点连线被旋转中心平分，易推导线段平行或相等关系。 解题技巧：1. 抓住对称中心：优先考虑以对角线交点为旋转中心，利用“中心对称”性质标记对应顶点，转化线段等量关系。2. 构造辅助线：遇复杂图形，通过旋转一组对边或顶点，将非特殊角转化为已知角，结合平行线性质（如内错角相等）推导边、角关系。 例4．如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【变式4-1】如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 类型五、矩形的旋转综合问题 知识点：1. 矩形性质与旋转的叠加：对边相等、四角为直角、对角线相等且互相平分，旋转后对应边保持垂直或平行（取决于旋转角），对角线对应线段相等，易形成全等矩形。2. 旋转产生的垂直关系：以对角线交点为中心旋转时，对应顶点连线被平分；旋转90°时，邻边对应线段垂直，可推导线段垂直且相等关系。 解题技巧：1. 聚焦对角线特性：利用矩形对角线相等且互相平分的特点，以交点为旋转中心时，通过对应顶点连线的中点性质转化等量关系。2. 转化角度关系：遇旋转角非90°时，结合矩形直角特征，构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解线段长度。 例5．将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当过点C时，若，求的长． 【变式5-1】如图1，在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点落在边上，过点作于点，连接． (1)求证：①；②；③四边形是平行四边形； (2)如图2，连接交于点． ①求的长； ②过点作交于点，求证：四边形是正方形． 类型六、正方形的旋转综合问题 知识点：1. 正方形性质与旋转的结合：四边相等、四角为直角、对角线垂直且相等，旋转后对应边垂直或平行（夹角等于旋转角），对角线对应线段垂直且相等，易形成全等正方形或等腰直角三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转90°时，邻边对应线段垂直且相等；旋转180°时，与原图形中心对称，可推导线段垂直、中点等关系。 解题技巧：1. 锁定旋转中心：以顶点、中心或对角线交点为中心，利用“边等、角90°”标记对应顶点，构造全等（如SAS）。2. 转化垂直关系：通过旋转将分散线段集中，结合正方形直角和对角线垂直特性，利用勾股定理或等腰直角三角形性质求解。 例6．如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． (1)如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； (2)如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 【变式6-1】【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 一、解答题 1．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 2．【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 3．在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点在的斜边上，连． ①线段与的关系为________，并证明你的结论． ②求证：； （2）如图2，为上一点，，则的长为________． 4．如图1，在正方形中，，将线段绕点C逆时针旋转至，连接． (1)当时，求的长度； (2)如图2，过点D作交于点F，连接． ①求证：． ②当点F是中点时，求与的面积比． 5．如图1，已知在和中，，点分别在边上，绕点A逆时针旋转一定角度． (1)①如图2，若，，，连接，求证：； ②在①的条件下，已知，，当点在直线上时，求的面积； (2)若，，，点不与点重合，是的中点，点在线段上，连接，是所在平面内一点，连接、，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值． 6．如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 7．（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为． （2）【类比探究】 ①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，； ②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是． ③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______． （3）【拓展延伸】 如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______． 8．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】： （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_____； 【解决问题】： （2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分；写出证明过程 ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则______； 【迁移应用】： （3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则______； （4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，则_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何图形的旋转综合的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段绕某点旋转综合问题 类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 类型三、等边三角形绕点旋转综合问题 类型四、平行四边形的旋转综合问题 类型五、矩形的旋转综合问题 类型六、正方形的旋转综合问题 压轴专练 类型一、线段绕某点旋转综合问题 知识点：1. 线段旋转的基本性质：旋转前后线段长度不变，对应端点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，线段所在直线的夹角与旋转角相关。2. 三角形及圆的关联知识：旋转形成的等腰三角形（对应点与中心构成）、定长线段旋转的轨迹为圆（以旋转中心为圆心）。 解题技巧：1. 定位端点对应点：通过作等长线段、构造旋转角，确定线段两端点的对应位置，利用全等或相似转化关系。2. 动态问题转化：涉及线段旋转的动态变化时，以旋转中心为定点，分析端点轨迹（圆），结合几何图形性质（如直径所对圆周角为直角）求解极值或位置关系。 例1．在等边三角形中，点D为边上的一点，连接． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，求出，得到，利用勾股定理得到，再证明，得到，则； （2）如图所示，在上截取，连接交于T，证明，得到，，证明，由旋转的性质可得，，进而推出，，则，，由此证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，在上截取，连接交于T ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 【变式1-1】在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． (1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 【答案】(1) (2)当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，故，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，即可得出； （2）当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出；当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出； 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 在中，， 即． 故答案为：． （2）解：当点在的延长线上时，； 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 当点在的延长线上时，， 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， 故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 知识点：1. 等腰直角三角形性质与旋转性质的结合：两直角边相等、直角为90°，旋转后对应边、角不变，形成新的等腰直角三角形或全等三角形。2. 特殊角度与线段关系：旋转角常为90°或45°，可推导线段垂直、相等关系，如旋转后对应直角边垂直且相等。 解题技巧：1. 锁定旋转核心：以等腰直角顶点或斜边中点为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角等”构造全等（如SAS）。2. 转化线段关系：遇复杂图形，通过旋转将分散的边、角集中到直角三角形中，利用勾股定理或线段垂直关系求解。 例2．已知和是两个全等的等腰直角三角形，． (1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证： ①； ②； (2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明； ②由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论． 【详解】（1）证明：①∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②由①知， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴． （2）解：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． 【变式2-1】已知：和都是等腰直角三角形，． (1)如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析； (3)或 【知识点】化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； （2）成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； （3）当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 类型三、等边三角形绕点旋转综合问题 知识点：1. 等边三角形性质与旋转的融合：三边相等、三角均为60°，旋转后对应边、角不变，易形成新等边三角形或全等三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转角常为60°或120°，可推导线段相等、夹角为60°或120°，如旋转后对应边夹角等于旋转角。 解题技巧：1. 聚焦旋转中心：以顶点或中心为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角60°”构造全等（如SAS）或相似。2. 转化分散条件：通过旋转将分散线段集中，利用60°角构造等边三角形，或结合30°-60°直角三角形边角关系求解。 例3．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）的度数不变，；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）以为边在的外部作等边三角形，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，过E作交的延长线于F，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：的度数不变， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边在的外部作等边三角形， ∴，， 由（2）知，， ∴， 过E作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．明确题意，添加合适的辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 【变式3-1】（1）问题发现 如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空： ①线段与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________． （2）拓展探究 当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明． （3）问题解决 已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①，②；（2）成立，见解析；（3）的面积为或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）分两种情况讨论，画出图形，利用线段垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 且， ； （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ，， ， 且， ； （3）分两种情况讨论， ①如图，由（2）知， ∴， ∵点E位于线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴在同直线上， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为； ②如图，由（2）知， ∵点E位于线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点D也在线段的垂直平分线上， ∴， ∴的面积为； 综上，的面积为或． 类型四、平行四边形的旋转综合问题 知识点：1. 平行四边形性质与旋转的结合：对边平行且相等、对角线互相平分，旋转后对应边保持平行（或夹角等于旋转角），对应角相等，易形成全等图形。2. 旋转产生的特殊关系：以对角线交点为中心旋转180°可与原图形重合，旋转其他角度时，对应顶点连线被旋转中心平分，易推导线段平行或相等关系。 解题技巧：1. 抓住对称中心：优先考虑以对角线交点为旋转中心，利用“中心对称”性质标记对应顶点，转化线段等量关系。2. 构造辅助线：遇复杂图形，通过旋转一组对边或顶点，将非特殊角转化为已知角，结合平行线性质（如内错角相等）推导边、角关系。 例4．如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】（1）由旋转可知，得到，然后有平行四边形的性质得到，进而求解即可； （2）过C作，求出，，，然后求出，得到，勾股定理求出，然后求出，进而求解即可； （3）如图，过B作，过G作，连接，，，求出，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）由旋转可知 ∴   ∵在中      ∴     ∴     ∴ 平分； （2）如图，过C作 ∵由旋转得到   ∴，， ∵ B，E，F三点在同一直线， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴     ∴     ∵ ∴； （3）如图，过B作，过G作，连接，，． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴点H为的中点． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式4-1】如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，根据平行四边形的性质可得得出，等量代换得出，即平分； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②在上截取，连接，过点作于点，根据旋转的性质结合已知条件可得是等边三角形，则，证明，得出四边形是平行四边形，则，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形， ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴，即平分； （2）解：①， 如图所示，过点作于点，    ∵平分，， ∴ ∵四边形，是长方形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴； ②如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， 在上截取，连接，过点作于点，    ∵旋转，则， ∴是等边三角形，则， ∴，即旋转角为 ∴ 又平分； ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 又∵旋转，则 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， ， ∴，则 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 类型五、矩形的旋转综合问题 知识点：1. 矩形性质与旋转的叠加：对边相等、四角为直角、对角线相等且互相平分，旋转后对应边保持垂直或平行（取决于旋转角），对角线对应线段相等，易形成全等矩形。2. 旋转产生的垂直关系：以对角线交点为中心旋转时，对应顶点连线被平分；旋转90°时，邻边对应线段垂直，可推导线段垂直且相等关系。 解题技巧：1. 聚焦对角线特性：利用矩形对角线相等且互相平分的特点，以交点为旋转中心时，通过对应顶点连线的中点性质转化等量关系。2. 转化角度关系：遇旋转角非90°时，结合矩形直角特征，构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解线段长度。 例5．将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当过点C时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）首先证明，可得，，从而得出，由平行线的判定可得，再根据平行四边形的判定即可解决问题． （2）如图，作于，于．利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：矩形是由矩形旋转所得， ，，， ， ，， ， ， ． ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图，作于，于． 四边形是矩形， 由旋转的性质得， 在中，，．， ， ， ， ，， ， 在中，． 【变式5-1】如图1，在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点落在边上，过点作于点，连接． (1)求证：①；②；③四边形是平行四边形； (2)如图2，连接交于点． ①求的长； ②过点作交于点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据矩形的性质，可得，，根据旋转的性质可得，根据全等三角形的判定即可求解； ②由三角形全等可得，根据即可求解； ③根据三角形全等可得，由，可得，根据平行四边形的判定方法即可求解； （2）①在中根据勾股定理可得的值，根据平行四边形的性质可得，在中可得的值，由此即可求解； ②根据旋转的性质可得四边形是矩形，根据，可得四边形是矩形，根据线段的关系可得，结合正方形的判定即可求证． 【详解】（1）证明：① 如图1.1，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 由, 可知， ∵， ∴； ③ ∵， ∴， 由， 可知， ∵， ∴， ∴ 四边形是平行四边形； （2）解：① 如图1.2， ，， 在中， ， ∵ 四边形是平行四边形， ， 在中,， ； ②证明：根据旋转，四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∵， ∴， ∴ 四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一边，正方形的判定等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键． 类型六、正方形的旋转综合问题 知识点：1. 正方形性质与旋转的结合：四边相等、四角为直角、对角线垂直且相等，旋转后对应边垂直或平行（夹角等于旋转角），对角线对应线段垂直且相等，易形成全等正方形或等腰直角三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转90°时，邻边对应线段垂直且相等；旋转180°时，与原图形中心对称，可推导线段垂直、中点等关系。 解题技巧：1. 锁定旋转中心：以顶点、中心或对角线交点为中心，利用“边等、角90°”标记对应顶点，构造全等（如SAS）。2. 转化垂直关系：通过旋转将分散线段集中，结合正方形直角和对角线垂直特性，利用勾股定理或等腰直角三角形性质求解。 例6．如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． (1)如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； (2)如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等即可得证 （2）与（1）同理求出，连接交于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，再求出，然后利用勾股定理列式计算即可求出． 【详解】（1）证明：如图，交于点G，交于点H， 四边形和四边形均为正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 在和中，，， ， ； （2）解：同（1）可证， ， 如图，连接交于G，则，， ∵正方形的边长为， ∴， ∴。 ∴， 在中，， ∴． 【变式6-1】【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①②（2），证明见解析（3）或 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据题型先证明，进而即可得出线段之间的数量关系； ②根据，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 连接，如图2： ∵为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）设， ①当在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又由（2）易知， ∴， ∴， 解得，即， ； ②当点在延长线上时， 同理可证， ∴， 又在中， ， ∴， 解得，即， ； 故的面积为或． 一、解答题 1．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：连接，由旋转的性质可得，然后根据矩形的性质和等腰三角形即可证明结论； （2）如图：延长交于点，由旋转的性质可得、，矩形的性质可得、．再证可得，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， 由旋转性质得， 又∵在矩形中，， ∴； （2）解：延长交于点，    由旋转性质得，，， 在矩形中，，， 由（1）得， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴点与B重合． ∴的延长线经过点B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）先证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）过点D作于H，结合正方形性质证明，得出，根据即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）；理由如下： 如图，过点D作于H， ∵，， ∵，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴（）， ∴． ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 3．在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点在的斜边上，连． ①线段与的关系为________，并证明你的结论． ②求证：； （2）如图2，为上一点，，则的长为________． 【答案】（1）①，，证明见解析；②证明见解析：（2） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识、证明三角形全等是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形性质和证明得到，再导角可证明，据此可得结论；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求出，进而可得，即可求解． 【详解】解：（1）①，，证明如下： ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在和， ， ， ∵在中，， ． ， ∴， ∴，； ②由（1）①可知，， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴在中，由勾股定理得，即， ； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 4．如图1，在正方形中，，将线段绕点C逆时针旋转至，连接． (1)当时，求的长度； (2)如图2，过点D作交于点F，连接． ①求证：． ②当点F是中点时，求与的面积比． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）作于F，证明，求得，即可得的长度； （2）①设，求出，，得到，求出，则，即可证明结论；②连接，作于G，设，则，进一步求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1， 作于F， ∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①证明：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：如图2， 连接，作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴与的面积比为：． 5．如图1，已知在和中，，点分别在边上，绕点A逆时针旋转一定角度． (1)①如图2，若，，，连接，求证：； ②在①的条件下，已知，，当点在直线上时，求的面积； (2)若，，，点不与点重合，是的中点，点在线段上，连接，是所在平面内一点，连接、，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值． 【答案】(1)①见解析；②2； (2) 【分析】（1）①延长交于点N，交于点F，证明，推出，从而得出结论；②过点A作于点K，根据等腰直角三角形性质以及勾股定理求出的长，进一步求出结果即可； （2）先判定出为等边三角形，得到只能在的左侧，连接，过点作的延长线于点M，利用勾股定理求出，的长度，根据与关于成轴对称图形，推出，从而得到当点H落在上时值最小，求出结果即可． 【详解】（1）①证明：如图，延长交于点N，交于点F， 在与中， ， ， 在和中，， ； 解：②如图，过点A作于点K， 为等腰直角三角形， ， 在中，，， ， ， ； （2）， 为等边三角形， 点不与C点重合， 只能在的左侧，如图，连接，过点作的延长线于点M， 为等边三角形，， ， 是中点， ， 在中， ， 在中， ， 与关于成轴对称图形， ， 如下图，当点H落在上时， 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线定理，轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． 6．如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①垂直，见解析；②或 (3)或 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，，，，进而得到：，推出，，即可求解； （2）①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； （3）当时，点在的上方时，设延长线交于，则，可得出，，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，当点在下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ，， ， ； （2）①，理由如下： 如图1，由（1）知，， 菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形， ， ， ， 四边形和四边形是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得，， ， ，， 当时图中)， 同理可得，， ， 综上所述：或； （3）如图2， 当时，设延长线交于， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，解决问题的关键是分类讨论． 7．（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为． （2）【类比探究】 ①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，； ②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是． ③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______． （3）【拓展延伸】 如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______． 【答案】（1）1，2；（2）①4，4；②；③4或2；（3） 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题； ②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题； ③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； （3）过作于点，于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，求出，然后证，得，同理，得，即可解决问题． 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为2， ，，，，，， ， ， ， ， ，， ，； 小航：，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为2， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， ，四边形是正方形， ，， ， ； 故答案为：1，2； （2）①如图2，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 故答案为：4，4； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为8，， ，，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即当时，四边形的面积为； ③连接交于点，分两种情况 、点在上时，如图4， 四边形是菱形， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 过点作交于点， 同②得：都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； 、点在上时，如图，过点作交于点， 同理得：，都是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为4或2， 故答案为：4或2； （3）如图5，过点作于点，于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 为钝角），， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】： （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_____； 【解决问题】： （2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分；写出证明过程 ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则______； 【迁移应用】： （3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则______； （4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，则_____． 【答案】（1）45；（2）①见解析；②4；（3）；（4） 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：， ， 四边形是矩形， ， ； ， 平分； ②解：过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4； （3）解：如图4，过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：； （4）解：过点F作，与的延长线交于点H，如图5， 四边形是菱形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$